2025年高考數(shù)學二輪復(fù)習：指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)+函數(shù)與方程（共8大考點）（解析版）

專題04指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)+函數(shù)與方程

T模塊導(dǎo)航一

考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

O>題型聚焦------------------------------------------

【考點1］求指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【考點2］根據(jù)指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【考點3】求指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的值域（最值）

【考點4］比較指數(shù)黑的大小

【考點5】由指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【考點6】零點個數(shù)問題

【考點7】零點代數(shù)和問題

【考點8］新定義問題

重點專攻-----------------------------------------

知識點1:指數(shù)函數(shù)的定義域與值域

1、定義域：

（1）指數(shù)函數(shù)了=1（?！?且awl）的定義域為H

（2）y=afM（a>0且a豐1）的定義域與函數(shù)V=/（%）的定義域相同

（3）y=/（優(yōu)）的定義域與函數(shù)y=7（%）的定義域不一定相同.

2、值域

（1）指數(shù)函數(shù)v=a\a>0且a手1）的值域為（0,+oo）

（2）求形如y=a/⑺的函數(shù)的值域，先求/（幻的值域，然后結(jié)合y=/（a〉0且awl）得性質(zhì)確定

y=afM的值域

(3)求形如y=/(優(yōu))的值域，轉(zhuǎn)化為先求f=a'(a>0且awl)的值域，再將f的取值范圍代入函數(shù)

y=/?)中.

知識點2：對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

函數(shù)y=a\a>0,且aw1)的圖象和性質(zhì)如下表:

知識點3：函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使/(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(%)的零點.

幾何定義:函數(shù)y=/(%)的零點就是方程/(%)=0的實數(shù)解,也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的公共點

的橫坐標.

這樣：方程于(x)=0有實數(shù)解o函數(shù)y=于(x)有零點o函數(shù)y=/(x)的圖象與%軸有公共點

知識點4：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用

1、函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有/(a)/S)<0,那么函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間(。/)內(nèi)至少有一個零點，即存在cc(a,?,使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的解.

提升專練------------------------------------------

A題型歸納

【考點11求指數(shù)(對數(shù))型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.（2024?河北?三模）函數(shù)"無）=log02（l-爐）的遞增區(qū)間為（）

A.（-1,0]B.（-1,1）C.[0,1）D.[0,4w）

【答案】C

【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.

11—f>0

【詳解】由函數(shù)“尤）=1%2（1-0，則函數(shù)“X）的遞增區(qū)間滿足x>0，解得0<x<l，

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為

故選：C.

2.（23-24高三上?廣西桂林?階段練習）函數(shù)〃對=1。83（爐+2犬-3）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

3

A.（一雙—3）B.°0,-1）

C.（1,+8）D.（3,+co）

【答案】A

【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”性質(zhì)求解.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域知：X2+2.X-3>0，即的定義域為（-?,-3）（1,y）,

y=10glX是減函數(shù)，當xe（-s,—3）時，J=X2+2X-3也是減函數(shù)，當xe（l,+w）時，是增函數(shù)，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（9,-3）；

故選：A.

3.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)>T%（—+4尤+12）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

3

A.（-oo,2）B.（2,+co）C.（-2,2）D.（-2,6）

【答案】C

【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用復(fù)合函數(shù)法可求得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】令>〃=一必+公+12,

3

由〃=——+4》+12>0,得一2<無<6,即函數(shù)y=l°g1（f2+4x+12）的定義域為（_2,6）,

3

因為函數(shù)y=10gl11是關(guān)于式的遞減函數(shù)，

3

函數(shù)“=-￡+4尤+12在（一2,2）上遞增，在（2,6）上遞減,

所以函數(shù)，=1°81（一》2+以+12）的單調(diào)遞減區(qū)間是（_2,2）.

3

故選：C.

4.（24-25高一上?江西宜春?階段練習）函數(shù)丫=1鳴（6+》-2巧的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）

【答案】C

【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則即可求解.

【詳解】由于6+彳-2/>0,解得=<x<2,故函數(shù)的定義域為

當函數(shù)y=6+x—2d單調(diào)遞減，而y=log2t在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

2

故y=log2（6+x-2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是2，

故選：C

【考點2]根據(jù)指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1.（24-25高一上?重慶?階段練習）設(shè)函數(shù)/（司=3代〃）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-叫0]B.[T,0）C.（0,4]D.[4,+00）

【答案】D

【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用復(fù)合函數(shù)"同增異減"的性質(zhì)求得二次函數(shù)對稱軸解不等式可得結(jié)果.

【詳解】易知函數(shù)=3傘田是由指數(shù)函數(shù)y=9和二次函數(shù)仁x（x-a）復(fù)合而成的；

再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，使二次函數(shù)f=x（x-。）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減即可；

因此｝2,可得ae[4,+oo）.

故選：D

2.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知函數(shù)〃x）=；在區(qū)間（T,。）上單調(diào)遞增，貝！的取值范

圍是（）

A.[0,+oo）B.[-2,+co）C.（-oo,0]D.（-oo,-2]

【答案】D

【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得y=x（a-x）在的單調(diào)性，再根據(jù)其對稱軸和區(qū)間端點值關(guān)系，

即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】因為y=［］為R上的單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，,=彳（。-"在（-1,0）單調(diào)遞減，

故與4-1,解得2.

故選：D.

3.（24-25高一上?廣東東莞?期中）已知函數(shù)〃x）=ln（7+2依-尤2）在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，則”的取值

范圍為（）

A.aW—1B.aN—1C.—3<。4—1D.——1

【答案】C

【知識點】由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】二次函數(shù)y=7+2"-V的對稱軸為無=環(huán)且開口向下，

因為函數(shù)y=lnx是正實數(shù)集上的增函數(shù)，

又函數(shù)”》）=皿7+26-n在區(qū)間［-1』上單調(diào)遞減，

則y=7+2ax-Y在區(qū)間卜1,1］上單調(diào)遞減，且y>0恒成立，

只需滿足匕i

故選：C.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=log.（/_加+x_2a）（a>0且中1）在區(qū)間（1,+刃）上單調(diào)遞減，

則。的取值范圍是（）

A.（o,gB.|,1^|C.（1,2］D.2+⑹

【答案】A

【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)

（分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)有關(guān),分0<4<1和。>1兩種情況討論,此外還要注意對數(shù)函數(shù)的定義域，

即真數(shù)為正；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減"，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合題干中“在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減”

得到真數(shù)部分函數(shù)的單調(diào)性，從而求得”的取值范圍.

【詳解】設(shè)函數(shù)8（%）=X3-加+了-2々，貝！Jg，（x）=3x2-2ax+l.

①若則y=log.x在定義域上單調(diào)遞減.

又/（x）=l0gli（/一雙2+尤_24在區(qū)間（1,+⑹上單調(diào)遞減，所以g（x）在區(qū)間（1,y）上單調(diào)遞增，故g'（尤"0

對任意的xe（1,+oo）恒成立.

又g'（l）=4—2a20,所以對任意的彳41,"）4（同上。顯然成立.

又因為g(尤)>0對任意恒成立，所以g⑴=2—3“20,tto<a<-.

②若。>1,則>=log/在定義域上單調(diào)遞增.

又“。=108“1_++了_2可在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)在區(qū)間。,+8)上單調(diào)遞減，故g'(x)W0

對任意的尤e(1,小》)恒成立.

因為拋物線>=3/-2依+1的開口向上，所以g'(x)W0不可能對任意的xe(L”)恒成立.

所以〃的取值范圍為.

故選：A.

【考點3】指數(shù)(對數(shù))型復(fù)合函數(shù)的值域(最值)

1.(2024?寧夏銀川?二模)已知函數(shù)〃x)=4'-2工+2-1,xe[0,3],則其值域為.

【答案】

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

【分析】令"2，，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間[L8]上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】令1=2",XG[0,3],

g(t)=t2-4t-l=(t-2)z-5,re[1,8]

又y=g⑺關(guān)于r=2對稱，開口向上，所以g⑺在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,8]上單調(diào)遞增，K|8-2|>|2-1|,

I=2時，函數(shù)取得最小值，即g(rL=-5,r=8時，函數(shù)取得最大值，即g(r)3=31,

.-./(x)e[-5,31].

故答案為：[-5,31].

6.(23-24高一上?廣東廣州)已知函數(shù)/(X)=a"-fa?*+1(-1WxVl,a>0且aw1).

(1)若a=2,笈=1,求函數(shù)/(x)的值域；

(2)若”:e[-2,2],加e[-1,1],使成立，求"的取值范圍.

一3'

【答案】⑴-,3

(2)]。1口艮+00)

【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】(D根據(jù)參數(shù)的值求解出函數(shù)的解析式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可；

(2)先將函數(shù)看成關(guān)于左的一次函數(shù)，運用不等式恒成立問題的處理方法將問題轉(zhuǎn)化為只含%一個變量的

函數(shù)問題，再運用存在性問題的處理方法求解參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(D解：a=2,左=1時，/(X)=22%-2%+1(-1<X<1),

人1c

令"2"，-,2,

/(X)可寫出關(guān)于1的二次函數(shù)g⑺=〃T+l,tw1,2,

"3"

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得g(t)w-，3,

"3"

所以當。=2,4=1時，函數(shù)/(X)的值域為-,3.

14」

(2)解：/>0,，/(x)可看成關(guān)于左的一次函數(shù)，且函數(shù)單調(diào)遞減，

V左e[-2,2]不等式/(毛)24成立，a?而一2。'。+1±4成立，

又為士1,1],/(%)24成立，；.玉0日-1,1]使得不等式產(chǎn)_2"。+1"成立，

令t=尤oe[T，1],又產(chǎn)-2*+1=(*—1J,g⑺=(-1)2,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g⑺最大值不小于4.

①a>l,后￡=所以g(r)=(一廳在上單調(diào)遞減，在(1,a)上單調(diào)遞增，

又g⑷-+-5，a+l-2>2^-2=0,

當且僅當。=1時等號成立，故。+工-2>0恒成立，又a〉l,a>-,所以g(a)>g]」，

aa\a)

此時函數(shù)g⑺的最大值為g(a)=(a-l)2,，(a-l)224,解得aN3；

(2)0<?<l,時，t=ax°ea,-,所以g⑺=(-1)2在(a,1)上單調(diào)遞減，在[1,「上單調(diào)遞增，

又g⑷-g<。，所以g⑷<g[￡|,此時函數(shù)g⑺的最大值為g=Q-1J,

>4,解得0<avg,

綜上，。的取值范圍為(o，；u[3,+s).

3.(23-24高一上?吉林)設(shè)函數(shù)(a>0且，awl,keR),若〃尤)是定義在R上的奇函

數(shù)且/⑴弓3

⑴求左和a的值；

⑵判斷其單調(diào)性(無需證明),并求關(guān)于，的不等式〃2，-1)</1一4)成立時，實數(shù)，的取值范圍；

⑶函數(shù)g(x)=/'+a3_”(x),xe[1.2],求g(x)的值域.

【答案】⑴"2,k=L

(2)增函數(shù)，f>3或r<-l

【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求

參數(shù)

【分析】(D/(*)為R上的奇函數(shù)，利用/(。)=0和/(1)=1,列方程即可求出％與。；

(2)判斷了(x)為增函數(shù)，利用/(%)的單調(diào)性解不等式；

(3)化簡g(x)=(2'-2f)2一4(2,-2一*)+2,利用f=2工一

可得g(x)=〃⑴=產(chǎn)一冬+2=”2)2-2,根據(jù)xe[l,2],判斷出f的范圍，進而得到g(x)的值域.

【詳解】(D??./(x)=總工-。-'是定義域為R上的奇函數(shù)，

xxxx

/./(0)=0,得左=1?此時，f(x)=a-a~9/(-x)=a~-a=-/(x),即/(%)是K上的奇函數(shù).

3131

,//(I)=—>—=—,即2/—3a—2=0,..〃=2或。=—大(舍去)

2a22

故a=2,k=l.

(2)明顯地，/(尤)為增函數(shù)，貝!)只需2%-1<〃一4,?-2r-3>0,

「">3或。<一1.

(3)g(x)=22￥+2-2X-4(2%-2-x)=(2%-2-r)2-4(2%-)+2,

^t=2x-2x(l<x<2),由(2),易知t=M(x)在xe[l,2]上為增函數(shù)，

"315"|

tG5,191?g(x)=〃⑺=?-4%+2=Q-2)2—2

當時15，g(%)有最大值1J7;

416

「17一

當，=2時，g(%)有最小值-2,「.g。)的值域是-2,京,

16

4.(24-25高一上?江蘇南京?階段練習)已知函數(shù)/(%)=叫/3>0,且"1),若函數(shù)在區(qū)間[L4]上的

最大值與最小值之和為2.

⑴求函數(shù)f(x)解析式，并求出關(guān)于X的不等式/(^4)<1的解集；

⑵求函數(shù)g(無)=/(：)"(2尤)，相[,4]的值域，并求出取得最值時對應(yīng)的X的值.

【答案】(l)/(x)?log2x,{x|無<-3或x>l}；

a

(2)[--,0],取最小值時尤=應(yīng)，取最大值時x=4.

【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍、由

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出最值列式求出。，再利用單調(diào)性解不等式.

(2)由(1)的結(jié)論求出g(x)并換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.

【詳解】(D函數(shù)/(x)=log〃x定義域為(0,+s),且/⑴在(0,+⑹上單調(diào)，

由函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值之和為2,

得k>g“l(fā)+log14=2,即210g“2=21og4a,解得。=2,

于是/(x)=log2X

/(^4)<i<=>iog2^4<iog22c>0<^4<2,

x+lx+1x+1

解^―；>0,得％<-1或%>1；

x+l

Yi丫Ia

解七<2,即士>0,得了<—3或%>-1,

x+lx+l

因此％<—3或%>1,

所以不等式/(口)<1的解集{x|x<-3或x>l}.

X+l

2

(2)由(1)知，g(x)=/(^)-f(2x)=log2(^)-log22x=(log2x-2)-(log2x+l)=(log2x)-log2x-2,

令log2%=/，由XE[1,4],得/E[0,2],h(t)=t2-t-2=(t-^)2-,

1a

當％=耳時，h(t)^n=--9此時X=0；當r=2時，恤)max=°，此時光=4,

所以函數(shù)g(x)的值域為[-彳,0],取最小值時X=0,取最大值時X=4.

5.(23-24高一上?湖北恩施?期末)已知函數(shù)=為奇函數(shù).

⑴解不等式/(x)>(

(2)設(shè)函數(shù)8(力=1崎,1幅：+小，若對任意的玉目2,4],總存在々40,1],使得8(菁)=/伍)成立，求實

數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴。,”)

叫「1洛3]?

【知識點】對數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、由奇偶性求參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不

等式恒成立問題

【分析】

(1)根據(jù)題意，求得。=-1,得到〃x)=",列出不等式色匚>3,即可求解；

(2)根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)"%)的值域的子集,結(jié)合對數(shù)的運算,求得g(無)w

~3-

結(jié)合/(x)e0,-,列出不等式組，即可求解.

【詳解】(D

解：由?的定義域為R,

因為/(X)為奇函數(shù)，可得-0)=號=0,解得4=一1,所以"x)="，

%

又由不等式/(%)>3"可得4一-1>3?,整理得牢>4,解得1>1,

54“+15

所以不等式/M>l的解集為(1,E).

(2)

解:因為％42,4],總有馬?0』,使得g&)=/(四成立,

所以函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)的值域的子集，

%%

而g(X)=10g2].10g2—+m=(log2x-l)(log2x—2)+m

^?=log2xe[l,2],所以8(同=產(chǎn)_3/+m+2=[_^]+加-：,

XX

所以g/x、em--1,m,又由〃尤)4=-整1:4==-k1-19=1一?片在「0,r1上遞增，

L4」'/4"+14r+14"+1

[,3

「

所以/(%)￡03,1-,所以:,13所以加的取值范F圍l為31.

51、八4545

m——>0

I4

【考點4】比較指數(shù)幕的大小

1.(2024?四川雅安?一模)下列不等式成立的是()

A.用4Rlog25<log412C.log73>y^D.(@">3.9

【答案】C

【知識點】比較指數(shù)塞的大小、比較對數(shù)式的大小

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.

【詳解】對于A,因為底數(shù)所以隨著指數(shù)的增大而減小，又|<土，所以故選項A錯

誤；

對于B,log412=1log212=log2712=log22V3,因為底數(shù)2>1,所以隨著真數(shù)位置的增大而增大,又5>2有,

所以log25>logJ2,故選項B錯誤；

對于C,因為log73>log7B=；,〈=豐〉g,所以log,s〉且，故選項C正確；

222。555

——12

對于D,因為W=239,（39）2,函數(shù)有兩個交點，分別是當x=2,x=4,

2,增長速度比/增長速度快，在（0,2）上2,>—在（2,4）上2，<一,

在（4,+力）上2r尤2,所以23°<（3.9。即押『<39,故選項口錯誤.

故選：C.

2.（2024?北京順義?二模）已知。=log42,b=,c=［,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【知識點】比較指數(shù)塞的大小、比較對數(shù)式的大小

【分析】利用對數(shù)運算計算用利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷，，c即可得答案.

【詳解】因為"1唱2=；,〃=c4>無。=1，

所以c>a>b.

故選：D

3.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測）設(shè)a=log?0.3,匕=1嗚。4,c=Q4o.3>則內(nèi)瓦。的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【知識點】比較指數(shù)幕的大小、比較對數(shù)式的大小

【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的單調(diào)性即可求解.

［詳解］因為log?0.3<log?1=0,所以a<0,因為log|0.4=Tog204=log2；>log22=l,所以b>l.

2N

因為0<0.4口3<0.4°=1,所以0<c<l,所以a<c<6.

故選:D

4.（2024?天津河北?二模）若。=3*6=log053,c=Qi,貝!ja,匕，。的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【知識點】比較指數(shù)幕的大小、比較對數(shù)式的大小

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.

52

【詳解】依題意，a=3°>3°=l,b=log053<log05l=0,c=0.3=0.09,

所以6<c<a.

故選:D

【考點5]由指數(shù)(對數(shù))型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.(24-25高一上?河北石家莊?階段練習)已知函數(shù)〃x)=log2d+1,g(x)=-2r+I.

⑴求證：/(x)為奇函數(shù)；

⑵解關(guān)于尤的不等式g(x)-g(2r)W2x-2

⑶若利叫-左Ng(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

【答案】(1)證明見解析

(2)[l,+co)

(3)(-℃,7]

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、基本不等式求和的最小值、由指數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】(1)根據(jù)奇偶性定義判斷可得答案；

(2)設(shè)6(x)=g(x)-x,根據(jù)/7(x)在R上的單調(diào)性可得答案；

(3)原不等式等價為后V界+26=3+3+2(2-1)對x>0恒成立，再利用基本不等式可得答案.

2—12-1

【詳解】(1)函數(shù)/(尤)=log?(2+1],即/(x)=log2二，

)X-1

可得X士+]>0,解得X>1或X<-1,

x-1

可得/(X)的定義域為{X|X<-1或X>1},關(guān)于原點對稱，

又/(-x)=log2二=-log2翌=-/(x),則/(X)為奇函數(shù)；

x+1x-1

(2)不等式g(x)-g(2-x)W2x-2,即為式g(x)-xWg(2-2-(2-力，

設(shè)/z(元)=g(x)-無，即〃(X)=-2"M-X,可得力(無)在R上遞減，

所以g(x)?g(2-x),所以xN2-x,解得Ml,

所以原不等式的解集為[L+8)；

(3)由2工>1或2*<-1，解得x>0,

X

所以2/g-八g(x)(尤>0)恒成立，即2g17言j_l_八-22，

化為-左12加，即左v|^1+2向=3+5；J+2(2，-l)對x>0恒成立

2*—12—12—1

2

由3+^^+2(2"—1)之3+2*2=7,

當且僅當丁7=2(2,-1),即x=l時，取得等號，

所以％47,即左的取值范圍是(-亂7].

2.(24-25高一上?福建福州?期中)已知定義域為R的函數(shù)“引=喜+6是奇函數(shù)，且/'⑴=-：

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)試判斷〃x)的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶解關(guān)于x的不等式/(2x-3)+/(x-l)<0.

【答案】⑴。=2,b=-l

(2)函數(shù)〃元)在R上為減函數(shù)，證明見解析

(明臼

【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式、由指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性解不等式

【分析】(1)法1：根據(jù)〃。)=0,〃1)=-(求解出。涉的值，并進行檢驗；法2：根據(jù)奇函數(shù)定義可得/(-無)=

-fW，結(jié)合/⑴二-；求得。涉的值；

(2)計算/(%)-/(%)并將其結(jié)果因式分解，根據(jù)條件判斷出/(%)-/(%)的正負，由此可知“X)的單

調(diào)性；

(3)根據(jù)奇偶性將不等式化為了(2x-3)W/(l-x),再根據(jù)單調(diào)性求解出不等式解集.

【詳解】(D法1：函數(shù)/(X)=E%+6是定義域為R的奇函數(shù)，

.?1(0)=0,即￡+6=0,

又/(1)=-1,即(院

由①②解得。=2,b=-l9

經(jīng)檢驗，4=2,6=一1符合題意.

法2：函數(shù)/（力=丹+6是定義域為R的奇函數(shù),

：,f（-x\=-f（x\即^^+6=____b,

'）'）2-x+l2A-+1

a'2'd7日口a，（2+1）

-------+=-2b,即_1_____-_2b，

2X+12X+1------------2X+1

/.a=—2bf

又〃1）=T，Bp|+^=-1,

由①②解得a=2,b=-\.

（2）函數(shù)在R上為減函數(shù).

證明如下：

2

由（1）得函數(shù)〃彳）=3節(jié)-1,任取占eR且再＜%,

則,（占）-/（芍）=（59[交+]TJ=2S+]―2g+廣（2』+]）（2*+1），

,&＜龍2，,？*—2』〉。，又（2為+1）（2f+1）＞0,

；?/（%）-/㈤＞0,即/（%）＞/（電），

二函數(shù)/（x）在R上為減函數(shù).

（3）函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，

二八2彳-3）+〃彳-1）＜0可化為/（2%-3）＜/。-力,

又函數(shù)/（無）在R上為減函數(shù)，

4

.\2x-3＞l-x,解得：x＞—,

原不等式的解集為“卜21.

3.（24-25高一上?山東淄博?期中）已知定義域為R的函數(shù)/（x）=U是奇函數(shù).

⑴求實數(shù)。的值.

（2）試判斷了（x）的單調(diào)性（無需證明），并求的值域.

⑶解關(guān)于x的不等式/（4，）+/（4-5x2'）＜0.

【答案】（l）a=l

（2"（x）單調(diào)遞增，理由見解析，“X）的值域為（T1）;

⑶（。，2）

【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由奇偶性求參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性解不等式

【分析】（1）根據(jù)f（-x）=-f（x）得到方程,得到a-1=0,求出a=l；

（2）定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，變形判號，下結(jié)論，并由y=一,變形得到2'=土^>0,

2+1y~[

解不等式，求出值域；

（3）由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，得到4'<5x2,-4,解不等式，求出解集.

【詳解】（D為定義域為R上的奇函數(shù)，故/（r）=—〃x）,

2-x+l2A+1'八'

故a-1=。，解得〃=1；

（2）由（1）知，〃耳=3，在R上單調(diào)遞增，

任取士,尤26R,且玉<々，

10巧1QX]+1z-^Xj+l

2皆+[-2*+]―（2,+1）（2均+1），

因為再<尤2，y=2*在R上單調(diào)遞增，故2'出-2也+1<0,

又23+1>0,2加+1>0,

2司+1_2為+i

所以八匹）一〃％）=/而旬<。，故〃石）<〃々），

所以〃x）在R上單調(diào)遞增，

V=U，變形得到2'==>0,解得-l<y<l,

2+1）T

故“X）的值域為（-1,1）；

（3）“X）為定義域為R上的奇函數(shù)，

故/（4'）+/（4-5x2，）<0n/（4"）<-/（4-5x2，）n/（4,）</（5x2=4）,

由（2）知，〃力在R上單調(diào)遞增，

所以4'<5x2'-4,令2工=/>0,

貝！1/一57+4<0,解得

故2,e（1,4）,解得xe（O,2）,

不等式解集為（0,2）

4.（24-25高三上?河南?期中）已知函數(shù)"x）=log2（六-1]為奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)求滿足f(x)<log?(x+2)-log也x的*的取值范圍.

【答案】⑴。=4

(2)(0,1)

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)先求出函數(shù)/(x)的定義域，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(D因為函數(shù)“X)為奇函數(shù)，所以f(r)=一/㈤,

-1

則log2

<7—2—x?1?a/a—2+x2-x

即10g2FIT-t=-logo=log

2—x2a—2+%

貝I]a=4.

(4、?+r

(2)由(1)知，/(x)=log--------1=log--,

2\2-x)22-x

由三^>0,解得-2Vx<2,即函數(shù)的定義域為(-2,2),

由/(*)<1。82(*+2)-108點%,0<x<2,

2H-X

即log----<log,(x+2)-log也無，

22—x

即log2(X+2)-log2(2-x)<!10g2(x+2)-log忘X,

2

即log2(2-x)>log^x=log2x,

則2-x>尤2,解得

又0<x<2,貝!|0<x<l,

即x的取值范圍為(0,1).

5.(24-25高一上?江蘇蘇州?期中)已知函數(shù)〃無)=?^是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的

偶函數(shù)，當無20時，g(x)=x2+x+l.

⑴求“X)和g(x)的解析式，并判斷/(%)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性(霸要證明)；

⑵若對Vxe[T,2],都有g(shù)(〃尤))<g(log”z),求實數(shù)機的取值集合.

【答案】⑴〃司=二；g(x)]：+”+了黃；證明見解析.

%-+4一尤+1,尤<0

(2)<m\m>y/2或0<m<

【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、由函數(shù)奇偶性解不等式、由對數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】(D由〃0)=。即可求得函數(shù)“X)的解析式，再由函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù)，即可得到其解析

式，再由函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明〃x)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，⑺1<|log4H，再由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得|〃x)L，

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.

【詳解】(1)因為=是定義在R上的奇函數(shù)，所以〃0)=(=0,即。=0,

所以"x)=言，且滿足/(-力=*=-7(可，即73=言；

設(shè)1<0,貝!)一%>0,即g(-x)=(-x)2+(-x)+1=x1-x+l,

又g(%)是定義在R上的偶函數(shù)，貝！|g(x)=g(T)=f—%+l，

x2+x+l,x>0

所以g(x)=<

x2-x+1,x<0,

/(%)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減.

證明：任取不，w￡(-2,2),且七<工2,

一九]一入2一再工;一4石+/X；+4犬2

則〃占)-〃々)

X；+4%2+4儲+4乂考+4

2(%一工2)+4(%2—%)(%一％2)(%1%2-4)

位+4乂考+4)儲+4代+4)，

由一2<%<2可得再一馬<0,xix2-4<0,片+4>0,xf+4>0,

所以/(巧)>0,即〃匕)>〃9),

所以“X)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減.

(2)因為g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

且當xNO時，g(x)=x2+x+l,其對稱軸為x=-g,

所以當xNO時，g(x)單調(diào)遞增，

對Vxe[-1,2],都有g(shù)(/(%))〈gpogw),即|〃x)L<岷4時,

由(1)可知，〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，

且xe[-l,2]時,〃x)單調(diào)遞減，

所以『⑺L=/（2）1=后1

所以|log4時〉:，即log.〉；或logjv-

當log4m1時，即iOg4m>Jog44*=log4A/2，解得m>y/2;

當log4根〈一;時，即log4機<log44"=log4,解得0<根<]^;

綜上所述，實數(shù)機的取值集合為m也或o<m<

6.（22-23高一上?湖南長沙?期末）已知無）=log?M（。>°，且.

⑴求函數(shù)“X）的定義域;

（2）當尤?-刁（其中年（-1,1）,且，為常數(shù)）時，“X）是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不

存在，請說明理由;

⑶當。>1時，求滿足不等式）（X-2）+/（4-3x）>0的實數(shù)X的取值范圍.

【答案】

（2）當。>1時存在最小值，當0<。<1時，不存在最小值，理由見解析

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由對數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】⑴根據(jù)真數(shù)大于零解不等式即可求定義域;

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值；

⑶利用函數(shù)的奇偶性單調(diào)性解不等式.

1—xI";或l-x<0

【詳解】（1）由心>°可得

l+x<0,

解得即函數(shù)"%）的定義域為（T1）.

1玉1%22（%—%）

（2）設(shè)一1<%<,<1,則

l+.x,1+x,（1+Xj）（1+%,）'

/\/\1—X.1—X9

-l<x,<x,<1,x2-x1>0,（1+玉）（1+60-宣

①當a>l時/&）>〃動,則在上是減函數(shù)，又fe（-U）,

二時，“X）有最小值，且最小值為了⑺=log”￡；

②當0<0<1時，/㈤</（苞）,則“X）在上是增函數(shù)，又re（-U）,

尤時，“X）無最小值.

（3）由于/（X）的定義域為（-M）,定義域關(guān)于原點對稱，

且〃-x）=log,==log?1-XI'=-/（%），所以函數(shù)”X）為奇函數(shù).

1-X1+X

由（2）可知，當a>l時，函數(shù)”力為減函數(shù)，由此，不等式“X-2）+"4-3x）20等價于

/（x-2）>-/（4-3x）=/（3x-4）,

x—2?3x—4

,解得l<x<2,

即有-Kx-2<1

-1<4-3尤<1'

所以x的取值范圍是

【考點6］零點個數(shù)問題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)"%）=：一；①二。,函數(shù)g（x）=/（〃尤））一〃尤）一1,

1HX,%>U2

則函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)

【分析】根據(jù)曲線丁=1曲在點（1,0）處的切線方程判斷曲線y=lnr和y=f+l的交點情況，求方程/⑺=/+1

的根，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理判斷該根的大致范圍，判斷f（x）的圖象與直線y=fo,

4e

的交點情況

【詳解】函數(shù)g（x）的零點個數(shù)即方程/（/（力）-〃尤）-1=0的根的個數(shù).令/=〃"，則方程

/（〃尤））一〃同一1=。等價于］；（：［2］.

求曲線y=lnx在點（1,0）處的切線方程，得曲線y=lnf和y=r+l的交點情況

對于函數(shù)y=ig,易知當x=l時y=o,y=-,/L,

無X=1

故曲線y=hu在點（1,0）處的切線方程為y=x-l,

因此曲線y=lm和y=f+l無交點.（技巧：通過研究曲線y=在點（1,0）處的切線，

數(shù)形結(jié)合判斷曲線y=lnr和y=f+l的交點情況）

求方程/（。=7+1的根，并判斷該根的大致范圍：

將y=，+1代入y=—t2—2at,得r+（1+2a）/+1=0,

13

貝?。〢=46+40-3,令A(yù)=0,^a=-^a=--f

故當0<〃<；時，A<0,y=一〃一2點與y=%+l無交點，

作出函數(shù)y=/（。和y=，+l的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，

方程〃。二方+1有且僅有1個解，且此解就是方程或+/+1=0的解.

易知函數(shù)Mx）=lnx+x+l是增函數(shù)，且/，j=：>0,//Q^=-21n2+|<0（點撥：因為

44=256>243=35>e5,所以4〉/，故21n2>；）因此方程ln/+r+l=0的解％eJ.

2

又當x<0時9-%?-2（ixWQ?<—,所以—X—2ax-辦無解，顯然|lnx|=/o有2個解，

所以函數(shù)g（x）有2個零點，

故選：B.

2.（2024?廣東湛江?一模）函數(shù)/（x）=lg（x+l）-1零點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)

【分析】數(shù)形結(jié)合思想，分別作出y=ig（x+D和y=^■的圖象即可求解.

X

fx+1>0/、/、1/、/、

【詳解】解：由n，得函數(shù)〃尤）=炮（％+1）-上的定義域為（一1，。）。（。，+功，

[XWUX

函數(shù)"X）=想（無+1）-,零點的個數(shù)零點個數(shù)，

X

即函數(shù)y=W+D的圖象和函數(shù)y=」的圖象的交點個數(shù)，

如圖所示:

數(shù)形結(jié)合可得