2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習14 函數(shù)的實際應(yīng)用

微專題14函數(shù)的實際應(yīng)用

練考點

1.汽車油箱中有汽油30L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行駛

路程x(單位：km)的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.當0≤x≤300時，y與x

的函數(shù)表達式是()

A.y＝0.1xB.y＝－0.1x＋30C.y＝D.y＝－0.1x2＋30x

300

2.阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整?個地球”，這句話精辟地闡明了一

個重要的物理學(xué)知識杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”.若某杠桿的阻力

和阻力臂分別為1000N和0.6m，則它的動力F和動力臂l之間的函數(shù)圖象大致

是()

3.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍一塊矩形的地.

已知房屋外墻長40米，則可圍成的地的最大面積是平方米.

第3題圖

高頻考點

考點函數(shù)的實際應(yīng)用(6年5考)

例某工藝品店銷售一款擺件，已知每件擺件的成本為30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，

在銷售單價不低于成本價且不高于40元的試銷期間，每周的銷售量y(件)與銷售

單價x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系；銷售單價高于40元正式售賣時，每周的銷售量

y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是部分銷售記錄.

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銷售單價x(元)…3540444850…

周銷售量y(件)…9684807674…

(1)在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)圖象，并求出相應(yīng)的函數(shù)表達式；

例題圖

(2)若計劃每件擺件的利潤率不低于40％，求該擺件每周的最大銷售量；

(3)在試銷期間，當該擺件的銷售單價為多少元時周利潤最大？

(4)根據(jù)當?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價不得超過50元，若該店計劃下周該擺件的銷

售單價高于40元，且一周內(nèi)銷售單價保持不變，預(yù)計下周利潤最多為多少？

易錯警示

利用函數(shù)的增減性解決實際問題中的最值時，要注意實際問題中自變量的取值范

圍對最值的影響.特別地，在二次函數(shù)中若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍

內(nèi)，則最值在自變量取值的端點處取得.

真題及變式

命題點函數(shù)的實際應(yīng)用(6年5考)

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類型一利潤(費用)最值問題(6年3考)

1.(2024廣東20題9分·北師九下習題改編)廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)

量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美.

某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均

每天可售出100噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加

50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大

值？(題中“元”為人民幣)

2.(2020廣東23題8分)某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類

攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的

費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，用60平方米建A類攤位的

個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的.

3

(1)求每個A，B類攤位占地面積各為多少平5方米？

(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量

的3倍.求建造這90個攤位的最大費用.

類型二跨學(xué)科問題(6年2考)

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3.(2023廣東13題3分·人教九下習題改編)某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電

池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數(shù)表達式為I＝.當R＝12Ω時，I

48

的值為A.?

3.1變條件——將一個電阻變?yōu)槿齻€串聯(lián)電阻

(2024廣州)如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電

壓為U，則U＝IR1＋IR2＋IR3.當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的

值為.

變式3.1題圖

4.(2022廣東20題9分)物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y(cm)與所掛

物體質(zhì)量x(kg)滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx＋15.下表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所

掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.

x/kg025

y/cm151925

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質(zhì)量.

拓展類型

5.[圖象問題](2024陜西)我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王

師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市.他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r，

該車的剩余電量是80kW·h，行駛了240km后，從B市一高速公路出口駛出.已

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知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量y(kW·h)與行駛路程x(km)之間的關(guān)

系如圖所示.

(1)求y與x之間的關(guān)系式；

(2)已知這輛車的“滿電量”為100kW·h，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口

駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少.

第5題圖

6.[拋物線型問題](2024東莞模擬)愛思考的小芳在觀看女子排球比賽時發(fā)現(xiàn)一個

有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡可以看作是拋物線的一部分，

于是她和同學(xué)小華一起進行了實踐探究.

經(jīng)實地測量，可知排球場地長為18m，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m.建立如

圖所示的平面直角坐標系，A為擊球點.記排球運動過程中距地面的豎直高度為

y(單位：m)，距擊球點的水平距離為x(單位：m).小華第一次發(fā)球時，測得y與x

的幾組數(shù)據(jù)如下表：

水平距離x/m04.567.512

豎直高度y/m22.752.82.752

(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離

x滿足的函數(shù)表達式；

(2)通過計算，判斷小華這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由；

(3)小華第二次發(fā)球時，假設(shè)她只改變擊球點高度，排球運動軌跡的形狀及對稱軸

位置不變，在點O上方擊球，既要過球網(wǎng)，又不出邊界(排球壓線屬于沒出界)時，

求小華的擊球點高度h(單位：m)的取值范圍.

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第6題圖

新考法

7.[綜合與實踐]

科學(xué)探究

【主題】利用“浮力稱”測量浸入水的深度

【項目情境】“曹沖稱象”是家喻戶曉的經(jīng)典故事，某興趣小組模仿故事里曹沖的

稱象思路，制作了一把“浮力稱”.

【項目探究】如圖①所示，將一個帶刻度的圓柱形狀的量杯浸入水中，小組成員

通過在杯中放入不同質(zhì)量的物體，觀察杯子浸入水中的深度，得到了一組數(shù)據(jù)如

下.

【實驗數(shù)據(jù)】

物體質(zhì)量/kg00.30.60.91.2

浸入水中深度/m0.020.040.060.080.10

【問題解決】設(shè)放進杯中的物體質(zhì)量為xkg，杯子浸入水中的深度為ym.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)在給出的坐標網(wǎng)格中描出相應(yīng)的點，并在圖②中畫出函數(shù)圖象；

(2)求放入杯中物體質(zhì)量在0kg～1.2kg范圍內(nèi)時，杯子浸入水中的深度y與放

入物體質(zhì)量x之間的函數(shù)表達式；

(3)若量杯的高度為0.15m，此“浮力稱”可以稱質(zhì)量為2kg的物體嗎？

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第7題圖

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練考點

1.B【解析】利用油箱中的油量y＝總油量－耗油量，得出函數(shù)表達式是y＝－

0.1x＋30(0≤x≤300).

2.B【解析】∵阻力×阻力臂＝動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為1000N和

0.6m，∴動力F關(guān)于動力臂l的函數(shù)表達式為1000×0.6＝Fl，即F＝，∴動力

600

F和動力臂l之間的函數(shù)圖象是反比例函數(shù)圖象，又∵動力臂l＞0，∴?反比例函

數(shù)F＝的圖象在第一象限.

600

3.450?【解析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為(60－2x)

米，∴菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由題意得0＜60

－2x≤40，解得10≤x＜30，∴當x＝15時，菜園的面積最大，最大面積為450平

方米.

高頻考點

例解：(1)畫出函數(shù)圖象如解圖；

∵當銷售單價不低于成本價且不高于40元時，每周的銷售量y(件)與銷售單價

x(元)滿足反比例函數(shù)關(guān)系，

∴設(shè)y1＝(30≤x≤40)，將(40，84)代入y1＝中，得84＝，

?1?1?1

解得k1＝3?360，?40

∴y1＝(30≤x≤40).

3360

∵當銷售?單價高于40元時，每周的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)

系，

∴設(shè)y2＝k2x＋b(x＞40，k2≠0)，將(50，74)，(44，80)代入y2＝k2x＋b中，

＋

得，解得＝－，

2＋

74=50???21

∴y28＝0－=x4＋4?1224(?x＞40)，?=124

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∴y與x的函數(shù)表達式為y＝3360；

－

?(30≤?≤40)

?+124(?>40)

例題解圖

(2)∵每件擺件的成本為30元，計劃每件擺件的利潤率不低于40％，

－

∴×100％≥40％，

?30

解得30x≥42，

由(1)得y2＝－x＋124(x＞40)，

∵－1＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∴當x＝42時，y2取得最大值，最大值為82.

答：該擺件每周的最大銷售量為82件；

(3)由(1)可知y1＝(30≤x≤40)，

3360

設(shè)試銷期間每周總利?潤為W1元，

則W1＝(x－30)y1＝(x－30)·＝－＋3360，

3360100800

??

當－最大時，W1最大，

100800

∵－100?800＜0，30≤x≤40，

∴當x＞0時，－隨x的增大而增大，

100800

?

∴當x＝40時，W1取得最大值，為－＋3360＝840.

100800

答：在試銷期間，當該擺件的銷售單價為4040元時，周利潤最大；

(4)設(shè)下周總利潤為W2元，

∵該店計劃下周該擺件的銷售單價高于40元，

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∴銷售量與售價滿足關(guān)系式y(tǒng)2＝－x＋124(x＞40)，

22

∴W2＝(x－30)y2＝(x－30)(－x＋124)＝－x＋154x－3720＝－(x－77)＋2209，

∵根據(jù)當?shù)匾?guī)定，該擺件銷售單價不得超過50元，

∴40＜x≤50，

∵－1＜0，

∴當x＜77時，W2隨x的增大而增大，

∴當x＝50時，W2取得最大值，為1480.

答：預(yù)計下周利潤最多為1480元.

真題及變式

1.解：選擇利潤最大：

設(shè)該果商定價為每噸x萬元，利潤為W萬元，

則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋450x

－700，

∵－50＜0，對稱軸為直線x＝－＝4.5，

450

∴當x＝4.5時，W最大，此時W2＝×((?45.05)－2)×(350－50×4.5)＝312.5，(8分)

答：該果商定價為每噸4.5萬元時利潤最大，最大利潤為312.5萬元.(9分)

或選擇銷售收入最大：

設(shè)該果商定價為每噸x萬元，銷售收入為y萬元，

則銷量為100＋50(5－x)＝(350－50x)噸，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，

∵－50＜0，對稱軸為直線x＝－＝3.5，

350

∴當x＝3.5時，y最大，此時y＝23×.(5?×50()350－50×3.5)＝612.5，(8分)

答：該果商定價為每噸3.5萬元時銷售收入最大，最大銷售收入為612.5萬元.

(9分)

2.解：(1)設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積

為(x＋2)平方米，

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由題意得＝×，(2分)

60360

解得x＝3?，+25?

經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的解且符合實際，(3分)

∴x＋2＝5.

答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位占地面積為3平方米；

(4分)

(2)設(shè)建A類攤位a個，則建B類攤位(90－a)個，

由題意得90－a≥3a，解得a≤22.5，(5分)

設(shè)建造這90個攤位的費用為y元，

則y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8100，(6分)

∵110＞0，

∴y隨a的增大而增大，

∵a取整數(shù)，

∴a的最大值為22，

∴當a＝22時，y取最大值，最大值為110×22＋8100＝10520.

答：建造這90個攤位的最大費用為10520元.(8分)

3.4【解析】當R＝12Ω時，I＝＝4(A).

48

變式3.1220【解析】∵U＝IR11＋2IR2＋IR3，當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，

I＝2.2時，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝220.

4.解：(1)將x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，

解得k＝2，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋15(x≥0)；(4分)

(2)當y＝20時，20＝2x＋15，

解得x＝2.5，(8分)

∴當彈簧的長度為20cm時，所掛物體的質(zhì)量為2.5kg.(9分)

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5.解：(1)設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，

將(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，

＝－

得，解得，

＋1

80=??5

∴y5與0=x之15間0?的關(guān)?系式為y?＝=－80x＋80；

1

(2)當x＝240時，y＝－×240＋580＝32，

1

∴該車的剩余電量占“滿5電量”的百分比為×100％＝32％.

32

答：王師傅駕車從B市這一高速公路出口1駛00出時，該車的剩余電量占“滿電量”的

32％.

6.解：(1)由表格可知拋物線頂點坐標為(6，2.8)；

設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋2.8.

將(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－.

1

經(jīng)檢驗，表格中其他數(shù)據(jù)也滿足上述關(guān)系.45

∴排球運動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離滿足的函數(shù)表達式

為y＝－(x－6)2＋2.8；

1

(2)能，理45由如下：

當x＝9時，y＝－(9－6)2＋2.8＝2.6.

1

∵2.6＞2.24，45

∴小華這次發(fā)球能過網(wǎng)；

(3)設(shè)只改變擊球點高度后拋物線的表達式為y＝