2025年高考數(shù)學(xué)熱點專練：不等式與復(fù)數(shù)（8題型+高分技法+限時提升練）（原卷版）

熱點1-2不等式與復(fù)數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

1、近三年高考中，不等式是一個重點考查的知識復(fù)數(shù)的運算與不等式是?？键c，預(yù)計在2025年的

點，主要涉及大小判斷、求最值和求最值范圍等問高考中仍將保持其重要地位，考查形式和難度可能

題。而基本不等式求最值是高考中的?？键c，通常會與近幾年的趨勢保持一致.

出現(xiàn)在選擇題和填空題中，難度不大.（1）不等式主要考查基本不等式求最值、大小判

2、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算、代數(shù)表示及其幾何意義是高斷，求取值范圍問題；

考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，分值5（2）復(fù)數(shù)主要考查基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，

分，考題難度為低檔.其中復(fù)數(shù)的除法運算、共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義

是最可能出現(xiàn)的命題角度.

熱點題型解讀

題型1不等式性質(zhì)及應(yīng)用6、題型5基本不等式求最值

題型2—元二次不等式的解法題型6基本不等式恒成立問題

不等式與復(fù)數(shù)

題型3一元二次函數(shù)根的分布問題o-/\題型7復(fù)數(shù)的四則混合運算

題型4一元二次不等式恒成立問題題型8復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

題型1不等式性質(zhì)及應(yīng)用

明確各個性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性）中結(jié)；

i

論成立的前提條件，另外在使用不等式的性質(zhì)時還需注意與作差法、作商法的結(jié)合使用.

1.（24-25高三上?陜西西安?月考）下列命題中，真命題的是（）

A.若a<b,貝U—>—B.若a>b,則

ab

__i_p_frClQ+C

C.右1Q>Z?>C>0,則----D.若0<a<b<c,則logc〃<logcb

bb+c

2.（24-25高三上?福建泉州?模擬預(yù)測）若實數(shù)a>>>0,則下列不等式不一定成立的是（）

11

A.0.3"<0.3"B.lg?>lgZ?C.------<------D.y/a>y[b

a-\b-1

3.（24-25高三上?河北石家莊?模擬預(yù)測）（多選）已知實數(shù)。，b,c滿足則下列選項正確的是

()

a+cabc

A.----->一B.lg—>0C.---->----D.〃+8H—?>25/2

b+cbb-ca-ba—cy/ab

4.（24-25高三上?湖北武漢?期中）若實數(shù)。"滿足-l<〃+b<3,2va-Z?v4,貝！J3〃+Z?的取值范圍為

題型2一元二次不等式的解法

1、解一元二次不等式的一般步驟

（1）化為標(biāo)準(zhǔn)式；（2）計算相應(yīng)的判別式；（3）根據(jù)相應(yīng)的一元二次方程的根的情況寫出解集.

2、解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)

的符號進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即△的符號進(jìn)行分類，最后在根存在時，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.

1.（23-24高三下?河北滄州?模擬預(yù)測）已知集合4={-1,1,2,3,5},8={也;"3彳-2>0},則AB=（）

A.{-1,3,5}B.{-1,2,3,5}C.{3,5}D.{2,3,5}

2.（24-25高三上?山東棗莊?月考）（多選）已知關(guān)于x的不等式加+6x+c>0的解集為{x|x<-2或x>3},

則下列選項中正確的是（）

A.a<0B.不等式bx+c>0的解集是{尤|尤<-6}

C.a+b+c>0D.不等式ex?+a<0的解集為卜Ix<或%>1

3.（24-25高三上?甘肅天水?月考）關(guān)于x的不等式d-（l+2a）x+2a<0的解集中恰有2個整數(shù)，則實數(shù)。的

取值范圍是.

4.（24-25高三上?廣東廣州?月考）（多選）已知不等式ox?+云+。<0的解集為（x：vx<>11,貝U（）

A.a>c>0B.b<—2。<0

—ci~\—Z?+c-2>-+t

42

題型3一元二次方程根的分布問題

一元二次方程根的分布問題主要有兩種：零分布與非零分布，零分布指的是方程的根相對于零的關(guān)系，非

；零分布指的是方程的兩根相對于左的關(guān)系，解決這類問題可根據(jù)方程的系數(shù)和判別式來確定方程根的性

:質(zhì)和分布情況.

1.（24-25高三上?上海浦東新?期中）若關(guān)于x的一元二次方程2/一4》+m+3=0有兩個同號實根，則實數(shù)

加的取值范圍是.

2.（24-25高三上?北京?月考）已知方程呼+（2=-l）x+4-2m=0的兩根一個比2大另一個比2小,則實數(shù)加

的范圍是.

3.（23-24高三上?四川?月考）若關(guān)于x的方程/一2依+a+2=0在區(qū)間（-2,1）上有兩個不相等的實數(shù)解，則

。的取值范圍是（）

4.（23-24高三上.貴州?月考）（多選）已知一元二次方程尤加+3=0有兩個實數(shù)根三，％，且

0<x1<2<x2<4,則機(jī)的可能值為（）

A.-4B.-4.5C.-4.6D.-5

題型4一元二次不等式恒成立問題

100與j（

1、一元二次不等式在實數(shù)集上的恒成立

a=b=Ofa>0

（1）不等式?！敢蝗?「.（I對任意實數(shù)l恒成立=或4

c>0|A<0

a=b=0fa<0

（2）不等式心一/，v十「（）對任意實數(shù)K恒成立=或1

Lc<0IA<0

2、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法

:方法一：若八外>0在集合/中恒成立，即集合/是不等式/（n>o的解集的子集，可以先求解集，再

由子集的含義求解參數(shù)的值（或范圍）；

;方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)/（"的值域為

則?\"恒成立=>MM2it,即〃）上u；/（r）“恒成立=??',?_u,即〃二u.

3、不等式能成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理

（1）若存在*e[見，“，u>/（."有解今。n'I.,；

若對任意["7,，1<1>/（V）無解，，■，（，I.

（2）若存在.J。V./（K）有解=>,（、）一、；

\右對任意av/（x）無解/（K）z.

1.（24-25高三上?陜西咸陽?月考）若關(guān)于x的不等式尤2一公+2>。在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是（）

A.（2^^,+8）B.（-co,2后）C.（-oo,3）27、

D.

一8司

2.（24-25高三上?四川成都?月考）已知關(guān)于x的不等式加-2x+3a<0在（0,2]上有解，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（-ool）B/一哼C.（-oo,0]D.（-00,0）

3.（24-25高三上?天津?開學(xué)考試）若不等式/+辦+120對任意xe（0,；恒成立，貝匹的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.（-QO,-2]C.-J+00]D.（-oo,-3]

3

4.（24-25高三上?甘肅蘭州?月考）若不等式2履2+丘-3<0對一切實數(shù)x都成立，則左的取值范圍為

O

題型5基本不等式求最值

0O后?

在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.

①一正：各項均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三相等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

L⑵-24高三下海南?模擬預(yù)測）若正數(shù)a,6滿足加2.+力3,則仍的最小值為（）

A.3B.6C.9D.12

3?

2.（23-24高三下?湖北黃岡?一模）若機(jī)且淅+2〃-1=0,則一+—的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

1213

3.（23-24高三下?河南信陽?模擬預(yù)測）a>0,b>0-+-=l則一\+1三的最小值為（）

ab9a—1b—2

A.6B.2上C.76D.6

4.（23-24高三下?湖南邵陽?三模）（多選）若正數(shù)%,>滿足2x+y=孫，則（）

A.xy<8B.8x+y>18

C-31>巫

x2廠2D-hQ

題型6基本不等式恒成立問題

\

;不等式恒成立問題的實質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍，在滿足條件的情況下可以把參1

:數(shù)分離出來.常見求解策略是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，即yN相恒成立0ym1n2〃?；yV加恒j

成立oy1mxWm.但要注意函數(shù)中自變量的取值范圍，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

1.（24-25高三上?江西上饒?月考）若不等式。在區(qū)間［0』上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

4/-1

A.a<yp2—B.a<\C.a<—D.a<2\/2—

232

41

2.（24-25高三上?河北承德?月考）已知%>0,y>0,且％+y=5,若--+—1恒成立，則實數(shù)

x+1y+2

加的取值范圍是（）

（21（11（11z，

A.I-Q0,-B.1-00,—C.I-°o,-D.（一8,4|

3.（24-25高三上?湖南長沙?月考）已知九，>,a>0,且xH——H>8恒成立，則a的取值范圍是________.

xxy

4.（23-24高三下?浙江?二模）（多選）已知正實數(shù)。力,。，且1>。>。,羽丁/為自然數(shù)，則滿足

--+—?---->。恒成立的％，y*可以是（）

a—Db—cc—a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

題型7復(fù)數(shù)的四則混合運算

解決復(fù)數(shù)四則運算問題的思路：

ii

1、復(fù)數(shù)的加減法：實部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結(jié)果的實部與虛部.把i看作字母，

II

’類比多項式加減法中的合并同類項；

.2、復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將i2換成-1,并將實部、虛部分別合并.多;

II

:項式展開中的一些重要公式仍適用于復(fù)數(shù)，常用公式有（。+歷）（a-歷）=/+尸，

ii

（a±bi）2-a2-b~+2abi,（a±bi）3=a3-3ab2+（2a2b—b3）i.

；2、復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數(shù)化”的方法，即

將分子、分母同乘分母的共輾復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.

1.（23-24高三下?江蘇南京?期中）已知i為虛數(shù)單位，則（2+后）（2-/）=（）

A.5B.-1C.1D.7

2.（23-24高三下?浙江杭州?期中）已知復(fù)數(shù)2=魯，則同=（）

A.2B.1C.非D.與

3.⑵-24高三下?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測汨知l-2i是關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程z2-mz+n=O（m,neR）的一個根，

貝|〃1+九=（）

A.5B.6C.7D.8

4.（23-24高三下.江西新余.模擬預(yù)測）（多選）已知ZEC,1為z的共軌復(fù)數(shù)，則下列條件可判定zwR的

是：（）

Z_Z_

A.討=同B.z-z=O

2222

C.z-zD.z'Z=Z'Z

題型8復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

1-4

1、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）任一個復(fù)數(shù)z=a+5（a,》GR）與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,切是---對應(yīng)的.

II

（2）一個復(fù)數(shù)2=。+歷（°,bGR）與復(fù)平面內(nèi)的向量應(yīng)=（a,b）是---■對應(yīng)的.

2、與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值問題

（1）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的集合表示的圖形時，常用的方法是通過化簡得到關(guān)于復(fù)數(shù)模的最簡等式：

ii

或不等式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀.

II

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式,若2=X+yi,則|z-（a+兒）|表示復(fù)平面內(nèi)點（x,y）

與點（a,b）之間的距離，則|z-（a+6i）|=??"表示以（a,b）為圓心，以r為半徑的圓上的點.

1.（24-25高三上?天津?月考）已知復(fù)數(shù)z=i（l+i）（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的點的坐標(biāo)所在象限為（）

A.-B.二C.三D.四

21

2.（23-24高三下?陜西銅川?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=i*+29i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

1+i23

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（23-24高三下.安徽.模擬預(yù)測）若zeC,i為虛數(shù)單位，|z+2i-l|=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.J1Q-1C.4D.V10+1

4.（23-24高三下?廣西?模擬預(yù)測）（多選）復(fù)數(shù)z=x+yi（尤,yeR,i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)內(nèi)對應(yīng)點Z（x,y）,

則下列為真命題的是（）

A.若|z+l|=|z-1],則點Z在圓上

B.若|z-l|+|z+l|=4,則點Z在橢圓上

C.若|z+l|-|z-1=2,則點Z在雙曲線上

D.若k+l|=|z-l|,則點Z在拋物線上

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

1.（23-24高三下?浙江溫州?模擬預(yù)測）設(shè)集合4={無力龍2-3》-440},B={x||x+l|<1},則A|B=（）

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.（23-24高三上?湖北荊門?月考）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為（1,1）,貝Uz+工的虛部為（）

Z

A.-iB.一C.；D.—i

2222

3.（23-24高三下?山東?二模）若則下列不等式成立的是（）

1111

A.01VbiB.a+b<b+cC.—<-D.rr<777

ab\a\例

4.（23-24高三下?新疆?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z+彳=4,且z—2=2i,則|z|=（）

A.72B.73C.2D.百

5.（23-24高三下?安徽?三模）已知x>0,>>0,且2x+y=l,則工±1的最小值為（）

xy

A.4B.4^/2C.4A/2+1D.2V2+I

6.（23-24高三下.山東煙臺.三模）若復(fù)數(shù)z滿足忖=|z-2-2i|,則忖的最小值為（）

A.1B.亞C.百D.2

7.（24-25高三上?福建廈門?月考）對任意的實數(shù)機(jī)e[。,2],不等式（x-2）（x-3+〃z）>0恒成立，則x的取值

范圍是（）

A.x<l或光>3B.%<1或x>2C.xv2或x>3D.R

19

8.（24-25高三上?湖南平江?開學(xué)考試）設(shè)正數(shù)。，b滿足一+：=1,若不等式〃+。之—/+4%+18—相對任意

ab

實數(shù)%恒成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.m>3B.m<3C.m<6D.m>6

9.（24-25高三上?云南德宏?月考）（多選）設(shè)4，Z2為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的有（）

A.若馬=4+為，z2=c+di,其中。，b,c,JGR,且b>d,則zpz2

B.若療-3帆+2+（療-l）i（meR）為純虛數(shù)，則根=2

C.若關(guān)于龍的方程f+px+q=。，p,"R的一個虛根為2i—1,則p+q=-5

D.若Z]=-l+2i,Z2=3+4i,則復(fù)數(shù)4-Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限

10.（23-24高三下?遼寧?模擬預(yù)測）（多選）已知。>0,b>0,a+b=2f貝!J