2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題01區(qū)間最值問題含答案

2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題01區(qū)間最值問題二次函數(shù)與區(qū)間最值問題涉及確定函數(shù)在特定區(qū)間上的最大值和最小值．通過求頂點坐標(biāo)、判斷函數(shù)開口方向及與區(qū)間的關(guān)系，利用單調(diào)性可求得最值．★二次函數(shù)最值求解方法★方法名稱描述適用范圍頂點法通過求二次函數(shù)的頂點得到最值所有二次函數(shù)公式法直接代入公式求解已知二次函數(shù)一般式配方法將二次函數(shù)化為頂點式求解可配方的二次函數(shù)對稱軸法根據(jù)對稱軸和定義域判斷最值定義域在對稱軸兩側(cè)或包含對稱軸★二次函數(shù)區(qū)間最值問題分析★區(qū)間位置對稱軸位置最值判斷求解方法區(qū)間內(nèi)對稱軸在區(qū)間內(nèi)頂點為最值點頂點法或公式法區(qū)間外對稱軸在區(qū)間外端點為最值點比較區(qū)間端點函數(shù)值包含對稱軸區(qū)間包含對稱軸頂點為最值點之一，另一端點可能也為最值點分別計算頂點和端點函數(shù)值跨對稱軸區(qū)間跨越對稱軸頂點為最值點之一，需比較另一側(cè)的函數(shù)值根據(jù)情況選擇方法★求解步驟★①確定頂點坐標(biāo)：通過公式計算得到頂點坐標(biāo)（h，k）．②判斷函數(shù)開口方向：根據(jù)a的正負(fù)確定．③分析區(qū)間與對稱軸的關(guān)系：1．定軸定區(qū)間：直接利用單調(diào)性或數(shù)形結(jié)合求最值．2．定軸動區(qū)間：分類討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，考慮單調(diào)性求最值．3．動軸定區(qū)間：同樣需要分類討論，考慮軸是否穿過區(qū)間及單調(diào)性．④計算最值：結(jié)合上述分析，確定區(qū)間上的最大值和最小值．一、定軸定區(qū)間例1．（2024?溫州模擬）1．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為9，則的值為．對應(yīng)練習(xí)：（2024?東河區(qū)二模）2．二次函數(shù)中，當(dāng)時，的最小值是．（2024?肥城市一模）3．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．（2024秋?武昌區(qū)期中）4．已知二次函數(shù)在時有最大值3，則的值為．（2024?鹿城區(qū)校級三模）5．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為，則的值為（

）A．12或4 B．或 C．或4 D．或4（2024秋?姑蘇區(qū)校級月考）6．已知二次函數(shù)（為常數(shù)），(1)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則___________；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時，則的取值范圍是___________；(3)若二次函數(shù)在時有最大值，求的值．7．已知二次函數(shù)(1)若當(dāng)時，y的最小值為y的最大值為4，求的值；(2)若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,當(dāng)時，y的最大值與最小值的差8，求m的值．8．已知，二次函數(shù)．(1)若該圖象過點，求的值；(2)當(dāng)時，的最大值是，求的值；(3)當(dāng)時，若在函數(shù)圖象上，且，求的取值范圍．二、定軸動區(qū)間例2（2024?陽春市二模）9．已知二次函數(shù)在時，y取得的最大值為15，則a的值為．對應(yīng)練習(xí)：（2024秋?濱海新區(qū)期中）10．二次函數(shù)，當(dāng)且時，y的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．0 B． C． D．（2024?廣東模擬）11．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則的值為．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（1）當(dāng)，二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最大值為，求m的值；（2）已知點，，若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．（2024?湖北）13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．（1）若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=-1，二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為-4，求m的值；（3）若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．（2023?蓮都區(qū)一模）14．已知二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，），它的圖象過點．(1)用含a的代數(shù)式表示b；(2)若，此二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最大值為3，求m的值；(3)若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，當(dāng)時，求的取值范圍．三．動軸定區(qū)間例3（2024?蔡甸區(qū)月考）15．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－2ax＋3，當(dāng)1≤x≤3時，函數(shù)有最小值2a，則a的值為.對應(yīng)練習(xí)：16．已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)若，兩點在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與的大小關(guān)系；(2)若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當(dāng)時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求m的值．17．函數(shù)在有最小值，則實數(shù)的值是．（2024?拱墅區(qū)校級開學(xué)）18．時，函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為．（2021?江夏區(qū)校級自主招生）19．是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r，只在時取得最大值，則實數(shù)的取值范圍是．參考答案與解析參考答案：1．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，最大值的計算方法，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，先計算出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)自變量的取值范圍找出最大值，由此即可求解，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：已知二次函數(shù)，∴對稱軸為：，∴x=2時與x=0時的函數(shù)值相等，時與時的函數(shù)值相等，∴當(dāng)時的函數(shù)值大于x=2時的函數(shù)值，∴當(dāng)時，，∴，解得，，故答案為：．2．1【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式得到當(dāng)時，y隨著x的增大而增大，即可得到當(dāng)時，當(dāng)時取最小值，代入求解即可．【詳解】解：∵∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∴當(dāng)時，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)時，當(dāng)時取最小值，最小值為，故答案為：13．5【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，能由二次函數(shù)的表達(dá)式得出拋物線的對稱軸及開口方向是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合當(dāng)時函數(shù)圖象的增減情況，即可解決問題．【詳解】解：由二次函數(shù)的表達(dá)式為可知，拋物線開口向上，對稱軸為直線，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在中，函數(shù)的最大值為，故答案為：．4．或【分析】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，局部最值，利用分類思想，結(jié)合增減性計算即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∴拋物線的對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，且與對稱軸距離越大，函數(shù)值越大，∵，∴時，函數(shù)局部有最大值，此時函數(shù)值為，∵二次函數(shù)在時有最大值3，∴，解得；符合題意；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，且與對稱軸距離越大，函數(shù)值越小，∵，拋物線的對稱軸為，在局部范圍內(nèi)，∴時，函數(shù)局部有最大值，此時函數(shù)值為，∵二次函數(shù)在時有最大值3，∴，解得；符合題意；故答案為：或．5．D【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為：直線，（1）當(dāng)時，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)，隨的增大而增大，當(dāng)時，取得最小值，，；（2）當(dāng)時，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)，隨的增大而減小，當(dāng)時，取得最小值，，．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)(3)或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法即可求得；（2）拋物線開口向上，頂點為最低點，時取最小值，時取最大值；（3）根據(jù)開口方向分類討論，利用最大值列方程求解即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點2,3，，，故答案為：；（2）解：由（1）知：該二次函數(shù)y的表達(dá)式為，，拋物線開口向上，頂點為，時，，當(dāng)，，當(dāng)時，的取值范圍是：，故答案為：；（3）解：將二次函數(shù)化為頂點式得：，二次函數(shù)在時有最大值，當(dāng)時，開口向上，當(dāng)時，有最大值，最大值為，，；當(dāng)時，開口向下，當(dāng)時，有最大值，最大值為，，；綜上，的值是或．7．(1)2(2)或．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的增減性，準(zhǔn)確計算．（1）根據(jù)拋物線的對稱軸和開口方向得出當(dāng)時，y有最小值，當(dāng)時，y有最大值，得出即，求出即可得出答案；（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，分兩種情況討論：當(dāng)在對稱軸的同側(cè)時，當(dāng)在對稱軸的異側(cè)時，分別求出m的值即可．【詳解】（1）解：∵，對稱軸為，∴x的值離對稱軸越遠(yuǎn)，y的值越小，∵∴當(dāng)時，y有最小值，當(dāng)時，y有最大值．即，解得，∴；（2）解：由題意，得，解得∴二次函數(shù)的解析式為，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，∵∴①當(dāng)在對稱軸的左側(cè)時即時：∵y的最大值與最小值的差8，∴，整理的解得（不在m的范圍內(nèi)，舍去）．②當(dāng)在對稱軸的右側(cè)時即時：∵y的最大值與最小值的差8，∴，整理得：（不在m的范圍內(nèi)，舍去）．③當(dāng)在對稱軸的兩側(cè)時即時，∵y的最大值與最小值的差8，最小值為0．∴，解得：，（不在范圍舍去），解得：（舍去）．綜上所述，m的值為或．8．(1)(2)或(3)【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的最值．（1）把點代入中，求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)最大值是，求解即可；（3）根據(jù)當(dāng)時，，得出，，求解即可．【詳解】（1）解：把點代入中，得，∴；（2）解：拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，∵當(dāng)時，y的最大值是，∴當(dāng)時，，

∴把代入中，得；當(dāng)時，∵當(dāng)時，y的最大值是，∴當(dāng)時，，

∴把代入中，得；∴綜上所述，a的值為或；（3）解：拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，∵，

∴，∴．9．4【分析】先找到二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)，求出時，的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線的對稱軸為，頂點，當(dāng)時，，∵，開口向上，∴在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)時，，∴，解得：或（舍去），故a的值為4．故答案為：4．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)的增減性，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．10．B【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)解析式得到頂點坐標(biāo)，開口向下，對稱軸，再結(jié)合“當(dāng)且時，y的最小值為，最大值為，”進(jìn)行討論（一定要考慮二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是否在自變量的取值范圍內(nèi)）求解，即可解題．【詳解】解：，頂點坐標(biāo)，開口向下，對稱軸，①當(dāng)，時，時，y取最大值，即，解得或（不合題意，舍去），時，y取最小值，即，解得（不合題意，舍去）或，，②當(dāng)，時，，（舍去），綜上所述，，故選：B．11．2或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)時，求的值，結(jié)合當(dāng)時函數(shù)有最小值1，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)時的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，有，解得：，．∵當(dāng)時，函數(shù)有最小值1，∴或，∴或，故答案為：2或．12．（1）m=-3或m=3；（2）≤a＜或a≤-2【分析】（1）在x=1左側(cè)，y隨x的增大而增大，x=m+2=-1時，y有最大值-4；在對稱軸x=1右側(cè)，y隨x最大而減小，x=m=3時，y有最大值-4，即可求解；（2）分a＜0時和a＞0時兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖像，分別求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，y=-x2+2x-1，∵a＜0，∴拋物線開口向下，對稱軸x=1，∵m≤x≤m+2時，y有最大值-4，∴當(dāng)y=-4時，有-x2+2x-1=-4，∴x=-1或x=3，①在對稱軸x=1左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴x=m+2=-1時，y有最大值-4，∴m=-3；②在對稱軸x=1右側(cè)，y隨x最大而減小，∴x=m=3時，y有最大值-4；綜上所述：m=-3或m=3；（2）∵A（-3，-3），B（1，-1），設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為y=x-，由拋物線表達(dá)式可得：拋物線必經(jīng)過點（0，-1），∴若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，當(dāng)a＜0，x=-3時，y=9a-6-1=9a-7＜-3，x=1時，y=a+2-1≤-1，解得：a≤-2；當(dāng)a＞0，x=1時，y=a+2-1=a+1＞-1，x=-3時，y=9a-6-1≥-3，解得：a≥，拋物線與直線聯(lián)立：ax2+2x-1=x-，∴ax2+x+=0，△=-2a＞0，∴a＜，綜上：若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是：≤a＜或a≤-2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最大值是解題的關(guān)鍵．13．（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；【分析】（1）點，代入，求出；聯(lián)立與，則有，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，，當(dāng)時，有，x=?1或；①在x=1左側(cè)，隨的增大而增大，時，有最大值，；②在對稱軸x=1右側(cè)，隨最大而減小，時，有最大值；（3）①時，x=1時，，即；②a>0時，時，，即，直線AB的解析式為，拋物線與直線聯(lián)立：，，則，即可求的范圍.【詳解】解：（1）點，代入，，，；聯(lián)立與，則有，拋物線與直線有交點，，a≤且a≠0；（2）根據(jù)題意可得，，，拋物線開口向下，對稱軸x=1，時，有最大值，∴當(dāng)時，有，或，①在x=1左側(cè)，隨的增大而增大，時，有最大值，；②在對稱軸x=1右側(cè)，隨最大而減小，時，有最大值；綜上所述：m=-3或m=3；（3）①時，x=1時，，即；②a>0時，時，，即，直線AB的解析式為，拋物線與直線聯(lián)立：，，，，的取值范圍為或a≤-2.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最大值是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)或(3)【分析】（1）將點代入函數(shù)解析式即可得；（2）先求出二次函數(shù)的解析式，求出當(dāng)時，的值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分①在的左側(cè)和②在的右側(cè)兩種情況，由此即可得；（3）先根據(jù)求出，再利用根的判別式判斷出拋物線與軸有兩個不同的交點，從而可得拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標(biāo)小于0，由此可得，然后根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：將點代入得：，則．（2）解：，，，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，，解得或，①在的左側(cè)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，有最大值為3，∴；②在的右側(cè)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，有最大值為3，∴．綜上，或．（3）解：∵，，∴，解得，關(guān)于的方程的根的判別式，∴函數(shù)圖象與軸有2個不同的交點，函數(shù)圖象的頂點在第二象限，拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標(biāo)小于0，，解得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．1【詳解】y=x2－2ax＋3=(x?a)2+3?a2，當(dāng)a?1時，函數(shù)最小，則x=1，1?2a+3=4?2a=2a，解得：a=1，∵當(dāng)1<a<3時，∴x=a時，函數(shù)有最小值為：2a，即3?a2=2a，解得：a1=?3(不合題意舍去)，a2=1，∴a=1；當(dāng)a?3時，x=3時，9?6a+3=2a，解得：a=(不合題意舍去).故答案為1.點睛：本題考查了求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒?注意：只有當(dāng)自變量x在整個取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y才在頂點處取最值.而當(dāng)自變量取值范圍只有一部分時，必須結(jié)合二次函數(shù)的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值.16．(1)(2)m的值是和【分析】（1）抓住二次函數(shù)圖象的特征：開口向上，因此離對稱軸越近的點的縱坐標(biāo)越小，據(jù)此求解即可；（2）先利用對稱的規(guī)律求出新函數(shù)的解析式，分析新函數(shù)的圖象及性質(zhì)，再分三種情況求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的開口向上，對稱軸是直線，∴距離對稱軸越近的點的縱坐標(biāo)越小，∵，，，∴；（2）解：將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線的解析式為：，∴新拋物線的開口