2025年新高考數(shù)學(xué)押題卷（三）解析版

2025年新高考數(shù)學(xué)押題密卷（三）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.設(shè)集合4={1,3,02},8={l,a+2},若30A,則。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】A

【解析】由4={1,3,4},得即。-±1,此時(shí)a+2wl,a+2聲3,

由60得/=〃+2，而4W—1,所以1=2.

故選：A

2.復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=2（i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)z的共輾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】由（2+i）z=2,

,口22（2-i）42.

^Z~2+i~（2+i）（2-i）~5~5lf

-42/42、

所以z=g+：i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限.

故選：A.

3.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，小寒、立春、驚蟄日影長(zhǎng)之和為3L5尺，

前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為80尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（）

A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺

【答案】C

【解析】設(shè)冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種

這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為4,出，…，包，前〃項(xiàng)和S“（“W12）,

第1頁(yè)共19頁(yè)

由小寒、立春、驚蟄日影長(zhǎng)之和為3L5尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為80尺,

a2+。4+〃6=3%+9d=31.5

得以=%+答［=8。’解得d=-l,

所以谷雨日影長(zhǎng)為。9=%+8d=13.5_8=5.5（尺）.

故選：C

4.2023年3月11日，“探索一號(hào)”科考船搭載著“奮斗者”號(hào)載人潛水器圓滿完成國(guó)際首次環(huán)大洋洲載人深

潛科考任務(wù)，順利返回三亞.本次航行有兩個(gè)突出的成就，一是到達(dá)了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二

是到達(dá)了瓦萊比一熱恩斯深淵，并且在這兩個(gè)海底深淵都進(jìn)行了勘探和采集.如圖1是“奮斗者”號(hào)模型

3

圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（）cm?

4cm

8cm

圖1圖2

100兀10371C1067r—104JI

A.----B.D.----

33,33

【答案】D

【解析】由模型的軸截面可知圓錐的底面半徑為2cm,高為2cm；

圓柱的底面半徑為2cm,高為8cm,

故該模型球艙體積為:X7rx22x2+7rx22x8=1047r

cm3),

3

故選：D.

5.已知/為橢圓C:=+丁=i（°>0）的右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線與C相交于A8兩點(diǎn)，且尤軸，若

a

3|BF|=5|AF|,則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A,也D處

B.逑C.20

33,丁

【答案】B

【解析】設(shè)歹（c,0）,如圖，記戶，為C的左焦點(diǎn),連接AF',

則由橢圓的對(duì)稱性可知=由3怛同=5|AF|,^\AF\=3m,\BF\=5m,則|加=5用.

又軸，所以忻AP'f-1A尸F(xiàn)=4m=2c,即c=2〃z,

2A5

Cl----

里+叩設(shè)=2一解得

所以

a-1=c=4m

m=--

6

第2頁(yè)共19頁(yè)

所以C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=逑

3

6.已知函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，則此函數(shù)可能是()

B./(x)=

X2+|X|-2

r3—Y

c-D.f(x)=,,,

c-c

【答案】B

【解析】對(duì)于A,7(尤)=有》2+m-2片0,解得XH土1,即/⑺的定義域?yàn)閧x|x*±l},

在區(qū)間(0,1)上,e~x-ex<0,X2+\X\-2<0,f(X)>0,與所給圖象不符;

對(duì)于3,f(.x)=fe,/(x)的定義域?yàn)閧x|x*±l},

X+\x\-2

又由/(-X)=；2=-/W,八")為奇函數(shù)，

在區(qū)間(0,1)上，ex-e-x>o,x2+|%|-2<0,f(x)<0,在區(qū)間(l,+oo)上,ex-ex>0,x2+|x|-2>0,

f(x)>0,與所給圖象不矛盾；

對(duì)于C,7(x)=即：+；T2有/T-J-MwO,解得XN±1,即/(X)的定義域?yàn)閧x|xH±l},在區(qū)間(3,+00)

上，加)=可產(chǎn)，小)='

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（3X2+1—x3—x）cx1—（3x2+1+X3+

~5_3-”）2，

而x>3時(shí)，3/+1<%3+%,/（工）<0,外）在（3,+8）上遞減，與所給圖象不符；

對(duì)于。，/（x）=el：,/（X）的定義域?yàn)閧x|xw±l},在區(qū)間（0,1）上，/1-/-日<0,x3-x<0,

/W>o,與所給圖象不符.

故選：B

7.已知函數(shù)〃x）=cos（3兀-3x）-cos[+3xj（xeR）,關(guān)于的命題：①的最小正周期為g；②

fS圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為③〃x）圖像的對(duì)稱軸方程為尤=弓+：優(yōu)eZ）；@/U）圖

像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（建Z）；⑤了⑺取最大值時(shí)》=等+：（左eZ）.則其中正確命題是

（）

A.①②③B,①③⑤C.②③⑤D.①④⑤

【答案】B

【解析]/（x）=cos（3兀-3x）-cos+3xj=-cos3x+sin3x=A/2sin（3x-：j,

則“X）的最小正周期為7=27]r,故①正確；

T71

于8圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為]=],故②錯(cuò)誤；

令3x—：='+E（左EZ）,貝!JX=；+/（左WZ）,故③正確；

令—（kcZ）,貝口=；|+'|兀（八Z）,故④錯(cuò)誤；

令3兀一個(gè)=方+2左兀（左cZ）,貝！Jx=q+與兀（左EZ）,故⑤正確.

故選：B.

2024

8.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,且/（x+2）-2為奇函數(shù)，/（3x+l）為偶函數(shù)，/（1）=0,則2〃笈）=

k=T

（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【解析】由題意得〃x+2）-2為奇函數(shù)，所以〃X+2）-2+/（T+2）-2=0,即

/（x+2）+f（-x+2）=4,所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（2,2）中心對(duì)稱，

由〃3尤+1）為偶函數(shù)，所以可得〃x+l）為偶函數(shù)，則/（X+1）=/（T+1）,所以函數(shù)“X）關(guān)于直線x=l

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對(duì)稱，

所以〃x+2)=〃-x)=-〃-x+2),從而得/(X)=〃X+4),所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?1)=0,所以〃1)+〃3)=4,貝|]〃3)=4,

因?yàn)椤癤)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以〃3)=〃—1)=4,

又因?yàn)椤癤)關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，所以"2)=2,

又因?yàn)?(4)=〃-2)=/(0),又因?yàn)椤ㄒ?)=〃一2+4)=〃2)=2,所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=8,

20242024

所以?(無(wú))=-*[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=4048,故D正確.

攵=14

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量Z，石不共線，向量Z+B平分6與B的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是()

A.d'b=0B.(a+Z?)_L(。―〃)

C.向量泊.在Z+讓的投影向量相等D.

【答案】BC

【解析】作向量西=2,而=方，在口。ACS中，OC^a+b，BA^a-b，

由向量2+5平分M與方的夾角，得口04CB是菱形，即團(tuán)|=出],

對(duì)于A,苕與石不一定垂直，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,(a+5)-(a—b)=a2—b2=0,即(a+石),B正確;

對(duì)于C,乙在二+B上的投影向量3+石)=:(廳+5),

\a+b\\a+b\

方在a+方上的投影向量①+6)=：丁￡?(6+5),c正確;

|<2+￡?||<2+||+/?|

對(duì)于D,由選項(xiàng)A知，不一定為0，則|。+3|與Q-石I不一定相等，D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.A,后分別為隨機(jī)事件A,3的對(duì)立事件，下列命題正確的是()

A.若A,3為相互獨(dú)立事件且P(A)+P(B)=1,則尸(⑷?)=尸(通)

B.若尸(4⑻=尸(4),則「但A)=尸(3)

第5頁(yè)共19頁(yè)

C.P（A|B）+P（A|B）=1

D.若P（A）〉O,P（B）>0,則一（B|A）+P（BB）=1

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,由A,3為相互獨(dú)立事件且P（A）+P（8）=1,

得P（AB）=P（A）P（B）=［1-P（A）］［1-P（B）］=P（A）P（B）,A正確；

對(duì)于B,由P（A|3）=P（A）,得儲(chǔ)^=P（A）,即P（B）=，^=尸⑻A）,B正確；

c/了IQ尸（AB）P（AB）P（AB+AB）P（B）

對(duì)于C,事件AB5互斥，則尸（?。?尸（4昨布+石方=p?F=1,C正確;

對(duì)于D,由選項(xiàng)C同理得尸（網(wǎng)A）+P（引A）=l,P（B同與尸（引A）不一定相等，

因此P（B|A）+P（B同=1不一定成立，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.已知正方體ABC。-4用CQ的棱長(zhǎng)為3,E尸,G分別為棱84，￡>R,CG的點(diǎn)，且

112

BE=-BBl,DF=-DDl,CG=-CCl,若點(diǎn)尸為正方體內(nèi)部（含邊界）點(diǎn)，滿足：AP=AAE+juAF,

為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)尸的軌跡為菱形AEG廠及其內(nèi)部

B.當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為

c.⑶"最小值為零

D.當(dāng)〃=［時(shí)，直線AP與平面A3CD所成角的正弦值的最大值為叵

211

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)镼=2近+〃4盧，由空間向量基本定理可知，

所以尸在菱形AEFG內(nèi)，A正確；

對(duì)于B,取CG上一點(diǎn)H,使得CH=gcC「連接EH,FH,HB,

第6頁(yè)共19頁(yè)

易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以”〃EG,AF=EG,

所以四邊形AFGE是平行四邊形，所以隹=用，

當(dāng)4=1時(shí)，AP=2AE+x/AF^>AP=AE+//AF,

所以Q-才近=月反？，即喬=〃費(fèi)，

尸在線段EG上，P的軌跡長(zhǎng)度為線段EG的長(zhǎng)，即為標(biāo)，B正確；

對(duì)于C,由aA=/l亞+〃#知，P在菱形AEFG內(nèi)，

所以的最小值即為點(diǎn)A到平面AEFG的距離，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（3,0,0）,尸（O,O,1）,E（3,3』），A（3,O,3）,

可得衣=（-3,0,1）,通=（0,3,1）,麗=（0,0,3）

設(shè)平面A/GE的法向量為4=（a,b,c）,貝!_____.,

、'[nl-AE=3b+c=0

取c=3,可得a=l,b=-l,所以）=（1,一1,3）,

.|?rM|9

所以A1到平面A￡FG的距離為：6?=^^=-^_=4—,故C錯(cuò)誤;

闖V1+1+3211

對(duì)于D,當(dāng)〃=g時(shí)，AP=AAE+juAF^AP=AAE+^AF,

分別取Ab,EG的中點(diǎn)M,N,連接MN,P在線段MN上，

M1|,0,J,N（|,3,|）月『以稅=4加（0W4W1）,可得pg，32"+g

平面ABCO的法向量為貳=（0,0,1）,Q=1|,32"+j,

設(shè)"與面ABCD所成角為0,

第7頁(yè)共19頁(yè)

|AP.同

所以sin6=cosAP,m=

|AP|-|m|

設(shè)”占，因?yàn)榱[0,l],則fe

2/t+13

則幾=；一;代入化簡(jiǎn)可得sin夕=/：，

2t2V18/--18Z+1O

當(dāng)”!時(shí)，直線"與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為叵，D正確.

211

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)鄉(xiāng)村開(kāi)展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活

動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.

【答案】96

【解析】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村A,則A地有C；種選派方法，

第二步，其他4個(gè)鄉(xiāng)村有A：種選派方法，所以共有C：A：=96種選派方法.

故答案為：96.

13.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a“=3"T,前”項(xiàng)和為%則滿足不等式100〃?⑸+｝>12"的"取值的集

合為一.

【答案】｛1,2,3）.

【解析】由%=3"T,則2=3,所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

an-l

■■■s

n胃

所以不等式100〃（s“+；］>12",整理得50"-4">0，〃eN*，

令么=50〃—4",則bn-bn_x=50"-4"-50（“一1）+4"T=50-3x4片,

當(dāng)時(shí)，bn-bn_,>0,即2>d_1，當(dāng)“24時(shí)，勿一勿_]<。，即2<"一,

所以數(shù)列mJ前3項(xiàng)遞增，從第3項(xiàng)后遞減.

又印=46,4=86,々=-56,

所以滿足50〃-4">0成立的”的值有1,2,3.

第8頁(yè)共19頁(yè)

所以滿足100〃?5>12"成立的"取值的集合為{1,2,3}.

故答案為：{1,2,3}.

JT

14.在三棱錐尸-中，側(cè)面所在平面與平面A8C的夾角均為:，若AB=2,C4+CB=4,且AABC是直

4

角三角形，則三棱錐尸-ABC的體積為.

【答案】；1或1;或3:或:3

4242

【解析】如圖，過(guò)尸作尸。工面A8C于O,過(guò)。作

因?yàn)槭鍭BC,ACu面ABC,所以PO_LAC,又OEcPO=O,。E,P。U面尸。￡1,

所以AC_L面尸OE,又PEu面尸所以ACRE,故NPEO為二面角的平面角，

7T__TTJT

由題知，NOEP=—,同理可得NPR9=—,/POO=—,

444

當(dāng)。在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，由OE=O尸=?！?gt;,即。為三角形的內(nèi)心，

設(shè)邑八屆二人則f=g(AB+8C+AC)-。D=3。D,得至1］。。=：,所以。尸=。￡>=；,

三棱錐P-ABC的體積為V=^S^COP=1r；

又因?yàn)镃4+CB=4>AB=2,所以點(diǎn)C在以A,8為焦點(diǎn)的橢圓上，

如圖，以A3所在直線為X軸，A3的中垂線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則4-1,0),8(1,0),

22

由題知，橢圓中的c=l,a=2,b=后，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1,

43

設(shè)C(x,y),因?yàn)锳ABC是直角三角形，

當(dāng)A=T時(shí)，易知x=-l,此時(shí)|4C|=；,所以才=)4郎|47|=：,得到丫=：產(chǎn)=:,

當(dāng)8時(shí)，易知無(wú)=1,此時(shí)|4C|=；,所以f=斗忸C|=；,得到丫=：產(chǎn)=：,

又因?yàn)閎=6,c=l,故以。為圓心，1為半徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，即Cw1,

綜上所述，V。

第9頁(yè)共19頁(yè)

同理，當(dāng)。在三角形A8C外部時(shí)，由OE=O尸=O￡),即O為三角形的旁心,

132t

設(shè)凡ABC=L，貝U=5(AB+BC_AC>OD=50D,得到OD=§,

2ri91

所以。尸=OD=1，三棱錐P-ABC的體積為V=-ShABCOP=-r=-；

^t=^(BC+AC-AB)OD=OD,得到OD=r,

ii3

所以。尸=OD=f,三棱錐尸—ABC的體積為丫=§cOP=§〃=W；

^t=^AC+AB-BC)OD=^OD,得至lJOD=2r,

i23

所以O(shè)P=OD=21，三棱錐尸—ABC的體積為V==§產(chǎn)=萬(wàn).

\ZOBIX

1133

故答案為：7或7或丁或7.

4242

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)

在AABC中，角A氏C所對(duì)的邊見(jiàn)瓦c成等比數(shù)列，角6是A與。的等差中項(xiàng).

(1)若6=2,求4RC的面積；

【解析】(1)由角6是A與。的等差中項(xiàng)，及三角形內(nèi)角和定理,

[2B=A+CTt

可得.n廠，解得5蕓，

由〃、b、c成等比數(shù)列，得/=呢.

*.*b=1,cic=4,

?c1.?1..711.v3[T

…3=—tzcsinn=—x4xsin—=—x4x——=73.

△AR"r22322

(2)因?yàn)椤?=QC,由正弦定理可得sin?3=sinAsinC,

sinCcosA+cosCsinA

--------1--------=~；----T--1---；----

tanAtanCsmAsmCsinAsinC

cosAcosC

第10頁(yè)共19頁(yè)

_sin（A+C）

sinAsinC

_sin（7t-B）_sinB_sinB_1

sinAsinCsinAsinCsin2BsinB

1_1_2V3

.71J33'

sin-J

32

.112G

?-------1-----=----.

tanAtanC3

16.（15分）

如圖，在四棱錐尸一ABCD中，PAJ_平面A3CD,PA=A3=3C=2,AO=。,NA8C=120。.

c

(1)求證：平面PAC_L平面尸BD；

(2)若點(diǎn)〃為PB的中點(diǎn)，線段尸C上是否存在點(diǎn)N,使得直線MN與平面A4C所成角的正弦值為Y2.

2

若存在，求^的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，因?yàn)锳B=3C,所以3O2AC,

因?yàn)锳T>=CD,所以。OJ_AC,所以B,。,。三點(diǎn)共線，所以BOLAC,

因?yàn)镻A_L平面A8CD,3Z>u平面ABCD,所以3D_LX4,

因?yàn)閼?["|4。=4,R4u平面尸AC,ACu平面尸AC,所以班平面尸AC,

因?yàn)?￡>u平面尸瓦),所以平面R4C_L平面尸30.

(2)以。。,。。所在的直線為X軸和y軸，過(guò)。點(diǎn)作平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則。(相,0,0),尸卜白,0,2),可0,-1,0),

因?yàn)镸為m的中點(diǎn)，所以“-^-,--,1,

設(shè)麗=加(0?八1),所以吊28-收0,2-22)，

所以旃，2⑨一包,,1-22,

I22J

由(1)知平面尸AC,所以平面尸AC的一個(gè)法向量為為=(0,1,0),

第11頁(yè)共19頁(yè)

設(shè)直線MN與平面PAC所成角為0,

?一.I172

貝|sin。=\cosMN,司=\n--=——/----=——,

11\MN\\n\2.V1622-102+22

PNPNF)

即當(dāng)塞=；1或塞=39時(shí)，直線與平面尸AC所成角的正弦值為4.

PC4PC82

17.（15分）

設(shè)函數(shù)，（x）=gax?+（1-x）e*.

⑴當(dāng)a41時(shí),討論了（X）的單調(diào)性;

⑵若尤e[-2,2]時(shí)，函數(shù)A*）的圖像與>=/的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

【解析】（1）/（X）的定義域?yàn)镽,f'（x）=ax-xex=x（a-ex）,

①當(dāng)時(shí)，a-ex<0，由/''(x)=x(a-e，)>0,得x<0,

由/''（X）=x（。一e"）<0,得無(wú)>0,

當(dāng)aVO時(shí)，/Xx）的在區(qū)間（-*0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減,

②當(dāng)。=1時(shí)，/（x）=x（l-e，），r（O）=O,

當(dāng)xwO時(shí)，r（X）<0,的區(qū)間（f,”）上單調(diào)遞減，

③當(dāng)0<a<l時(shí)，由/（x）=x（a-e”）=0,得x=0或x=lna,且lna<0.

當(dāng)“變化時(shí)，的變化情況如下表：

X(-oo,Ina)(ln〃,0)(0,+oo)

/(x)-+-

遞減遞增遞減

綜上所述，當(dāng)。40時(shí)，/（x）的在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,+功上單調(diào)遞減;

當(dāng)。=1時(shí)，/（X）在區(qū)間（-Q0,+c0）上的單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<1時(shí)，/（X）在區(qū)間（In0,0）上的單調(diào)遞增，

在區(qū)間（F,lna）和（0,+CO）上單調(diào)遞減區(qū)間；

第12頁(yè)共19頁(yè)

（2）若xe［-2,2］時(shí)，函數(shù)/3的圖像與、=寸的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn),

即關(guān)于X的方程g辦2+（1-x）e*=e\即x（辦-2e，）=0在區(qū)間［-2,2］上僅只有一個(gè)解,

,二％=。是方程的解，且x=0時(shí)ax-2ex。0，

，問(wèn)題等價(jià)于內(nèi)-2e'=0即"迫在［-2,0）U（0,2］上無(wú)解，

X

x

即曲線8（尤）=竺2e（-24彳<0或0<：^2）與直線丁=。無(wú)公共點(diǎn)，

g，（x）=2e'-）,由g，（x）=o得彳=1,

x"

當(dāng)-2VxvO或0<xV2時(shí)，x變化時(shí)，g'（x）,g（x）的變化情況如下表:

%-2(-2,0)0(0.1)1(1,2)2

g'(x)--+

遞減，無(wú)遞減，極小遞增，

g(x)-e-2e2

負(fù)值意義正值值2e正值

且當(dāng)x>0且x-O時(shí)，g(x)->-H?.當(dāng)無(wú)<0且X—>0時(shí)，g(x)->-00.

故。的取值范圍為(-e:2e).

18.（17分）

22__

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:=-2=l（a>0,6>0）的焦距為4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（庭,0）.

ab

（1）求C的方程：

⑵若直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，且麗.礪=0，求|AB|的取值范圍：

（3）已知點(diǎn)尸是C上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓0:必+產(chǎn)=/（1>0）,使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸能作圓。的兩條切線

PM,尸N時(shí)（其中N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn)），總滿足|PM|=|PN|?若存在，求出圓。的半

徑「：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

'2c=4

23

【解析】（1）由題意可得/一爐=1,解得〃=1萬(wàn)=3,

c2=a2+b2

2

故雙曲線方程為C:d-L=l

3

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，設(shè)4（%,%），8（%,-%）,

將其代入雙曲線方程

第13頁(yè)共19頁(yè)

又04?03=七一只=0,解得力=±半'

此時(shí)[AB]=2回|=遍,

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為＞="+"，設(shè)4（玉,乂）,8（%2，%），

y=kx+m

聯(lián)立2,2=>^3——2,kmx——3=0,

x——1

3

3-k2^0

2km

M1+%22=-3----P-T

故＜

-m2-3

x.x2=-------不

123-心

A=4左2加2+12（/+1乂3-笈2）=12（療一女2+3）>0

則OAOB=xxx2+yxy2=XjX2+（g+m）（Ax2+m）

2

2-m-372kmn

+m+km------+m'2=0,

3—k23-k2

化簡(jiǎn)得女2+3=2疝，此時(shí)△=6（r+9）＞。,

所以|A3"|I=J1+1'|兀1一%|=Jl+l'J（%1+冗2J—4王/

2

尸2kmM23

=J1+I-4~-=VI7F2

3-k23-k2

16k2

=-Jb,網(wǎng)+

k4-6k2+9

當(dāng)左=0時(shí)，此時(shí)|AB|=#,

當(dāng)心0時(shí),此時(shí)M=一116

9

F+4-6

16

9n

,.?3-八0,,F+—>2故"￡

因此|AB卜加'

k+F-6

綜上可得|AB上迷.

第14頁(yè)共19頁(yè)

3

HX+P與f+y2=萬(wàn)相切時(shí),

Ipl

圓心到直線的距離d二下鼻r==>3及2+3=2p2,

Vl+n2

設(shè)設(shè)「(七,%),“(%%),

類似（2）中的計(jì)算可得OP-OM=&%+%為

2

=x3x4+(nx3+p)(m：4+P)=(1+公)%乂+km(^x3+%)+m

2

-p-32np23/+3-2p2

=(1+〃2----^-+np----+p==0,

3-n23-n23-?2

所以赤_L而,

由雙曲線的對(duì)稱性，延長(zhǎng)MO交雙曲線于另一點(diǎn)AT,

^\\MO\=\M'O\,且加兩,

根據(jù)軸對(duì)稱性可得\MF\=MH,且直線PM'與V+y2=也相切，即M'即為N,

逅，p：y=^,顯然滿足題意,

當(dāng)尸M或尸N斜率不存在時(shí)，此時(shí)PN:xM

22

第15頁(yè)共19頁(yè)

解法二:

設(shè)尸（七,%）,其吟=1,

由于為圓的切線，PO*■分NMPN,且PM=PN,所以尸O_LMV,

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸與圓。相切的直線方程為y-%=左（*-%）,（直線斜率存在時(shí)）

=rn4一2七為+/,

J1+左2

（X；一廠）左2-2kx0y0+y；--=。,將兩根記為kvk2,

2匕%)%—左％)-%—3v_2%%-父尤0-3%_2^y0-6x0

%。如=3-6“一屋云,yM~'3_.一%，

同理可得外=2kfl『x'2k2y0-6xQ+%,

5—K，2J—K2

2%%-6%,,_

3-片為一

2k,y0-k^x0-3x02kly0-k；x「3x0

第16頁(yè)共19頁(yè)

o%2—2%2—％1

6y（尢+&）（勺）—18%（%—勺）一6%kAl（）

6y0（%2_%1）+2%左2勺（女2_勺）_6%（勺+女2）（左2_勺）

6%安-18x「6x°r2

6yo（仁+左2）—18%0-6%左221r2

%=—1

6%+2yo左2匕一6天）（匕+左2）r2?Y2%y。%0

6%+2%一6無(wú)?！?/p>

r2

6%（尤-3年）+24尤0，％]

2%（第-3年）-8%/x0

T8%+24%，%=[=戶戶=丁二限

-6%-8%/%22

故存在這樣的圓Y+y2=：,半徑為逅

22

當(dāng)PM或尸N斜率不存在時(shí)，此時(shí)PN?="，PM:y=J^,顯然滿足題意,

22

半徑為半

19.(17分)

“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時(shí)尚.甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，

低碳環(huán)?！碧?hào)召，他們計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種.他們之間的出行互不影

響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為《，乙每天選擇“共享單車”的概率為：，丙在每月第一天選擇

“共享單車”的概率為:，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為

4

若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為如此往復(fù).

⑴若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；

(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)求丙在3月份第〃(〃=1,2,…,31)天選擇“共享單車”的概率與，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單

車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù).

【解析】(1)記甲、