第五章第六節(jié)-方程近似解市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

三、普通迭代法(補(bǔ)充)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六節(jié)可求準(zhǔn)確根無(wú)法求準(zhǔn)確根求近似根兩種情形(有時(shí)計(jì)算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根隔離與二分法二、牛頓切線法及其變形方程近似解第五章第1頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、根隔離與二分法(1)作圖法1.求隔根區(qū)間普通方法第2頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)逐步收索法由圖可見(jiàn)只有一個(gè)實(shí)根可轉(zhuǎn)化為以定步長(zhǎng)h一步步向右搜索,若搜索過(guò)程也可從b開(kāi)始,取步長(zhǎng)h<0.第3頁(yè)2.二分法取中點(diǎn)對(duì)新隔根區(qū)間重復(fù)以上步驟,重復(fù)進(jìn)行,得則誤差滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)例1.

用二分法求方程近似實(shí)根時(shí),要使誤差不超出最少應(yīng)對(duì)分區(qū)間多少次?解:設(shè)故該方程只有一個(gè)實(shí)根

,欲使必需即可見(jiàn)只要對(duì)分區(qū)間9次,即可得滿足要求實(shí)根近似值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)二、牛頓切線法及其變形有以下四種情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)牛頓切線法基本思想:程近似根.記縱坐標(biāo)與同號(hào)端點(diǎn)為用切線近似代替曲線弧求方在此點(diǎn)作切線,其方程為令y=0得它與x軸交點(diǎn)其中再在點(diǎn)作切線,可得近似根如此繼續(xù)下去,可得求近似根迭代公式:稱(chēng)為牛頓迭代公式

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)牛頓法誤差預(yù)計(jì):由微分中值定理得則得說(shuō)明:用牛頓法時(shí),若過(guò)縱坐標(biāo)與異號(hào)端點(diǎn)作切線,則切線與x軸焦點(diǎn)橫坐標(biāo)未必在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)牛頓法變形:(1)簡(jiǎn)化牛頓法若用一常數(shù)代替即用平行則得簡(jiǎn)化牛頓迭代公式.線代替切線,得優(yōu)點(diǎn):因而節(jié)約計(jì)算量.缺點(diǎn):迫近根速度慢一些.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)(2)割線法為防止求導(dǎo)運(yùn)算,用割線代替切線,比如用差商代替從而得迭代公式:(雙點(diǎn)割線法)特點(diǎn):迫近根速度快于簡(jiǎn)化牛頓法,但慢于牛頓法.說(shuō)明:若將上式中則為單點(diǎn)割線法,迫近根速度與簡(jiǎn)化牛頓法相當(dāng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)例2.用切線法求方程近似解,使誤差不超出0.01.解:由草圖可見(jiàn)方程有唯一正實(shí)根,且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)得而再求所以得滿足精度要求近似解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)三.普通迭代法在隔根區(qū)按遞推公式則

即為原方程根.①①稱(chēng)為迭代格式,初值.不然稱(chēng)為發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)例3.

用迭代法求方程解法1將方程變形為迭代格式為發(fā)散!解法2將方程變形為迭代格式為迭代收斂,1.32472為計(jì)算精度范圍內(nèi)所求根.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1