重慶市主城七校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024－2025學(xué)年度（上）期末考試高2026屆數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間120分鐘試題總分150分試卷頁數(shù)4頁一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方程，利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】，由于為常數(shù)，則直線的傾斜角為90°.故選：C.2.已知等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B. C.6 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由等比中項(xiàng)即可求解；【詳解】由，可得：，又等比數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)同號，，所以，故選：B3.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)法式方程的定義即可求解.【詳解】與平面向量類比，得到空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為：，化簡得.故選：A.4.方程所表示的圖形是（）A.一個(gè)圓 B.一個(gè)半圓 C.兩個(gè)圓 D.兩個(gè)半圓【答案】D【解析】【分析】根據(jù)和，平方化簡可得圓的方程，即可求解.【詳解】由于，故或，當(dāng)時(shí)，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的右半圓，當(dāng)時(shí)，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的左半圓，故選：D5.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系，利用規(guī)律求解即可【詳解】,可知數(shù)列可看作從第8項(xiàng)起以3為周期的數(shù)列，因?yàn)椋?，故選：B6.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)的面積求出，利用弦長公式求出弦長.【詳解】如圖：由題，不妨設(shè)，直線斜率存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立，，，解得，故，故選：D.7.數(shù)列中，，，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由得出是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】由，令，則，故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，故，故選：A.8.如圖：，是雙曲線左右焦點(diǎn)，以為圓心的圓與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為，由條件結(jié)合雙曲線的定義證明，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理列方程確定關(guān)系，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)椋?，由雙曲線定義可得，所以，故，，，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由已知，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分或4分，有選錯(cuò)得0分.9.已知數(shù)列和是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是等比數(shù)列B.可能是等差數(shù)列C.，，是等比數(shù)列D.是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，和等比，等差數(shù)列的定義來逐一分析每個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)數(shù)列的公比為（），則（常數(shù)）.所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，此時(shí)，那么是公差為的等差數(shù)列，所以可能是等差數(shù)列，選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C，設(shè)數(shù)列的公比為（）.當(dāng),.因?yàn)榈缺葦?shù)列的項(xiàng)不能為，所以此時(shí)不是等比數(shù)列，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D，設(shè)數(shù)列的公比為（），數(shù)列的公比為（）.則（常數(shù)），所以是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，線段的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.線段長度的最小值為B.若，，則為定值C.D.若，則直線傾斜角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】先求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，，由此判斷B，結(jié)合焦點(diǎn)弦公式求線段長度的最小值，判斷A，證明判斷C，結(jié)合條件求的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求直線傾斜角的正切值，再求其正弦值，判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線的斜率為，直線的方程為，此時(shí)直線與拋物線的交點(diǎn)為，與條件矛盾，故直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消可得，，方程的判別式，由已知為方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，B錯(cuò)誤；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)，線段長度取最小值，最小值為；A正確；由已知，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，所以，，所以，又，，所以，所以，C正確；若，則直線的斜率為，點(diǎn)在第一象限，所以，又，所以，所以，所以或（舍去），設(shè)直線傾斜角為，則，所以，所以直線傾斜角的正弦值為，D正確；故選：ACD.11.如圖，在棱長為6的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐體積定值B.存在點(diǎn)，使平面平面C.設(shè)直線與平面所成角為，則最小值為D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A：由等體積變換可得，可判斷；選項(xiàng)B：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)空間向量由面面平行可得，可判斷；選項(xiàng)C：根據(jù)空間向量法表示線面角，可得，進(jìn)而可得；選項(xiàng)D：先做出平面截正方體所得截面，根據(jù)線面關(guān)系可得截面的面積.【詳解】選項(xiàng)A：，故A正確；選項(xiàng)B：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，，設(shè)，故，則,由，得，不合題意，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：平面法向量為，則，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，故C正確；選項(xiàng)D：如圖，直線分別交的延長線于點(diǎn)，連接交于，連接交于，連接，由題意可知五邊形即為平面截正方體所得截面，因，分別為棱，的中點(diǎn)，，，，得，由正方體性質(zhì)可知，，故所求截面面積為，由選項(xiàng)可知，，，故，，故，，，故所求截面面積為，故D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的關(guān)鍵是先根據(jù)空間點(diǎn)線面的關(guān)系做出截面，進(jìn)而由線面關(guān)系可求面積.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面的一個(gè)法向量為，平面內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，平面外一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】##【解析】【分析】求向量的坐標(biāo)，再求在法向量上的投影向量的模即可.【詳解】由已知，又在上的投影向量的模為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.13.已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，這項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)條件可轉(zhuǎn)化為，，解方程求，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求，由此可求通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中，前項(xiàng)和為，所以，故，因?yàn)榈炔顢?shù)列中前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和為，所以，故，所以，解得，所以，又，所以，，所以，，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.14.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，過作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸下方，內(nèi)切圓交邊于點(diǎn)，則線段的長度取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的有關(guān)性質(zhì)知，，結(jié)合橢圓的定義可推出，注意到點(diǎn)在下方，所以，.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)切圓交邊于點(diǎn)，所以,又因?yàn)樵跈E圓中，,所以，而，（等號取不到）因此故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓與兩坐標(biāo)軸均相切，且過點(diǎn).直線過點(diǎn)交圓于，兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若且，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓與兩坐標(biāo)軸均相切，且過點(diǎn)，可得，得，解出即可；（2）結(jié)合第一問和已知得到圓的方程為，根據(jù)，得到，再令于

，設(shè)，，得到方程組

，解得

，再設(shè)，根據(jù)圓心到的距離求出即可.【小問1詳解】圓與兩坐標(biāo)軸均相切，且過點(diǎn)，，則，得，或，圓的方程為或；【小問2詳解】，，圓的方程為，，，作

于

，設(shè)，則

，故

，解得，設(shè)，則，則圓心

到

的距離

，，化簡得：，解得或，直線的方程為或.16.如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由，得到，運(yùn)用線面平行判定定理得到平面和平面，得到平面平面，再用面面平行性質(zhì)得到線面平行即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和平面法向量坐標(biāo)，結(jié)合向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問1詳解】證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接因?yàn)?，且，又因?yàn)?，故，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)椋矫?，平面，所以平面又，平面，則平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?【小問2詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則，，，，設(shè)，由即得，，易知，平面的一個(gè)法向量為設(shè)直線與平面所成角為，故直線與平面所成角的正弦值為17.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列且公比大于，，，，（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，數(shù)列公比為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式將條件轉(zhuǎn)化為的方程，解方程求，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)論；（2）由（1）可得，分別在為偶數(shù)和奇數(shù)條件下，利用分組求和法，裂項(xiàng)相消法及等比數(shù)列求和公式求結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列公差為，數(shù)列公比為，由，得解得．所以．由于，即，又，，所以，解得或（舍去）所以；【小問2詳解】由（1）得：所以所以所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：.18.如圖，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿著翻折，得到如右圖所示的四棱錐，記二面角的平面角為.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，（i）求點(diǎn)到底面的距離；（ii）設(shè)是側(cè)棱上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得的余弦值為，若存在，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）翻折后由，，確定，得到平面，再結(jié)合勾股定理得到，即可求證；（2）（i）過點(diǎn)作，垂足為，確定平面，即可求解；（ii）建系，求得平面的法向量，通過向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)榉矍埃苑酆?，，由二面角的定義可知，二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，，即，又，且，平面，平面，平面，，又在三角形中，易知，，，滿足：，由勾股定理可知，，，且，平面，平面.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，（i）由（1）知，，，平面，平面，又平面，平面平面，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，又平面平面，故平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在中，，，故.（ii）由（i）知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，故，，，，設(shè)，設(shè)，即，即，設(shè)平面法向量為，，，，即，令，得，，即，設(shè)平面的法向量，，，，即，令，得，，即，的余弦值為，，解得，即.19.已知橢圓左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直.①若，求三棱錐的體積；②是否存在，使得折疊后的周長為與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合離心率的定義，橢圓的定義列關(guān)于的方程，解方程求，再根據(jù)關(guān)系求，由此可得橢圓方程；（2）①由已知可得直線方程為，聯(lián)立方程組求出的坐標(biāo)，再求三棱錐的底面面積和高，結(jié)合錐體體積公式求結(jié)論；②假設(shè)存在滿足條件，設(shè)在新圖形中對應(yīng)點(diǎn)記為，由假設(shè)可得，設(shè)直線方程為，設(shè)折疊前，，聯(lián)立方程組求的縱坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式可轉(zhuǎn)化為，代入化簡求結(jié)論.【小問1詳解】由橢圓的定義知，，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①由（1）知，點(diǎn)，傾斜角為，故直線方程為，聯(lián)立，化簡可得，所以，解得或則，，，，所以的面積為