2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷1（全國卷理科）詳細(xì)解析

2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷01(全國卷理科)

理科數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4=兇一1<%<2},8=卜卜=k>g3(?+3)},則AB=()

A.(-2,1)B.(—1J)C.[1,2)D.(l,+oo)

3+4i

2-(3-02,)

11111.

A.—B.-iC.—iD.-+-i

22222

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段3c的中點，AB=3,AD=26.,NS4D=45。，則AC.AE=()

A.20B.22C.24D.25

4.在-吹］(〃eN+)的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為32,則所有項系數(shù)和為()

A.32B.-32C.0D.1

則cos(8+兀)Tin]

5.已知直線/：2x+3y-l=0的傾斜角為6,

99-66

A.—B.一C.—D.——

13131313

6.如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐A-E『G,且及尸,G分別為

棱4AA綜A，靠近A的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為

()

2cm3

A.B.36jtcm3

2

C.--------7icm3D.727ccm3

2

若4=0.31",/,=bg3i2,c=log26,d=『g,則有()

7.

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

8.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛，它

使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)

現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間f和放電電流

/之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=Pt,其中X為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容

量不變的條件下，當(dāng)放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當(dāng)放電電流為25A時，放電時間為15h,則

該蓄電池的Peukert常數(shù)4約為（參考數(shù)據(jù)：lg2BQ301,1g3^0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

9.已知點A（3,0）,點尸是拋物線C：V=4x上任一點，尸為拋物線C的焦點，則的最小值為（）

|尸勺+1

A2后口2a「取#7

A.D.C.nU.

17171717

-<、11111

10.設(shè)S〃為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，52023=200,4012=1。，則一+—+—+---+----+----=（）

%〃2。3。2022”2023

A.20B.10C.5D.2

22

11.已知雙曲線E:鼻-2的焦點恰好為矩形ABCD的長邊中點，且該矩形的頂點都在雙曲

cib

線上，矩形的長寬比為2:1,則雙曲線的離心率為（）

A.2+20B.3+2應(yīng)C.1+72D.272-2

12.己知函數(shù)〃x)=2,-丘-6恰有一個零點看,且6>%>0,則%的取值范圍為()

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.有5位大學(xué)生要分配到AB,C三個單位實習(xí)，每位學(xué)生只能到一個單位實習(xí)，每個單位至少要接收一位

學(xué)生實習(xí)，已知這5位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在A單位實習(xí)，則這5位學(xué)生實習(xí)的不同分配方案有

種.(用數(shù)字作答)

14.定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且有"-3)=-l2J(f)+〃x)=0,且對任意xeR都有

f(x)>3,則使得f(e，)-3e-320成立的x的取值范圍是.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，P的坐標(biāo)滿足“J+2),feR,已知圓C:(x-3y+y2=l,過尸作圓C的兩條切

線，切點分別為A2,當(dāng)NAPB最大時，圓C關(guān)于點尸對稱的圓的方程為.

16.如圖，在長方體ABCD-A4GA中，AB=3,BC=CC1=2,M,N分別為BC,CC；的中點，點P在

矩形BCGBi內(nèi)運動(包括邊界)，若AP〃平面AMN,則4尸取最小值時，三棱錐尸一腸\8的體積為

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)己知在四邊形ABCQ中，為銳角三角形，對角線AC與8。相交于點O,

AD=2,AC=4,BD=y[6,ZABD=-.

4

⑴求A3；

⑵求四邊形ABCD面積的最大值.

18.(12分)遠程桌面連接是一種常見的遠程操作電腦的方法，除了windows系統(tǒng)中可以使用內(nèi)置的應(yīng)用程

序，通過輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過向日葵，anyviewer等遠程桌面軟件，雙方一起打

開軟件，通過軟件隨機產(chǎn)生的對接碼，安全的遠程訪問和控制另一臺電腦.某遠程桌面軟件的對接碼是

一個由“1,2,3”這3個數(shù)字組成的五位數(shù)，每個數(shù)字至少出現(xiàn)一次.

(1)求滿足條件的對接碼的個數(shù)；

(2)若對接碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（12分）如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZABC=90°,AB=3DC=3BC,DE上AB于E,

沿。E將VADE折起，使得點A到點尸位置，NPEB=90°,N是棱8C上的動點(與點8,C不重合).

(1)判斷在棱尸2上是否存在一點使平面平面尸3C,若存在，求二若不存在，說明理由;

BP

(2)當(dāng)點冗N分別是尸8,BC的中點時，求平面E/W和平面PDE的夾角的余弦值.

22

20.(12分)已知橢圓C:1r+%=1(。>6>0)的左、右焦點分別為居，外，拋物線「：V=4x的焦點與尸2重

合，若點尸為橢圓c和拋物線r在第一象限的一個公共點，且了。用的面積為如，其中。為坐標(biāo)原點.

3

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的上頂點8作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點RE,求忸。|+忸國的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)g(x)=+2alnx-4).

⑴討論函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)〃x)=g(x)-4x+2,若函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點%x2(xl<x2),證明：

f(^)+/(x)Ino

2〉J.

2----2

(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.(10分)在直角坐標(biāo)系x°y中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)

方程為0cos0+22sin。-90=0,曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos26,+4p2sin26)=4.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程；

(2)若點尸為曲線C上任意一點，點尸到直線/的距離為d,求d的取值范圍.

選修4-5：不等式選講

23.(10分)已知函數(shù)〃x)=|x-a|+k-l|的最小值為3,其中a>0.

⑴求不等式〃x)V5的解集；

⑵若關(guān)于x的方程/(0=法+1有實數(shù)根，求實數(shù)6的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷01（全國卷理科）

詳細(xì)解析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

123456789101112

CBBDBBBDADCA

1.【答案】C

【解析】由?+323,^y=log3(Vx+3)>l,故3={y|”l},

即Ac3={x|"x<2}.

故選：C.

2.【答案】B

3+4i_3+4i_(3+4i)(4+3i)25i1.

1

［解析］-8_6i-2(4-3i)(4+3i)-50-2)

故選：B.

3.【答案】B

【解析】由題意可得AC=AB+AD,AE=AB+BE=AB+^AD,

所以94￡=(42+犯142+：4可

.231-2

=AB+-ABAD+-AD

22

因為AB=3,AD=2yf2,ZBAD=45°,所以AB?=9,AD”=8,AB.AD=6，

所以AOAE=22.

故選：B

4.【答案】D

【解析】依題，C°+C>+C：=2”=32,解得〃=5,則二項式-五］的所有項系數(shù)之和為亞1=1.

故選：D.

5.【答案】B

2

【解析】由題意可知，tan^=-|,71

2,71

.2V13.A2在

sin。2asine=-------sin，=---------

1313

則cos33,解得,或，（舍）,

23岳，A3岳

sine+cos20=1cosea=---------cose=-------

I1313

所以cos(6+兀)?sin]]-6=-cos20=--—

13

故選：B

6.【答案】B

.................3

【解析】由題意4石=4尸=AG=],設(shè)點A到平面EFG的距離為d,

而EF=EG=FG=K^

2

2

c」3夜（3忘）18小

S.EFG=]X^-X2

2216

7

，得，133業(yè),

由VE—AG[F=^A^-EFGx—x—x—x—=—xd,解得d=

322223162

棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為3,

棱長為6的正方體體對角線的長度為6石,

因為W*乎>3,

所以所求球形體積最大時即為棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球,

4

則該球形飾品的體積的最大值為]兀X33=36兀cm3.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】a=0.311-3<0.31°=1,所以0<a<l,d=

b=log312=1+log34>2,c=log26=l+log23>2,

2

In4+ln2

又因為log4_In41n2<2(ln2同

3<r

log23ln3-ln3ln3?ln3(ln3)2

所以d<a<b<c.

故選：B.

8.【答案】D

【解析】由題意知。=7.5'*60=25，*15,

所以=||=4,兩邊取以10為底的對數(shù)，得21gl=21g2,

21g22x0.301

所以彳=“15

l-lg31-0.477

故選：D.

9.【答案】A

【解析】由題意得戶（1,0）,拋物線C的準(zhǔn)線方程為尤=-1,

設(shè)尸（x,y）,貝“依|=尤+1,1PAi=4x-3）2+/=3）2+4尤=Jx-Zx”，

枕-2X+9

X|PF|+rx+2,

令x+2=〃，貝lJx=〃-2,由得4>2,

所以1PAi=J（4_2）2_2（〃_2）+3=J42_64+]7=但_g+],

|PF|+I〃〃]〃2〃

令，=彳，則0<4vg,所以^^='17萬一6—+1=

"2|PF|+1

故當(dāng)4即x=?時，尚事取得最小值岑?

故選：A.

10.【答案】D

【解析】法一：因為｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為夕，由題意得4*1,

所以數(shù)列是首項為，，公比為，的等比數(shù)列.

[a?]?iq

nlq（l-產(chǎn)）3%（產(chǎn)3Tion

貝U$2023=-------------------------=----------------------------=200，11012=4〃=1°.

1-qq—\

設(shè)數(shù)列[I]的前〃項和為T-，

1(1x2023

則T]/(產(chǎn)7：]”產(chǎn)-1)=邑期=200：2.

i——q-idM2q-i娠)i2i。。

q

\111111ii

法二：設(shè)數(shù)列《一｝的前〃項和為，，貝！J5023=—+—+—+—+…+------+-------,

[J%%〃3〃4”2022”2023

則立2023=

2(q+%+々3+〃4*■〃2022+〃2023)_2512023_400_日n丁_n

=2-=77^7=4,即12023-2-

%〃2023“10121UU

故選：D.

n.【答案】c

【解析】解法一：由題可得，矩形ABCZ）的寬為2c（c>0）,則長為4c,

雙曲線E以矩形長邊中點為焦點，過頂點ABC,。，如圖所示,

則C（c,2c）,代入雙曲線E的方程，得!一壬=1,即。2（/一4〃）=/62.

又因為°2=儲+廿,所以（6+/）伊一4叫=/〃，即

等式兩邊同時除以否2得_4勺〃2+勺h2—4=0.

ba

h11

設(shè)^■=/>（）,貝！j—4一+%—4=。，即『―小一4=0,

a2t

解得f=2+2正或f=2-2也（不合題意，舍去），即==2+2應(yīng)，

a

所以e=￡=JlH——-=Jl+2+2\/^=1+^2.

a\a

故選：C.

解法二：連接C%由題意知C(c,2c),則|C6|=2c,|耳閶=2C,磔|=2缶,

則由雙曲線的定義知|C耳HCE|=2。，即2缶-2c=2。，。=(近一1',

所以雙曲線的離心率e=￡=V2+1.

12.【答案】A

【解析】由〃力=?？傻?=履+6,要使〃尤)恰有一個零點，只需函數(shù)g(x)=2'的圖象與直線>=h+方相

切.

設(shè)切點坐標(biāo)為(無。,2跖).由g(x)=2，，可得g，(x)=2，ln2,則切線方程為y-2%=2而ln2.(x-%)，即

,0?%

j=(2ln2)x+2(l-xoln2),

故需使左=2*M2]=2%(1—x0ln2).

由b>上〉0可得2*(1—x°ln2)>2%ln2,解得/.

故選：A

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.【答案】50

【解析】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，

當(dāng)A單位只有甲時，其余四人分配到反C,不同分配方案有C；C；A；+C；C；=14種；

當(dāng)A單位不只有甲時，其余四人分配到A5C,不同分配方案有弋產(chǎn)A；=36種;

A?

合計有50種不同分配方案,

故答案為：50.

14.【答案】［ln3,y)

【解析】由〃-x)+/(x)=0知"力是奇函數(shù),.??/(3)=-/(-3)=12,

設(shè)g(x)=〃x)-3x,則8閉=〃3)-3*3=12—9=3?(力=廣(%)—3>0,

g(x)在R上單調(diào)遞增，由/(e“)-31-320得/(e，)-31>3,

即g(e*"g⑶，得x21n3,x的取值范圍是［ln3,+oo).

故答案為：［ln3,+e)

15.【答案】(x+2『+(y-5)2=l

【解析】依題意，點尸的軌跡為直線/：丁=尤+2上，顯然NAPB=2NCP3,要/APB最大，當(dāng)且僅當(dāng)NCPB

最大，

在R3CPB中，==而正弦函數(shù)y=sinx在(0,g)上單調(diào)遞增，

I卜。IInI2

則只需sin/CP?最大，即圓心。到點尸的距離最小，因此CP，/,又圓心。(3,0),

fy=x+215

此時直線CP的方程為y=-x+3,由一。解得點尸(不!)，

［y=-x+322

于是圓心C關(guān)于點尸對稱的點的坐標(biāo)為(-2,5),所以圓C關(guān)于點尸對稱的圓的方程為(x+2)2+(y-5)2=l.

【解析】取的中點E,的中點F,連接EF,\E,AtF,

則易得砂//AW,HAM,

因為EFu平面AAW,MNu平面AWN,故EF〃平面AACV,

同理：A/〃平面AMN,又A/砂=尸，4￡￡尸u平面A|EP,

所以平面AE〃〃平面又AP〃平面AMN,

所以4尸u平面AtEF,即點尸在平面AtEF與平面BCQBi的交線EF±,

當(dāng)4尸，所時，A/取最小值.

易知4￡=4/=回開=亞，故當(dāng)4尸取最小值時，尸為E尸的中點，

133

此時一PBM的面積S△.=-xlx-=-,

133

則^P-MA,B~J-PBM=

—、3

故答案為：—.

4

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）

【解析】（1）

222

工人/口兀AB+BD-AD4皮+6一4

由余弦定理可得cos廠2AB-BD

2y/6AB

化簡為AB?-2百AB+2=0,解得AB=V^+1或有一1,

（A/3-1）2+4-6

2-2百

當(dāng)AB=6-I時,因為cos/BA。=<0,與△鈿￡>為銳角三角形不符合，故

2x2x（指-1）2x2x（癢1）

AB=V3+1.

（2）作垂直8。于日歹，設(shè)NAO3=N1,

則SABCD=sABD+SCBD=BD-AE+BD-CF=BD（AOsinZ1+COsinZl）=^BD-ACsin,當(dāng)

sinZl=l^Zl=90°^AC±BD,四邊形面積最大，最大面積為=x4x#=2疝

2

18.（12分）

【解析】（1）當(dāng)對接碼中一個數(shù)字出現(xiàn)3次，另外兩個數(shù)字各出現(xiàn)1次時,

W占粕*C3A53x5x4x3x2xl

種數(shù)為：-7^-=—————-----=60,

A；3x2x1

當(dāng)對接的中兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外一個數(shù)字出現(xiàn)1次時,

種數(shù)為：笫3x5x4x3x2xl

---------------------=90,

A2A22xlx2xl

所有滿足條件的對接碼的個數(shù)為150.

（2）隨機變量X的取值為1,2,3,其分布為:

c>L,C-Z1A-355

A；A；A；一7,_AX62,

尸（X=1）=p（x

15015I'15015-5

?

尸—I端喑

故X的分布列為:

X123

722

p

15?15

7925

=—+2x—+3x—=-

19.（12分）

【解析】（1）存在，端1

5

理由如下：由PE_L￡B,PELED,EBED=E,EB,皮）u平面￡」BCD,

所以PE_L平面￡BCD,又3Cu平面￡BC￡）,

故PE_L3C,又BC工BE,PEBE=E,PE,BEu平面PEB,故3C1平面尸￡B,

又BCu平面P8C,故平面PBC_L平面FEB,又平面P3C平面PEB=PB,

EMu平面尸EB,作EM_LP3,則￡M_L平面PBC,又EMu平面EMN,

故平面EMN_L平面尸BC,由題意，不妨設(shè)AB=3DC=33C=3,

則吊PEB中,PE=2,EB=LBP=區(qū)由等面積得011=胃*加所以EM弓,

22

1BM1

貝IjBM==『所SP以H二『二

V5BP5

(2)以E為原點，EB,ED,EP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由⑴NRO；81,0,0),P(0,0,2),唱，。，1

甌=[1，別,所嗎,0,1),

設(shè)平面E7W的法向量為加=(x,y,z),

m?EF=—x+z=0

2

,取用=(2,-4,-1),

m-EN=x+—y=0

2

易知平面PZ汨的法向量為〃=(1,0,0),

2721

設(shè)平面EFN和平面PDE的夾角為仇故cos0=cos的〃)卜|同

21

20.(12分)

【解析】（1）設(shè)尸（如％）,由丁=4x,得焦點瑪（1,0）,則可（TO）.

由5寸”=乎，得gxlx%=手，解得為=當(dāng)，代入拋物線方程V=4x,得毛=|,即尸

‘巫22/6?

所以2a=|尸閭+|「周==4,即〃=2,所以/?=代,

尸

22

所以橢圓C的方程為上+±=1.

43

（2）設(shè)直線OE的方程為y二丘+“加。若），。（七,乂），￡（馬，％），\BD\=dx,\BE\=d2,

《+《=］

聯(lián)立43-'7肖去》整理得（4左2+3）*2+8萬7氏+4m2-12=0,

y=kx+m,

8km4m2-12

所以玉+%2=—--——,XX=——z------

4左2+3124左2+3

因為應(yīng)所以2?2E=0，又8（0,@,所以3。=",%-⑹9二卜％-⑹,

所以玉％2+卜1一百X%一班）=0，玉42+（優(yōu)+根_班）（5+加_百）=0，

即（1+左2）玉%2+左（加一石）（玉+%2）+（加一班）二°，

即（1+公）?梨5+左僅一石）［:紇）+（加一百『=0,化簡得7根2-6A-3=0.

因為冽力石，所以加=一《3,8瓜576

此時％+%=7（4左2+3）’""一49（4左2+3）'

7

所以|DE\=|xj-X2\-Jl+%2=J（尤］+%）2,Jl+%2

i——12I-----------------

8限/576寸8.'一+33…）

（7（4公+3）］49（叱+3）73（4人？+3『

令止+3=叱3）,則|葉券巴嚴(yán)'=苧產(chǎn)河4坪,

當(dāng)且僅當(dāng)r=3,即左=0時，等號成立.

因為力+屏=0同2,所以4+q4應(yīng)|?；?竺普,

當(dāng)且僅當(dāng)4=%，%=0時，等號成立,

故忸。+忸￡|的最大值為史聾.

21.(12分)

【解析】(1)由已知函數(shù)y=g(x)的定義域為(0,+8),又/⑺=%+q=三出

XX

當(dāng)時，g[x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)"0時，g'(x)=0解得x=或x=(舍去)，

所以當(dāng)尤>，工時g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(右,+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)OvxcQ時g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(。,二)上是減函數(shù)；

綜上所述：當(dāng).20時，函數(shù)g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時,函數(shù)g(x)在(J二,+8)上單調(diào)遞增，在(O.J-卜單調(diào)遞減.

(2)由已矢口/(x)=g(x)-4無+2,即/(x)=—+2tzlnx-4)-4x+2=—x2+tzlnx-4x,

可得八同7+4_4=/4』,

函數(shù)/(X)有兩個極值點不,々(玉<*2)，即尤2-4尤+O=0在(0,+8)上有兩個不等實根，

/、/z(0)=a>0

令//(%)=尤7-4x+a,只需_4n，故

拉|，J—CL—4<U

又為+占=4,=a,

1

所以/（再）+/（工2）=]+〃1叫—4xJ+|+alwc2-

2

=—4（石+々）+a（1叫+lnx2）+—（才+4）=Qlni-a—8,

要證〃xj+〃xj>也一5,

22

即證alna—a—8>lna—10,々￡（0,4）,

只需iIE(l—a)lna+a—2<0,〃￡(0,4),

令m(a)=(l-a)lna+a-2,Q￡(0,4),

]-Q?

貝(]機'(〃)=_InQ~\-----F1——Ina,

aa

令"(a)=加(a),貝!|"'(a)=-，一，<。恒成立，

所以加(a)在ae(0,4)上單調(diào)遞減，又根[1)=1>0,加(2)=；-ln2<0,

由零點存在性定理得，^0?