2024-2025學年高中數學 第3章 導數及其應用 3.2 3.2.2 基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（二）（教師用書）教學實錄 新人教A版選修1-1

2024-2025學年高中數學第3章導數及其應用3.23.2.2基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（二）（教師用書）教學實錄新人教A版選修1-1主備人備課成員設計意圖本節(jié)課旨在幫助學生掌握基本初等函數的導數公式及導數的運算法則，通過實例講解和練習，使學生能夠熟練運用導數求解實際問題，提高學生的數學思維能力和應用能力。教學內容與新人教A版選修1-1教材第3章緊密關聯，符合教學實際，有助于學生深入理解導數的概念和應用。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等核心素養(yǎng)。通過導數公式的推導和應用，提升學生運用數學語言表達現實世界的能力，增強邏輯推理和數學運算的準確性，以及通過實際問題解決培養(yǎng)數學建模和數據分析的能力。教學難點與重點1.教學重點

-確定基本初等函數的導數公式，例如冪函數、指數函數、對數函數的導數。

-理解導數的運算法則，包括導數的四則運算法則和復合函數的導數法則。

-能夠熟練應用這些公式和法則進行求導，如求\((x^2+3x-1)^4\)的導數。

2.教學難點

-掌握復合函數的導數法則，特別是鏈式法則和乘積法則的應用，如求\(f(g(x))\)的導數。

-理解并應用隱函數求導法，如從方程\(y^2=x^3+5x\)中求\(\frac{dy}{dx}\)。

-分析和解決實際問題時，能夠正確選擇和使用適當的導數公式和運算法則，例如在物理問題中求解加速度或速度時如何應用導數。

-理解導數的幾何意義，即導數表示函數在某一點的切線斜率，并能夠通過導數判斷函數的單調性和極值。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-軟硬件資源：多媒體教學設備（投影儀、電腦）、黑板、粉筆

-課程平臺：學校內部教學平臺、在線教學資源庫

-信息化資源：導數公式表格、導數運算法則動畫演示、相關數學軟件（如Mathematica、MATLAB）

-教學手段：課堂講解、小組討論、實際問題解決練習、互動式教學軟件教學過程設計（用時：45分鐘）

一、導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-教師通過展示一張描繪物體運動的圖片，提出問題：“如何描述這個物體在某一時刻的運動狀態(tài)？”

-引導學生回顧物理中速度和加速度的概念，以及它們與導數的關系。

-提問：“在數學中，我們如何描述函數在某一點的瞬時變化率？”

-引入導數的概念，并簡要介紹導數在物理學中的應用。

二、講授新課（20分鐘）

1.基本初等函數的導數公式（10分鐘）

-以\(x^n\)（\(n\)為常數）為例，推導其導數公式。

-通過類比，推導\(e^x\)、\(\lnx\)的導數公式。

-介紹導數的四則運算法則，并通過例題進行講解。

2.導數的運算法則（10分鐘）

-講解復合函數的導數法則（鏈式法則）。

-以\(f(g(x))\)為例，推導其導數公式。

-講解乘積法則和商法則，并通過例題進行講解。

三、鞏固練習（10分鐘）

-學生獨立完成課堂練習題，鞏固所學內容。

-教師選取部分題目進行講解，糾正學生易錯點。

四、師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

-教師提問：“如何判斷一個函數的單調性？”

-學生回答，教師總結并強調判斷方法。

-教師提問：“導數在物理學中有什么應用？”

-學生分享自己的理解，教師引導總結。

五、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

-教師展示一道實際問題，要求學生運用導數解決問題。

-學生分組討論，教師巡回指導。

-各組匯報解題思路，教師點評并總結。

六、課堂小結（2分鐘）

-教師回顧本節(jié)課所學內容，強調重點和難點。

-提出課后思考題，引導學生進一步探究。

七、布置作業(yè)（2分鐘）

-布置課后作業(yè)，包括課堂練習題和相關練習冊的習題。

備注：在教學中，教師可根據學生的實際情況適當調整教學內容和進度，確保教學過程流暢，達到預期教學目標。知識點梳理1.導數的概念

-導數的定義：函數在某一點的導數表示函數在該點的瞬時變化率。

-導數的幾何意義：函數在某一點的導數表示該點處切線的斜率。

2.基本初等函數的導數公式

-冪函數的導數：\((x^n)'=nx^{n-1}\)（\(n\neq0\)）

-指數函數的導數：\((e^x)'=e^x\)

-對數函數的導數：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）

3.導數的運算法則

-導數的四則運算法則：\((uv)'=u'v+uv'\)，\((cu)'=cu'\)（\(c\)為常數）

-復合函數的導數法則（鏈式法則）：\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdotg'(x)\)

-乘積法則：\((uv)'=u'v+uv'\)

-商法則：\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)

4.隱函數求導法

-隱函數求導法的基本步驟：對等式兩邊同時對\(x\)求導，將\(y\)視為\(x\)的函數，利用鏈式法則求導。

5.導數的應用

-判斷函數的單調性：根據導數的符號判斷函數在某個區(qū)間內的單調性。

-求函數的極值：根據導數的符號變化判斷函數的極值點，求出極值。

-解決實際問題：利用導數解決物理學、工程學等領域中的實際問題，如求曲線的切線斜率、求解曲線的拐點等。

6.導數的幾何意義

-導數表示函數在某一點的切線斜率。

-通過導數可以判斷函數在某一點的增減性。

-利用導數可以求出函數的極值點。

7.導數的物理意義

-導數在物理學中可表示速度和加速度。

-利用導數可以求解物體在某一時刻的運動狀態(tài)。

-導數在物理學中的應用廣泛，如求解曲線的切線斜率、求解曲線的拐點等。課后作業(yè)1.求函數\(f(x)=x^3-3x+2\)在\(x=1\)處的導數。

-解答：\(f'(x)=3x^2-3\)，所以\(f'(1)=3(1)^2-3=0\)。

2.求函數\(g(x)=2^x+\lnx\)的導數。

-解答：\(g'(x)=2^x\ln2+\frac{1}{x}\)。

3.已知函數\(h(x)=x^2\sinx\)，求\(h'(x)\)。

-解答：使用乘積法則，\(h'(x)=(x^2)'\sinx+x^2(\sinx)'=2x\sinx+x^2\cosx\)。

4.求函數\(k(x)=e^x\lnx\)在\(x=e\)處的導數。

-解答：\(k'(x)=(e^x\lnx)'=e^x\lnx+e^x\cdot\frac{1}{x}\)，所以\(k'(e)=e^e\lne+e^e\cdot\frac{1}{e}=e^e+1\)。

5.已知函數\(m(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\)，求\(m'(x)\)。

-解答：使用商法則，\(m'(x)=\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)'=\frac{(\sqrt{x+1})\cdot1-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2}=\frac{\sqrt{x+1}-\frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\frac{2(x+1)-x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}=\frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}\)。

6.求函數\(n(x)=\arctanx+\arcsinx\)的導數。

-解答：\(n'(x)=(\arctanx)'+(\arcsinx)'=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。

7.已知函數\(p(x)=\ln(x^2-1)\)，求\(p'(x)\)。

-解答：\(p'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot(x^2-1)'=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1}\)。

8.求函數\(q(x)=x\sinx+\cosx\)的導數。

-解答：\(q'(x)=(x\sinx)'+(\cosx)'=(x)'\sinx+x(\sinx)'+(-\sinx)=\sinx+x\cosx-\sinx=x\cosx\)。

9.已知函數\(r(x)=e^x\tanx\)，求\(r'(x)\)。

-解答：\(r'(x)=(e^x\tanx)'=e^x(\tanx)'+e^x\tanx\cdot(\tanx)'=e^x\sec^2x+e^x\tanx\sec^2x=e^x\sec^2x(1+\tanx)\)。

10.求函數\(s(x)=\log_2(x+3)-\log_2(x-1)\)的導數。

-解答：\(s'(x)=\frac{1}{(x+3)\ln2}-\frac{1}{(x-1)\ln2}=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)\ln2}=\frac{-4}{(x+3)(x-1)\ln2}\)。課堂1.課堂評價

-提問與回答：通過課堂提問，檢查學生對基本概念和公式的理解程度。例如，提問學生如何求冪函數的導數，以及如何應用鏈式法則求復合函數的導數。

-觀察學生參與度：觀察學生在課堂練習和討論中的參與情況，評估他們的學習興趣和合作能力。

-實時測試：在課堂教學中，通過小測試或快速問答，即時評估學生對新知識的掌握情況。

-反饋與糾正：對于學生的回答，給予及時的反饋和糾正，幫助他們理解錯誤的原因，并引導他們找到正確的解題方法。

2.學生互動評價

-小組討論：在小組討論環(huán)節(jié)，評估學生是否能夠運用所學知識解決問題，以及是否能夠有效溝通和協作。

-課堂展示：鼓勵學生進行課堂展示，評估他們的表達能力和對知識的深入理解。

3.作業(yè)評價

-作業(yè)批改：對學生的作業(yè)進行細致的批改，關注學生的解題思路、計算過程和最終答案的正確性。

-反饋與指導：在作業(yè)批改中，不僅指出錯誤，還要提供具體的解題步驟和指導，幫助學生理解錯誤的原因。

-定期回顧：通過定期回顧