導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義教學(xué)設(shè)計-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義人民教育出版社A版，高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊一、課型、課時安排新授課，共1課時。二、教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章第一節(jié)第二課時，《導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義》是在學(xué)習(xí)了函數(shù)平均變化率以后，過渡到瞬時變化率，從而得出導(dǎo)數(shù)的概念，再從平均變化率的幾何意義，遷移至瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)的幾何意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)具有相當(dāng)重要的地位和作用。從橫向看，導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行高中教材體系中處于一種特殊的地位。它是眾多知識的交匯點(diǎn)，是解決函數(shù)、不等式、數(shù)列、幾何等多章節(jié)相關(guān)問題的重要工具，它以更高的觀點(diǎn)和更簡捷的方法對中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題起到以簡馭繁的處理。從縱向看，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)一章學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，也是對極限知識的發(fā)展，同時為后繼研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用打下必備的基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用。三、學(xué)情分析【已有知識基礎(chǔ)】導(dǎo)數(shù)是對變化率的一種“度量”。實際生活中，學(xué)生最為熟悉的一種變化率就是物體的運(yùn)動速度。學(xué)生在前面學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的物理意義，掌握了變化率，在高一年級的物理課程中學(xué)習(xí)過瞬時速度，因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，他們不會對新知識感到無所適從?！居写嵘浚?）“逼近”的思想對于學(xué)生而言，還是比較陌生，需要精心設(shè)計教學(xué)活動，比如借助物理知識等，激發(fā)學(xué)生的興趣，從學(xué)生已有的知識背景出發(fā)，幫助學(xué)生經(jīng)歷從平均速度到瞬時速度，從平均變化率到瞬時變化率的過渡。（2）使學(xué)生能通過觀察發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動的物體在某一時刻的平均速度在時間間隔越來越小時，逐漸趨于一個不變的常數(shù)，而且這個常數(shù)就是物體在這一時刻的瞬時速度。這個過程學(xué)生難以想象，同時數(shù)值逼近的運(yùn)算繁瑣，但又不能采取簡單的方式告知學(xué)生，而是要學(xué)生通過實際的計算，在計算過程中，充分感知當(dāng)趨于0時，趨于一個定值；當(dāng)趨于0時，趨于一個定值。（3）在實際教學(xué)中，學(xué)生需要用到思想方法和表達(dá)形式的遷移，即把從平均速度到瞬時速度過渡中所運(yùn)用的“逼近”的思想方法遷移到從平均變化率到瞬時變化率的過渡，從對一個具體函數(shù)在一個確定點(diǎn)的瞬時變化率的表達(dá)式遷移到任意一個函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時變化率的表達(dá)，這樣的探究方法可能會導(dǎo)致學(xué)生的不適應(yīng)而產(chǎn)生困難。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活中具體的實例，結(jié)合已有的知識經(jīng)驗，通過“逼近”的方法，由特殊到一般，用類比的方法歸納探究出導(dǎo)數(shù)的概念是本節(jié)課的難點(diǎn)。而在第一課時平均變化率的學(xué)習(xí)中，課本給出了一個思考，觀察函數(shù)的圖像，平均變化表示什么？這個思考為研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義埋下了伏筆。因此，在將瞬時變化率定義為導(dǎo)數(shù)之后，立即讓學(xué)生繼續(xù)探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，學(xué)生會對導(dǎo)數(shù)的幾何意義有更為深刻的認(rèn)識。四、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析1.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,體會導(dǎo)數(shù)的概念的實際背景。2.了解導(dǎo)函數(shù)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,體會“數(shù)形結(jié)合、以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。滲透“逼近”思想,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探究新知識的精神。五、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何解釋及切線概念的形成。六、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1.通過動手計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。2.通過問題的探究不斷滲透逼近和以直代曲的數(shù)學(xué)思想，以及用已知探求未知、從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。七、教學(xué)問題診斷分析考慮到教材對于本節(jié)的安排過于支離，而且缺乏典型的實際情境問題的分析引入，因此我整合教材內(nèi)容，從實際問題中抽象出導(dǎo)數(shù)概念后，再回到實際問題中去，趁熱打鐵進(jìn)一步研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。因此，本節(jié)課主要內(nèi)容是抽象概括導(dǎo)數(shù)的一般概念以及發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教學(xué)設(shè)計上是緊緊圍繞一個問題：跳水運(yùn)動員的瞬時速度問題，以提出問題，形成問題串，然后合作、交流、分析問題，進(jìn)而解決問題的方式展開教學(xué)。采用“教師適時引導(dǎo)和學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)相結(jié)合”的教學(xué)方式．課堂教學(xué)始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，探究為主線，思維為核心”的教學(xué)思想。將學(xué)生分組，讓學(xué)生更好的進(jìn)行合作探究活動，通過同屏提取分組學(xué)生的計算結(jié)果，讓學(xué)生感受逼近的思想方法。簡單介紹微積分的發(fā)展史，介紹牛頓和萊布尼茲的貢獻(xiàn)，提高學(xué)生對學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣欲望，以已知探求未知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；提前通過導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生自主計算跳水運(yùn)動員任意時刻的平均速度，課堂上分組匯報各組數(shù)據(jù)，教師利用EXCEL快速計算更多的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生直觀感受數(shù)值逼近的思想，求出瞬時速度，從而得到導(dǎo)數(shù)的定義，注重抽象概念不同意義間的轉(zhuǎn)換，再用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，讓學(xué)生探索出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。八、教法學(xué)法探究式教學(xué)與啟發(fā)性教學(xué)相結(jié)合問題誘導(dǎo)、啟發(fā)探究觀察分析，思考探究教師主導(dǎo)學(xué)生主體教學(xué)時本節(jié)課按照創(chuàng)設(shè)的情境，通過教學(xué)設(shè)計過程層層遞進(jìn)，并注重代數(shù)和幾何的解釋，以探究式教學(xué)與啟發(fā)性教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、思考探究。并充分利用現(xiàn)代化信息技術(shù)、幾何畫板等教具作為教學(xué)輔助手段，提高課堂時效性。九、教學(xué)過程設(shè)計（一）設(shè)置問題情境【教師活動】295年前，中國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用割圓術(shù)計算出圓周率為3。1416，他們已經(jīng)具備了微積分的思想，離研究出微積分只有一步之遙！介紹微積分的發(fā)展史。物理學(xué)家牛頓是從運(yùn)動學(xué)，即瞬時速度的方向去研究的，而萊布尼茨則是在幾何學(xué)的角度去研究的。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合！數(shù)形結(jié)合自古就不分家！今天我們就先從“數(shù)”的方向大致沿著牛頓的路線研究導(dǎo)數(shù)，然后再從“形”的方向沿著萊布尼茲的路線研究導(dǎo)數(shù)。下面我們來看這樣一個物理問題：【學(xué)生活動】根據(jù)老師提出的問題思考并回答，老師點(diǎn)評并補(bǔ)充?！驹O(shè)計意圖】通過簡單介紹微積分的發(fā)展史及牛頓的成就激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣。（二）問題情境，數(shù)學(xué)探究【教師活動】在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h（t）=4.9t2問題1：你能夠設(shè)計一個方案，求運(yùn)動員的在某時刻的瞬時速度嗎？如果我們想求高臺跳水運(yùn)動員在時的瞬時速度，可以先考察附近的情況。問題2：那么t在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]……內(nèi)的平均速度分別是多少？請各小組匯報你們的計算結(jié)果，用同屏學(xué)生的實驗結(jié)果。我們先看運(yùn)動員在內(nèi)的平均速度。請完成表格：問題3：大家發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)？再看運(yùn)動員在內(nèi)在的平均速度。請完成表格：問題4：大家發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)？這種現(xiàn)象我們還可以通過電子表格來觀察到問題5：要使得到的瞬時速度更精確，時間的間隔就要很小，那繁瑣的計算，能否引進(jìn)一個量，使其得到簡化？以上三個式子可以統(tǒng)一寫成問題6：當(dāng)Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值13.1?？偨Y(jié)：這個確定的值即瞬時速度，為了更明確的表述趨近的過程,可用極限的思想來表示,即【設(shè)計意圖】注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，將復(fù)雜計算引入變量可以化成簡單統(tǒng)一。利用極限思想，將函數(shù)表達(dá)式抽象化?！窘處熁顒印课覀冇眠@個方法得到了高臺跳水運(yùn)動員在附近，平均速度逼近一個確定的常數(shù)。那其他時刻呢？比如等？利用excel表格直觀展示數(shù)據(jù)，現(xiàn)場操作。問題7：經(jīng)過以上2個時刻的計算，大家有什么發(fā)現(xiàn)？【學(xué)生活動】經(jīng)過以上三個時刻的計算，大家都發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時間間隔很小，也就是當(dāng)兩個時間的端點(diǎn)無限靠近時，平均速度逼近了瞬間速度?！驹O(shè)計意圖】通過合作計算，讓學(xué)生更深刻的感受到數(shù)值的逼近。（三）模型建構(gòu)【教師活動】問題8：如果將以上問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率該如何表示呢？【學(xué)生活動】學(xué)生寫出在處的瞬時變化率可表示總結(jié)：我們就把這個瞬時變化率稱為導(dǎo)數(shù)。（引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況向一般問題進(jìn)行研究）導(dǎo)數(shù)的的定義：函數(shù)在處的瞬時變化率稱為在處的導(dǎo)數(shù),記作：或，即.【設(shè)計意圖】由平均速度到瞬時速度，再由平均變化率到瞬時變化率，符合學(xué)生的認(rèn)知過程。同時注重對抽象表達(dá)式的理解。（四）模型解釋（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）【教師活動】前面我們以物理為背景，從“數(shù)”的角度研究了導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在我們想從“形”途徑來解讀導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)數(shù)的幾何意義。解釋幾何構(gòu)造：如圖，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨近于點(diǎn)時，割線的變化趨勢是什么？利用多媒體進(jìn)行動態(tài)操作，探索時的無限逼近值的幾何意義。問題9：幾何直觀上我們發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)的割線在點(diǎn)處的切線，請問用代數(shù)刻畫？【學(xué)生活動】切線的定義：設(shè)曲線C是函數(shù)的圖像，在曲線C上取一點(diǎn)及臨近一點(diǎn)，作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限逼近點(diǎn)P時，如果割線有一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。導(dǎo)數(shù)幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)處切線的斜率?！窘處熁顒印繂栴}10：前面我們是怎樣定義圓的切線的？【學(xué)生活動】如果直線和圓有唯一公共點(diǎn)，則這條直線叫做圓的切線；若有兩個交點(diǎn)，則這條直線叫做圓的割線。判斷：是否為曲線在點(diǎn)處的切線?是否為曲線在點(diǎn)處的切線?【教師活動】繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？【學(xué)生活動】發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)P處的切線PT比任何一條割線更貼近點(diǎn)P附近的曲線，在點(diǎn)P附近的曲線越來越接近直線.因此在點(diǎn)附近，曲線可以用在點(diǎn)處的切線近似代替。我們把這種思想稱為“以直代曲”的思想。在這里“以直代曲”的作用是：若要分析曲線在附近的變化情況，只有作出在處切線，分析該切線，得出，即知道，從而知道曲線在該點(diǎn)處升降變化情況.（五）鞏固練習(xí)【教師活動】趁熱打鐵——應(yīng)用所學(xué)知識解決生活中實際問題。讓學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上對新知識進(jìn)行的伸展，從而更加深入地理解新知識。在多媒體上展示相關(guān)例題，讓學(xué)生獨(dú)立思考完成，并請同學(xué)上黑板進(jìn)行板演?！驹O(shè)計意圖】通過簡單易懂、貼近生活的問題，增強(qiáng)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對生活的關(guān)注，加深學(xué)生對新知識的理解。知識拓展可以拓寬學(xué)生的視野，更重要的是調(diào)動學(xué)生探究鉆研的興趣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力。（六）擴(kuò)展探究【教師活動】展示導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的拓展問題：【學(xué)生活動】通過老師指導(dǎo)，學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中更加深入的理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。（七）課堂小結(jié)【教師活動】本節(jié)課我們從不同的角度解讀了導(dǎo)數(shù)，通過類比方法，學(xué)習(xí)了切線的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會了逼近的思想和以直代曲的思想，同時，數(shù)形結(jié)合的思想貫穿始終?！緦W(xué)生活動】回顧知識的形成過程并總結(jié)歸納，再根據(jù)老師提問，學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲?！驹O(shè)計意圖】突出強(qiáng)調(diào)和梳理知識，使學(xué)生更加深刻的理解本節(jié)課的相關(guān)知識。并通過知識圖譜的形式完成知識小結(jié)。直觀清晰，有利于學(xué)生知識的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力。（八）布置作業(yè)1、基礎(chǔ)作業(yè)2、拓展作業(yè)（九）板書設(shè)計為了更加直觀呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。十、