備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4講-事件與概率

第4講事件與概率1．隨機(jī)試驗(yàn)及其特點(diǎn)(1)定義：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示．(2)特點(diǎn)①試驗(yàn)可以在相同條件下eq\x(\s\up1(01))重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是eq\x(\s\up1(02))明確可知的，并且eq\x(\s\up1(03))不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2．樣本空間(1)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的eq\x(\s\up1(04))基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示；(2)eq\x(\s\up1(05))全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．3．隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件(1)事件：將樣本空間Ω的eq\x(\s\up1(06))子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．(2)基本事件：只包含eq\x(\s\up1(07))一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．(3)必然事件：Ω包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(08))總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(4)不可能事件：空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(09))都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不可能事件．4．事件的關(guān)系名稱定義符號(hào)表示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件Beq\x(\s\up1(10))一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并事件(或和事件)一般地，事件A與事件Beq\x(\s\up1(11))至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件Beq\x(\s\up1(12))同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件一般地，如果事件A與事件Beq\x(\s\up1(13))不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝eq\x(\s\up1(14))?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對(duì)立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(15))有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝eq\x(\s\up1(16))Ω，且A∩B＝eq\x(\s\up1(17))?，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立，事件A的對(duì)立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))A∪B＝ΩA∩B＝?5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)eq\x(\s\up1(18))≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為eq\x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq\x(\s\up1(20))1，P(?)＝eq\x(\s\up1(21))0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(22))P(A)＋P(B).性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝eq\x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq\x(\s\up1(24))1－P(B).性質(zhì)5：如果A?B，那么eq\x(\s\up1(25))P(A)≤P(B).性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B).6．頻率的穩(wěn)定性在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的eq\x(\s\up1(27))增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)eq\x(\s\up1(28))縮小，即事件A發(fā)生的頻率?n(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的eq\x(\s\up1(29))概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率?n(A)eq\x(\s\up1(30))估計(jì)概率P(A)．1．從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．下列事件中，是必然事件的是()A．長(zhǎng)度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形B．長(zhǎng)度為4,5,6的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形C．方程x2＋3x＋5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根D．函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在定義域上為增函數(shù)答案A解析A中3,4,5滿足勾股定理，故為必然事件；B中4,5,6不滿足勾股定理，故為不可能事件；C中二次方程判別式小于0，故為不可能事件；D中a>1時(shí)為增函數(shù)，0＜a＜1時(shí)為減函數(shù)，故為隨機(jī)事件．故選A.2．(2021·浙江嘉興期末)從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了四組事件：①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球；②至少有1個(gè)黃球與都是黃球；③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球；④至少有1個(gè)黃球與都是白球．其中互斥而不對(duì)立的事件共有()A．0組 B．1組C．2組 D．3組答案A解析對(duì)于①，至少有1個(gè)白球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是白球；至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，所以這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于②，至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，所以至少有1個(gè)黃球與都是黃球有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于③，恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球是同一個(gè)事件，所以不是互斥事件；對(duì)于④，至少有1個(gè)黃球包括1個(gè)白球1個(gè)黃球，2個(gè)都是黃球，與都是白球不可能同時(shí)發(fā)生，且一次試驗(yàn)中有一個(gè)必發(fā)生，所以是對(duì)立事件．所以這4組事件中互斥而不對(duì)立的事件共有0組．故選A.3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1答案C解析設(shè)“從中任意取出2粒都是黑子”為事件A，“從中任意取出2粒都是白子”為事件B，“從中任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).故選C.4．一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為_(kāi)_______.答案0.96解析設(shè)事件A＝“甲熔絲熔斷”，事件B＝“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.5．(2021·天津?qū)氎鎱^(qū)期末)某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)100次訓(xùn)練成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)12345678910頻數(shù)24569101826128如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，估計(jì)射擊成績(jī)是6環(huán)的概率為_(kāi)_______；不少于9環(huán)的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(1,10)eq\f(1,5)解析由題意得這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，估計(jì)射擊成績(jī)是6環(huán)的概率為eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，不少于9環(huán)的概率為eq\f(12＋8,100)＝eq\f(1,5).6．做試驗(yàn)“從0,1,2這3個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè)數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x，y)，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字”，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為_(kāi)_______.答案Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}解析這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．考向一事件的關(guān)系及運(yùn)算例1(1)(多選)(2021·福建三明期末)從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，有如下隨機(jī)事件：A＝“恰有一個(gè)偶數(shù)”，B＝“恰有一個(gè)奇數(shù)”，C＝“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D＝“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，E＝“至多有一個(gè)奇數(shù)”．下列結(jié)論正確的有()A．A＝BB．B?CC．D∩E＝?D．C∩D＝?，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個(gè)奇數(shù)，指兩個(gè)數(shù)是一奇一偶，或是兩個(gè)奇數(shù)，所以B?C，故B正確；至多有一個(gè)奇數(shù)指一奇一偶，或是兩偶，此時(shí)事件D，E有公共事件，故C錯(cuò)誤；此時(shí)C，D是對(duì)立事件，所以C∩D＝?，C∪D＝Ω，故D正確．故選ABD.(2)從6件正品與3件次品中任取3件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”．解從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種情況：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事件但不是對(duì)立事件．②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種情況，它與“全是次品”既不是互斥事件也不是對(duì)立事件．1．準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但可同時(shí)不發(fā)生．(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生．2．判別互斥、對(duì)立事件的方法判別互斥、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．1.(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．對(duì)立事件一定是互斥事件B．若A，B為兩個(gè)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對(duì)立事件答案BCD解析對(duì)于A，對(duì)立事件是互斥事件中其中一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必然發(fā)生的事件，故A正確；對(duì)于B，只有互斥事件才滿足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若A，B，C三事件兩兩互斥，不一定(A＋B)是C的對(duì)立事件，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)立事件的概率之和為1，但概率之和為1的兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤．故選BCD.2．把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本學(xué)習(xí)書(shū)隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，記事件A＝“甲分得語(yǔ)文書(shū)”，事件B＝“乙分得數(shù)學(xué)書(shū)”，事件C＝“丙分得英語(yǔ)書(shū)”，則下列說(shuō)法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件答案C解析“A，B，C”都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B錯(cuò)誤；“A，B”可能同時(shí)發(fā)生，故“A”與“B”不互斥，C正確；“B”與“C”既不互斥，也不對(duì)立，D錯(cuò)誤．故選C.考向二隨機(jī)事件的概率與頻率例2某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率．解(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)．故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)根據(jù)題意，Y＝460＋eq\f(X－70,10)×5＝eq\f(X,2)＋425，故P(發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí))＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率為eq\f(3,10).1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義可求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．3.(2018·北京高考)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫(xiě)出結(jié)論)解(1)由題意，知樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)沒(méi)有獲得好評(píng)的電影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．故所求概率為eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率．多角度探究突破考向三概率基本性質(zhì)的應(yīng)用角度互斥事件的概率例3某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車(chē)輛進(jìn)行抽樣，樣本車(chē)輛中每輛車(chē)的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車(chē)輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車(chē)的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車(chē)輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，故所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車(chē)輛中，新司機(jī)獲賠4000元”．由已知，樣本車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車(chē)輛中，車(chē)主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車(chē)輛中新司機(jī)車(chē)主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率，得P(C)＝0.24.角度對(duì)立事件的概率例4(2021·揚(yáng)州摸底)某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率(將頻率視為概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”，“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為eq\f(7,10).角度概率的一般加法公式例5某公司三個(gè)分廠的職工情況為：第一分廠有男職工4000人，女職工1600人；第二分廠有男職工3000人，女職工1400人；第三分廠有男職工800人，女職工500人．如果從該公司職工中隨機(jī)抽選1人，求該職工為女職工或?yàn)榈谌謴S職工的概率．解記事件A為“抽取的為女職工”，記事件B為“抽取的為第三分廠的職工”，則A∩B表示“抽取的為第三分廠的女職工”，A∪B表示“抽取的為女職工或第三分廠的職工”，則有P(A)＝eq\f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(35,113)，P(B)＝eq\f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(1300,11300)＝eq\f(13,113)，P(A∩B)＝eq\f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(5,113)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(35,113)＋eq\f(13,113)－eq\f(5,113)＝eq\f(43,113).求復(fù)雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運(yùn)用逆向思維，特別是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡(jiǎn)便．4.某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).5．甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5，兩人都命中的概率為0.4，求甲、乙兩人至少有一人命中的概率．解至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個(gè)事件的并事件．設(shè)事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.一、單項(xiàng)選擇題1．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是()A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依據(jù)互斥和對(duì)立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D既是互斥事件也是對(duì)立事件；只有A是互斥事件但不是對(duì)立事件．故選A.2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，觀察點(diǎn)的位置，則事件“點(diǎn)落在x軸上”包含的樣本點(diǎn)共有()A．7個(gè) B．8個(gè)C．9個(gè) D．10個(gè)答案C解析“點(diǎn)落在x軸上”這一事件記為M，則M＝{(－9，0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1，0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9個(gè)樣本點(diǎn)．故選C.3．(2021·江蘇對(duì)口單招統(tǒng)招)邏輯表達(dá)式等于()A．A∪eq\o(B,\s\up6(－)) B．eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))C.eq\o(A,\s\up6(－))∩B D．A∩eq\o(B,\s\up6(－))答案D解析如圖，eq\o(A,\s\up6(－))∪B類似于(?UA)∪B，則類似于?U((?UA)∪B)＝A∩(?UB)，即＝A∩eq\o(B,\s\up6(－)).故選D.4．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()A．10名 B．18名C．24名 D．32名答案B解析由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨，如果沒(méi)有志愿者幫忙，則超市第二天共會(huì)積壓超過(guò)500＋(1600－1200)＝900份訂單的概率為0.05，因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq\f(900,50)＝18(名)．故選B.5．同時(shí)擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有1枚硬幣正面向上的概率是()A.eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)答案A解析由題意，知本題是一個(gè)等可能事件的概率，同時(shí)擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，共有23＝8種結(jié)果，滿足條件的事件的對(duì)立事件是3枚硬幣都是背面向上，只有1種結(jié)果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故選A.6．從1,2,3，…，30這30個(gè)數(shù)中任意摸出一個(gè)數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是()A.eq\f(7,10) B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(1,10)答案B解析解法一：這30個(gè)數(shù)中“是偶數(shù)”的有15個(gè)，“能被5整除的數(shù)”有6個(gè)，這兩個(gè)事件不互斥，既是偶數(shù)又能被5整除的數(shù)有3個(gè)，所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”包含的樣本點(diǎn)是18個(gè)，而樣本點(diǎn)共有30個(gè)，所以所求的概率為eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).故選B.解法二：設(shè)事件A為“摸出的數(shù)為偶數(shù)”，事件B為“摸出的數(shù)能被5整除”，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，P(A∩B)＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(3,5).故選B.7．已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙勝的概率為eq\f(1,3)，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C．eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件，所以甲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個(gè)互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“乙勝”的對(duì)立事件，所以PA＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).故選C.8．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))答案A解析由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．(2021·重慶一中模擬)概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀察的方法可以得到實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的頻率，進(jìn)而用頻率得到某事件的概率的估計(jì)．利用計(jì)算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的實(shí)驗(yàn)，在重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為20,100,500時(shí)各做5組實(shí)驗(yàn)，得到事件A＝“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”．發(fā)生的頻數(shù)和頻率如表所示：序號(hào)n＝20n＝100n＝500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折線圖表示頻率的波動(dòng)情況如下圖所示：根據(jù)以上信息，下面說(shuō)法正確的有()A．實(shí)驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性B．實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率波動(dòng)較大；實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率波動(dòng)較小，所以實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越少越好C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值(即隨機(jī)事件發(fā)生的概率)附近D．我們要得到某事件發(fā)生的概率時(shí)，只需要做一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)得到事件發(fā)生的頻率即為概率答案AC解析實(shí)驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，A正確；實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率波動(dòng)較大；實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率波動(dòng)較小，所以實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多越好，B錯(cuò)誤；隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值(即隨機(jī)事件發(fā)生的概率)附近，C正確，D錯(cuò)誤．故選AC.10．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中的命中環(huán)數(shù)情況如下表：射擊次數(shù)命中7環(huán)及以上命中7環(huán)以下1005542記該射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，命中7環(huán)及以上為事件A，命中7環(huán)以下為事件B，脫靶為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法得到的下述結(jié)論中，正確的是()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39答案ABC解析P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，故A正確；P(B)＝eq\f(42,100)＝0.42，故B正確；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正確；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D錯(cuò)誤．故選ABC.11．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)，設(shè)事件M表示“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件N表示“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則()A．M與N互斥 B．M與N不對(duì)立C．M與N相互獨(dú)立 D．P(M∪N)＝eq\f(3,4)答案BCD解析事件M發(fā)生與否與事件N無(wú)關(guān)，事件N發(fā)生與否與事件M無(wú)關(guān)，∴M與N相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤，B，C正確；P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(M∩N)＝eq\f(3,6)＋eq\f(3,6)－eq\f(3,6)×eq\f(3,6)＝eq\f(3,4)，故D正確．故選BCD.12．小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間(分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時(shí)間(分鐘)30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說(shuō)法正確的是()A．任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事件B．從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間C．如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D．若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04答案BD解析“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分鐘，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間，B正確；線路一所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，C錯(cuò)誤；所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為(50,60)，(60,50)和(60,60)三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正確．故選BD.三、填空題13．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)如果B?A，則P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝________，P(AB)＝________.答案(1)0.40.2(2)0.60解析(1)因?yàn)锽?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(?)＝0.14．某城市2021年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良，100<T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2021年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(3,5)解析由題意可知，2021年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).15．某種心臟病手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)準(zhǔn)備進(jìn)行3例此種手術(shù)，利用計(jì)算機(jī)取整數(shù)值隨機(jī)數(shù)模擬，用0,1,2,3代表手術(shù)不成功，用4,5,6,7,8,9代表手術(shù)成功，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,

725，則恰好成功1例的概率為_(kāi)_______.答案0.4解析設(shè)“恰好成功1例”為事件A，其所包含的樣本點(diǎn)為191,270,832,912,134,370,027,703，共8個(gè)．則恰好成功1例的概率為P(A)＝eq\f(8,20)＝0.4.16．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個(gè)綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為_(kāi)_______；至少取得一個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，取得兩個(gè)同顏色的球，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同顏色的球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).四、解答題17．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率是0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率是0.3，設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立．(1)求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中一種的概率；(2)求該地1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率．解記事件A表示“該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”；事件B表示“該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”；事件C表示“該車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種”；事件D表示“該車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)”．(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因?yàn)镈與C是對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.18．(2020·全國(guó)Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件．廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？解(1)估計(jì)甲分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為eq\f(40,100)＝0.4，乙分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為eq\f(28,100)＝0.28.(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1500元，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為15元/件．乙分廠加工