2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（北京卷2）（全解全析）

2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（北京卷02）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知全集。=區(qū)，A={x\-3<x<l},B={x\0<x<2},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|-3<x<0}B.{x|-3<x<0}C.{x\-3<x<2}D.{x|0<x<1}

【答案】B

【分析】根據(jù)韋恩圖表達(dá)的集合A和8之間的關(guān)系，求解陰影部分所表達(dá)的集合即可.

【詳解】集合/=卜卜3Vx<1},集合2={尤104%<2},則&3={x||x<0或xN2},

又因?yàn)閳D中陰影部分表示的集合為/C（以8）,所以/CQ3）={X~3<X<0}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足三=i（l-i）,則復(fù)平面內(nèi)表示z的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求得三，再求z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.

【詳解】z=i（l-i）=l+i,則z=l-i.其對應(yīng)的點(diǎn)（1,-1）在第四象限.

故選：D.

3.已知直線2x-y=0與圓C:(x-2)2+(y+l)2=9相交于48,則△/BC的面積等于()

A.273B.2A/5C.4gD.475

【答案】B

【分析】求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理求得以目的長，可得面積.

【詳解】圓C：(x-2)2+(y+l)2=9,圓心C(2,-l),半徑r=3,

則圓心。(2,-1)到直線2尤-y=0的距離為"=""=若，

V5

所以［48|=2介-/=279^5=4,

則△N8C的面積為=石=2石.

故選：B.

4.已知尸是拋物線產(chǎn)=12x上的動(dòng)點(diǎn)，”是拋物線的準(zhǔn)線/上的動(dòng)點(diǎn)，N(0,4),則|尸M+戶叫的最小值是

()

A.5B.4C.40D.372

【答案】A

【分析】借助拋物線定義計(jì)算即可得.

【詳解】拋物線V=12x的焦點(diǎn)為尸(3,0),準(zhǔn)線/的方程為》=-3,

當(dāng)尸出，/時(shí)，|尸閭的值最小，此時(shí)，由拋物線的定義，可得|PM|=|PF|,

故選：A.

5.在△ZBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=JL

(sinT4-sin5)(6+a)=c(sin5+sinC),則△4BC面積的最大值為()

A.；B.yC."D.@

4242

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得cosZ,根據(jù)基本不等式及三角形面

積公式求解面積的最大值.

【詳解】在△A8C中，(sinJ4-sinS)(/?+a)=c(sin5+sinC),

由正弦定理得（a-6）（6+a）=c（6+c）,BPa2=b2+c2+bc,

722_2

-be_1

由余弦定理得cosA="°一"

2bc2bc2

?/3=a2=b2+c2+be>2bc+be=3bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)取等號，因止匕bcWl,

.,?△45C面積S=—besinA=—^-bc<—

244

.?.當(dāng)6=c=l時(shí)，△45。的面積取得最大值^.

4

故選：C.

6.已知函數(shù)/(9)=%3一2>,再,％2￡R，則"1+%2=。"是"/(石)+/(%2)=°”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用充分條件/必要條件的定義，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)推理判斷.

【詳解】函數(shù)/(x)=%3—2x定義域?yàn)镽,/(r)=(_x)3_2(-x)=-/(%),即“X)是奇函數(shù),

由玉+%2=0,得再=—工2，則/(再)+/(工2)=/(-、2)+/(%2)=0，

反之，取再=亞,x2二°，滿足/(再)+/(工2)=/(3)+/(°)=0，而玉+%2=女00,

所以〃西+々=0〃是'"(不)+/(%2)=0〃的充分不必要條件.

故選：A

7.如圖，三棱柱NBC-4片。中，E,尸分別是/C的中點(diǎn)，平面EFG4將三棱柱分成體積為匕匕（左

為匕，右為匕）兩部分，則匕：匕=（）

A.5:6B.3:4C.1:2D.5:7

【答案】D

【分析】設(shè)/E尸面積為電，和4耳。的面積為S,三棱柱高為A；/AEF-A1B1C1=匕；—BCFE-B1C1=匕；總

體積為：廣，根據(jù)棱臺體積公式求匕；匕=憶-匕以及面積關(guān)系，求出體積之比.

【詳解】由題：設(shè)面積為1，/8C和44G的面積為s,三棱柱高為〃；匕4EF-41B1C1=匕；

^BCFE-BICI=匕；總體積為：廠

計(jì)算體積：

匕=！〃（S]+S+歷）①

②

匕“匕③

由題意可知，④

根據(jù)①②③④解方程可得：匕=?〃，匕則%:匕=5:7.

故選：D.

8.春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)

造屬于我們自己的美好生活.隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長,

荷葉覆蓋水面面積都是前一天的:倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一

4

半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)1g2。0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

【答案】C

【分析】分析可得初始面積。與天數(shù)X對應(yīng)的面積關(guān)系式y(tǒng)=(xeN+),再根據(jù)題意取對數(shù)化簡求解

即可

【詳解】設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為。，則x天后荷葉覆蓋水面的面積>(xeNj,根據(jù)題意,

令2a,即245=52。-，，兩邊取以10為底的對數(shù)得⑷-2x)lg2=(20-x)lg5,所以

（41-2x）x0.3=（20-x）x0.7解得x=17.

故選：C.

3

,(2。I"+/''1在區(qū)間(-巴+⑹上對任意的無產(chǎn)超，都滿足"<0,則實(shí)

9.已知函數(shù)/(無)=

ax,x<\X'~Xi

數(shù)a的取值范圍是().

1

D.4口

【答案】C

【分析】由題意可得函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由題意，函數(shù)/(無)在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞減,

2a—1<0

解得。<“三,

貝I卜0<a<1

3

a>2a-l+—

[4

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：C.

10.已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝,a,=^=-4,a4=2,a5=8^,meN,,則滿足(4>1的數(shù)值N()

A.有且僅有1個(gè)值B.有且僅有2個(gè)值

C.有且僅有3個(gè)值D.有無數(shù)多個(gè)值

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求公差和公比，令%=a,j〃“=16(m-3)(-g)m,分情況討論，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析即可

判斷

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛6｝的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為g,

因%=4=—4,%=2,%=8b4,

[—4+3d=2a=z

則有父/人3,解得1，

1—4+4a=8x(―4Jqq=—

、2

令或=bm=[-4+2(m-1)]x[-4.(一白人=16(加一3)(一9,

可得q=16,C2=-4,C3=0,此時(shí)滿足%>1的只有加=1成立;

當(dāng)冽24時(shí)，顯然加一3〉0,

①若加是奇數(shù)，則％=16（洸-3）（-；）'"<0,顯然不滿足4>1；

16(m-l)(--)m+2

m-\1八2.3

②若加是偶數(shù)，則%>0，4+2>0，且占=-----------------=-(1+-----)<-<11,

%16(加-3))(—-)"'4(掰一3)4m-3---4

即%+2<%，可得1=。4>。6>。8>…，即4>1不成立；

綜上所述：滿足％,?4>1的數(shù)值加有且僅有1個(gè)值，即機(jī)=1.

故選：A.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.已知雙曲線C:J-a=l的虛軸長為2,則雙曲線C的漸近線方程是.

4b

【答案】y=±2x

【分析】首先求人，再求雙曲線的漸近線方程.

【詳解】由條件可知，a=2,b=l,所以雙曲線的漸近線方程為y=±fx=±2x.

故答案為：y=±2x

12.已知（x+jj展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，則〃=,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.

【答案】1015x

【分析】寫出［x+j］的通項(xiàng)，由展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，可得答案；由第一空，可得展開式中各項(xiàng)

系數(shù)為q。?￡，后由組合數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)y=:單調(diào)性比較r=0,1,2,3,4,5這六項(xiàng)系數(shù)即可得答案?

【詳解】設(shè)卜+展開式中的第r+1項(xiàng)為因展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng),

貝|尸=3n〃-3〃=〃-9=ln〃=10；

由上可知，展開式中各項(xiàng)系數(shù)為q0?￡,又q。=C>,函數(shù)>=:函數(shù)值隨著「增大而減小，則系數(shù)最

大項(xiàng)只能出現(xiàn)在7=0,1,2,3,4,5這6項(xiàng)中，注意到[=1儲。.：=5,%?：=?￡=15,

Co?[=券C?±=笑,則系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng),即15X.

2828

故答案為：10；15x.

13.AJ8C中，AC=BC,KBAC=60°,。為2c中點(diǎn)，E為48中點(diǎn)，M為線段CE上動(dòng)點(diǎn)，麗.互5=4,

貝!J|/C|=；萬7.而:的最小值為.

【答案】4--

4

【分析】根據(jù)即可條件可判斷出A48C為等邊三角形，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式展開題中式子即可算

出三角形邊長，最后根據(jù)三角形邊長建立平面直角坐標(biāo)系將各點(diǎn)表示出來運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答

案.

【詳解】空1：由題可知"8C為等邊三角形，而屈=；國?網(wǎng)cos6（T=4,

解得網(wǎng)=4,因此|網(wǎng)=陽=|/=4；

空2：如圖，設(shè)4（一2,0）,M（0,y）,其中0“42vL

AM=（2,y）,DM=（-1,y-^,AM-DM^-2+y2-4?>y,

當(dāng)y=?時(shí)，AM-DM^-2+y2-43y^~,即為而.方面的最小值.

故答案為：4；

14.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)

律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,…，記作數(shù)列｛?！埃?則q4=；若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,貝”67=.

1

11

121

1331

14641

【答案】42048

【分析】由題意可知％4是第5行第4個(gè)數(shù)，故而直接能得到答案；

令每行的序數(shù)與該行的項(xiàng)數(shù)相等可得第上行最后項(xiàng)在數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)數(shù)為乂（J;根據(jù)

絲二。＜67W組土可求得左=12,進(jìn)而可確定%位于第12行第1個(gè)；根據(jù)每一行數(shù)字和的規(guī)律可知

22

01210

567=（2+2+2+--+2）+C°1,計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知％4是第5行第4個(gè)數(shù)，所以q4=4：

使得每行的序數(shù)與該行的項(xiàng)數(shù)相等，則第先行最后項(xiàng)在數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)數(shù)為：處曰

設(shè)《7位于第M部N*）行，貝IJ：經(jīng)口＜674絲皿，解得：上=12

且第11行最后一項(xiàng)在數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)數(shù)為：□券=66,

%7位于楊輝三角數(shù)陣的第12行第1個(gè)

而第一行各項(xiàng)和為1=2°，第二行各項(xiàng)和為2=2、第三行各項(xiàng)的和為4=2?

依此類推，第上行各項(xiàng)的和為

1_211

121011

S67=（2°+2+2+---+2）+CI1=-p^-+l=2=2048

故答案為：4,2048.

15.已知曲線。：4小卜573=20,點(diǎn)耳（0,3）,7^（0,-3）,則下列結(jié)論正確的有

①.曲線c關(guān)于直線v=對稱

②.曲線c上存在點(diǎn)使得|九明刃=4

③.直線V=x與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)

④.曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)到直線>=當(dāng)x與y=一半x的距離之積為定值

【答案】②③④

【分析】數(shù)形結(jié)合并由雙曲線的性質(zhì)、定義結(jié)合直線與雙曲線的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離即可依次求解

判斷各選項(xiàng).

22

【詳解】由題當(dāng)x?0,時(shí)，曲線C:上-匕=1；

54

當(dāng)xNO,歹<0時(shí)，曲線。:乙+乙=1；

54

當(dāng)xvO,yNO時(shí)，曲線。不存在；

22

當(dāng)x<0,了<0時(shí)，曲線C:匕-土=1,故作出曲線C如圖所示：

45

選項(xiàng)①：法一：由圖可知，曲線C不關(guān)于直線歹=-無對稱，故①錯(cuò)誤；

法二：將4中|-5了回=20中的x替換為一弘y替換為-X,得-4引4+5小|=20,

與4》國-5引丁|=20不相同，故曲線C不關(guān)于直線V=對稱，故①錯(cuò)誤；

22

選項(xiàng)②：易知片（0,3）,&（0,-3）為雙曲線￡-'=1的上、下焦點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義可知|町|-|九里卜4,故②正確；

選項(xiàng)③：易知直線了=^x為雙曲線!-r=1與雙曲線9-]=1的一條共同漸近線，

直線V=半X的斜率小于直線了=X的斜率，

故直線y=x與曲線C在第一、四象限內(nèi)沒有交點(diǎn)，在第三象限內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，故③正確;

選項(xiàng)④：設(shè)曲線c上第一象限內(nèi)的點(diǎn)為尸值,%）（%>0,%>0），

則近一或=1,即調(diào)一黨=4,

5450

所以點(diǎn)尸到直線y=

275

點(diǎn)P到直線y=-竽xV52.75

的距離%=

=--3--%0-I-----5---

5420

所以"，2=§只-1焉=瓦，故④正確.

故選：②③④.

三、解答題：本題共5小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（滿分13分）在△/5C中，內(nèi)角4氏C的對邊分別為。也0.已知cos24=cos_8cosC-sin5sinC.

⑴求角A的大??；

⑵已知a=6,c=2V3.求l\ABC的面積.

【答案】（1）/=]（2）6百

【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出COS/的值，進(jìn)而可求角A；

（2）由余弦定理可得b,再利用三角形面積公式即可求出.

【詳解】（1）因?yàn)閏os2/=cos_8cosC—sin5sinC=cos（_S+C）=cos（萬一4）二—cosZ,

即2cos2/-1=-cosA，解得cosA=7■或cosA=-1............4分

2

因?yàn)樵凇?5C中，OvZv兀，

JT

所以工三............6分

（2）在A/BC中，由余弦定理/="+C2-26CCOS/,...........7分

得6?=〃+（2百）2-4Axg,

整理得〃-2揚(yáng)-24=0,

由6>0,解得6=46,

所以△N3C的面積為邑.C=g6csiM=：x4Gx26x5=6上............13分

17.（滿分14分）羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖，五面體/8CDE廠是一個(gè)羨除，其中四邊

形48co與四邊形/DE尸均為等腰梯形，且￡F/父D〃5C,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=屈,M為1AD

中點(diǎn)，平面8CEP與平面NDEF交于跖.

⑴求證：9〃平面CDE；

（2）已知點(diǎn)。是線段4E上的動(dòng)點(diǎn)，從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求直線M0與平面板所成角

的正弦值的最大值.

條件①：平面4DEFJ■平面/BCD；

條件②：EC=2.43.

【答案】⑴證明見解析；（2）且.

7

【分析】（1）證明四邊形BCDM為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）若選條件①，則需先證兩兩垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出與

平面M洱所成角的正弦值，借助二次函數(shù)即可解決；若選條件②，取的中點(diǎn)G,連接EG,CG,證明得

到平面ADEF1平面ABCD,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為條件①的解題過程.

【詳解】（1）因?yàn)?D//BC,且M為4D中點(diǎn)，所以必J//3C

又因?yàn)?D=4,AB=2,且M為4D中點(diǎn)，所以M）=8C,

所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以CDHBM,

又因?yàn)槠矫鍯DE,CDu平面CDE,

所以BMH平面CDE.......................4分

若選條件①：平面4DE尸，平面48cD,

取2C的中點(diǎn)N,取防的中點(diǎn)尸，連接

因?yàn)樗倪呅?28與四邊形ADE尸均為等腰梯形，所以兒廬，ND,MN1AD,

因?yàn)槠矫鍭DEFI平面ABCD,且平面ADEFP平面ABCD=40,MPu面ADEF,

所以MP_L平面/8CD,

因?yàn)镸Nu平面48cD,所以〃P_LMN,所以MP,MN,/。兩兩垂直............6分

故以M為原點(diǎn)，以"N,地＞,叱所在直線分別為x，V，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;

因?yàn)?。=4,EF=BC=AB=2,ED=5,

所以M（0,0,0）,/（0,-2,0）,川石,一1,0）,即0,1,3）,

所以石=（石,1,0）,A￡=（O,3,3）,

因?yàn)辄c(diǎn)。是線段/E上的動(dòng)點(diǎn)，所以而=彳”=（0,343X）0＞0）,

所以詼=疝+2芯=（0,-2,0）+（0,3432）=（0,32-2,32）,

設(shè)平面4BE的法向量為力=（x/,z）,

n_LABnAB=yfix+y=0-

則〈—■，即＜—.-,令x=G，則y=-3,z=3,

nlAE［萬?/E=3y+3z=0

所以平面板的法向量為元=（后-3,3）,.......................11分

設(shè)直線與平面板所成角0,

結(jié)合二次函數(shù)的知識可知：

當(dāng)X=：時(shí)，直線與平面板所成角的正弦值的最大值為小廠=殍............14分

3V21xV27

若選條件②：EC=2g,

取的中點(diǎn)G,連接EG,CG,

因?yàn)樗倪呅?BCD與四邊形/DE尸均為等腰梯形,

且/。=4,EF=BC=AB=2,ED=M,

所以EG=3,CG=5

在AGCE中，CG、GE2=CE2,所以CGLGE.

所以二面角E-NO-C為直二面角，所以平面40環(huán)，平面N8CD,

又平面4DEFD平面48CD=4D,MPu面4DEF,所以〃P_L平面4BCZ),

因?yàn)锳/Nu平面/5CD,所以“尸1MN,所以〃尸,〃N,40兩兩垂直...........6分

故以M為原點(diǎn)，以依所在直線分別為x/，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;

所以在=(石,1,0),AE=(O,3,3),

因?yàn)辄c(diǎn)。是線段ZE上的動(dòng)點(diǎn)，所以而=彳左=(0,3432),(2>0),

所以詼=疝+2芯=(0,-2,0)+(0,3432)=(0,32-2,32),

設(shè)平面4BE的法向量為力=(x/,z),

nlABn-AB=yfix+y=Q

則即《一,,令x=VJ,貝!J'=-3,2=3,

nlAEnAE=3y+3z=0

所以平面板的法向量為M=(石，-3,3),......................11分

設(shè)直線與平面板所成角0,

結(jié)合二次函數(shù)的知識可知:

當(dāng)4=g時(shí)，直線與平面板所成角的正弦值的最大值為6V42

............14分

721x72下

18.(滿分13分)隨著"中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)

生對于“中華詩詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)"中華詩詞"的時(shí)

間，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分組，并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O102030405060分鐘/天

圖1：甲大學(xué)圖2：乙大學(xué)

根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)"中華詩詞"的時(shí)間，可以將學(xué)生對于"中華詩詞"的喜好程度分為三個(gè)等級:

學(xué)習(xí)時(shí)間：(分鐘/天)r<2020白<50^>50

等級一般愛好癡迷

(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率；

⑵從這兩組"癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記忑為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求忑的分布列和數(shù)學(xué)期望

E?；

⑶試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)"中華詩詞”時(shí)間的平均值用甲與另乙的大小，及方差踮與的大小.(只

需寫出結(jié)論)

1——

【答案】⑴0.65(2)分布列見解析，-⑶4<X乙；s5>s:

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接用頻率估計(jì)概率即可得答案；

(2)由題知甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有2人，乙大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中"癡迷〃的

學(xué)生有6人，進(jìn)而根據(jù)超幾何分布求解即可；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖的分布，結(jié)合平均值，方差的意義分析求解即可.

【詳解】(1)解：由甲大學(xué)的頻率分布直方圖，結(jié)合等比分布表知，

甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中，"愛好”中華詩詞的頻率為：

(0.030+0.020+0.015)x10=0.65,

所以從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，"愛好”中華詩詞的概率為0.65.............4分

(2)解：由題知：甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中"癡迷"的學(xué)生有40x0.005x10=2人,

乙大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有40x0.015x10=6人，

所以，隨機(jī)變量^的取值為4=0,1,2.

17102ro

砥或_15尸d牛H=p尸管=2）竿1

所以,尸(4=0)

-28528,

所以。的分布列為

&012

153_1

P

28728

。的數(shù)學(xué)期望為E(/=0X￥+1X,+2XL=!............10分

2872o2

(3)解：由甲乙大學(xué)的頻率分布直方圖可知，乙大學(xué)的學(xué)生每天學(xué)習(xí)"中華詩詞”的時(shí)間相對較長，且集中,

所以，床甲〈/乙；s1>s；............13分

19.(滿分15分)已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx.

(1)若°=一1,證明：/(%)>0:

(2)若過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線能與曲線y=/(久)相切，求。的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析(2)(f0川卜2,+動(dòng)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，并求其最小值，即可證得結(jié)論成立；

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義化簡得出a(lnx(,-1)=%,分析可知。片0,可得

出j_=g二二從而可知工的取值范圍即為函數(shù)的值域，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

a%ax

【詳解】(1)當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)=(x-l)lnx,其中x>0,?f(x)=lnx+l-g,

因?yàn)楹瘮?shù)y=bx+l、>=-工在(0,+e)上均為增函數(shù)，

x

所以，函數(shù)/'(x)=lnx+l-：在(0,+。)上為增函數(shù)，且/'(1)=0,

當(dāng)o<x<i時(shí)，r(x)<r(i)=o;當(dāng)工>i時(shí),r(x)>r(i)=o.

所以，函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8),所以，/(x)^/(l)=o,

因此，對任意的x>0,/(x)20............6分

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo，(xo+a)lnxo),由題意可得/''(力=111丫+1+三，

所以，/，(x)=lnx+—+1=x+fllnx

00(o)o；

尤0尤0

可得與Inx。+Q+%O=%Inx。+alnxo,即〃(in/—1)=%,其中%>0,

當(dāng)。=0時(shí)，等式4。11/-1)=%顯然不成立，所以，。。0,

所以，l=lHVzl；令g(x)=gi,其中x>0,............10分

Q%'，X

則實(shí)數(shù)十的取值范圍即為函數(shù)g(X)的值域，g'⑺=1一0『)=2詈，

當(dāng)0<x<e2時(shí)，g'(x)>o,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x*時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，所以，g(x)111ax=g(e2)=5，

當(dāng)x->0時(shí)，g(x)f-co；當(dāng)xf+8時(shí)，g(x)-O,

且當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)>0.

所以，函數(shù)g(x)的值域?yàn)镮哈：，

由可得或即實(shí)數(shù)"的取值范圍是(-8,0川32,+8)............15分

20.(滿分15分)已知幺(2,1)是橢圓E：￡+《_=l(a>6>0)上的一點(diǎn)，且￡的離心率為"，斜率存在且

ab2

不過點(diǎn)A的直線/與E相交于P,。兩點(diǎn)，直線加與直線幺。的斜率之積為:

⑴求E的方程.

(2)證明：/的斜率為定值.

⑶設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/與線段CM(不含端點(diǎn))相交，且四邊形。尸/。的面積為2VL求/的方程.

【答案】(1)蘭+上=1(2)證明見解析(3)y=-1x+l

【分析】(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，并與離心率聯(lián)立求出。，b,c；

(2)設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，再根據(jù)條件即可證明.

(3)利用(2)中直曲聯(lián)立的結(jié)果，結(jié)合弦長公式求出|尸。|,再利用點(diǎn)到直線距離求出四邊形面積，得到

方程，求解方程即可.

411

—+—=I

ab

【詳解】（1）由題可知~~~~~~，解得/=8,Z?2=2,

a2

a2=b2+c2

22

故E的方程為二+2=l.............4分

82

（2）設(shè)/的方程為歹="+機(jī)，P（%i，yi）,。（%2，%），國工2,無2*2.

聯(lián)立方程組82

y=kx-\-m

整理得（4左之+i）%2+8而x+4/-8=0,............5分

A=64Hm2-06左2+4）（4加2-8）=128^2-16m2+32>0

目門,-m.i8km4m2-8

2

BPm<Sk+2,貝U%i+無2=一4小左2一+1；，七一了2=——4左2;-+-1-，

_%一1+m-l）（Ax2+m-l）

APAQ

x1-2x2-2xxx2-2（Xj+X2）+4

22

kxrx2+k（m-1）（項(xiàng)+x2）+（m-1）

xxx2_2（再+%）+4

k1（4加之—8）-8左之加（加—1）+（4左2+1）（加2—2加+1）

4m2—8+16km+16k2+4

m2—2m—4k2+11

4加2+16左加+16左2—44

整理得（2左+1）（加+2左一1）