1.7~1.8 線段的垂直平分線-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）（解析版）

課前預(yù)習(xí)記錄：月日星期10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）1.7—1.8線段的垂直平分線知識(shí)要點(diǎn):1．線段垂直平分線的定義：____________一條線段且__________這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.【答案】垂直平分2．性質(zhì)1：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離_________.【答案】相等3．性質(zhì)2：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的_____________上.【答案】垂直平分線課堂練習(xí)一、選擇題1．如圖，已知直線PC是線段AB的垂直平分線，∠APC＝50°，則∠B＝（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可．【詳解】解：∵直線PC是線段AB的垂直平分線，∴PC⊥AB，PA＝PB，∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，∵∠APC＝50°，∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角．2．如圖，在△ABC中，∠B=62°，∠C=24°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交AC的兩側(cè)于點(diǎn)M、N，連接MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．70o B．60o C．50o D．40°【答案】A【分析】根據(jù)∠BAD＝∠BAC?∠DAC，想辦法求出∠BAC，∠DAC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠B＝62°，∠C＝24°，∴∠BAC＝180°?86°＝94°，由作圖可知：MN垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝24°，∴∠BAD＝94°?24°＝70°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則的度數(shù)為（）．A．20° B．30° C．35° D．70°【答案】A【分析】利用等邊對(duì)等角依次可求得∠B和∠BAF的大小，根據(jù)等腰三角形三線合一可得∠BAD的度數(shù)，從而可得∠FAD的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=35°，∵，，∴,∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．理解等邊對(duì)等角和等腰三角形三線合一，并能依此求得相應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．4．如圖是“一帶一路”示意圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，分別連接AB、AC、BC，形成了一個(gè)三角形．若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等進(jìn)行求解即可．【詳解】∵中轉(zhuǎn)倉(cāng)到A、B、C三地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，的中垂線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，下述結(jié)論中正確的是（）A．點(diǎn)D是線段的中點(diǎn) B．C．的周長(zhǎng)等于 D．平分【答案】B【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根據(jù)等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ABC與∠C的度數(shù)，又由AB的垂直平分線是DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求得AD＝BD，繼而求得∠ABD的度數(shù)，則可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周長(zhǎng)等于AB＋BC，又可求得∠BDC的度數(shù)，求得AD＝BD＝BC，則可求得答案；注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴BD＞CD，

∴AD＞CD，

∴點(diǎn)D不是線段AC的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，

∴∠BDC＝180°?∠DBC?∠C＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BD＝BC，

∴AD＝BD＝BC，故B正確；∴△BCD的周長(zhǎng)為：BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝BC＋AB，故C錯(cuò)誤；∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝＝72°，

∵AB的垂直平分線是DE，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝36°，

∴∠DBC＝∠ABC?∠ABD＝72°?36°＝36°，∴，∵，∴，故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意等腰三角形的性質(zhì)與等量代換．6．如圖，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，ME平分∠BMC交BC于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①△ABC?△DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM?△EBM；④△ABM?△DCM．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)，即可證明△ABC△DCB；②根據(jù)①的結(jié)論可得，可得即可證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明ME垂直平分BC；③無(wú)法證明△ABM△EBM；④根據(jù)②可得△ABM△DCM．【詳解】解：①∵，∴△ABC△DCB；故①正確；②∵△ABC△DCB；∴∴∵M(jìn)E平分∠BMC交BC于點(diǎn)E，即ME垂直平分BC；故②正確③中所給條件中不存在直角，則無(wú)法證明△ABM△EBM；故③不正確；④△ABM△DCM．故④正確故正確的有①②④故選C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．銳角中，，AB的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，則____________【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可求出，從而可求出【詳解】解：如圖，根據(jù)直平分線的性質(zhì)可得，∵∴∴∴故答案為：136°【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．8．已知：如圖，在中，，線段AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，如果，那么______．【答案】32°32度【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC＝∠ACB，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠A與∠ABE的關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程解答即可．【詳解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴∠A＝∠ABE，設(shè)∠A＝x°，則∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案為：32°．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．①線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知識(shí)解答．9．如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)為_____．【答案】19cm

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝13cm，得到AB+BC＝13cm，由此即可得到答案．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案為：19cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，直線l垂直平分BC，射線m平分∠ABC，且l與m相交于點(diǎn)P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，則∠ABP＝_____°．【答案】35【分析】設(shè)∠ABP＝x，根據(jù)角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)得到∠PCB＝∠CBP＝x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程，解方程，問(wèn)題得解．【詳解】解：設(shè)∠ABP＝x，∵BP平分∠ABC，∴∠CBP＝∠ABP＝x，∵直線l垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PCB＝∠CBP＝x，∴60°+15°+x+x+x＝180°，解得，x＝35°，即∠ABP＝35°．故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)出未知數(shù)，用含x式子表示出各角，列出方程是解題關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D．（1）尺規(guī)作圖：作線段AC的垂直平分線EF，分別交BC、AC于點(diǎn)E、F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若AB＝EC，AC＝6，CD＝5，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）16；【分析】（1）利用基本作圖，作AC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，則AB＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝ED，然后利用等線段代換得到△ABC的周長(zhǎng)＝2CD+AC．【詳解】解：（1）如圖，EF為所作；（2）連接AE，如圖，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝CE，∴AB＝AE，∵AD⊥BC，∴BD＝ED，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BD+CD+AC＝CE+DE+CD+AC＝2CD+AC＝2×5+6＝16．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．12．如圖所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于D，E，垂足分別是M，N．（1）若△ADE的周長(zhǎng)為6，求BC的長(zhǎng)；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）6；（2）20°．【分析】（1）由DM和EN分別垂直平分AB和AC，推出AD＝BD，EA＝EC，可得AD+DE+EA＝6，由此得到答案；（2）根據(jù)AD＝BD，EA＝EC，求出∠B+∠C=80°，即∠BAD+∠EAC＝80°，再由∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）計(jì)算可得度數(shù)．（1）解：∵DM和EN分別垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周長(zhǎng)為6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）解：∵DM和EN分別垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°-∠BAC=180°-100°=80°，即∠BAD+∠EAC＝80°．∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）=100°-80°=20°．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角的度數(shù)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求證：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)論；（2）首先確定BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接CD，∵BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分線EF分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，連接AG，CG．（1）求證：BG＝CG；（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）27°【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出AD＝CD，BD⊥AC，則AG＝CG，由垂直平分線的性質(zhì)得出AG＝BG，則可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠BFE的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCG，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝CD，BD⊥AC，∴AG＝CG，∵AB的垂直平分線EF交BD于G，∴AG＝BG，∴BG＝CG；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∵∠ABC＝42°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，∵BD平分∠ABC，AB＝BC，∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB＝21°，∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若CMN的周長(zhǎng)為16cm，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】（1）16cm；（2）40°【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC，NB=NC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=