第04講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題知識(shí)+真題+3類高頻考點(diǎn) 精講（原卷版）

第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：分離變量法 2高頻考點(diǎn)二：分類討論法 5高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法 7第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2023·全國·甲卷文）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：分離變量法典型例題例題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．例題2．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，不等式．若對(duì)，不等式恒成立，則的取值范圍是.例題3．（23-24高二下·山東青島·開學(xué)考試）已知函數(shù)，(1)若，求函數(shù)在處的切線方程：(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題4．（23-24高三下·湖北荊州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題5．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川成都·一模）若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C．1 D．2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在處的切線與直線平行．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒有成立，求k的取值范圍．3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．4．（2024高二下·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)在上的最值；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)記為的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)，都有，求的取值范圍．高頻考點(diǎn)二：分類討論法典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若的零點(diǎn)也是其極值點(diǎn)，求；(2)若對(duì)所有成立，求的取值范圍．例題2．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若在區(qū)間上恒成立，求a的最小值．例題3．（23-24高三上·上海徐匯·期中）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求在的最值；(3)若函數(shù)在上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)時(shí)，與總是前者小于后者，求a的范圍．2．（21-22高三上·河南·期末）已知函數(shù)．(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（23-24高三上·河南焦作·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若的最大值是0，求m的值；(2)若對(duì)于定義域內(nèi)任意x，恒成立，求m的取值范圍.例題2．（2024·廣西南寧·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．例題3．（23-24高三上·山東棗莊·期中）已知函數(shù)，．(1)若的最大值是0，求的值；(2)若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·江蘇南通·期末）設(shè)，函數(shù)，．(1)若，求的最小值與的最大值；(2)若在上恒成立，求．2．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開