2025年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升講義：解一元一次不等式（知識(shí)串講+考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)）解析版

第13講解一元一次不等式

-?模塊導(dǎo)航A素養(yǎng)目標(biāo)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解與掌握不等式的性質(zhì)；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三的解法；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)3.在依據(jù)不等式的性質(zhì)探究一元一次不等式解法過程

中，加深對(duì)化歸思想的體會(huì)。

紛模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)-

表小大小關(guān)系

-------式--子------

---------用不等式連接

不等式的解未知數(shù)的值使不等式成立

定義不等式的所有解組成的集合

不等式的解集

一

表ZF

解不等式求解集的過程

力口、減同（式子）--------------

--------------------------------方向不變

兩邊同時(shí)乘、除以同一個(gè)正數(shù)

乘、除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向改變

一元一個(gè)未知數(shù)一

一次次數(shù)是1<-

不等式

?去分母u不等號(hào)的方向

一元一次不等式

?去括號(hào)

不等式T的項(xiàng)__

解法?移項(xiàng)二二、口力二趣動(dòng)

?合并同類項(xiàng)

?系數(shù)化為1

◎模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

1.不等式

不等式的定義：用符號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，像xW2這樣用符號(hào)“W”表示的

不等關(guān)系的式子也叫不等式.

常見的不等式基本語言與符號(hào)表示

不等式基本語

不等式基本語不等式基本語

符號(hào)表示—符號(hào)表示符號(hào)表示

a是正數(shù)a>0a是非正數(shù)a<0a、b同號(hào)ab>0

a是負(fù)數(shù)a<0a是非負(fù)數(shù)a》0a>b異號(hào)ab<0

【補(bǔ)充說明】方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.

2.不等式的解及解集

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.

不等式x>ax<ax2axWa

表示

數(shù)軸表

示------------>-

aaaa

【易錯(cuò)點(diǎn)】用數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要注意兩點(diǎn)：

1）確定邊界點(diǎn)，若邊界點(diǎn)表示的數(shù)是不等式的解，用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)表示的數(shù)不是不等式的解，則用

空心圓圈；

2）確定方向，小于邊界點(diǎn)表示的數(shù)時(shí)向左畫，大于邊界點(diǎn)表示的數(shù)時(shí)向右畫.

解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或若a>b,則a±c>b±c

同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變

性質(zhì)2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，若a>b,c>0,則ac>bc（或

cC

不等號(hào)的方向不變

性質(zhì)3不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，彳若a>b,c<0,則acVbc（或2V2）

cc

等號(hào)的方向改變

互逆性若a>b,則b<a,若a<b,則b>a

傳遞性若a>b,b>c,貝!Ja>c

【補(bǔ)充說明】運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)：

1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算.

2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子.

3）在乘（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向.

4）所謂不等號(hào)方向改變，就是指原來的不等號(hào)方向改變成與其相反的方向，如“〉”改變方向后就變成

<

4.一元一次不等式

定義：一般地，不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不等式的左右兩邊都是整式，像這

樣的不等式叫一元一次不等式.

一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)

是1.

一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+&>0（a*0）.

5.一元一次不等式的解集及表示方法

定義：一元一次不等式的所有解組成的集合，叫做一元一次不等式的解集.

表示方法：

1）用不等式表示：如一元一次不等式5x—12<2（4x—3）的解集是xN-2.

2）用數(shù)軸表示：要確定邊界和方向：

①邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)的是空心圓圈；

②方向：“小于向左，大于向右”畫折線.

6.解一元一次不等式的一般步驟為:

步驟具體做法注意事項(xiàng)

去分在不等式兩邊都乘以各分母的最小1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；

母公倍數(shù)，得到系數(shù)為整數(shù)的不等式2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.

3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).

去括先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去1）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，不要漏乘；

號(hào)

大括號(hào)2）若括號(hào)外是負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)負(fù)號(hào)都要

改變符號(hào)..

移項(xiàng)一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式1）移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng)；

左邊，其它項(xiàng)都移到不等式右邊2）將不等式中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào)，而在不等式

同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).

合并把不等式變?yōu)閍x<6、1）不要漏項(xiàng)；

同類ax<b>ax>b、ax>b2）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng).

項(xiàng)（a—0）的形式3）字母及指數(shù)保持不變.

系數(shù)將不等式化為1）不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)；

化為%>2或或x<—或x22的2）當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向發(fā)生改變.

1aaaa

形式

【補(bǔ)充說明】

1）進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變

不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論.

2）在解一元一次不等式時(shí)，上述的五個(gè)步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據(jù)

不等式的形式靈活安排求解步驟.

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)一：不等式的識(shí)別

1.（23-24七年級(jí)下?全國?期中）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中:①一3<0；@a+b>0；③x=2；@%^5；⑤

x+2<y+3.不等式的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】由不等號(hào)（>,<,>,<,H）連接的式子叫不等式.本題考查了不等式的定義，熟練掌握不等

式的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：不等式有：①一3<0；②a+b>0；④XH5；⑤x+2Wy+3；

共有4個(gè).

故選：C.

2.（23-24七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期末）下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式有（）.

①—3<0；②4x+3y>0；③x=3；@x2+xy+y2；⑤*力2；（6）x+2>y+3.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了不等式.根據(jù)不等式的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：不等式有①②⑤⑥，共4個(gè).

故選：C

考點(diǎn)二：理解不等式的定義

3.（23-24七年級(jí)下?山西臨汾?期中）交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全.在通過隧道時(shí)，我們往往會(huì)

看到如圖所示的標(biāo)志，該標(biāo)志表示車輛高度不超過4.5m,則通過該隧道的車輛高度x（m）的范圍可表示為

45m

A.x>4,5B.x>4,5C.x<4.5D.0<%<4.5

【答案】D

【分析】本題主要考查不等式的定義.根據(jù)標(biāo)志牌的含義列不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得：0<xW4.5,故D正確.

故選：D.

4.（23-24七年級(jí)下?河北保定?期末）下列說法中，正確的是（）

A.尤=1是不等式3乂>5的解B.x=2是不等式3%>5的唯一解

C.久=2是不等式3x>5的解集D.x=2是不等式3久>5的一個(gè)解

【答案】D

【分析】本題考查了不等式，解集，唯一解，一個(gè)解的定義的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

所有滿足不等式的數(shù)的全體稱為這個(gè)不等式的解集，%=a（a是不等式解集中的一個(gè)數(shù)）我們僅可以說它是滿

足這個(gè)不等式的一個(gè)解，所有解的全體稱為解集，解集中的一個(gè)數(shù)稱為不等式的一個(gè)解，當(dāng)不等式的解有

且只有一個(gè)時(shí)，則稱它為這個(gè)不等式的唯一解，根據(jù)解集，唯一解，一個(gè)解的定義，以此判斷四個(gè)選項(xiàng)即

可選出正確答案.

【詳解】解：解不等式3%>5,

可得x>*

A.由于x=l<|,故x=1不是不等式3x>5的解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.由于X=2>￡,故x=2是不等式3x>5的一個(gè)解，但不是唯一解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.由于x=2>,故x=2不是不等式3x>5的一個(gè)解，但不是解集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.由于x=2>|,故x=2不是不等式3x>5的一個(gè)解，故選項(xiàng)正確；

故選D.

5.（23-24七年級(jí)下?山東淄博?期末）若"+）7口5是不等式，則符號(hào)"口"不能是（）

A.-B.<C.>D.<

【答案】A

【分析】本題考查了不等式的定義，根據(jù)不等式的定義判斷即可.熟練掌握用符號(hào)">"或"（"表示大小關(guān)

系的式子，叫做不等式，像a+2力a-2這樣用符號(hào)"不”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

【詳解】解：,??％+y工5,x-Fy>5,%+yV5都是不等式，

???選項(xiàng)B,C,D都不符合題意；

-%+y—5不是不等式，

?,?選項(xiàng)A符合題意.

故選：A.

6.（23-24七年級(jí)下?山西長治?期末）某雙向六車道高速公路，分車道、分車型組合限速，其標(biāo)牌版面如圖

所示.每個(gè)標(biāo)牌上左側(cè)數(shù)字代表該車道車型的最高通行車速（單位：km/h）,右側(cè)數(shù)字代表該車道車型的最

低通行車速（單位：km/h）.王師傅駕駛一輛貨車在該高速公路上依規(guī)行駛，車速為ukm/h,則車速"的范

圍是（）

Q_<小客車道/客貨車道U客貨車道）Q

A.90<v<100B.80<v<100C.60<v<100D.60<v<120

【答案】C

【分析】本題考查了不等式的定義.由王師傅駕駛的車輛是貨車，可得出王師傅應(yīng)走右側(cè)兩車道，結(jié)合右

側(cè)兩車道標(biāo)牌上速度，即可得出車速"的范圍.

【詳解】解：:王師傅駕駛的車輛是貨車，

王師傅應(yīng)走右側(cè)兩車道，

???車速"的范圍是60<v<100.

故選：C.

7.（23-24七年級(jí)下?四川宜賓?期末）如圖，是校園內(nèi)限速標(biāo)志，若用憶表示速度，請(qǐng)用含字母修的不等式

表示這個(gè)標(biāo)志的實(shí)際意義.

校內(nèi)行車

|注意安全

【答案】y<5

【分析】本題考查列不等式.正確的識(shí)圖，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，列出不等式即可.

【詳解】解：由圖可知：v<5；

故答案為：v<5.

考點(diǎn)三：不等式的性質(zhì)

8.（23-24七年級(jí)下?湖南衡陽,期末）若a>b,則下列不等式中，不成立的是（）

A.a+6>b+6B.。-6>b—6C.6a>6bD.—6a>—6b

【答案】D

【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

直接利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：

A、a+6>b+6,故原不等式成立，不符合題意；

B、a-6>b-6f故原不等式成立，不符合題意；

C、6a>6h,故原不等式成立，不符合題意；

D、-6a<-6bf故原不等式不成立，符合題意，

故選：D.

9.（24-25七年級(jí)上?江蘇常州?期中）若a<0,a+h<0,a+2b>0,則下列結(jié)論中正確得是（）

A.b<0B.a-b<0C.\a\<\b\D.a-2b>0

【答案】B

【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，通過解不等式確定大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

先確定b的大小關(guān)系，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：??r+b<0,a+2b>0,

：.a+b<0①，—a—2b<0②，

.??①+②可得力>0,即A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

，:b>0,

?*.—b<0,

va<0,

.?.a—b<0,即B選項(xiàng)正確；

va+bV0,

-CL—bV0,

—a>b,

vb>0,a<0,

?,?|a|>\b\,即C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

：.a+26>0,

：.a>—2b,

：.a—2b>—2b—2b=—4b,

,.力>0,

—4b<0,即a—2bV0

故在4B,C,。四個(gè)選項(xiàng)中a—b<0成立.

故選：B.

10.（23-24七年級(jí)下?廣東肇慶?期中）若a>b,則下列不等式一定成立的是（）

A.3a>6+1B.a+l>b+lC.-2a>-2bD.|a|>\b\

【答案】B

【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)和絕對(duì)值.解決本題的關(guān)鍵是熟練地掌握不等式的基本性質(zhì)，并且

會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的定義求出一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

【詳解】解：A選項(xiàng)：當(dāng)a=0.1、6=0時(shí)，a>b,但是3a=3x0.1=0.3,b+l=l,3a<b+l,故A

選項(xiàng)不一定成立；

B選項(xiàng)：當(dāng)a〉b時(shí)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)一，不等式兩邊同時(shí)加上1可得：a+b>b+l,故B選項(xiàng)一定

成立；

C選項(xiàng)：當(dāng)a>b時(shí)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)三，不等式兩邊同時(shí)乘以一2可得：—2a<—2b,故C選項(xiàng)不成

立；

D選項(xiàng)：當(dāng)a=2、b=—3時(shí)，|a|=2、網(wǎng)=3,可得：|可<網(wǎng)，故D選項(xiàng)不一定成立.

故選：B.

11.（24-25七年級(jí)上?湖北武漢?期中）下列說法正確的是—（只填序號(hào)）.

①）如果一a>a,則a-'定是負(fù)數(shù)；

②如果|a|>a,則a一定是負(fù)數(shù)；

③如果5>a,則。一定是負(fù)數(shù)：

④如果a?>a,則a一定是負(fù)數(shù)或大于1的正數(shù).

【答案】①②④

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì).根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)說法逐一判斷，即可得到答案.

【詳解】解：①如果—a>a,則。一定是負(fù)數(shù)，①說法正確；

②如果|a|>a,則a一定是負(fù)數(shù)，②說法正確；

③如果3>a,則a是負(fù)數(shù)或大于0小于1的數(shù)，③說法錯(cuò)誤；

④如果a2>a,則a一定是負(fù)數(shù)或大于1的正數(shù)，④說法正確.

故答案為：①②④.

12.（23-24七年級(jí)下?山東濟(jì)寧?期末）下列四個(gè)不等式：（1）ac>be；（2）—ma<—mb；（3）ac2>be2；

（4）藍(lán)>1,一定能推出a>b的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：不等式兩邊同時(shí)加上或減去一

個(gè)數(shù)或者式子，不等號(hào)不改變方向，不等式兩邊乘以乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，不等式兩

邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)改變方向，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：（1）只有當(dāng)c>0時(shí)，才能由ac>bc,推出a>6,不符合題意；

（2）只有當(dāng)一時(shí)，才能由一ma<—mb,推出a>b,不符合題意；

（3）由我2>兒2可以推出a>b,符合題意；

（4）只有當(dāng)b>0時(shí)，才能由r>1,推出推出a>b,不符合題意；

故選:Ao

考點(diǎn)四：一元一次不等式的識(shí)別

13.（23-24七年級(jí)下?青海海東?期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（）

1

A.4>1B.x<yC,3x-3<2D.->1

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)

的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次，不等式的左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫一元一次不等式，據(jù)此判斷即可求解,

掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、不等式4>1不含未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不等式x<y含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不等式3x—3<2是一元一次不等式，故本選項(xiàng)符合題意；

D、不等式§>1不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

14.（23-24七年級(jí)下?四川內(nèi)江?期中）下列各式是一元一次不等式的有（）個(gè)

（1）3%+2>%—1；（2）5%+3<0；（3）1+3<5%—1；（4）—1）<2%

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】此題考查一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,用不等號(hào)連接，且

不等號(hào)兩邊都是整式的式子是一元一次不等式，根據(jù)定義依次判斷.

【詳解】解：（1）,（2）,符合定義，

（3）不等號(hào)左邊不是整式，不符合定義，

（4）去括號(hào)后是x<2x,最高次數(shù)是2,不符合定義，

故選：B.

15.（23-24七年級(jí)下?山西晉城?期中）下列不等式中，一元一次不等式有（）

0%2+4>2%；@|-1>0；③2x-3>5y；④牛N5n；⑤4y>-1.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要依據(jù)的知識(shí)是一元一次不等式的定義.熟記不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)

是1,且不等式的兩邊都是整式，這是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元一次不等式的定義“不等式的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1",進(jìn)

行解答即可.

【詳解】①/+4>2x不是一元一次不等式，因?yàn)樽罡叽螖?shù)是2；

②1>0不是一元一次不等式，因?yàn)槭欠质剑?/p>

02%-3>5y不是一元一次不等式，因?yàn)橛袃蓚€(gè)未知數(shù)；

④號(hào)>51T是一元一次不等式；

⑤4y>一1是一元一次不等式.

綜上，只有2個(gè)是一元一次不等式.

故選B.

考點(diǎn)五：根據(jù)一元一次不等式的定義求參數(shù)

16.（21-22七年級(jí)下?重慶?階段練習(xí)）若（巾+1）%澳+2|+4<0是關(guān)于光的一元一次不等式，則機(jī)的值為

（）

A.-1B.-3C.-2D.-3或-1

【答案】B

【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出心的值.含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等

式，叫做一元一次不等式.

【詳解】解:■■（m+l）x|m+2l+4<0,

■■■m+1K。且+2|=1,

解得m=-3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵.

17.（21-22七年級(jí)下?福建福州?期末）若⑺—1M刑—3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則機(jī)的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義得到小一1a0,|加=1,即可求出加.

【詳解】解：,；（巾一l）x㈤—3>0是關(guān)于X的一元一次不等式，

■-m.—1彳0,|m|=1,

解得m=-l,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的定義并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

18.（2023七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次不等式2a—02+3。|>2,貝i]a的值（）

A.-1B.1或—~C.—1或——D.一—

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可.

【詳解】解：:？。一xM+3a|>2是關(guān)于x的一元一次不等式，

123al=1,

???a="或-L

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，類似于一元一次方程，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,

未知數(shù)的系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式.

考點(diǎn)六：解一元一次不等式

19.（24-25七年級(jí)上?云南昆明?期中）若|a—5|=5—a,則a的取值范圍為（）

A.a<5B.a<5C.a>5D.a>5

【答案】A

【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，求解一元一次不等式，根據(jù)絕對(duì)值的意義可得到a-5W0,求出結(jié)果

即可.

【詳解】解：,.'|a-5|=5-a,

a—5W0,

?1?a<5,

故選：A.

20.（24-25七年級(jí)上?吉林?期中）已知關(guān)于x的方程5x+3k=9的解是非負(fù)數(shù)，求k的取值范圍.

【答案】fc<3

【分析】本題考查根據(jù)方程的解的情況求參數(shù)的范圍，求不等式的解集，先求出方程的解，根據(jù)方程的解

是非負(fù)數(shù)，列出不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：解5x+3k=9,得：刀=手，

■方程5x+3k=9的解是非負(fù)數(shù)，

.與20,

解得：k<3.

21.（24-25九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）己知，整式30+機(jī)）的值為P

017

⑴當(dāng)爪=1時(shí)，求尸的值；

⑵若P的取值范圍如圖所示，求加的取值范圍.

【答案】（1）4

（2）m<2

【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，利用數(shù)軸表示不等式的解集，一元一次不等式的應(yīng)用，解一元一次不

等式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

（1）把m=1代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于加的不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)巾=1時(shí)，P=3（|+m）=3x（l+l）=3xi=4;

（2）解：由數(shù)軸可得，P<7,BP3（|+m）<7,

解不等式得，m<2.

考點(diǎn)七：以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元一次不等式

22.（23-24七年級(jí)下?山西臨汾?期末）下面是小明同學(xué)解不等式的過程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

解不等式：平〉等—1

解:2(2x—1)>3(3%—2)—6第一步

4%-2>9%-6-6第二步

4x-9x>-6-6+2.第三步

-5%>-10.第四步

x>2第五步

任務(wù)一：填空：①小明解不等式過程中，第二步是依據(jù)_（填運(yùn)算律）進(jìn)行變形的；②第一步開始出錯(cuò)，這

一步錯(cuò)誤的原因是」

任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該不等式的解集，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

【答案】任務(wù)一：乘法分配律；五，不等式兩邊都除以-5,不等號(hào)的方向沒有改變；任務(wù)二：x<2,數(shù)軸

見解析

【分析】本題考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步驟進(jìn)行，求出不等式的解

集，即可完成任務(wù)一與任務(wù)二.

【詳解】解：任務(wù)一：①小明解不等式過程中，第二步是依據(jù)乘法分配律進(jìn)行變形的；

②第五步開始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是：不等式兩邊都除以一5,不等號(hào)的方向沒有改變；

任務(wù)二：該不等式的解集為：x<2,用數(shù)軸表示如下：

共砌3吵°?￡&月電灑

司亳耄噸頻加鰲畫咨,

23.（23-24七年級(jí)下?山西朔州?期末）下面是小明同學(xué)解一元一次不等式1—矍〉?的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀

6Z

并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：去分母，得6—5x+4〉3x—6.........第一步

移項(xiàng)，彳導(dǎo)一5x—3x>—6+4—6.................第二步

合并同類項(xiàng)，得—8x>—8.......................第三步

化系數(shù)為1,得x>l...............................第四步

任務(wù)一：

（1）去分母的依據(jù)是；

（2）解答過程中，從前一步到后一步的變形，共出現(xiàn)處錯(cuò)誤，其中最后一處錯(cuò)誤在第步，錯(cuò)

誤的原因是；

（3）請(qǐng)寫出不等式1-受〉三的正確解答過程，并把解集表示在數(shù)軸上；

6Z

______111111111A

-4-3-2-101234

任務(wù)二：

請(qǐng)你給同學(xué)們提出在解一元一次不等式時(shí)避免解答出錯(cuò)的一條建議.

【答案】任務(wù)一：（1）不等式的性質(zhì)2；（2）三，四，不等式的兩邊同除以一8時(shí)不等號(hào)方向未改變；（3）

見解析；任務(wù)二：移項(xiàng)要變號(hào)

【分析】本題考查解不等式，并用數(shù)軸表示不等式的解集：

任務(wù)一：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)，進(jìn)行作答即可；

（2）根據(jù)解不等式的步驟，進(jìn)行判斷即可；

（3）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1,解不等式，進(jìn)而在數(shù)軸上表示出解集即可.

任務(wù)二：根據(jù)解不等式的常見錯(cuò)誤，提出合理建議即可.

【詳解】解：任務(wù)一：（1）去分母的依據(jù)是：不等式的性質(zhì)2：

故答案為：不等式的性質(zhì)2；

（2）解答過程中，從前一步到后一步的變形，共出現(xiàn)三次錯(cuò)誤，分別是第一步，第二步，第四步，最后一

次出現(xiàn)在步驟四，原因是不等式的兩邊同除以一8時(shí)不等號(hào)方向未改變；

故答案為：三，四，不等式的兩邊同除以一8時(shí)不等號(hào)方向未改變；

（3）去分母，得6—5%—4>3%-6.

移項(xiàng)，得—5%—3%>—6+4—6.

合并同類項(xiàng)，得—8%>—8.

化系數(shù)為1,得x<L

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下圖：

-4-3-2-101234

任務(wù)二：（1）移項(xiàng)要變號(hào)；（2）去分母時(shí)，不能漏乘常數(shù)項(xiàng)（答案不唯一，只要合理即可）.

24.（23-24七年級(jí)下?山西陽泉?期末）數(shù)學(xué)課堂上，李老師設(shè)計(jì)了"接力游戲"，規(guī)則：一列同學(xué)每人只完成

解不等式的一步變形，即前一個(gè)同學(xué)完成一步，后一個(gè)同學(xué)接著前一個(gè)同學(xué)的步驟進(jìn)行下一步變形，直至

解出不等式的解集.請(qǐng)根據(jù)下面的“接力游戲”回答問題.

3x+ly5x—4

接力游戲老師:--------1>------

23

甲同學(xué):3(3x+l)-6>2(5x-4)

乙同學(xué)：9%+3-6>10%-8

丙同學(xué)：9%-10%>-8-3+6

丁同學(xué)：一x>—5

戊同學(xué)：x>5

任務(wù)一：①在"接力游戲"中，乙同學(xué)是根據(jù)進(jìn)行變形的.

A.等式的基本性質(zhì)

B.不等式的基本性質(zhì)

C.乘法的分配律

②在“接力游戲”中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是同學(xué)，這一步錯(cuò)誤的原因是

任務(wù)二：在"接力游戲"中該不等式的正確解集是.并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

-5-4-3-2-1012345

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)解不等式時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一

條建議.

【答案】任務(wù)一：①C；②戊，不等式的兩邊同時(shí)乘以一1,不等號(hào)的方向沒有改變；任務(wù)二：X<5,數(shù)

軸見解析；任務(wù)三：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要變號(hào)

【分析】本題考查解一元一次不等式，在數(shù)軸上表述不等式的解集：

任務(wù)一：①根據(jù)乘法分配律去括號(hào)；②最后一步系數(shù)化1時(shí)，不等號(hào)的方向沒有改變，出現(xiàn)錯(cuò)誤；

任務(wù)二：系數(shù)化1,求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上進(jìn)行表示即可；

任務(wù)三：對(duì)于易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行說明即可

【詳解】解：任務(wù)一：①在"接力游戲"中，乙同學(xué)是根據(jù)乘法分配律進(jìn)行變形的；

故選：C；

②出現(xiàn)錯(cuò)誤的是：戊；原因是：不等式的兩邊同時(shí)乘以一1,不等號(hào)的方向沒有改變；

任務(wù)二：x>—5,

.?■X<5；

數(shù)軸表示如圖：

-5-4-3-2-1012345

任務(wù)三：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是"一"，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要變號(hào).

（答案不唯一，合理即可）

考點(diǎn)八：與解一元一次不等式有關(guān)的整數(shù)解問題

25.（23-24七年級(jí)下,江蘇宿遷?期末）解不等式：2x-l<^,將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出符合條

件的x的非負(fù)整數(shù)解.

【答案】xWl,見解析，非負(fù)整數(shù)解為0,1

【分析】根據(jù)，去分母、去括號(hào)，移項(xiàng)合并，最后系數(shù)化為工可得不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示解集,

最后求整數(shù)解即可，

本題考查了，解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示解集，求不等式的整數(shù)解等知識(shí).熟練掌握解一元一次不

等式，在數(shù)軸上表示解集，求不等式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

去分母，得：2(2x—1)W3x—1,

去括號(hào)，得：4%-2<3%-1,

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：%<1,

其解集在數(shù)軸上表示如下所示：

;該不等式的非負(fù)整數(shù)解為0,1.

26.(23-24七年級(jí)下?吉林長春?期末)求滿足不等式等-管>1的所有正整數(shù)x.

【答案】1,2,3

【分析】本題考查的是解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟求出不等式的解集，再取正整數(shù)

解即可.

【詳解】解：等一—>1

去分母，得，2(x+2)-3(2x-5)>6

去括號(hào)得，2%+4-6%+15>6

移項(xiàng)，合并得，-4%>—13

系數(shù)化為1,得，刀<?

???X為正整數(shù)，

.?.X取1,2,3.

27.(23-24七年級(jí)下?山西晉城?期中)已知有關(guān)x的方程乎=1—李的解也是不等式勿一3爪<5的一個(gè)解,

求滿足條件的整數(shù)小的最小值.

【答案】整數(shù)小的最小值為0

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次不等式的解，先求出一元一次方程的解，再將解代入

不等式，求出解集即可得出答案.

【詳解】解：原方程可化為：2(%-1)=10-5(%+1),

即7%=7,

解得：x=1,

把％=1代入2x—3m<5中，得2—3m<5,

解不等式得：m>-l,

所以整數(shù)m的最小值為0.

28.(23-24七年級(jí)下?河南潦河?期中)已知10(x+4)+久<62的正整數(shù)解滿足|6x—6|—(3*一y—小尸=0

且y<0,求7n的取值范圍.

【答案】m>3

【分析】本題考查解一元一次不等式，不等式的整數(shù)解，絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

得到3—y—6=0.先求出不等式的解集，求出不等式的正整數(shù)解，代入后根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性

得出3—y—血=0,進(jìn)而得到y(tǒng)=3—TH,再根據(jù)yV0建立不等式求解，即可解題.

【詳解】解：10(%+4)+x<62,

11%+40<62,

11%<22,

x<2.

??.不等式的正整數(shù)解為L

不等式的正整數(shù)解滿足|6x—6|—(3x—y—m)2=。且y<0,

???|6—6|—(3—y—m)2=0,

???3—y—m=0,

y=3—m,

???3—m<0,

解得Hl>3.

考點(diǎn)九：在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集

29.(23-24七年級(jí)下?江蘇連云港?期末)解不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來.

久3x—1y

⑴9一二<1

(2)x-2(x-l)>l

【答案】⑴數(shù)軸見解析

(2)x<1；數(shù)軸見解析

【分析】本題主要考查了解不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式，掌握解不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并后再系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來即可；

(2)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并后再系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來即可.

【詳解】(1)解：去分母得：4x-3(3x-l)<6,

去括號(hào)得：4x—9x+3<6,

移項(xiàng)得：4%-9%<6-3,

合并得：一5%<3,

系數(shù)化為1得：%>-|)

故不等式的解集為：x>-|：

在數(shù)軸上表示為：

(2)解：去括號(hào)得：%—2%+2>1,

移項(xiàng)得：x-2x>1-2,

合并得：一1,

系數(shù)化為1得：%<1,

故不等式的解集為：x<l；

在數(shù)軸上表示為：

~■Ass

30.（23-24七年級(jí)上,江蘇蘇州?期末）解不等式等-1〈手，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來.

【答案】x<-|,圖見解析

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵.

不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,求出解集，表示在數(shù)軸上即可.

【詳解】解：等一1〈等，

去分母，兩邊乘以10,得：5（3+2%）-10<2（1+2%）,

去括號(hào)，得：15+10工一10<2+4x,

移項(xiàng)，得：10x-4x<2-15+10,

合并同類項(xiàng)，得：6%<-3,

系數(shù)化為1,得：%<-1,

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

/6A?

-I_10

-2

31.（23-24七年級(jí)下,內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）（1）解不等式1+%<詈+2,并把解集表示在下面的數(shù)軸上.

II1IIIIIII1>

-5-4-3-2-1012345

（2）x取哪些整數(shù)時(shí)，不等式2（x—1）—XW2與等〉x都成立？

【答案】（1）x>-4.數(shù)軸見解析；（2）滿足條件的整數(shù)有0,1,2,3,4.

【分析】本題考查了解一元一次不等式，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，一元一次不等式組的整數(shù)解，

熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.

（1）不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解集；

（2）列出關(guān)于x的不等式組，解之可得x的取值范圍，從而得出x的整數(shù)值即可.

【詳解】（工）解：不等式1+久<9+2,

去分母得：3+3x<l+4x+6,

移項(xiàng)得：3%-4%<1+6-3,

合并得：—x<4,

解得x>-4.

把不等式的解集在數(shù)軸上表示為:

-5-4-3-2-1012345；

(2)解：根據(jù)題意解不等式組］應(yīng)〉Y②，

解不等式①，得：%<4,

解不等式②，得:x>-l,

:.—1<x<4,

故滿足條件的整數(shù)有0,1,2,3,4.

考點(diǎn)十：與解一元一次不等式有關(guān)的新定義問題

32.(23-24七年級(jí)下?新疆昌吉?期末)定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,6,都有a十6=a(a—b)+1

,等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：

2?5=2x(2-5)+l

=2x(—3)+1

=—6+1

=-5

①求(—2)十3的值；

②若3十x的值小于13,求x的取值范圍，并在給定的數(shù)軸上表示出來.

中也71旗i金網(wǎng)裁

【答案】@11;@x>-1,圖見解析

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式；有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟,

有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得出有理數(shù)混合運(yùn)算的式子，再求出其值即可；

(2)先得出有理數(shù)混合運(yùn)算的式子，再根據(jù)3十%的值小于13,求出x的取值范圍，并在數(shù)軸上表示出來

即可.

【詳解】①(—2)十3

=(_2)X(_2—3)+1

=10+1=11；

②?.?3十%=3(3—x)+1=10—3x,

.,.10—3x<13,

??X>—1,

在數(shù)軸表示，如圖：

3EC即勒爾隆

小嚏司@I1B

33.（23-24七年級(jí)下?河南商丘?期末）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a力定義一種運(yùn)算：口※。=ab+a—b+1,例如，住

4=2乂4+2—4+1=7.請(qǐng)根據(jù)上述的定義，若不等式》派2>8,則該不等式的解集為（）

A.%>3B.x<3C.%<4D.%>4

【答案】A

【分析】本題主要考查了新定義的含義，一元一次不等式的應(yīng)用，理解新定義，列出不等式是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)新定義，可得到關(guān)于x的不等式，解出即可.

【詳解】解：???％派2>8,

.-.2%+%—2+1>8,

解得：x>3,

故選：A.

34.（23-24七年級(jí)下?內(nèi)蒙古烏海?期末）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)加、"都有小十九=?。ㄐ∫籲）+l,等

式右邊通常是加法、減法及乘法運(yùn)算.例如：5十3=5x（5—3）+1=5x2+1=11,那么不等式4@x>9

的解集為―.

【答案】%<2

【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其要注意

不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變.

根據(jù)運(yùn)算的定義列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可.

【詳解】解：T4十x29

.?■4（4-%）+1>9

16-4%+1>9

解得x<2.

故答案為：x<2.

35.（23-24七年級(jí)下?湖北襄陽?期末）定義一種法則"兇"：a（8）6=胱羽，如：1名）2=2,若

（m—1）03=3,填一個(gè)合適的zn值_____，使式子成立.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本題考查的是新定義，解一元一次不等式，根據(jù)題意得出關(guān)于小的不等式是解答此題的關(guān)鍵.

先根據(jù)題中所給的條件得出關(guān)于小的不等式，求出小的取值范圍即可.

【詳解】解:---（zn-i）03=3,

m—1<3,

解得mW4,

■■■m=1.

故答案為：1（答案不唯一）.

36.（23-24七年級(jí)下?四川樂山?期末）我們給出這樣的定義：符號(hào)⑷表示不大于a的最大整數(shù)，

即a-l<[a|Wa,例如[2]=2,[1.732]=1.

（1）[0]=,[—3.14]=；

（2）若[3—2用=1,求x的取值范圍；

⑶若笞工<[甸W；+2,求％的值.

【答案】⑴0，-4

1

{2}~<x<l

⑶x=2

【分析】此題考查了一元一次方程及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組，求

出不等式的解.

（1）由定義直接得出即可；

（2）根據(jù)題意得出1W3—2%<2,求出x的取值范圍；

（3）整理得出：竿■一l<[a]W；+2,則誓1=5+2,確定出方程的解即可.

【詳解】（1）由題可得，⑼=0,[—3,14]=一4；

故答案為：0,—4；

（2）由題意得：143—2%V2,

解得g<x<1；

（3）由題意得：^-l<[a]<^+2,

貝吟1=；+2

解得：%=2

考點(diǎn)十一：根據(jù)方程（組）解的情況求參數(shù)的取值范圍

37.（23-24七年級(jí)下?北京延慶?期末）如果關(guān)于式的方程3x—m=4的解為負(fù)數(shù)，那么小的取值范圍是.

【答案】m<-4/-4>m

【分析】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出“:甲，再結(jié)合題意得出

m+4<0,解不等式即可得出答案.

【詳解】解：3%-m=4

3x=m+4,

m+4

X=—

,??關(guān)于％的方程3%-m=4的解為負(fù)數(shù)，

m+4八

<0,

解得：m<—4,

故答案為：m<-4.

38.(23-24七年級(jí)下?山西晉城?期中)若關(guān)于x的方程為+卜=甘+2的解是非負(fù)數(shù)，貝的取值范圍是

()

A.fc<-|2B.fc<-f2C.fc>3|D.fc>3j

【答案】D

【分析】本題考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，先解方程得出x=8k-12,再根據(jù)關(guān)于％的方程

3+k=笞+2的解是非負(fù)數(shù)得出8k-12>0,求解即可得出答案.

【詳解】解：解［％+左=等+2得：x=8fc-12,

關(guān)于%的方程5+k=等+2的解是非負(fù)數(shù)，

8k—1220,

解得：k>l，

故選：D.

39.(23-24七年級(jí)下?四川遂寧?期末)【教材呈現(xiàn)】如下是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁的部