陜西省西安市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第三次階段性測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)2024—2025學(xué)年第二學(xué)期第三次階段性測(cè)評(píng)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘命題人：韓小偉審題人：李云俠一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線被圓所截得弦長為（）A. B.1 C. D.22.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確是（）A. B.C. D.3.直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A.6 B.8 C.2 D.44.等差數(shù)列中，如果，那么的最大值為A2 B.4 C.8 D.165.在等比數(shù)列中，則為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A. B.1012 C.2023 D.20247.已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.8.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.設(shè)數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.或?yàn)榈淖畲笾?0.下列函數(shù)中，直線能作為其圖像的切線的函數(shù)是（）A. B. C. D.11.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過34，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________．13.已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為______.14.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.16.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若曲線在處的切線方程為，求的值．17設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在橢圓上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面積．19.設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)2024—2025學(xué)年第二學(xué)期第三次階段性測(cè)評(píng)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘命題人：韓小偉審題人：李云俠一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線被圓所截得的弦長為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，再由垂徑定理及弦長關(guān)系即可求得所截弦長.【詳解】圓，所以圓心，半徑，由點(diǎn)到直線距離公式可得圓心到直線的距離為，所以直線被圓所截得的弦長為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的弦長求法，垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】，，，．故選：B．3.直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A.6 B.8 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式求解即可【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B4.等差數(shù)列中，如果，那么的最大值為A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)及，得，由題意可知當(dāng)為正時(shí)，最大，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最值，故選項(xiàng)為B.考點(diǎn)：（1）等差數(shù)列的性質(zhì)；（2）均值不等式.5.在等比數(shù)列中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)基本量運(yùn)算求出等比數(shù)列中，從而判斷是等比數(shù)列，最后應(yīng)用求和公式計(jì)算即可.【詳解】令的公比為，因?yàn)?，所以，解?根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以.故選：B.6.已知函數(shù)，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A. B.1012 C.2023 D.2024【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)有，進(jìn)而有，即可求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由題意，由等比數(shù)列性質(zhì)得，所以，，所以故選：A7.已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，此時(shí).故選：C8.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.設(shè)數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.或?yàn)榈淖畲笾怠敬鸢浮緼BD【解析】【分析】由及前n項(xiàng)和公式可得，即可判斷A、B的正誤，進(jìn)而得到判斷C，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D的正誤.【詳解】根據(jù)題意可得，即．因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是遞減數(shù)列，所以A，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又為遞減數(shù)列，所以或?yàn)樽畲笾?，故D正確．故選：ABD．10.下列函數(shù)中，直線能作為其圖像切線的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依次計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算是否有解得到答案.【詳解】直線能作為下列函數(shù)圖象的切線，即函數(shù)圖象存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為，選項(xiàng)A，，故，令，無解，故A不正確；選項(xiàng)B，，故，令，得，故B正確；選項(xiàng)C，，故，令，解得或，，故C正確；選項(xiàng)D，，故，令，故，無解，故D不正確.故選：BC.11.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過34，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則為以2為首頂，以為公比的等比數(shù)列，由此求出塔形的表面積，令即可得出的范圍判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，，，，則為以為首頂，以為公比的等比數(shù)列，∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴塔形的表面積，令，解得，∴該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少為5個(gè).故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________．【答案】【解析】【分析】由通項(xiàng)公式可得，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，利用分組求和求解.【詳解】解：，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列．則，．則數(shù)列的前項(xiàng)和．故答案為:．13.已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為______.【答案】【解析】【分析】首先說明直線斜率存在，然后設(shè)出方程，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立與，解得，這表明滿足題意的直線斜率一定存在，設(shè)所求直線斜率為，則過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：.14.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________．【答案】【解析】【詳解】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類型題使用公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意列方程可得數(shù)列的公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）結(jié)合(1)的結(jié)論可得，錯(cuò)位相減法可得其前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由和得：，即，解得或.又，則，，.【小問2詳解】，，①，②①-②得：.16.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若曲線在處的切線方程為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，代入得到斜率，計(jì)算切線方程.(2)求導(dǎo)代入數(shù)據(jù)，跟切線方程作對(duì)照，得到答案.【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，∴，曲線在處的切線方程為，即；(2)，若曲線在處的切線方程為，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，是?？碱}型.17.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時(shí),∴∴當(dāng)時(shí),,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在橢圓上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題意求得a，設(shè)出橢圓方程，代入已知的坐標(biāo)求得b，則橢圓方程可求；

（2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面積公式可得△F2PF1的面積．【詳解】（1）因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上且長軸為，故可設(shè)橢圓的方程為（），因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，橢圓的方程為．（2）由（1）知，在△F2PF1中，由余弦定理可得：即，則【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了焦點(diǎn)三角形中橢圓定義及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．19.設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．【解析】【分析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設(shè)