排列組合高三復(fù)習(xí)原卷版

計(jì)數(shù)原理一．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識點(diǎn)梳理】1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法.3．兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計(jì)數(shù)原理．考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理【典型例題】完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．45種【解題思路】【解題思路】分類計(jì)數(shù)原理解題思路1.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)．2.分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．3.分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏【過關(guān)檢測】將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理【典型例題】【例2】1.學(xué)校組織社團(tuán)活動，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2.某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．1716【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】(1)利用分步計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．【過關(guān)檢測】1．如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（）A．280 B．180 C．96 D．602．7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是（）A． B． C． D．3．從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．10個 B．12個 C．16個 D．20個考點(diǎn)三兩個計(jì)數(shù)原理綜合運(yùn)用【典型例題】某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用星期六組織學(xué)生到某廠進(jìn)行社會實(shí)踐活動．選2個班參加社會實(shí)踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】兩種計(jì)數(shù)原理選擇思路①分清要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；③有無特殊條件的限制；④檢驗(yàn)是否有重復(fù)或遺漏．【過關(guān)檢測】1．如圖，圓形花壇分為部分，現(xiàn)在這部分種植花卉，要求每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種（用數(shù)字作答）2．假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報情況如下圖所示.該市有甲、乙、丙三人計(jì)劃在未來六天（4月24日～4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數(shù)為________.鞏固練習(xí)1.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（

）A．81種 B．64種 C．36種 D．48種2.春節(jié)期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種3.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．304．（多選）設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法

二．排列及排列數(shù)【知識點(diǎn)梳理】一、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．二、排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時，；規(guī)定．三、排列數(shù)的性質(zhì)①；②；③．四、解排列應(yīng)用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．1.解決相鄰問題，捆綁策略：相鄰問題的模型為將個不同元素排成一排，其中個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數(shù)．方法是：先將這個元素“捆綁在一起”，視為一個整體，當(dāng)作一個元素同其它元素一起進(jìn)行排列，共有種排法；然后再將“捆綁“在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．2．解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰()，求不同排法種數(shù)的方法是：先將()個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．3．定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．4．?dāng)?shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．（2）常用方法：直接法，間接法．（3）注意事項(xiàng)：解決數(shù)字問題時，應(yīng)注意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理．5.對于某些元素順序確定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列．（1）個人的排列中有個人的順序一定，則所求排列數(shù)就是總的無限制條件的排列數(shù)除以．對于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法．解題方法是：先將個元素進(jìn)行全排列有種，（）個元素的全排列有種，由于要求個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若個元素排成一列，其中個元素次序一定，則有種排列方法．（2）對于給定元素順序確定，再插入其它元素進(jìn)行排列：順序確定的元素為個，新插入的元素為個，則排列數(shù)為：．考點(diǎn)一排列的概念【例1】（1）下列問題是排列問題的是()A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個點(diǎn)最多可確定多少條直線？D．從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？（2）從3個不同的數(shù)字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④相除；⑤一個為被開方數(shù)，一個為根指數(shù)．則上述問題為排列問題的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5【過關(guān)檢測】判斷下列問題是否為排列問題．(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，有多少種方法？若這3個數(shù)字組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，又有多少種方法？考點(diǎn)二排列數(shù)【例2】（1）若，則（）A．5 B．6 C．7 D．8（2）若，則m的值為()A．5 B．3 C．6 D．7【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】要注意中隱含了3個條件：①，；②；③的運(yùn)算結(jié)果為正整數(shù)2.形，（即），的應(yīng)用．【過關(guān)檢測】1．對于滿足的正整數(shù)n，（）A． B． C． D．2．已知，則（）A．5 B．7 C．10 D．143．給出下列四個關(guān)系式：①②③④其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點(diǎn)三排隊(duì)問題【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【過關(guān)檢測】1．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則不同站法的種數(shù)有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．60種2．參加完某項(xiàng)活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同排法的種數(shù)為（）A．360 B．720 C．2160 D．43203．某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）A．240 B．360 C．480 D．7204．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.85.將4個6和2個8隨機(jī)排成一行，則2個8不相鄰的情況有（

）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種6．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20考點(diǎn)四數(shù)字問題【例4】現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？【過關(guān)檢測】1．由0，1，2，3，4，5共6個不同數(shù)字組成的6位數(shù)，要求0不能在個位數(shù)，奇數(shù)恰好有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數(shù)的個數(shù)是（）A．144 B．216 C．288 D．4322．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A．144個 B．120個 C．96個 D．72個3．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（1）可組成多少個不同的四位數(shù)？（2）可組成多少個不同的四位偶數(shù)？鞏固練習(xí)1．“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進(jìn)入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對這五個節(jié)目的出場順序進(jìn)行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（

）種不同的出場順序.A．72 B．78 C．96 D．1202．有3名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．108種3．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相鄰，且均不與“雪容融”丙相鄰的不同的排列方法總數(shù)為（

）A．480 B．960 C．1080 D．1440【答案】B4．某學(xué)校安排了4場線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場，講座B和C必須相鄰，則不同的安排方法共有（

）種A．4 B．6 C．8 D．125．紅海行動是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．某班級周三上午共有5節(jié)課，只能安排語文、數(shù)學(xué)、英語、體育和物理.數(shù)學(xué)必須安排，且連續(xù)上兩節(jié)，但不能同時安排在第二三節(jié)，除數(shù)學(xué)外的其他學(xué)科最多只能安排一節(jié)，體育不能安排在第一節(jié)，則不同的排課方式共有（

）A．48種 B．60種 C．72種 D．96種7．現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（多選題）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法．C．若A在B左邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有24種方法三、填空題9．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數(shù)是．10．五名同學(xué)站成一排合影，若站在兩端，和相鄰，則不同的站隊(duì)方式共有種.（用數(shù)字作答）

三．組合及組合數(shù)【知識點(diǎn)梳理】（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例．注釋：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．（4）組合應(yīng)用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．考法一組合的概念【例1】給出下列問題：①有10個車站，共需要準(zhǔn)備多少種車票？②有10個車站，共有多少中不同的票價？③平面內(nèi)有10個點(diǎn)，共可作出多少條不同的有向線段？④有10個同學(xué)，假期約定每兩人通一次，共需通話多少次？⑤從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_________(填寫問題序號).【過關(guān)檢測】以下四個問題中，屬于組合問題的是（）A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B．老師在排座次時將甲?乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲?乙兩地考法二組合數(shù)【例2】（1）（）A． B． C． D．（2）滿足條件的自然數(shù)有（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【過關(guān)檢測】1．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．722．（多選）下列等式正確的是（）A． B．C． D．考法三組合的應(yīng)用【例3】男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男、女隊(duì)長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動員；(3)隊(duì)長中至少有1人參加；(4)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員．【過關(guān)檢測】1．一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？2．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．84 B．172 C．160 D．2304．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種5．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．鞏固練習(xí)1．將4個6和2個8隨機(jī)排成一行，則2個8不相鄰的情況有（

）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種2．（2024·全國·模擬預(yù)測）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（

）A． B． C． D．3.如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種4．（多選·重慶沙坪壩·期中）小明與小兵兩位同學(xué)計(jì)劃去科技博物館參加活動．小明在如圖的街道E處，小兵在如圖的街道F處，科技博物館位于如圖的G處，則下列說法正確的是（

）

A．小明到科技博物館選擇的最短路徑條數(shù)為126條B．小兵到科技博物館選擇的最短路徑條數(shù)為4條C．小明到科技博物館在選擇的最短路徑中，與到F處和小兵會合一起到科技博物館的概率為D．小明與小兵到科技博物館在選擇的最短路徑中，兩人約定在科技博物館門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：從F到科技博物館兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則四．排列組合的綜合運(yùn)用常見題型及解法如下：1.特殊位置特殊元素：優(yōu)先策略.對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其他元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法．特殊元素（位置）優(yōu)先排列法主要適用于排列中元素“在”與“不在”的定位問題．（1）直接法①元素優(yōu)先法：以元素為主，優(yōu)先考慮有限制條件的特殊元素，再考慮其他元素；②位置優(yōu)先法：以位置為主，優(yōu)先安排有限制條件的特殊位置，再安排其他位置．注意：若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件；無論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置．（2）間接法若題目太復(fù)雜，解題時分類太多，用“直接法”麻煩，往往采用“間接法”，即先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．2.相鄰元素：捆綁法.相鄰問題的模型為將個不同元素排成一排，其中個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數(shù)．3.不相鄰元素：插空法.即將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰()，求不同排法種數(shù)的方法是：先將()個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．4.定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5.分組分配問題：（1）整體均勻分組在解決整體均分型題目時，要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．（2）部分均勻分組解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以，一個分組中有幾個這樣的均勻分組就要除以這樣的全排列數(shù)．（3）不均勻分組解答本類題，只需先分組，后排列，注意分組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．同元問題：隔板法.把個相同的小球放到個不同盒子中，不同放法的種數(shù)的求解方法是：（1）若每個盒子至少放一球，則只需在個小球的個間隙中放置塊隔板把它隔成份即可，共有種不同放法；此類型問題等效于“將個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題”：可把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．（2）若允許某些盒子不放球，則相當(dāng)于在個位置中選放塊隔板，把個小球分隔成份，共有種不同放法．注意：1．解簡單的組合應(yīng)用題時，要先判斷它是不是組合問題，若取出的元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；若取出的元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時還應(yīng)注意兩個計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時，注意有無重復(fù)或遺漏．2．解有限制條件的組合問題與解有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法．3．要正確理解題中的關(guān)鍵詞（如“都”與“不都”，“至少”與“至多”，“含”與“不含”等）的確切含義，正確分類，合理分步．考法一全排列【例1】將5本不同的數(shù)學(xué)用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【過關(guān)檢測】3本不同的課外讀物分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有（）A．3種 B．6種 C．12種 D．5種考法二相鄰問題（捆綁法）【例2】某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他們排成一排照相，則甲?乙二人相鄰的排法種數(shù)為（）A．24 B．36 C．48 D．60【過關(guān)檢測】1．在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）A．8種 B．12種 C．20種 D．24種2．6月，也稱畢業(yè)月，高三的同學(xué)們都要與相處了三年的同窗進(jìn)行合影留念.現(xiàn)有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.A．24 B．120 C．240 D．1403.把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數(shù)為（）A． B． C． D．考法三不相鄰問題（插空法）【例3】1.省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個檢查項(xiàng)目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)校現(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.A．12 B．24 C．36 D．482．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【過關(guān)檢測】1．3位老師和4名學(xué)生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A． B．C． D．2．若5個人排成一列縱隊(duì)，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）A．12種 B．14種 C．5種 D．4種3．五名學(xué)生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）A． B． C． D．4．現(xiàn)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺設(shè)有“閱讀文章”、“視聽學(xué)習(xí)”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144考法四分組分配（先分組再分配）【例4】1.某社區(qū)安排5名志愿者到3個不同的小區(qū)宣傳，每名志愿者只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種2.6名研究人員在3個無菌研究艙同時進(jìn)行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種3.某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【過關(guān)檢測】1．有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點(diǎn)至少下一個人，則不同的下車方案有（）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種2．特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農(nóng)村小學(xué)招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數(shù)學(xué)教師4名.按每所學(xué)校1名體育教師，2名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分配，則不同的分配方案有（）A．24 B．14 C．12 D．83．江西省旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會于2020年6月11日～13日在贛州舉行，某旅游公司為推出新的旅游項(xiàng)目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點(diǎn)進(jìn)行團(tuán)隊(duì)游的可行性調(diào)研.若每名工作人員只去一個景點(diǎn)且每個景點(diǎn)至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數(shù)為（）A．60 B．90 C．150 D．2404．公元2020年年初，肆虐著中國武漢，為了抗擊，中國上下眾志成城，紛紛馳援武漢.達(dá)州市決定派出6個醫(yī)療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區(qū)，每個地區(qū)分配2個醫(yī)療小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．30 B．60 C．90 D．1805．據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級，若給獲得巨大貢獻(xiàn)的7人進(jìn)行封爵，要求每個等級至少有一人，至多有兩人，則伯爵恰有兩人的概率為（）A． B． C． D．6.某校為加強(qiáng)校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個校門加強(qiáng)值班，每個校門隨機(jī)安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為（

）A． B． C． D．7．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考向五同元問題【例5】1.現(xiàn)有6個評優(yōu)名額要分配給3個班級，要求每班至少一個名額，則分配方案有（

）A．8種 B．10種 C．18種 D．27種2.方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.【過關(guān)檢測】1．三元一次方程x+y+z=13的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)有_____.2．（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？鞏固練習(xí)1．中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國際形象，增進(jìn)了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往，，等3個受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個受災(zāi)點(diǎn)，且每個受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去，兩個受災(zāi)點(diǎn)中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．100 D．1202．哈三中招聘了8名教師，平均分配給南崗群力兩個校區(qū)，其中2名語文教師不能分配在同一個校區(qū)，另外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個校區(qū)，則不同的分配方案共有（

）A．18種 B．24種