信息安全導(dǎo)論-5密碼學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件_第1頁(yè)
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信息安全導(dǎo)論第五講密碼學(xué)技術(shù)中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)華中科技大學(xué)圖象所信息安全研究室Dr.ZuxiWang2025/2/211第1頁(yè)密碼學(xué)是研究密碼系統(tǒng)或通信安全一門(mén)學(xué)科,分為密碼編碼學(xué)和密碼分析學(xué)。密碼編碼學(xué)是使得消息保密學(xué)科,從事此行稱(chēng)為密碼編碼者。密碼分析學(xué)(密碼破譯學(xué))是研究加密消息破譯學(xué)科,從事此行稱(chēng)為密碼分析者。精于此道人被稱(chēng)為密碼學(xué)家,當(dāng)代密碼學(xué)家通常是理論數(shù)學(xué)家。2025/2/212第2頁(yè)密碼學(xué)是一門(mén)交叉學(xué)科,它很大程度上是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。密碼學(xué)中包括數(shù)論、代數(shù)、概率論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算復(fù)雜理論等各種數(shù)學(xué)知識(shí)。還包括信息論學(xué)科知識(shí)。密碼學(xué)所包括知識(shí)十分遼闊,這里僅介紹部分?jǐn)?shù)學(xué)基本知識(shí)。2025/2/213第3頁(yè)數(shù)論基礎(chǔ)素?cái)?shù)同余、模運(yùn)算中國(guó)剩下定理Euclean算法Fermat定理、Euler定理素性檢驗(yàn)因子分解離散對(duì)數(shù)2025/2/214第4頁(yè)整除、素?cái)?shù)記整數(shù)集合Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}整除設(shè)a,b∈Z,a≠0,假如存在m∈Z,使得b=ma,則稱(chēng)a整除b,以a|b表示,a是b一個(gè)因子或約數(shù)。假如沒(méi)有任何m,使得b=ma,則稱(chēng)a不能整除b,記a?b,此時(shí)有a=mb+r且0<r<b。素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))

整數(shù)p>1被稱(chēng)為素?cái)?shù)是指p因子僅有1,-1,p,-p。不然,稱(chēng)為合數(shù)。2025/2/215第5頁(yè)整除基本性質(zhì)a|a;b≠0,b|0;Ifa|b,b|c,thena|c;ifa|1,thena=±1;ifa|b,andb|a,thena=±b;ifb|gandb|h,thenb|(mg+nh),foranyintegersmandn注意:ifa=0modn,thenn|a2025/2/216第6頁(yè)互素與最大條約數(shù)最大條約數(shù)(最大公因子):若a,b,c∈Z,假如c∣a,c∣b,稱(chēng)c是a和b條約數(shù)。正整數(shù)d稱(chēng)為a和b最大條約數(shù)(記d=gcd(a,b)或(a,b))

,假如它滿足:d是a和b條約數(shù)。對(duì)a和b任何一個(gè)條約數(shù)c有c∣d。等價(jià)定義形式是:

gcd(a,b)=max{k:k∣a,k∣b}若gcd(a,b)=1,稱(chēng)a與b是互素。2025/2/217第7頁(yè)最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)a,b倍數(shù)中最小者稱(chēng)為a,b最小公倍數(shù),記為:lcm(a,b)a,b不全為0,有ab=gcd(a,b)·lcm(a,b).注意:對(duì)有限個(gè)整數(shù)a1,a2,…,an,也可定義最大條約數(shù)gcd(a1,a2,…,an)和最小公倍數(shù)lcm(a1,a2,…,an).2025/2/218第8頁(yè)帶余除法帶余除法:

a∈Z,m>0,可找出兩個(gè)唯一確定整數(shù)q和r使a=qm+r,0≤r<m。(若r=0則m∣a)

q和r這兩個(gè)數(shù)分別稱(chēng)為以m去除a所得到商數(shù)和余數(shù).記:q=adivm或[a/m],r=amodm。存在x,y,gcd(a,b)=ax+by假如a=qb+r,則gcd(a,b)=gcd(b,r).gcd(a/gcd(a,b),b/gcd(a,b))=12025/2/219第9頁(yè)算術(shù)基本定理下面關(guān)于素?cái)?shù)事實(shí)均成立假如p是一個(gè)素?cái)?shù),而且p|ab,則有p|a或p|b;素?cái)?shù)有沒(méi)有窮多個(gè);素?cái)?shù)定理:記π(x)為小于x素?cái)?shù)個(gè)數(shù),則有它表明,對(duì)于充分大x,能夠用xlnx近似地表示π(x)。算術(shù)基本定理:任何一個(gè)不等于0正整數(shù)a都能夠?qū)懗晌ㄒ槐硎臼?,這里P1>P2>P3…>Pt是素?cái)?shù),其中αi>0整數(shù)。2025/2/2110第10頁(yè)當(dāng)前沒(méi)有可用于整數(shù)分解有效算法。對(duì)于整數(shù)a,b(a,b≥2),a,b素?cái)?shù)分解式分別為:

,,其中ei,fi≥0,t≥i≥1,則有:2025/2/2111第11頁(yè)帶余除法中,a∈Z,m>0,a=qm+r,0≤r<m,r為a除以m余數(shù)或剩下(Residue),m稱(chēng)為模數(shù),所以稱(chēng)r為a模正整數(shù)m剩下,記r≡amodmm∣(a-b)

a=q1m+r,b=q2m+r。即a和b分別除以m有相同余數(shù)同余稱(chēng)整數(shù)a模正整數(shù)m同余(數(shù))于整數(shù)b,并寫(xiě)a≡b(modm)是指m∣(a-b),m稱(chēng)為模數(shù)。note:ifa=0modm,thenm|a整數(shù)同余式和同余方程2025/2/2112第12頁(yè)1、模關(guān)系:相對(duì)于某個(gè)固定模數(shù)m同余關(guān)系,是指整數(shù)間一個(gè)等價(jià)關(guān)系。含有等價(jià)關(guān)系三點(diǎn)基本性質(zhì):

自反性:對(duì)任意整數(shù)a,有a≡a(modm)

對(duì)稱(chēng)性:若a≡b(modm),則b≡a(modm)

傳遞性:若a≡b(modm),b≡c(modm),則a≡c(modm)全體整數(shù)集合Z可按模m(m>1)分成一些兩兩不交等價(jià)類(lèi)(剩下類(lèi))。2、整數(shù)模m同余類(lèi)共有m個(gè),他們分別為mk+0,mk+1,mk+2,…mk+(m-1);k∈z,每一個(gè)算一類(lèi),每一類(lèi)都能夠選一個(gè)代表元,普通選這一類(lèi)中最小非負(fù)整數(shù)。于是稱(chēng)[0],[1],[2],…[m-1]為標(biāo)準(zhǔn)完全剩下系。其中與m互素剩下類(lèi)組成模m簡(jiǎn)約剩下系。Z模12標(biāo)準(zhǔn)完全剩下系為:[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]2025/2/2113第13頁(yè)Modulo7Example...-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456

78910111213141516171819202122232425262728293031323334...2025/2/2114第14頁(yè)3、模運(yùn)算:對(duì)于某個(gè)固定模m同余式能夠象普通等式那樣相加相減和相乘:a(modm)±b(modm)=(a±b)(modm)a(modm)*b(modm)=a*b(modm)例:由同余式演算證實(shí)560-1是56倍數(shù),223-1是47倍數(shù)。解: 注意53=125≡13(mod56)

于是有56≡169≡1(mod56)

對(duì)同余式兩邊同時(shí)升到10次冪, 即有56∣(560-1)。 其次,注意26=64≡-30(mod47),于是223=(26)3·25=(26·26)26·25

≡900*(-30)*(32)mod(47)≡(7)*(-30)*(32)(mod47)≡1(mod47)

于是有47∣(223-1)2025/2/2115第15頁(yè)Modulo8Example2025/2/2116第16頁(yè)4、定理:(消去律)對(duì)于ab≡ac(modm)來(lái)說(shuō),若最大公因子gcd(a,m)=1(即a與m是互素),則b≡c(modm)加法消去律:

a+b≡a+c(modm),有b≡c(modm).5、一次同余方程ax≡b(modm),這個(gè)方程有沒(méi)有解,相當(dāng)于問(wèn)有沒(méi)有那樣一個(gè)整數(shù)x,使得對(duì)于某個(gè)整數(shù)y來(lái)說(shuō),有ax+my=b

定理:記最大公因子(a,m)=d,則同余方程ax≡b(modm)有解充分必要條件是d∣b。當(dāng)這個(gè)條件滿足時(shí),恰有d個(gè)模m同余類(lèi)中整數(shù)是上述方程解。證實(shí):略。(從ax+my=b入手)2025/2/2117第17頁(yè)6、整數(shù)環(huán)z模正整數(shù)m得到剩下類(lèi)集合能夠記為zm(或z/(m)),zm={[0],[1],…,[m-1]}

在3、中已說(shuō)明zm對(duì)剩下類(lèi)加法,乘法是封閉,可列出它們加乘表。我們稱(chēng)zm為剩下類(lèi)環(huán)(或同余類(lèi)環(huán))7、在整數(shù)環(huán)z中是沒(méi)有零因子,即兩個(gè)非零整數(shù)乘積一定不等于0,不過(guò)剩下環(huán)則不然。例z12中:[3]*[4]=[12]=[0]說(shuō)明,zm中元素可分為兩類(lèi),一類(lèi)是零因子,即若α∈zm,α≠[0],存在β∈zm且β≠[0],有α*β=[0],則稱(chēng)α,β都為zm中零因子。另一類(lèi)是可逆元,即若α∈zm,存在β∈zm,使α*β=[1],此時(shí)α,β互為各自逆元,記α-1=β;β-1=α2025/2/2118第18頁(yè)定理:剩下類(lèi)環(huán)zm中元素α=[a]為zm可逆元

最大條約數(shù)(a,m)=1要證實(shí)這個(gè)定理,只需證實(shí)以下引理:引理:任意兩個(gè)整數(shù)a和b都有一個(gè)最大條約數(shù),這么一個(gè)最大條約數(shù)d能夠表示成a,b二數(shù)關(guān)于整系數(shù)線性組合,即有s,t∈z,使d=sa+tb。證實(shí):不妨設(shè)b>0,用輾轉(zhuǎn)相除法,先用b去除a,得

a=q1b+r1,0≤r1<b; (1)假如r1=0,停頓,不然再用r1去除b,得

b=q2r1+r2,0≤r2<r1; (2)假如r2=0,停頓,不然再用r2去除r1,得

r1=q3r2+r3;0≤r3<r2; (3)等等,這么一直進(jìn)行下去,可得一系列關(guān)系式:

rk-3=qk-1rk-2+rk-1,0≤rk-1<rk-2; (k-1) rk-2=qkrk-1+rk,0≤rk<rk-1; (k)2025/2/2119第19頁(yè)因?yàn)闅v次所得余數(shù)

r1>r2>r3>r4>…rk>…≥0是嚴(yán)格遞降一串非負(fù)整數(shù),故最終總會(huì)出現(xiàn)余數(shù)為0情形:

rk-1=qk+1rk (k+1)所以,進(jìn)行有限步必停頓,此時(shí)d=rk=(a,b)成立,這是因?yàn)?).可知rk為a和b條約數(shù),只要按倒序分析自然有此結(jié)論。2).a和b任何一個(gè)條約數(shù)c都是rk約數(shù),只要按正序分析,自然可知。為證定理后一部分,將式(1)做移項(xiàng)有

r1=s1a+t1b(其中s1=1,t1=-q1)

再將式(2)右端經(jīng)過(guò)移項(xiàng)變?yōu)閞2=s2a+t2b這么一直下去,最終得d=rk=s*a+t*b, s,t∈z.2025/2/2120第20頁(yè)例子:求(180,252),并將他表示為180和252這兩個(gè)數(shù)一個(gè)帶整系數(shù)線性組合。解: 252=1*180+72 (1) 180=2*72+36 (2) 72=2*36 (3)得(180,252)=36,同時(shí)有 72=252-1*180 (1

)由(2)得 36=180-2*72 (2

)

將(1

)代入(2

),即得

36=180-2*(250-180)

=3*180-2*2522025/2/2121第21頁(yè)中國(guó)剩下定理例子:(孫子算經(jīng))今有物不知其數(shù):三三數(shù)之余二;五五數(shù)之余三;七七數(shù)之余二。問(wèn)物幾何?答曰:二十三。23≡2*70+3*21+2*15(mod105)(口訣:三人同行七十稀,五樹(shù)梅花廿一枝,

七子團(tuán)圓月正半,除百零五便得知。)問(wèn),70,21,15怎樣得到?原問(wèn)題為:求解同余方程組2025/2/2122第22頁(yè)注意:若x0為上述同余方程組解,則x0

=x0+105*k(k∈z)也為上述同余方程組解。有意義是,解題口訣提醒我們先解下面三個(gè)特殊同余方程組(1) (2) (3) 特殊解 =? =? =?以方程(1)為對(duì)象,相當(dāng)于解一個(gè)這么同余方程35y≡1(mod3),為何呢?原因是,從(1)模數(shù)及條件知,x應(yīng)是35倍數(shù),于是能夠假設(shè)x=35y,有2025/2/2123第23頁(yè)35y≡1(mod3)相當(dāng)于2y≡1(mod3)

解出y=2(mod3)

于是x35*2(mod(3*35))70(mod105)類(lèi)似地得到(2)、(3)方程模105解21、15。

于是有

2025/2/2124第24頁(yè)中國(guó)剩下定理:設(shè)自然數(shù)m1,m2,…mr兩兩互素,并記M=m1m2…mr,則同余方程組在模M同余意義下有唯一解。2025/2/2125第25頁(yè)證實(shí):考慮方程組,

(1<=i<=r)

因?yàn)橹Tmi(1<=i<=r)兩兩互素,這個(gè)方程組作變量替換,令x=(M/mi)*y,方程組等價(jià)于解同余方程: (M/mi)y≡1(modmi)2025/2/2126第26頁(yè)若得到特解yi,只要令

xi=(M/mi)yi則方程組解為

x0=b1x1+b2x2+…+brxr(modM)模N意義下唯一。中國(guó)剩下定理用途之一是,它給出了一個(gè)方法,使非常大數(shù)對(duì)M模運(yùn)算轉(zhuǎn)化到更小數(shù)上來(lái)進(jìn)行運(yùn)算,當(dāng)M為150位或150位以上時(shí),這種方法非常有效。2025/2/2127第27頁(yè)Euclidean算法依據(jù)(a,b)=(b,amodb)輾轉(zhuǎn)除法是求解兩個(gè)整數(shù)最大公因子傳統(tǒng)方法,由此而得歐幾里得算法是一個(gè)用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)最大公因子有效算法。Euclidean算法:輸入a和b,wherea,b∈z,a,b≥0,a≥b.假如b≠0,則依次完成:r←amodb,a←b,b←r,不然返回a.輸出gcd(a,b)=r.2025/2/2128第28頁(yè)ExampleGCD(1970,1066)1970=1x1066+904 gcd(1066,904)1066=1x904+162 gcd(904,162)904=5x162+94 gcd(162,94)162=1x94+68 gcd(94,68)94=1x68+26 gcd(68,26)68=2x26+16 gcd(26,16)26=1x16+10 gcd(16,10)16=1x10+6 gcd(10,6)10=1x6+4 gcd(6,4)6=1x4+2 gcd(4,2)4=2x2+0 gcd(2,0)2025/2/2129第29頁(yè)擴(kuò)展Euclidean算法經(jīng)擴(kuò)張Euclidean算法不但能夠被用于計(jì)算d=gcd(a,b),而且能夠找到滿足等式ax+by=d整數(shù)x和y。擴(kuò)展Euclidean算法:輸入a和b,wherea,b∈z,a,b≥0,a≥b.假如b=0,則:d←a,x←1,y←0,返回(d,x,y).x2←1,x1←0,y2←0,y1←1假如b≠0,則依次完成:q←[a/b],r←a-qb,x←x2-qx1,y←y2-qy1;a←b,b←r,x2←x1,y2←y1,x1←x,y1←yd←a,x←x2,y←y2,返回(d,x,y).Euclidean算法和擴(kuò)展Euclidean算法時(shí)間復(fù)雜度為O((lgn)2).2025/2/2130第30頁(yè)Fermat定理和Euler定理Fermat定理:假如p是素?cái)?shù)而且a是正整數(shù),(p,a)=1那么,ap-1≡1(modp)

證實(shí):設(shè)z*p≡{α∈zp∣(α,p)=1}

易見(jiàn),z*p={1,2,3,…,(p-1)}且因?yàn)椋╝,p)=1知

az*p={[a],[2a],[3a],…,[(p-1)a]}=z*p,原因是az*p內(nèi)元素兩兩不一樣。他們剛好為1,2,3…,(p-1)一個(gè)排列。所以

[a]*[2a]*[3a]*…[(p-1)a]≡1*2*3*…(p-1)(modp)

由((p-1)!,p)=1,

所以ap-1≡1(modp)推論:對(duì)素?cái)?shù)p,任意正整數(shù)a,有ap≡a(modp).usefulinpublickeyandprimalitytesting2025/2/2131第31頁(yè)Euler函數(shù)φEuler函數(shù)φ(n)是這么來(lái)定義:

當(dāng)n=1時(shí),φ(1)=1;當(dāng)n>1時(shí),它值φ(n)等于比n小而與n互素正整數(shù)個(gè)數(shù)。以n=24為例,比24小而與24互素正整數(shù)為:1,5,7,11,13,17,19,23。所以,我們有φ(24)=8。若p為素?cái)?shù),則φ(p)=p-1。若p,q都為素?cái)?shù)且p≠q,此時(shí)有

φ(pq)=φ(p)φ(q)=(p-1)·(q-1)證實(shí):考慮zpq剩下類(lèi)集合是{0,1,2,…,(pq-1)},集合中與pq不互素元素子集為{p,2p,…,(p-1)q}和子集{q,2q,…(p-1)q}以及0,于是若設(shè)n=pq,有φ(n)=pq-[(q-1)+(p-1)+1]=(p-1)(q-1)=φ(p)φ(q).例:φ(21)=φ(3*7)=φ(3)φ(7)=2*6=12.2025/2/2132第32頁(yè)若m1,m2互素,則φ(m1m2)=φ(m1)φ(m2).設(shè)n=p1e1p2e2…prer,其中p1,p2,…,pr為互異素?cái)?shù),則φ(n)=p1e1-1p2e2-1…prer-1(p1-1)(p2-1)…(pr-1)

=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pr)Euler公式

證實(shí):考慮1/n,2/n,…n/n,然后化簡(jiǎn)成既約分?jǐn)?shù),分母為d一類(lèi)分?jǐn)?shù)有φ(d)個(gè),于是

歐拉定理(Euler):若整數(shù)a與整數(shù)n互素,則aφ(n)≡1(modn)。證實(shí):設(shè)小于n而和n互素φ(n)個(gè)正整數(shù)為

r1,r2,r3…,rφ(n) (1)2025/2/2133第33頁(yè)他們是模n兩兩互不一樣余。對(duì)每一個(gè)定數(shù)i來(lái)說(shuō),因?yàn)閍和ri都與n互素,所以(ari,n)=1,所以ari同余于(1)中某個(gè)ri’即

ari≡ri’(modn),1≤i≤φ(n)而且當(dāng)i≠j時(shí)有ari

/≡arj(modn).于是,為

置換.所以有由(ri,n)=1,所以

Remarks:1*.n=p時(shí),(a,p)=1,有ap-1≡1(modp)為Fermat定理!而對(duì)任意a,有ap≡a(modp)(Fermat)2*.易見(jiàn)aφ(n)+1≡a(modn)3*.若n=pq,p與q為相異素?cái)?shù),取0<m<n,若(m,n)=1,有mφ(n)+1≡m(modn),也即m(p-1)(q-1)+1≡m(modn).2025/2/2134第34頁(yè)4*.對(duì)于3中,若(m,n)=p或q,也一樣有mφ(n)+1≡m(modn)5*.由(mφ(n))k≡1k(modn)知

mkφ(n)≡1(modn),深入

mkφ(n)+1≡m(modn) mk(p-1)(q-1)+1≡m(modn)2025/2/2135第35頁(yè)素性檢驗(yàn)、因子分解在許多加密算法中,需要隨機(jī)選擇一個(gè)或多個(gè)非常大素?cái)?shù),所以必須確定一個(gè)給定大數(shù)是否是素?cái)?shù)。--素性檢驗(yàn)(測(cè)試)當(dāng)前還沒(méi)有簡(jiǎn)單有效方法處理該問(wèn)題。Miller和Rabin提出一個(gè)算法,其利用了Fermat定理。該算法產(chǎn)生數(shù)不一定數(shù)素?cái)?shù),但令人詫異是,其產(chǎn)生數(shù)幾乎能夠必定是素?cái)?shù)。2025/2/2136第36頁(yè)素性檢驗(yàn)、因子分解RSA算法安全性以對(duì)大整數(shù)進(jìn)行素?cái)?shù)分解困難性為基礎(chǔ),即無(wú)法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)對(duì)于一個(gè)足夠大整數(shù)進(jìn)行分解。一旦這個(gè)難題被破解,則RSA算法安全性便不復(fù)存在。一些具代表性因子分解算法包含:二次篩法p-1因子分解方法是更為有效橢圓曲線方法基礎(chǔ)數(shù)域篩法等2025/2/2137第37頁(yè)強(qiáng)素?cái)?shù)許多密碼算法關(guān)心強(qiáng)素?cái)?shù)。設(shè)n∈Z,p和q是素?cái)?shù),而且n=pq。當(dāng)p,q滿足以下特征時(shí),稱(chēng)之為強(qiáng)素?cái)?shù)。①Gcd(p-1,q-1)比較??;②p-1和q-1都有大素因子(分別記為p*和q*);③p*-1和q*-1都有大素因子;④p+1和q+1都有大素因子;⑤(p-1)/2和(q-1)/2都是素?cái)?shù)。假如素?cái)?shù)p含有特征⑤,則它們一定含有特征③和④.此時(shí),即使采取一些特殊因子分解方法,對(duì)整數(shù)n進(jìn)行因子分解也非常困難。2025/2/2138第38頁(yè)為了增加密碼算法安全性,提議使用長(zhǎng)度大而且含有隨機(jī)性結(jié)構(gòu)強(qiáng)素?cái)?shù),其中,素?cái)?shù)長(zhǎng)度比其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)更為主要。不過(guò),從因子算法對(duì)整數(shù)進(jìn)行分解概率角度考慮,強(qiáng)素?cái)?shù)與其它素?cái)?shù)相比并沒(méi)有明確優(yōu)勢(shì)。2025/2/2139第39頁(yè)代數(shù)基礎(chǔ)--群、環(huán)、域、布爾代數(shù)概述群、環(huán)、域基本概念有限域

GF(pn)多項(xiàng)式算術(shù)布爾代數(shù)與布爾函數(shù)2025/2/2140第40頁(yè)概述有限群、有限域、布爾函數(shù)等在密碼技術(shù)和應(yīng)用中越來(lái)越主要。cryptographyAES,EllipticCurve,IDEA,PublicKey將從抽象代數(shù)群、環(huán)、域基本概念開(kāi)始介紹。2025/2/2141第41頁(yè)群(Group)代數(shù)系統(tǒng):一個(gè)集合以及定義在其上一組運(yùn)算一起組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。群(group)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)<G;*>,它僅有一個(gè)二元運(yùn)算*(因?yàn)槭谴鷶?shù)系統(tǒng),所以運(yùn)算封閉性滿足),并滿足:結(jié)合律: (a*b)*c=a*(b*c)

含有單位元e: e*a=a*e=a

每一元a有逆元a-1: a*a-1=e假如滿足交換律:a*b=b*a

則形成一個(gè)交換群(commutativegroup),也叫阿貝爾群(abeliangroup).Remark:在不引發(fā)歧義下,經(jīng)常將運(yùn)算符號(hào)省略。a*b=ab2025/2/2142第42頁(yè)

例1<N;+><Z;+><I;·>和<R;·>不是群。

<I;+>、<R;+>和<R-{0};·>都是群。例2設(shè)有Z4={0,1,2,3},模4加法運(yùn)算定義為則<Z4;>組成一個(gè)群。

012301230123123023013012Examples:2025/2/2143第43頁(yè)Examples:<Zm,+>是一個(gè)交換群,也叫加群。+是關(guān)于模m加法;<Zm-{0},·>,·是關(guān)于模m乘法。當(dāng)m是素?cái)?shù)時(shí),它組成一個(gè)乘法交換群;但當(dāng)m不是素?cái)?shù)時(shí),它不組成群。2025/2/2144第44頁(yè)循環(huán)群(CyclicGroup)群元素冪example: a3=a*a*aak=a*a*…*a(k個(gè)a相乘,k正整數(shù))要求:e=a0,a-k=a-1*a-1*…*a-1=(a-1)-k(k個(gè)a-1相乘,k正整數(shù))對(duì)任意整數(shù)m,n,am*an=am+n,(am)n=amn,a-n=(a-1)n=(an)-1.群中任何元都是某個(gè)元g冪,稱(chēng)群為循環(huán)群,g稱(chēng)為其一個(gè)生成元(generator)。i.e.對(duì)群中任一元b,存在k,使b=

gk.以g為生成元循環(huán)群記為G=<g>.稱(chēng)為由g生成循環(huán)群.2025/2/2145第45頁(yè)對(duì)任意負(fù)整數(shù),按照群中逆元表示方法例3

群<I;+>是循環(huán)群,1是生成元,10=0,對(duì)任意正整數(shù)n,n=1+1+…+1,按照群中元素冪表示方法n=1n.

例4

例2中群<Z4;

4>是循環(huán)群,1是其生成元,3也是其生成元。因?yàn)?0=0,11=1,12=1

41=res4(2)=2,13=12

41=2

41=res4(3)=3又30=0,31=3,32=3

43=res4(6)=2,33=32

43=2

43=res4(5)=12025/2/2146第46頁(yè)

例5

設(shè)G={a,b,c,e},*是G上二元運(yùn)算,

*eabceabcaecbbceacbaeeabc

a*a=b*b=c*c=e*e=e,a*b=b*a=c,b*c=c*b=a,a*c=c*a=b<G;*>是一阿貝爾群,但它不是循環(huán)群,普通稱(chēng)這個(gè)群為Klein四元群。2025/2/2147第47頁(yè)群階和元素周期設(shè)<G;*>是一個(gè)群,假如G是有限集,則稱(chēng)<G;*>是有限群,G中元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為群<G;*>階;若G是無(wú)限集,則稱(chēng)<G;*>是無(wú)限群。設(shè)<G;*>是一個(gè)群,a∈G,若存在正整數(shù)r,使得ar=e,則稱(chēng)元素a含有有限周期。使ar=e成立最小正整數(shù)r稱(chēng)為a周期。假如對(duì)于任何正整數(shù)r,都有ar≠

e,則稱(chēng)a周期為無(wú)限。2025/2/2148第48頁(yè)群階和元素周期Examples在群<R-{0};·>中,單位元1周期為1,-1周期為2.(-1)2=(-1)4=(-1)6=…=1群<Z4;

4>中,14=13

41=3

41=res4(4)=0;

21=2,22=2

42=res4(4)=0;34=33

43=1

43=res4(4)=0。

生成元1和3周期均為4,循環(huán)群<Z4;

4>階也為4。循環(huán)群<I;+>生成元1和–1,其周期均為無(wú)限,群<I;+>是一個(gè)無(wú)限階循環(huán)群。2025/2/2149第49頁(yè)群部分性質(zhì)消去律:設(shè)<G;*>是一個(gè)群,則對(duì)任意a,b∈G,(1)存在唯一元素x∈G,使a*x=b;(2)存在唯一元素y∈G,使y*a=b。設(shè)<G;*>是一個(gè)群,則對(duì)任意a,b,c∈G(1)若a*b=a*c,則b=c;(2)若b*a=c*a,則b=c。2025/2/2150第50頁(yè)群部分性質(zhì)求逆:設(shè)<G;*>是一個(gè)群,則對(duì)任意a,b,a1,a2,…,ak∈G(a*b)-1=b-1*a-1;(a1*a2*…*ak)-1=ak-1*…*a2-1*a1-1.關(guān)于元素周期:群<G;*>中元素

a若含有有限周期r,則當(dāng)且僅當(dāng)k

是r整數(shù)倍時(shí),ak

=e.群中任一元素與它逆元含有相同周期。在有限群<G;*>中,每個(gè)元素均含有有限周期,且周期不超出群<G;*>階。結(jié)論對(duì)無(wú)限群不成立。如群<I;+>.

2025/2/2151第51頁(yè)群部分性質(zhì)設(shè)<G;*>是一由元素g生成循環(huán)群,則若g周期為n,則<G;*>是一個(gè)階為n有限循環(huán)群;若g周期為無(wú)限,則<G;*>是一個(gè)無(wú)限階循環(huán)群。2025/2/2152第52頁(yè)群部分性質(zhì)Examples群<Z4;

4>中單位元0周期是1;1和3周期均為4;2周期為2,群<Z4;

4>階4.設(shè)<G;*>是一個(gè)群,且對(duì)于任意a,b∈G,有(a*b)2=a2

*b2,則<G;*>是阿貝爾群。設(shè)Z6={0,1,2,3,4,5},

6是模6加法,定義為:a

6b=res6(a+b),<Z6;6>是一個(gè)群。給出其單位元;各元素逆元;各元素周期。2025/2/2153第53頁(yè)設(shè)<G;*>是一個(gè)群,若<H;*>是<G;*>子代數(shù),單位元e∈H,且對(duì)于任意a∈H,有a-1∈H,則稱(chēng)<H;*>是<G;*>子群。<G;*>非空子集H關(guān)于G運(yùn)算*組成子群,必須滿足:封閉性:H關(guān)于

*

封閉,a,b∈H,有a*b∈H;單位元:G單位元e∈H;可逆性:任意a∈H,有a-1∈H.Example:對(duì)于任意整數(shù)m,若令I(lǐng)m={mi:i

∈I}.則<Im;+>均組成<I;+>子群。子群(Subgroup)2025/2/2154第54頁(yè)若<H;*>是<G;*>子群,則<H;*>也是群。設(shè)<G;*>是一個(gè)群,H是G非空子集,若<H;*>也是群,則稱(chēng)<H;*>是<G;*>子群。(子群等價(jià)定義)設(shè)<G;*>是群,H是G非空子集,若(1)對(duì)于任意a,b∈H,有a*b∈H;(2)對(duì)任意a∈H,有a-1∈H,則<H;*>是<G;*>子群。子群(Subgroup)2025/2/2155第55頁(yè)設(shè)<G;*>是群,H是G非空子集,若對(duì)于任意a,b∈H,有a*b-1∈H,則<H;*>是<G;*>子群。設(shè)<G;*>是一有限群,若<H;*>是<G;*>子代數(shù),則<H;*>是<G;*>子群。即:若對(duì)于任意a,b∈H,有a*b∈H,則<H;*>是<G;*>子群(H有限且關(guān)于運(yùn)算封閉就組成子群)。設(shè)<G;*>是一個(gè)群,若<H;*>是<G;*>有限子代數(shù),則<H;*>是<G;*>子群。子群(Subgroup)2025/2/2156第56頁(yè)子群(Subgroup)Examples設(shè)<G;*>是一個(gè)群,a是G中任一元素,令H是a全部整數(shù)次冪集合,則H對(duì)于G運(yùn)算組成<G;*>子群。顯然<H;*>是由元素a生成一個(gè)循環(huán)群。設(shè)<G;*>是一個(gè)群,定義G子集H={h:對(duì)任意x∈G,h*x=x*h},H對(duì)于運(yùn)算*組成<G;*>子群。2025/2/2157第57頁(yè)陪集(coset)、正規(guī)子群(normalsubgroup)H是G子群,a屬于G,aH={ah|h屬于H}稱(chēng)為G一個(gè)關(guān)于H左陪集(a所在陪集)。一樣Ha組成一個(gè)右陪集。對(duì)a,aH不一定等于Ha。假如對(duì)所以a,都有aH=Ha,則稱(chēng)H為G一個(gè)正規(guī)子群。稱(chēng)aH或Ha為陪集。2025/2/2158第58頁(yè)拉格朗日(Lagrange)定理陪集定理:G關(guān)于H全部不用左(右)陪集組成G一個(gè)分劃。Lagrange定理:群G必為其子群H及其全部不相同陪集直和。推論:有限群階必為其子群階整數(shù)倍。素?cái)?shù)階群只有平庸子群(群本身與單位元)2025/2/2159第59頁(yè)群同態(tài)與同構(gòu)h:G1→G2群間一個(gè)映射,假如h保持群運(yùn)算,即:a,bofG,有h(ab)=h(a)h(b),則稱(chēng)h為群G1,G2間一個(gè)同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài)(homomorphism)。若同態(tài)h同時(shí)是一個(gè)雙射,那么稱(chēng)h為一個(gè)同構(gòu)映射,簡(jiǎn)稱(chēng)同構(gòu)(isomorphism)

。這是稱(chēng)兩群G1,G2是同構(gòu)。從代數(shù)結(jié)構(gòu)角度看,同構(gòu)群含有相同代數(shù)結(jié)構(gòu),被視為同一群。2025/2/2160第60頁(yè)商群(Quotientgroup)群G正規(guī)子群H與其全部不相同陪集在陪集乘法意義下組成一個(gè)群,稱(chēng)為G關(guān)于H商群,記為G/H。f:G→G’群間一個(gè)同態(tài)映射,kerf={g:f(g)=e’,e’為G’單位元},即kerf為G’單位元e’在G中原象集合。稱(chēng)kerf為同態(tài)映射f核。同態(tài)基本定理:設(shè)G’為G關(guān)于同態(tài)映射f象,則有:1.kerf是G正規(guī)子群;2.G’與商群G/kerf同構(gòu)。2025/2/2161第61頁(yè)變換群(Transformgroup)集合A上若干雙射(一一映射)對(duì)于映射復(fù)合運(yùn)算組成一個(gè)群,稱(chēng)其為A上一個(gè)變換群。一個(gè)集合A全部一一變換作成一個(gè)變換群。任何一個(gè)群都與一個(gè)變換群同構(gòu)。2025/2/2162第62頁(yè)置換群(permutationgroup)有限集A到直身一個(gè)雙射稱(chēng)為A上一個(gè)置換。#A=n,稱(chēng)A上置換為n階置換。#A=n,A上全部n階置換在置換乘積(映射復(fù)合操作)下組成一個(gè)群,稱(chēng)為n階對(duì)稱(chēng)群(Symmetricgroup),記為Sn。Sn任一子群,都稱(chēng)為一個(gè)置換群。全部n階偶置換(可分解為偶數(shù)個(gè)對(duì)換乘積置換)組成Sn一個(gè)子群,叫交織群(Alternativegroup),記為An。2025/2/2163第63頁(yè)置換群(permutationgroup)對(duì)稱(chēng)群Sn階為n!,交織群An階為n!/2。凱萊(Caylay)定理:每一個(gè)有限群均同構(gòu)于由群元素集合上一個(gè)置換群(Sn一個(gè)子群)(

gG,gf(g),f(g)為G上一個(gè)置換,f(g):gig

gi,全體f(g)組成G上置換群)2025/2/2164第64頁(yè)群生成元系G是一個(gè)群,S是G一個(gè)非空子集S生成子群H:G包含S最小子群,記H=(S)。S生成子群H由S中元素及逆元任意乘積組成。假如G=(S),那么稱(chēng)S為群G一個(gè)生成元系(Generatorsystemorgeneratorset)。當(dāng)#S=1,S={a},那么S生成G一個(gè)循環(huán)子群,(S)=<a>.群生成元系通常不唯一。2025/2/2165第65頁(yè)對(duì)稱(chēng)群生成系對(duì)稱(chēng)群Sn每個(gè)元都能夠?qū)懗?12),(13),…,(1n)這n-1個(gè)對(duì)換(2-循環(huán)置換)中若干個(gè)乘積。S={(12),(13),…,(1n)}是Sn一個(gè)生成元系。Remark:Sn還有其它生成元系。2025/2/2166第66頁(yè)環(huán)(Ring)帶兩個(gè)運(yùn)算(稱(chēng)加法和乘法)集合<R,+,·>滿足:關(guān)于加法+組成一個(gè)abelian群<R,+>,其單位元為‘0’稱(chēng)為零元;關(guān)于乘法·滿足:乘法封閉律;滿足結(jié)合律;a(bc)=(ab)c對(duì)加法分配律:a(b+c)=ab+ac則稱(chēng)<R,+,·>為一個(gè)環(huán)(Ring)假如乘法是交換,則稱(chēng)環(huán)為交換環(huán)(commutativering)環(huán)中關(guān)于乘法假如有單位元,稱(chēng)之為環(huán)單位元。2025/2/2167第67頁(yè)子環(huán)、理想、剩下類(lèi)環(huán)<R,+,·>子代數(shù)即為其子環(huán)。R子集關(guān)于R運(yùn)算依然是環(huán),稱(chēng)為R子環(huán)。R子環(huán)I,假如同時(shí)關(guān)于乘法還滿足:對(duì)R中任意元r,I中任意元a,有ar,ra均仍屬于I.則稱(chēng)I為一個(gè)理想。R理想I,關(guān)于加法組成剩下類(lèi)集合上關(guān)于模I加法和乘法組成環(huán),叫R模I剩下類(lèi)環(huán)。記為R/I.2025/2/2168第68頁(yè)環(huán)同態(tài)與同構(gòu)環(huán)同態(tài)與同構(gòu)映射定義類(lèi)似群同態(tài)與同構(gòu)。兩個(gè)環(huán)之間映射假如保持分別保持環(huán)運(yùn)算,就稱(chēng)為環(huán)同態(tài)假如同態(tài)是一一映射,就稱(chēng)為同構(gòu)。類(lèi)似地有同態(tài)基本定理。2025/2/2169第69頁(yè)零因子、整環(huán)若ab=0,但a,b都不是R中零元,

那么a(b)均稱(chēng)為左(右)零因子.不然,稱(chēng)為非零因子.無(wú)零因子環(huán):假如R中a,b有ab=o,那么必有a=0orb=0.整環(huán)(domain):交換有單位元無(wú)零因子環(huán),稱(chēng)為一個(gè)整環(huán)。2025/2/2170第70頁(yè)Example:整數(shù)集關(guān)于普通加法和乘法組成一個(gè)環(huán)且是一個(gè)整環(huán).<Zm,+,·>是一個(gè)交換環(huán),稱(chēng)為模m剩下類(lèi)環(huán)。當(dāng)m是合數(shù)時(shí),剩下類(lèi)環(huán)Zm中有零因子,Zm中a,若(a,m)=1,則a有逆元;當(dāng)m是素?cái)?shù)時(shí),剩下類(lèi)環(huán)Zm是整環(huán)。2025/2/2171第71頁(yè)除環(huán)、域一個(gè)環(huán)關(guān)于其乘法不一定有單位元,另外其任一元也不一定有乘法逆元。假如一個(gè)環(huán)有單位元,而且任一非零元都有逆元,則稱(chēng)其為一個(gè)除環(huán)。所以<R,+,·>是除環(huán),它最少有一非零元,且<R,+>是加群;<R-{0},·>是群。一個(gè)除環(huán),假如其關(guān)于乘法是交換,則稱(chēng)其為一個(gè)域(Field)。2025/2/2172第72頁(yè)有限域(GaloisFields)有限域也叫Galois域,在密碼學(xué)中有主要作用。三個(gè)結(jié)論:每個(gè)有限域階必為素?cái)?shù)冪。對(duì)任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)n,存在pn階域。同階有限域必同構(gòu)。于是:在同構(gòu)意義下,pn階有限域有且只有一個(gè),記為GF(pn).尤其地,經(jīng)慣用到有限域:GF(p)--稱(chēng)為素域GF(2n)2025/2/2173第73頁(yè)GaloisFieldsGF(p)GF(p)是{0,1,…,p-1}上關(guān)于模p加法、乘法組成有限域。P為素?cái)?shù)時(shí),其中任意非零數(shù)都有逆元.2025/2/2174第74頁(yè)ExampleGF(7)2025/2/2175第75頁(yè)GF(p)中乘法逆元算法經(jīng)過(guò)擴(kuò)展Euclidean算法得到:EXTENDEDEUCLID(m,b)1.(A1,A2,A3)=(1,0,m); (B1,B2,B3)=(0,1,b)2.ifB3=0 returnA3=gcd(m,b);(bmodm沒(méi)有逆)3.ifB3=1 returnB3=gcd(m,b);B2=b–1modm4.Q=A3divB3(A3除以B3商)5.(T1,T2,T3)=(A1–QB1,A2–QB2,A3–QB3)6.(A1,A2,A3)=(B1,B2,B3)7.(B1,B2,B3)=(T1,T2,T3)8.goto2GF(pn)中乘法求逆類(lèi)似(換成關(guān)于多項(xiàng)式除法)2025/2/2176第76頁(yè)Inverseof550inGF(1759)2025/2/2177第77頁(yè)域上多項(xiàng)式域F上多項(xiàng)式為形如:表示式,其中n∈N,ai∈F,i=1,2,…,n.若an≠0,稱(chēng)n為該多項(xiàng)式次數(shù),記n=deg(f(x)),并稱(chēng)an為首項(xiàng)系數(shù),首項(xiàng)系數(shù)為1多項(xiàng)式稱(chēng)為首1多項(xiàng)式.2025/2/2178第78頁(yè)多項(xiàng)式整環(huán)記F[x]為域上全部多項(xiàng)式f(x)組成集合,則F[x]關(guān)于通常多項(xiàng)式加法+和乘法·形成一個(gè)整環(huán),叫域F上(一元)多項(xiàng)式環(huán)。0為其零元,1為其單位元。在F[x]上類(lèi)似于整數(shù)環(huán),關(guān)于多項(xiàng)式有商式、余式、整除、互素、最高公因式、最低公倍式等概念。2025/2/2179第79頁(yè)多項(xiàng)式帶余除法帶余除法:a(x),b(x)∈F[x],且b(x)≠0,則存在唯一q(x),r(x)∈F[x],使a(x)=q(x)b(x)+r(x),式中deg(r(x))≤deg(b(x)).q(x)稱(chēng)為商式,r(x)稱(chēng)為余式也用a(x)modp(x)

表示a(x)除以p(x)余式.稱(chēng)為a(x)模p(x),p(x)稱(chēng)為模多項(xiàng)式。2025/2/2180第80頁(yè)不可約多項(xiàng)式若存在q(x),b(x),deg(q(x))≥1,deg(b(x))≥1,使a(x)=q(x)b(x),則稱(chēng)a(x)為可約多項(xiàng)式,不然稱(chēng)為不可約(既約)多項(xiàng)式。2025/2/2181第81頁(yè)多項(xiàng)式運(yùn)算僅考慮一元多項(xiàng)式可把多項(xiàng)式運(yùn)算分為三種:使用代數(shù)基本規(guī)則普通多項(xiàng)式運(yùn)算;系數(shù)運(yùn)算是模p運(yùn)算多項(xiàng)式運(yùn)算,即系數(shù)在Zp中;系數(shù)在Zp中,且多項(xiàng)式被定義為模一個(gè)多項(xiàng)式m(x)多項(xiàng)式運(yùn)算。2025/2/2182第82頁(yè)普通多項(xiàng)式運(yùn)算加法、減法為(相同次項(xiàng))對(duì)應(yīng)系數(shù)加減法乘法為逐項(xiàng)相乘。egletf(x)=x3+x2+2andg(x)=x2–x+1f(x)+g(x)=x3+2x2–x+3f(x)–g(x)=x3+x+1f(x)xg(x)=x5+3x2–2x+22025/2/2183第83頁(yè)系數(shù)在Zp中多項(xiàng)式運(yùn)算在普通多項(xiàng)式運(yùn)算中,全部系數(shù)都取modp運(yùn)算。尤其是mod2多項(xiàng)式運(yùn)算ieallcoefficientsare0or1eg.letf(x)=x3+x2andg(x)=x2+x+1f(x)+g(x)=x3+x+1f(x)xg(x)=x5+x22025/2/2184第84頁(yè)模多項(xiàng)式運(yùn)算基于多項(xiàng)式帶余除法:f(x)=q(x)g(x)+r(x)r(x)稱(chēng)為余式(remainder)記r(x)=f(x)modg(x)定義模g(x)多項(xiàng)式加法、乘法。假如沒(méi)有余式,說(shuō)g(x)整除

f(x)假如g(x)僅有它自己和1為其因式,說(shuō)g(x)不可約(或既約)多項(xiàng)式(或素多項(xiàng)式)全部多項(xiàng)式在模不可約多項(xiàng)式加法乘法下組成一個(gè)域。2025/2/2185第85頁(yè)模p(x)剩下類(lèi)環(huán)F[x]中一個(gè)多項(xiàng)式p(x),(p(x))為由p(x)生成F[x]子環(huán),它是一個(gè)理想(主理想).F[x]/(p(x))形成一個(gè)模p(x)剩下類(lèi)環(huán)。它等同于全部n-1次多項(xiàng)式集合上關(guān)于模p(x)加法乘法運(yùn)算組成環(huán)。當(dāng)p(x)為不可約多項(xiàng)式時(shí),其形成一個(gè)域。2025/2/2186第86頁(yè)最大公因式尋找多項(xiàng)式最大公因式c(x)=GCD(a(x),b(x))假如c(x)

是同時(shí)整除a(x),b(x)

次數(shù)最高多項(xiàng)式。(等價(jià)定義)經(jīng)過(guò)擴(kuò)充Euclidean算法來(lái)尋找:EUCLID[a(x),b(x)]1.A(x)←a(x);B(x)←b(x)2.ifB(x)=0returnA(x)=gcd[a(x),b(x)]3.R(x)=A(x)modB(x)4.A(x)←B(x)5.B(x)←R(x)6.goto22025/2/2187第87頁(yè)模多項(xiàng)式運(yùn)算、GF(2n)有限域元素個(gè)數(shù)必為pn,p為素?cái)?shù),n為正整數(shù)。p個(gè)元素上以模p運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)域,Zp。但含有pn個(gè)元素集合上模pn運(yùn)算卻不一定能產(chǎn)生域。怎樣定義適當(dāng)運(yùn)算,使之pn個(gè)元成域?Zpn關(guān)于模pn運(yùn)算是不行。2025/2/2188第88頁(yè)模多項(xiàng)式運(yùn)算、GF(2n)S為域Zp上次數(shù)小于等于n-1全部多項(xiàng)式組成。S中共有pn個(gè)不一樣多項(xiàng)式。定義適當(dāng)運(yùn)算,每個(gè)這么S都是一個(gè)有限域。運(yùn)算定義為:運(yùn)算遵照基本代數(shù)規(guī)則中普通多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則系數(shù)運(yùn)算以p為模,即遵照有限域Zp上運(yùn)算規(guī)則。多項(xiàng)式運(yùn)算遵照模某個(gè)n次既約多項(xiàng)式m(x)運(yùn)算。S即為一個(gè)pn階有限域,在同構(gòu)意義下,即為GF(pn).實(shí)際上,S=Zp[x]/(m(x)).2025/2/2189第89頁(yè)模多項(xiàng)式運(yùn)算、GF(2n)P=2時(shí),即為GF(2n).求其中逆元經(jīng)過(guò)擴(kuò)展Euclidean求逆算法(與前面GF(p)中求逆類(lèi)似,將那里整數(shù)換成Zp上多項(xiàng)式)2025/2/2190第90頁(yè)ExampleGF(23)2025/2/2191第91頁(yè)計(jì)算上考慮GF(2n)中多項(xiàng)式系數(shù)都是0or1,所以任一多項(xiàng)式都能夠由它n個(gè)二進(jìn)制系數(shù)唯一表示。所以GF(2n)中每個(gè)多項(xiàng)式都能夠表示成一個(gè)n位二進(jìn)制整數(shù)。兩個(gè)多項(xiàng)式加法等同于按位異或(XOR)運(yùn)算。乘法經(jīng)過(guò)左移一位后按位異或來(lái)實(shí)現(xiàn)重復(fù)取模運(yùn)算來(lái)簡(jiǎn)約高次多項(xiàng)式(alsoshift&XOR)2025/2/2192第92頁(yè)布爾代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)(B;-,,)(這里

分別稱(chēng)并和交運(yùn)算、-稱(chēng)為求補(bǔ)運(yùn)算)假如滿足以下性質(zhì),稱(chēng)為一個(gè)布爾代數(shù):對(duì)于B中任意元素x,y,z,有:(1)交換律:x

y=y(tǒng)

x,x

y=y(tǒng)

x(2)結(jié)臺(tái)律:x

(y

z)=(x

y)

zx

(y

z)=(x

y)

z(3)等冪律:x

x=x,x

x=x(4)吸收律:x

(x

y)=x,、x

(x

y)=x2025/2/2193第93頁(yè)(5)分配律:x

(y

z)=(x

y)

(x

z)x

(y

z)=(x

y)

(x

z)(6)同一律:x

0=x,x

1=x(7)零一律:x

1=1,x

0=o(8)互補(bǔ)律:x

(-x)=1,x

(-x)=o(9)對(duì)合律:-(-x)=x(10)德·摩根定律:-(x

y)=(-x)(-y)-(x

y)=(-x)(-y)以上這10條性質(zhì)并不都是獨(dú)立。實(shí)際上,全部其它性質(zhì)都可由其中四條:交換律、分配律、同一律和互補(bǔ)律推導(dǎo)出來(lái)。2025/2/2194第94頁(yè)如:集合M冪集2M關(guān)于集合并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算形成一個(gè)布爾代數(shù)。有限布爾代數(shù)基域基數(shù)是2冪。2025/2/2195第95頁(yè)布爾函數(shù)布爾表示式布爾代數(shù)B上由x1,x2,…,xn產(chǎn)生布爾表示式歸納地定義為B元素以及符號(hào)x1,x2,…,xn都是布爾表示式;布爾表示式并、交、補(bǔ)運(yùn)算還是布爾表示式。布爾函數(shù)假如x1,x2,…,xn被解釋為只能在B中取值變量,則一個(gè)由x1,x2,…,xn產(chǎn)生布爾表示式實(shí)際上就是一個(gè)從Bn到B函數(shù)。2025/2/2196第96頁(yè)由x1,x2,…,xn產(chǎn)生布爾表示式有時(shí)也稱(chēng)為B上一個(gè)n元布爾函數(shù)。Bn到B函數(shù)不一定是布爾函數(shù),#B>2時(shí),必定有不是布爾函數(shù)函數(shù)存在。#B=2時(shí),Bn到B函數(shù)都是布爾函數(shù)。多重布爾函數(shù):(f1,f2,…,fm):Bn×Bn×...×Bn到Bm函數(shù)。其中fi是Bn到B布爾函數(shù)。2025/2/2197第97頁(yè)GF(2)上布爾函數(shù)GF(2)只有兩個(gè):0,1。關(guān)于這兩個(gè)量之間邏輯運(yùn)算,GF(2)成為布爾代數(shù)。這時(shí),GF(2)

n到GF(2)一個(gè)映射就稱(chēng)為一個(gè)n元布爾函數(shù)(因?yàn)镚F(2)基數(shù)為2)。對(duì)于GF(2)中元素,有x

y=x·yx

y=x+y+x·y-x=x+1這里+,·分別表示GF(2)中加(異或)、乘(與)運(yùn)算。2025/2/2198第98頁(yè)作為邏輯運(yùn)算函數(shù),布爾函數(shù)是研究數(shù)字邏輯電路主要數(shù)學(xué)工具,也是研究以此為基礎(chǔ)一切科學(xué)技術(shù)主要工具,從而也是研究密碼學(xué)和密碼技術(shù)主要工具。不論在流密碼還是在分組密碼中,不論在私鑰還是在公鑰密碼中,布爾函數(shù)都有主要應(yīng)用。2025/2/2199第99頁(yè)布爾函數(shù)表示為了方便布爾函數(shù)理論和應(yīng)用,人們?cè)诓灰粯忧闆r下對(duì)布爾函數(shù)采取了不一樣表示方法,主要有:真值表表示法小項(xiàng)表示法多項(xiàng)式表示法walsh譜表示法矩陣表示法等2025/2/21100第100頁(yè)布爾函數(shù)研究問(wèn)題布爾函數(shù)表示布爾函數(shù)研究方法布爾函數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)布爾函數(shù)性質(zhì)滿足一定性質(zhì)布爾函數(shù)特征刻劃、存在性、結(jié)構(gòu)與計(jì)數(shù)布爾函數(shù)不一樣性質(zhì)之間等價(jià)、相斥、相容、制約等關(guān)系密碼學(xué)中,布爾函數(shù)一條性質(zhì)反應(yīng)一個(gè)安全性能指標(biāo),當(dāng)不一樣性能指標(biāo)相互制約時(shí),怎樣折衷以提升綜合性能;伴隨技術(shù)發(fā)展和新攻擊方法出現(xiàn),新性質(zhì)提出和研究等等2025/2/21101第101頁(yè)本原根(本原元)由Euler定理有:a?(n)=1modn,GCD(a,n)=1考慮更普通表示形式am=1modn,GCD(a,n)=1則最少有m=?(n)使之成立,但可能有更小m存在一旦冪次到m,a冪便出現(xiàn)周期循環(huán)假如最小m=?(n),則a稱(chēng)為n一個(gè)本原根(primitiveroot)假如n=p為素?cái)?shù),則a連續(xù)冪生成模p剩下類(lèi)群。2025/2/21102第102頁(yè)使am=1modn

成立最小正冪m(這里(a,n)=1)為以下之一amodn階a

所屬模n指數(shù)a

所產(chǎn)生周期長(zhǎng)。Zp中a,假如a階數(shù)?(n),在a就是n一個(gè)本原根。假如a是n本原根,則其冪a,a2,…,a?(n)是(模n)各不相同,且均與n互素。2025/2/21103第103頁(yè)尤其,對(duì)素?cái)?shù)p,若a是p本原根,則a,a2,…,ap-1是(模p)各不相同。a是Zp生成元。如:素?cái)?shù)19本原根為2,3,10,13,14,15.并不是全部整數(shù)都有本原根。實(shí)際上,只有形為2,4,pb,2pb整數(shù)才有本原根,這里p任何奇素?cái)?shù),b正整數(shù)。2025/2/21104第104頁(yè)離散對(duì)數(shù)或指標(biāo)求一個(gè)數(shù)模p離散對(duì)數(shù)(discretelogarithm)是求冪逆問(wèn)題即求x使之滿足ax=bmodp記x=logabmodporx=inda,p(b)--以底a(模p)b指標(biāo)。假如a是一個(gè)本原根,則x總存在,不然不一定。x=log34mod13(x使3x=4mod13)不存在而x=log23mod13=4(經(jīng)過(guò)列出所以?xún)绫阒?025/2/21105第105頁(yè)離散對(duì)數(shù)問(wèn)題模指數(shù)運(yùn)算被認(rèn)為是一個(gè)單向函數(shù),即:對(duì)于給定整數(shù)n,a和x,輕易經(jīng)過(guò)“平方-乘”方法計(jì)算出axmodn;不過(guò),對(duì)于給定整數(shù)n,a和b,由方程ax=bmodn求解整數(shù)x確是一個(gè)難題。有限域Zp上離散對(duì)數(shù)問(wèn)題是:對(duì)于給定素?cái)?shù)p,有限域Zp上一個(gè)本原元a,Zp中非零元b,求解滿足ax=bmodp整數(shù)x(0≤x≤p-2),x=logab(modp)(通常記為x=logab)。2025/2/21106第106頁(yè)離散對(duì)數(shù)計(jì)算當(dāng)前還沒(méi)有能夠計(jì)算離散對(duì)數(shù)問(wèn)題多項(xiàng)式時(shí)間算法。對(duì)于已知攻擊方法,素?cái)?shù)選取應(yīng)該滿足最少兩個(gè)條件:長(zhǎng)度大于150位p-1最少有一個(gè)大素?cái)?shù)因子窮搜索方法能夠?qū)﹄x散對(duì)數(shù)進(jìn)行求解,但對(duì)于足夠大素?cái)?shù)p并不可行,其所需計(jì)算時(shí)間和存放空間均為O(p).2025/2/21107第107頁(yè)離散對(duì)數(shù)計(jì)算有3個(gè)群離散對(duì)數(shù)是密碼設(shè)計(jì)人員最為關(guān)心。這三個(gè)群分別是:素域GF(p)乘法群特征為2有限域GF(2n)上乘法群有限域F上橢圓曲線群EC(F)2025/2/21108第108頁(yè)離散對(duì)數(shù)計(jì)算GF(p)上計(jì)算離散對(duì)數(shù)問(wèn)題算法有很各種。平凡算法:經(jīng)過(guò)預(yù)計(jì)算全部可能ax

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