2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：不等式（組）的解法及不等式的應(yīng)用（學(xué)生版+教師版）

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

——不等式（組）的解法及不等式的應(yīng)用學(xué)生版

知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用

1.不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)整式，不

等號(hào)的方向不變.即a>b,那么。士cb+c.

應(yīng)用：解不等式中的移項(xiàng).

2.不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，

不等號(hào)的方向.a>b,且c>0,那么QC

應(yīng)用：解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）.

3.不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),

不等號(hào)的方向.BPa>b,且c<0,那么ac

應(yīng)用：解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）.

知識(shí)點(diǎn)二一元一次不等式的解法及解集表示

4.解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去;③移項(xiàng)；④合并;⑤未知

數(shù)的系數(shù)化為1.

5.解集在數(shù)軸上的表示

〃數(shù)軸上的1

解集總結(jié)

表示

x<a一方向：小于向左，大于向右；邊界：“W”“2”

用實(shí)心圓點(diǎn)用空心圓圈

xa-1.

a

知識(shí)點(diǎn)三二元一次不等式組的解法及解集表示

6.解一元一次不等式組的一般步驟：先分別求出各個(gè)不等式的解集,

再在數(shù)軸上表示出各不等式的解集或根據(jù)口訣確定解集的公共部分.

7.解集的類型及在數(shù)軸上的表示

類型在數(shù)軸上

口訣解集

的表示

'x>a,同大

-I-.

4ax>a

、x>b取大

x<a,同小

-1x<b

<bba取小

大小

‘％<a,小大

b<xWa

取中

間

大大

小小

(x>a,無(wú)解

1%4bba取不

了

知識(shí)點(diǎn)四一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用

8.列不等式解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）

列不等式；（4）解不等式；（5）檢驗(yàn)；（6）作答.

9.解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)表:

常見(jiàn)關(guān)鍵詞不等號(hào)

大于，多于，超過(guò)，

>

高于

小于，少于，不足，

<

低于

至少，不低于，不小

—

于，不少于

至多，不高于，不大

—

于，不超過(guò)

高頻考點(diǎn)過(guò)關(guān)

考點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)

1.（2023濟(jì)南）實(shí)數(shù)”，。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列

結(jié)論正確的是（）

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3V》+3D.-3a<~3b

2.（2024市中一模）已知有理數(shù)a,》在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖

所示，則下列各式成立的是（）

ab

-2T-i_6Ti_2-~"

A.a+b>0B.a+2>b+2

C.—2。>—2bD.ab^>0

3.（2023歷下二模）已知a<b,則下列不等式成立的是（）

A.12〃V—2bB.2a—1>2Z?—1

C.-<-D.。+2>。+2

33

4.實(shí)數(shù)Q,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是

（）

----------1-------111----------?

a0--------bc

A.c（萬(wàn)一。）<0B.b（c—。）<0

C.a（Z?—c）>0D.a（c+Z?）>0

考點(diǎn)二一元一次不等式的解法及解的應(yīng)用

5.解不等式等>%—1,下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（）

A.-4-3-2-10123

B.-4-3-2-10123

C.-4-3-2-10123

D.-4-3-2-10123

6.關(guān)于％的不等式加一：W1—%有正數(shù)解，m的值可以是

（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

考點(diǎn)三一元一次不等式組的解法及解的應(yīng)用

（--3<0,

7.（2024歷城二模）不等式組*3*78的所有整數(shù)解的和是

2（%+2）>1

（）

A.9B.7C.5D.3

‘丫V7

8.（2024高新二模）若不等式組無(wú)解，則機(jī)的取值范圍

jc>m

是

4支〉2(%—1)□

9.(2024濟(jì)南)解不等式組：1+2x+5并寫(xiě)出它的所有整數(shù)

—2<—3，n

解.

’2(%+2)>％+3,□

10.(2023濟(jì)南)解不等式組：久久+2并寫(xiě)出它的所

匕〈『口

有整數(shù)解.

(3(%+1)>x-1,□

11.（2024天橋一模）解不等式組：15并寫(xiě)出

—x+>3%,n

12

它的所有正整數(shù)解.

2%+32％+1,□

12.（2023歷下三模）解不等式組:、并寫(xiě)出它的

—x—^―5>%—4,□

所有非負(fù)整數(shù)解.

考點(diǎn)四一元一次不等式的應(yīng)用

13.（2021濟(jì)南）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市節(jié)前

購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種暢銷(xiāo)口味的粽子.已知購(gòu)進(jìn)甲種粽子的金額是1200

元，購(gòu)進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購(gòu)進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子

的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍.

(1)求甲、乙兩種粽子的單價(jià)分別是多少元.

(2)為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種粽子共200

個(gè)，若總金額不超過(guò)1150元，問(wèn)：最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)甲種粽子？

14.(2024槐蔭二模)茶道被視為一種修身養(yǎng)性的生活藝術(shù)，圖中的

茶筒、茶漏、茶夾、茶匙、茶針、茶則等六樣器具，被飲茶愛(ài)好者統(tǒng)

稱為“茶道六君子”.某網(wǎng)店銷(xiāo)售甲、乙兩種“茶道六君子”套裝，

若購(gòu)買(mǎi)1套甲種套裝和3套乙種套裝共需用200元.若購(gòu)買(mǎi)2套甲種

套裝和2套乙種套裝共需用240元.

(1)求甲、乙兩種套裝的單價(jià).

（2）某學(xué)校社團(tuán)開(kāi)展茶文化學(xué)習(xí)活動(dòng)，需要從該網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩

種套裝共10套，且總金額不超過(guò)500元，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明最多可購(gòu)

買(mǎi)多少套甲種套裝.

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.（2024歷下二模）如果y〉一y,那么下列運(yùn)算不正確的是（）

A.y+y>0B.y—3<—y—3

C.2y>—2yD.—y<y

2.（2024章丘二模）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所

示，下列式子正確的是（）

,,4,,。1,

~~~-2'-1~~0112T3~"r

A.Z?+c>0B.a-b>a—c

C.ac>bcD.ab>ac

14(X-1).一1

3.若關(guān)于％的不等式組的解集為％>3,則。

、5%>3%+2a,

的取值范圍是()

A.a>3B.Q<3

C.D.QW3

fx-1<^-n

4.(2022濟(jì)南)解不等式組：｛23'并寫(xiě)出它的所有

(2%—5<3(%—2),U

整數(shù)解.

5%+2>4x-1,□

久+1x-3'并寫(xiě)出它的

{—4>—2+1,□

所有正整數(shù)解.

‘2(%-1)<%+3,□乂一一

6.（2023歷城一模）解不等式組:2X+1、1并與出匕

----->1—1,□

3

的所有非負(fù)整數(shù)解.

3%>4%—1,

并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

7.解不等式組5x-1、。

------>%—2,

2

.'53-3346;「34s彳

8.(2024歷下二模)為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，規(guī)范居民

安全用電行為，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，經(jīng)調(diào)研，市場(chǎng)上有4

型、5型兩種充電樁，已知4型充電樁比5型充電樁的單價(jià)少0.2

萬(wàn)元，用12萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A型充電樁與用16萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)5型充電樁的數(shù)

量相等.

(1)求A型、5型充電樁的單價(jià)各是多少.

(2)該市決定購(gòu)買(mǎi)A型、5型充電樁共300個(gè)，且花費(fèi)不超過(guò)200

萬(wàn)元，則至少購(gòu)買(mǎi)A型充電樁多少個(gè)?

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

——不等式(組)的解法及不等式的應(yīng)用教師版

知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用

1.不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)整式，不

等號(hào)的方向不變.即a>b,那么a+c>b+c.

應(yīng)用：解不等式中的移項(xiàng).

2.不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，

不等號(hào)的方向不變.即a>b,且c>0,那么ac〉be（或

士>駕

C_______C）

應(yīng)用：解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）.

3.不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，

不等號(hào)的方向改變.即a>b,且c<0,那么acVbe（或

士<

Ccj

應(yīng)用：解不等式中的去分母（或系數(shù)化為1）.

知識(shí)點(diǎn)二一元一次不等式的解法及解集表示

4.解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的

系數(shù)化為1.

5.解集在數(shù)軸上的表示

在數(shù)軸上的

解集總結(jié)

表示

x<a（，

方向：小于向左，大于向右；邊界：“W”“2”

x>a

—C____一用實(shí)心圓點(diǎn)，用空心圓圈

知浜點(diǎn)三二元一次不等式組的解法及解集表示

6.解一元一次不等式組的一般步驟：先分別求出各個(gè)不等式的解集,

再在數(shù)軸上表示出各不等式的解集或根據(jù)口訣確定解集的公共部分.

7.解集的類型及在數(shù)軸上的表示

類型在數(shù)軸上

口訣解集

(a>b)的表示

x>a,同大

J__x>a

ba取大

x<a,同小

-1x<b

<bba取小

大小

'x<a,小大

_J_b<xWa

ba取中

間

大大

小小

(x>a,無(wú)解

<bba取不

了

知識(shí)點(diǎn)四一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用

8.列不等式解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）

列不等式；（4）解不等式；（5）檢驗(yàn)；（6）作答.

9.解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)表：

I一常見(jiàn)關(guān)鍵詞—I不等號(hào)I

大于，多于，超過(guò),丁

高于

小于，少于，不足，

低于

至少，不低于，不小

于，不少于

至多，不高于，不大

于，不超過(guò)

高頻考點(diǎn)過(guò)關(guān)

考點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)

1.（2023濟(jì)南）實(shí)數(shù)”，8在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列

結(jié)論正確的是（D）

,卜，,,,q,,

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.〃+3<b+3D.-3a<—3b

2.（2024市中一模）已知有理數(shù)mb在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖

所示，則下列各式成立的是（C）

ab

-2T-i"""6Ti2-~"

A.a+b>0B.Q+2〉Z?+2

C.—2。>—2bD.ab^>0

3.（2023歷下二模）已知a<b,則下列不等式成立的是（C）

A.12〃<—2bB.2a—1>2Z?—1

C.-<-D.a+2>b+2

33

4.實(shí)數(shù)Q,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是

（C）

a0bc

A.c（b—a）<0B.b（c—。）<0

C.a（b—c）>0D.a（c+Z?）>0

考點(diǎn)二一元一次不等式的解法及解的應(yīng)用

5.解不等式詈>%—1,下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（D）

A.-4-3-2-10123

J__

B.-4-3-2-16i123

C.-4-3A-10i123

>.

D.-4-3-2-10123

6.關(guān)于％的不等式冽一；W1一%有正數(shù)解，m的值可以是。〈答

唯一）（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

考點(diǎn)三一元一次不等式組的解法及解的應(yīng)用

[--3<0,

7.（2024歷城二模）不等式組3的所有整數(shù)解的和是

、2（%+2）>1

（C）

A.9B.7C.5D.3

'YV7

8.（2024高新二模）若不等式組’無(wú)解，則機(jī)的取值范圍是

4汽>2Cx—]）口

9.（2024濟(jì)南）解不等式組：卜+2尤+5并寫(xiě)出它的所有整數(shù)

，

—2<—3n

解.

解：解不等式①，得%>—1,解不等式②,

得x<4,

???原不等式組的解集是一1<%<4,

???原不等式組的整數(shù)解為0,1,2,3.

’2（%+2）>％+3,□

10.（2023濟(jì)南）解不等式組：尢久+2并寫(xiě)出它的所

（-3<—5，□

有整數(shù)解.

解：解不等式①，得％>—1,解不等式②，

得％V3,

???原不等式組的解集是一1<%<3,

???原不等式組的整數(shù)解為0,1,2.

3（%+1）>x—1,□

11.（2024天橋一模）解不等式組：并寫(xiě)出

把上>3%,n

2

它的所有正整數(shù)解.

解：解不等式①，得％三一2,解不等式②，

得％<3.

.??原不等式組的解集為一2<%V3,

???原不等式組所有正整數(shù)解為1,2.

（2x+3>x+1,□

12.（2023歷下三模）解不等式組：\x_5并寫(xiě)出它的

（三>%—4,□

所有非負(fù)整數(shù)解.

解：解不等式①，得％》一2,解不等式②，得％<3,

???原不等式組的解集是一2?3,

J原不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0,1,2.

考點(diǎn)四一元一次不等式的應(yīng)用

13.(2021濟(jì)南)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市節(jié)前

購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種暢銷(xiāo)口味的粽子.已知購(gòu)進(jìn)甲種粽子的金額是1200

元，購(gòu)進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購(gòu)進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子

的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍.

(1)求甲、乙兩種粽子的單價(jià)分別是多少元.

(2)為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種粽子共200

個(gè)，若總金額不超過(guò)1150元，問(wèn)：最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)甲種粽子？

解：(1)設(shè)乙種粽子的單價(jià)為％元，則甲種粽子的單價(jià)為2%元，依

題意，得

8001200—八ATJ4日A

一---=50,解得％=4,

x2x

經(jīng)檢驗(yàn)，X=4是原方程的解，則2x=8.

答：甲種粽子的單價(jià)為8元，乙種粽子的單價(jià)為4元.

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種粽子加個(gè)，則購(gòu)進(jìn)乙種粽子(200-m)個(gè).

依題意，得8機(jī)+4(200-m)<1150,

解得機(jī)W87.5.

答：最多購(gòu)進(jìn)87個(gè)甲種粽子.

14.(2024槐蔭二模)茶道被視為一種修身養(yǎng)性的生活藝術(shù)，圖中的

茶筒、茶漏、茶夾、茶匙、茶針、茶則等六樣器具，被飲茶愛(ài)好者統(tǒng)

稱為“茶道六君子”.某網(wǎng)店銷(xiāo)售甲、乙兩種“茶道六君子”套裝，

若購(gòu)買(mǎi)1套甲種套裝和3套乙種套裝共需用200元.若購(gòu)買(mǎi)2套甲種

套裝和2套乙種套裝共需用240元.

(1)求甲、乙兩種套裝的單價(jià).

（2）某學(xué)校社團(tuán)開(kāi)展茶文化學(xué)習(xí)活動(dòng)，需要從該網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩

種套裝共10套，且總金額不超過(guò)500元，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明最多可購(gòu)

買(mǎi)多少套甲種套裝.

解：（1）設(shè)甲種套裝的單價(jià)為五元，乙種套裝的單價(jià)為y元.

根據(jù)題意，得尸3y=200,解得卜二80,

答：甲種套裝的單價(jià)為80元，乙種套裝的單價(jià)為40元.

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)機(jī)套甲種套裝，則購(gòu)買(mǎi)（10—根）套乙種套裝.

根據(jù)題意，得807%+40（10-m）<500,解得加W|.

又丁根為正整數(shù)，的最大值為2.

答：最多購(gòu)買(mǎi)2套甲種套裝.

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.（2024歷下二模）如果y>—y,那么下列運(yùn)算不正確的是（B）

A.y+y>0B.y-3<—y—3

C.2y>~2yD.ly<y

2.（2024章丘二模）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所

示，下列式子正確的是（A）

c1cb

~5~~-2T-10'I~~2T3~，

A.b+c>0B.a-b>a—c

C.ac>bcD.ab>ac

’4（r一i-1

3.若關(guān)于％的不等式組的解集為％>3,則a

、5%>3%+2a,

的取值范圍是（D）

A.a>3B.。<3

C.D.aW3

%—1X

4.（2022濟(jì)南）解不等式組：{23'并寫(xiě)出它的所有

（2%—5<3（%—2）,U

整數(shù)解.

解：解不等式①，得x<3,解不等式②，得

???原不等式組