專題15 全等與相似模型-手拉手模型（解析版）

專題15全等與相似模型-手拉手模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。1）雙等邊三角形型條件：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。圖1圖22）雙等腰直角三角形型條件：如圖2，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。圖3圖44）雙正方形形型條件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。結(jié)論：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。例1．（2022·北京東城·九年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．（1）用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)∠BPC＝120°時，①直接寫出的度數(shù)為；②若M為BC的中點，連接PM，請用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），理由見解析；（2）①60°；②PM＝，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋轉(zhuǎn)可知：從而得到，可證得，即可求解；（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠BAC＝60°，從而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，進(jìn)而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得，即可求解；②延長PM到N，使得NM＝PM，連接BN．可先證得△PCM≌△NBM．從而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．進(jìn)而得到．根據(jù)①可得，可證得，從而得到．再由為等邊三角形，可得．從而得到，即可求解．【詳解】解：（1）．理由如下：在等邊三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)可知：

∴即在和△ACP中∴．∴．（2）①∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∵在等邊三角形ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．∵．∴，∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即；②PM＝．理由如下：如圖，延長PM到N，使得NM＝PM，連接BN．∵M(jìn)為BC的中點，∴BM＝CM．在△PCM和△NBM中∴△PCM≌△NBM（SAS）．∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．∴．∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∴∠PBC＋∠NBM＝60°．即∠NBP＝60°．∵∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即．∴．在△PNB和中∴（SAS）．∴．∵

∴為等邊三角形，∴．∴，∴PM＝．【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握等邊三角形判定和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【答案】(1)證明見解析(2)圖②結(jié)論：，證明見解析(3)圖③結(jié)論：【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=AC，再因為點P與點A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出結(jié)論；（2）在BP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論；（3）在CP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得出，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論：．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵點P與點A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或；(2)解：圖②結(jié)論：證明：在BP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AC=AB，CP=BF，

∴（SAS），∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；(3)解：圖③結(jié)論：，理由：在CP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），

∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北·襄陽市九年級階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點N恰好在AB邊上時，求證：；②當(dāng)點A，M，N在同一條直線上時，若OB=4，ON=3，請直接寫出線段BN的長．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或．【分析】（1）利用SAS定理證明即可；（2）①連接，證明，即可證；②當(dāng)點N在線段上時，連接，在中構(gòu)造勾股定理的等量關(guān)系；當(dāng)點M在線段上時，同理即可求得．（1）證明：，，即．和是等腰直角三角形，，(SAS)．（2）解：①證明：如圖，連接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON=3，∴．當(dāng)點N在線段上時，如圖，連接，設(shè)，由(1)可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴；當(dāng)點M在線段上時，如圖，連接，設(shè)，由(2)①可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴綜上所述：的長為或．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三點共線分類討論，對幾何題目的綜合把握是解題關(guān)鍵．例4．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點．（1）如圖①，當(dāng)點在同一直線上時，點為的中點，求的長；（2）如圖②，將繞點旋轉(zhuǎn)，點分別是的中點，交于，交于．①猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；②參考圖③，若為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是多少（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）；（2）①；證明見解析；②線段的最小值是．【分析】（1）如圖：過點作于點，先說明FQ是△ADE的中位線，然后再求得FQ、BQ，最后再運用勾股定理解答即可；（2）①連接交于，先證明可得，然后再說明GM是△ABD的中位線可得，然后再根據(jù)角的關(guān)系證明﹔②如圖：連接CG，取中點O，連接OK、OM，再根據(jù)勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)求得CG和OK,進(jìn)而求得OM,最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可解答．【詳解】解：（1）過點作于點，∵點是的中點，∴FQ是△ADE的中位線，；（2）①﹔證明:連接交于．，．即；在和中，，（SAS），分別是的中點，∴GM是△ABD的中位線且，，﹔②如圖：連接CG，取中點O，連接OK、OM∴，OK=AG=1∵∠CMG=90°，O為CG的中點∴OM=CG=∵M(jìn)K＞OM-OK∴當(dāng)O、K、M共線時，MK取最小值OM-OK=-1．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．例5．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點是等腰直角三角形內(nèi)一點，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）=；（2）成立，理由見解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△APB≌△AEC，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEC是直角三角形，在簡單計算即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案為：=；（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；（3）如圖，將△APB繞點A旋轉(zhuǎn)90°得△AEC，連接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，也是本題的難點．例6．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1

圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．【解析】(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．例7．（2022·廣東廣州市·八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）連結(jié)AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面積=△CDG的面積【分析】（1）利用SAS證明△ADG≌△CDE；（2）利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長線于N，證明△DPG≌△DNE，得到PG=EN，再利用三角形的面積公式分別表示出△ADE的面積，△CDG的面積，即可得到結(jié)論△ADE的面積=△CDG的面積.【詳解】（1）∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），（2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長線于N，則∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面積=，△CDG的面積=，∴△ADE的面積=△CDG的面積.【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用三角形面積公式求解，根據(jù)圖形得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.例8．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？【答案】(1)BE=CD（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變（3）AE＝CG，證明見解析（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形.如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．圖形見解析.【分析】本題是變式拓展題，圖形由簡單到復(fù)雜，需要從簡單圖形中探討解題方法，并借鑒用到復(fù)雜圖形中；證明三角形全等時，用旋轉(zhuǎn)變換尋找三角形全等的條件．【詳解】（1）線段BE與CD的大小關(guān)系是BE=CD；（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變；（3）AE=CG．證明：如圖4，正方形ABCD與正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形．如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．【點睛】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和多邊形有關(guān)知識．注意對三角形全等的證明方法的發(fā)散．模型2.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。例1．（2022·山西長治·九年級期末）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D，E分別在邊AB，AC上，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：(1)在圖1中，的值為；(2)圖1中△ABC保持不動，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長BD，分別交AC，CE于點F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接BD，CE，延長BD交CE的延長線于點P，BP交AC于點F，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)（1）中結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)∠APE=∠ABC，理由見解析(4)結(jié)論不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAE，由（1）可證明△BAD∽△CAE，從而可證∠APE+∠ABC得到；（3）由（2）可證∠ABD=∠ACE，證明△AFB∽△PFC和△AFP∽△BFC即可得到結(jié)論；（4）證明∠ABD=∠ACE，推出A、B、C、P四點共圓即可得到結(jié)論；（1）解：∵，∴，∴；（2）解：中結(jié)論仍然成立，理由如下：∵旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，在圖2中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴；（3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：由（2）得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AFB=∠PFC，∴△AFB∽△PFC∴，∴，又∵∠AFP=∠BFC，∴△AFP∽△BFC，∴∠CBF=∠PAF，∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，∴∠APE=∠ABC；（4）解：（3）結(jié)論不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下：由（2）知，△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴A、B、C、P四點共圓，∴∠APE+∠ABC=180°．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等，熟練掌握相關(guān)三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·山東濟(jì)南·八年級期末）某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長為3．【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案為：(3)同（2）可得，過點，作，交于點，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，(4)過點作，交于點，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·四川樂山·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）①按要求補全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點關(guān)于直線的對稱點為點∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點例5．（2022·山東煙臺·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．例6.（2023·四川·成都九年級期中）如圖1，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）證明：四邊形CEGF是正方形；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運用：正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點在一條直線上時，延長CG交AD于點H，若AG＝9，GH＝3，求BC的長．【答案】（1）答案見解析；（2）AG＝BE；理由見解析；（3）BC＝．【分析】（1）先說明GE⊥BC、GF⊥CD，再結(jié)合∠BCD=90°可證四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可證明；（2）連接CG，證明△ACG∽△BCE，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先證△AHG∽△CHA可得，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，求出AH＝a，DH＝a，最后代入即可求得a的值．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四邊形CEGF是正方形．（2）結(jié)論：AG＝BE；理由：連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝，∴，∴△ACG∽△BCE，∴∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，點B、E、F三點共線，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC＝CD＝AD＝a，則AC=a，由，得，∴AH＝a，則DH＝AD﹣AH＝a，，∴，得

解得：a＝，即BC＝．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題并利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．課后專項訓(xùn)練1．（2022·浙江·溫州一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結(jié)DF，并過C點作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，依據(jù)勾股定理即可求得DF的長，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到FQ=DP，進(jìn)而證明△FQM≌△DPM，得到M是FD的中點，由此可得DM=DF．【詳解】如圖所示，過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CNCD＝1，F(xiàn)N＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN，Rt△DFN中，DF．∵四邊形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中點，∴DMDF．故選：A【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，靈活運用全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在中，，D是邊上的一個動點，連接，并將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得線段，連接，在點D運動過程中，線段長度的最小值是_________．【答案】【分析】過點作于點，在上取點，使，連接，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時，的長度最小，在中，解直角三角形即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，在上取點，使，連接，，，，是等腰直角三角形，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，在和中，，，，如圖，由垂線段最短可知，當(dāng)時，的長度最小，在中，，即線段長度的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．

【答案】/0.8【分析】首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，進(jìn)而得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵在中，，，，∴∵∴，∴∴∴∵∴∴∴∴．故答案為：．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理．5、（2022·重慶·九年級期末）已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計算出CH的長.6．（2022秋·江西撫州·九年級臨川一中?？计谥校⒗@點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得，如圖①所示，，我們將這種變換記為．

(1)如圖①，對作變換得到，則_________；直線與直線所夾的銳角為_________度；(2)如圖②，中，，對作變換得到，使點B、C、在同一直線上，連接且，求和的值；(3)如圖③，中，，對作變換得到，便點在同一直線上，且，求和的值．【答案】(1)；；(2)，(3)，【分析】（1）根據(jù)變換可得△ABC∽，，，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）先證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）先證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合∠BAC＝36°，可得，從而得到，可證得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)直線BC與直線的交點為H，交BH于O．

根據(jù)題意得：，，，，∴，∵，，∴，直線與直線所夾的銳角為；（2）∵，則，同理：，∴，，，∵共線，∴，而，，∴，∴∵，則，∵四邊形是矩形，∴．∴．在中，，，∴，∴；（3）∵，∴，同理可得：，，∵，∴，而，∴，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴（負(fù)根舍），∴，∴．【點睛】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程、變換的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知正方形，點E為對角線上一動點，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到處，得到，連接．填空：①___________；②的度數(shù)為___________；（2）類比探究：如圖2，在矩形和中，，，連接，請分別求出的值及的度數(shù)；（3）拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，將點E改為直線上一動點，其余條件不變，取線段的中點M，連接，，若，則當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出線段的長．

【答案】（1）①1；②；（2）；；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，通過證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)可得，根據(jù)，得出，即可證明，即可得出結(jié)論；（3）先求出的長度，根據(jù)點M為中點，可得，根據(jù)是直角三角形，可求出，從而得到，最后根據(jù)勾股定理，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到，∴，∵四邊形為正方形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：①1；②．（2）；，理由如下：在矩形中，，∵，則，∴，同理在中，∵，則，∴，∴，∵，∴，即∴，∴，∴，∴，綜上：；．（3）由（2）可得，，∵，∴，∴，∵點M為的中點，，∴，∵為直角三角形，∴，∴，∴，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：．∴或．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用．8．（2023春·山西太原·九年級山西實驗中學(xué)校考期中）【問題情境】如圖1，在中，，點D，E分別是邊的中點，連接．如圖2，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖2，當(dāng)時，_________．【方法遷移】如圖3，矩形中，點E，F(xiàn)分別是的中點．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)角為α，連接．請?zhí)骄烤匦涡D(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出_________．

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：；方法遷移：；拓展延伸：【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由勾股定理求出根據(jù)三角形中位線定理求出再證明可得結(jié)論；方法遷移：由勾股定理求出再證明可得結(jié)論；拓展延伸：先求出再證明可得結(jié)論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，∵分別是的中點，∴是的中位線，∴,由勾股定理得,∴,如圖2，由旋轉(zhuǎn)得∴即又∵∴,∴故答案為方法遷移：理由如下：連接，如圖，

∵，點E，F(xiàn)分別是的中點，∴，在矩形中，在中，由勾股定理得，同理可求得∵，∴，∴，又∵，∴，∴；拓展延伸：連接過點A作于點H，如圖5，∵，點E，F(xiàn)分別是的中點，四邊形分別是平行四邊形，∴∴∴∴∴∴∴同理可得，；如圖6，連接由旋轉(zhuǎn)得，∴又∵∴∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的屬性持，平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠識別圖形，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點，，，．現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點，，在同一直線上時，點為的中點，求的長；(2)如圖②，連接，．點為的中點，連接交于點，求證：；(3)如圖③，點為的中點，以為直角邊構(gòu)造等腰，連接，在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）連接并延長交于，可得，，，再運用勾股定理可得結(jié)論；（2）延長到，使，連接，據(jù)SAS證明得，運用中位線定理證明，再證明，得，故可得結(jié)論；（3）據(jù)點F在AB上時BN的值最小，求出BN的值，運用等腰直角三角形的性質(zhì)求出NG和AB，運用三角形面積公式求解即可．(1)連接并延長交于，，點是的中點，，與都是等腰直角三角形，，，，又，，由已知可得，，，；(2)證明：延長到，使，連接，，．，，又，，．即；又，，，，A分別是，的中點，．，，，，；(3)∵AE=AD=4，∠EAF=90°，∴DE=，∵點F是DE的中點，∴AF=DE=2，∴點F在以A為圓心，2為半徑的⊙A上移動，如圖，當(dāng)點F在AB上時，BF最小，∵是等腰直角三角形，∴BF最小時，BN也最小，∴的最小值為：AB-AF=此時，∵∴∴∵是等腰直角三角形，∴∴的最小值為：【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣東揭陽·九年級?？计谥校┮阎猂t△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)(保持點P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、Q在同一直線時，求AP長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)∠ACB=∠PCQ=90°，可得∠ACP=∠BCQ，再利用SAS，即可求證；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，再由勾股定理，可得，即可求解．【詳解】證明：（1）∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，CP=CQ，∴△△ACP≌△BCQ（SAS）∴AP=BQ；（2）如圖2中，作CH⊥PQ于H，∵CP＝CQ＝2，∴，∵∠PCQ=90°，∴，∴，∵AC=4，∴，∵點A、P、Q在同一直線，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，二次根式的化簡，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點D順逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段DE，連接AE，CE，過點A作AF⊥CE交線段CE的延長線于點F，連接BF．（1）當(dāng)AE＝AB時，求α的度數(shù)；（2）求證：∠AEF＝45°；（3）求證：AE∥FB．【答案】（1）α＝30°；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=DE，由正方形的性質(zhì)可得AB=CE=AD，根據(jù)已知AB=AE，可得出△ADE是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△CDE和△ADE都是等腰三角形，由題可知旋轉(zhuǎn)角是∠EDC，進(jìn)而得出∠ADE、∠AED、∠CED與α之間的關(guān)系，再根據(jù)平角的特點即可求解；（3）方法一：過點B作AF與CF的垂線，可以得到一個平行四邊形，進(jìn)一步可判定是矩形，根據(jù)角度關(guān)系得出∠BCF=∠BAF，判定矩形是正方形，得出∠BFC=45°，結(jié)合（2）可得出結(jié)論；方法二：過點B作BF的垂線交BF于點M，根據(jù)垂直的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可以得出∠ABF=∠CBM，∠BAF=∠BCF，AB=BC，進(jìn)而判定兩個三角形全等，可得出△BFM是等腰直角三角形，求出∠BFE=45°，結(jié)合（2）可得出結(jié)論；方法三：取AC的中點O，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可得出OA=OC=OB=OF，所以A、B、C、F在同一個圓上，∠CBF=∠BAC=45°，結(jié)合（2）即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，由旋轉(zhuǎn)可知，DC＝DE，∵AE＝AB∴AE＝AD＝DE∴△AED是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADC＝90°，∴α＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°．（2）證明：在△CDE中，DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝，在△ADE中，AD＝ED，∠ADE＝90°－α，∴∠DAE＝∠DEA＝∴∠AEC＝∠DEC＋∠DEA＝＝135°．∴∠AEF＝45°，（3）證明：過點B作BG//CF與AF的延長線交于點G，過點B作BH//GF與CF交于點H，則四邊形BGFH是平行四邊形，∵AF⊥CE，∴平行四邊形BGFH是矩形，∵∠AFP＝∠ABC＝90°，∠APF＝∠BPC，∴∠GAB＝BCP，在△ABG和△CBH中∴△ABG≌△CBH(AAS)，∴BG＝BH，∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB＝45°，由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠HFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．方法2：過點B作BM⊥BF交FC于點M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠FBN＋∠ABM＝∠ABM＋∠MBC＝90°，∴∠FBN＝∠MBC，∵AF⊥FC，∴∠AFC＝90°，又∴∠AFP＝∠PBC，∠FPA＝∠BPC∴∠FAB＝BCM,在△ABF和△CBM中，∴△ABF≌△CBM(ASA)，∴BF＝BM,∴△FBM是等腰直角三角形，∴∠MFB＝45°，由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠MFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．方法3：取AC的中點為點O，∵AF⊥FC，∠ABC=90°∴OA＝OB＝OC＝OF·∴點A，B，C，F(xiàn)都在同一個圓上，∴∠BFC＝∠BAC＝45°·由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠MFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線的判定；根據(jù)特殊圖形得出角的度數(shù)；根據(jù)圖形的特點，得出角之間的關(guān)系，三個角相加等于180°，得出結(jié)果；作輔助線求出∠BFC的度數(shù)，結(jié)合第二問的結(jié)果得出證明．12．（2022·河南·方城縣一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（1）所示．則CF的長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（2）所示．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長．思路梳理并填空：當(dāng)點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；當(dāng)點E在點A處時，點F與點C重合．當(dāng)點E在點C處時，CF=CA．∴③點F所經(jīng)過的路徑長為．(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖（3）所示．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長．(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖（4）．當(dāng)點E到達(dá)點B時，點F，G，H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）【答案】(1)1(2)①∠CBE；∠CBE；

②CF；AB；③3(3)點N所經(jīng)過的路徑長為(4)【分析】（1）證明△ABE≌△CBF，則CF=AE=1，問題即解決；（2）讀懂每步推理的依據(jù)，即可完成；（3）取BC的中點H，連結(jié)DH，NH，證明△BDM≌△BHN，則當(dāng)點M在點C處時，NH⊥BC，且NH=CD，此時在直角△ACD

中即可求得CD的長，從而求得結(jié)果；（4）當(dāng)E、B不重合時，取BC的中點M，連結(jié)MH，CH，可證△BFA≌△BHC，可得H、G、C三點共線，可得；當(dāng)點E在C處時，MH⊥BC，所以可確定點H所經(jīng)過的路徑，從而求得路徑長．（1）∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴CF=AE=1故答案為：1（2）當(dāng)點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴CF∥AB當(dāng)點E在點A處時，點F與點C重合．當(dāng)點E在點C處時，CF=CA．∴點F所經(jīng)過的路徑長為3．故答案為：①∠EBC，∠EBC；②CF，AB；③3（3）如圖（3），取BC的中點H，連結(jié)DH，NH，則∵△ABC是等邊三角形，CD⊥AB∴∠ABC=60°，AB=BC，∴BD=BH∴△BDH是等邊三角形∵△BMN是等邊三角形由（2）知△BDM≌△BHN∴∠BHN=∠BDM=90°即NH⊥BC當(dāng)點M在點D處時，點N與點H重合，當(dāng)點M在點C處時，NH⊥BC，且NH=CD在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=3∴CD=3×=所以點N所經(jīng)過的路徑長為.（4）如圖①，當(dāng)點E不與點B重合時，取BC的中點M，連結(jié)MH，CH由四邊形ABCD和四邊形BFGH都是正方形∴AB=BC，BF=BH，∠ABC=∠FBH=∠BHG=90°∴∠ABF=∠CBH∴△BFA≌△BHC∴∠BFA=∠BHC=90°∵∠BHG=90°∴H、G、C三點共線∵M(jìn)H是直角△BCH斜邊上的中線∴當(dāng)點E在C處時，如圖②，MH⊥BC，所以點H所經(jīng)過的路徑長為：以點M為圓心，半徑為，圓心角為90°的弧此時弧長為：故答案為：【點睛】本題是三角形全等的綜合，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計算等知識；關(guān)鍵是正確尋找到點的運動路徑，這是屬于幾何壓軸題．13．（2022·福建福州·九年級?？计谥校┱叫蜛BCD和正方形AEFG的邊長分別為3和1，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，連接BE，DG，則線段BE和DG的關(guān)系為；（2）在圖1中，連接BD，BF，DF，求在旋轉(zhuǎn)過程中BDF的面積最大值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點G，E，D在同一直線上時，求線段BE的長．【答案】（1），；（2）7.5；（3）或【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明即可證得結(jié)論；（2）連接，，，，，設(shè)交于點．利用勾股定理求出，，由推出當(dāng)點F，A，K在同一直線上時，點到的最大距離，由此可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】解：（1），，理由如下：如圖1中，設(shè)交于點，交于點．四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：BE＝DG，BE⊥DG；（2）如圖1中，連接，，，，，設(shè)交于點．四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，當(dāng)點F，A，K在同一直線上時，點到的最大距離，的面積的最大值為；（3）如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．四邊形是正方形，，，，，，，；如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．四邊形是正方形，，，，，，，；綜上所述，滿足條件的的長為或．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．14．（2022·遼寧沈陽·九年級?？计谥校?）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在正方形ABCD同則作正方形CEMN，連接DN，請你判斷圖中是否有與（1）中類似的結(jié)論．若有，直接寫出結(jié)論；若沒有，請說明理由；【答案】（1）見解析；（2）有，ANBC且DN＝BE；（3）不成立，，理由見解析【分析】（1）直接由“手拉手”模型推出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）仿照（1）的過程判斷出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；【詳解】證：（1）∵△ABC和△CEN均為等邊三角形，∴AC=BC，EC=NC，∠ACB=∠NCE=60°，∠B=60°，∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠NCE=∠ACE+∠NCA，∴∠ECB=∠NCA，在△ECB和△NCA中，∴△ECB≌△NCA(SAS)，∴AN=BE，∠NAC=∠B=60°，∵∠ACB=∠NAC=60°，∴AN∥BC，∴AN∥BC且AN＝BE；（2）有，AN∥BC且DN＝BE；理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CEMN均為正方形，∴BC=DC，EC=NC，∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN，∴∠BCE=∠DCN，在△BCE和△DCN中，∴△BCE≌△DCN(SAS)，∴BE=DN，∠CDN=∠B=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠CDN=180°，即：A、D、N三點共線，∵AD∥BC，∴AN∥BC，∴AN∥BC且DN＝BE；【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊平行四邊形的性質(zhì)等，理解基本圖形的性質(zhì)，掌握全等三角形以及基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023·浙江·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點作于點，過點作于點，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度當(dāng)在線段上時，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點D到CP的距離為或【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.（2022·山東·九年級課時練習(xí)）如圖，和是有公共頂點直角三角形，，點P為射線，的交點．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的長度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，（2）在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當(dāng)點E在AB上時，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC∴∴．∴PB=．②當(dāng)點E在BA延長線上時，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長為或．【點睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．17．（2023·廣東·深圳市九年級期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點B對應(yīng)點D．點C落點為點E，連接DE，請你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件直接證明，再證明，從而可得，設(shè)，則,根據(jù)勾股定理求得,求得，即可得證；（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)則,求得,分別求得,根據(jù)，即可求得；（3）根據(jù)（2）的方法，旋轉(zhuǎn)放縮,縮小為原來的，使得的落點為,的落點為，過點作于點,交的延長線于點，作點關(guān)于的對稱點,連接,則,當(dāng)點三點共線時，取等于號，接下來根據(jù)相似的性質(zhì)分別求得各邊的長度，最后根據(jù)勾股定理求得即可求得最小值【詳解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，即設(shè)，則,（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點B對應(yīng)點D．點C落點為點E，，，三點共線，，設(shè)則（3）如圖，設(shè),將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，并縮小為原來的，使得的落點為,的落點為，過點作于點,交的延長線于點，作點關(guān)于的對稱點,連接則，當(dāng)點三點共線時，取等于號由作圖知:，且,，AB＝5,四邊形是矩形在中在中，四邊形是矩形,四邊形是矩形,在中，的最小值為【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)放縮法構(gòu)造相似三角形，線段和最值問題，勾股定理，正確的作出圖形和輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023·綿陽市·九年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H.若CD＝2＋，求BD的長．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長CA，BD相交于點K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長CD交AB，AP分別于點G，H，則