線段、角（對(duì)角線）的計(jì)數(shù)模型解讀與提分訓(xùn)練-2025年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假分層作業(yè)

例題講模型

模型L線段的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

如果線段上有〃個(gè)點(diǎn)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么該線段上共有多少條線段?

模型證明

證明：①以A為端點(diǎn)的線段有：AB.AC、AD.AE,有4條；

②以8為端點(diǎn)的線段有：BC、B。、BE,有3條；③以C為端點(diǎn)的線段有：CD、CE,有2條;

④以D為端點(diǎn)的線段有：DE,有1條；故圖中線段總數(shù)量：4+3+2+1=10（條）

注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；

結(jié)論拓展：若有w個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（w-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=〃（〃T）（條）

2

模型運(yùn)用

例1.（2023春?山東淄博?七年級(jí)校考期中）下面圖形中共有線段（）條.

ABCDE

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】分別以AB,C,。為線段的一個(gè)端點(diǎn)找出線段即可求解.

【詳解】解：圖中線段有：共10條，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)線段條數(shù)，掌握線段的定義是解題的關(guān)鍵.

例2.（23-24七年級(jí)上?山東臨沂?期末）如圖，由臨沂始發(fā)終點(diǎn)至淄博的某一次高鐵列車，運(yùn)行途中?？康?/p>

車站依次是：臨沂-曲阜-泰安-濟(jì)南-淄博，那么要為這次列車制作的單程火車票()種.

?----------------?----------------?----------------?----------------?----------------A

臨沂曲阜泰安濟(jì)南淄博

A.4B.6C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查直線、射線、線段，根據(jù)線段條數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：高鐵列車在運(yùn)行途中，?？康能囌疽来问桥R沂-曲阜-泰安-濟(jì)南-淄博，要為這次列車制作的單

程火車票的種類為1+2+3+4=10(種)，故選：C.

例3.(2023秋,河北石家莊?七年級(jí)統(tǒng)考期末)往返于甲、乙兩地的火車，中途?？咳?，每?jī)烧鹃g距離各

不相等，需要準(zhǔn)備()種不同的車票

A.4B.8C.10D.20

【答案】D

【分析】把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個(gè)點(diǎn)，先求出線段條數(shù)，再乘以2即是車票的種類.

【詳解】解：把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個(gè)點(diǎn)，如圖，

MGNC~E

回線段一共有1+2+3+4=10(條)，而10x2=20,13需要準(zhǔn)備20種不同的車票，故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題；關(guān)鍵是需要掌握正確數(shù)線段的方法.

例4.(2024?重慶?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))①如圖(1),直線I上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中字母表

小的射線：A1A2、A2A1,有1條線段：A1A2;

②如圖(2),直線I上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有幾條可用圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字

母表示出來(lái)；

③如圖(3),直線I上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n

的代數(shù)式表示出來(lái)；

④應(yīng)用(3)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：某校七年級(jí)共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)

之間賽一場(chǎng))，預(yù)計(jì)全部賽完共需多少場(chǎng)比賽？

—I----1/III/II_______11

AA

4241z2j4iz…4n

(1)(2)(3)

【答案】②射線有4條，線段有3條；③射線的條數(shù)是(2n-2)條，線段的條數(shù)是加3條；④28場(chǎng).

【分析】②寫(xiě)出所有的射線和線段后再計(jì)算個(gè)數(shù)；

③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有兩條，但是兩邊的兩個(gè)點(diǎn)只有一條；

線段是從所有點(diǎn)中任取兩個(gè)；

④根據(jù)題意8個(gè)隊(duì)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間塞一場(chǎng)，和已知點(diǎn)數(shù)確定線段數(shù)同理，所以代入求值即可.

【詳解】解：②根據(jù)射線的定義可得：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1,共4條；由線段的定義可得線段

有：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1,共3條；

③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)用兩次，但第一個(gè)和最后一個(gè)只用一次，所以射線的條數(shù)是2n-2,線段是從這

些點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)就是一條線段，所以線段的條數(shù)是必，且；

④回某校七年級(jí)共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，

回全部賽完共需比賽場(chǎng)次為：良\D=4X（8-1）=28（場(chǎng)），團(tuán)全部賽完共需比賽場(chǎng)次為28.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段和射線的計(jì)數(shù)問(wèn)題，在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，計(jì)線段數(shù)或者射線數(shù)時(shí)，要先寫(xiě)

出以A點(diǎn)為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，再寫(xiě)出以B為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，…求出所有的線段數(shù)和射線數(shù),

然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，來(lái)計(jì)出n個(gè)點(diǎn)時(shí)射線數(shù)和線段數(shù)，最后代入來(lái)解決應(yīng)用問(wèn)題.

例5.（23-24七年級(jí)上?山東青島?期末）問(wèn)題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即

全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)），則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽？

構(gòu)建模型：生活中的許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題.為解決

上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：

⑴如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足

球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把它們連接起來(lái).由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即

每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5x4條線段，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了

一次，實(shí)際只有=10條線段，所以該校一共要安排10場(chǎng)比賽.

圖①圖②

（2）若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排一場(chǎng)比賽；

⑶根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有"支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排一場(chǎng)比賽.

實(shí)際應(yīng)用：（4）9月1日開(kāi)學(xué)時(shí)，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識(shí)，請(qǐng)班上42位新同學(xué)每?jī)蓚€(gè)人都相互握一

次手，全班同學(xué)總共握手一次.

拓展提高：⑸往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車站(每種

車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱)，那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為種

【答案】(1)10(2)15(3)業(yè)二^(4)861(5)要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種

2

【分析】(1)根據(jù)圖①線段數(shù)量進(jìn)行作答.(2)根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答.(3)根據(jù)每個(gè)點(diǎn)存在(〃-1)

條與其他點(diǎn)的連線，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，提出假設(shè)，當(dāng)〃=5,6時(shí)均成立，假設(shè)成立.(4)

根據(jù)題意，代入警力求解即可.(5)根據(jù)題意，代入求解即可.

【詳解】(1)解：由圖①可知，圖中共有10條線段，所以該校一共要安排10場(chǎng)比賽.

(2)由圖②可知，圖中共有15條線段，所以該校一共要安排15場(chǎng)比賽，

故答案為：15；

(3)根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有“支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則每個(gè)點(diǎn)存在(〃-1)條與其他點(diǎn)的連

線，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次

團(tuán)若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排迪匚1場(chǎng)比賽.

2

當(dāng)”=5,6時(shí)均成立，所以假設(shè)成立，故答案為：攻二0.

2

(4)將”=42代入(3)中結(jié)果，=42x(42-1)作

22

回全班同學(xué)總共握手861次，故答案為：861；

(5)因?yàn)樾熊囃荡嬖诜较蛐?，所以不需要除去每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況

將〃=6代入中解得〃x(“-l)=6x(6-1)=30回要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種.

【點(diǎn)睛】本題考查了歸納總結(jié)和對(duì)變形對(duì)角線問(wèn)題，求出關(guān)于。的關(guān)系式，再根據(jù)實(shí)際情況討論是解題的

關(guān)鍵.

模型2.角度的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

若過(guò)點(diǎn)。作了有〃條射線，那么該圖形中共有多少個(gè)角？

模型證明

我們先取”=5進(jìn)行研究，如下圖:

結(jié)論：角的數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；

證明：①以O(shè)A為角的一邊有：ZAOB.ZAOC,ZAOD,ZAOE,有4個(gè);

②以。2為角的一邊有：/BOC、NBOD、ZBOE,有3個(gè);

③以。C為角的一邊有：ZCOD.ZCOE,有2個(gè);

④以。。為角的一邊有：ZDOE,有1個(gè)；故圖中角總數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）

注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素;

結(jié)論拓展：若有〃條射線，則角度數(shù)量為：（川+g）+..,4+3+2+g”（個(gè)）。

模型運(yùn)用

例L（2023秋?河北石家莊?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1個(gè)角，圖②中有3個(gè)不同角，圖③中有6

個(gè)不同角，…，按此規(guī)律下去圖⑥中有不同角的個(gè)數(shù)為.

【答案】21

若D,進(jìn)而求出圖⑥中不同角

【分析】根據(jù)前3個(gè)圖中角的個(gè)數(shù)，抽象概括出第〃個(gè)圖中角的個(gè)數(shù)為:

的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：圖①中有號(hào)個(gè)角；圖②中有U個(gè)不同角；圖③中有個(gè)個(gè)不同角；L

團(tuán)第幾個(gè)圖中有八——L個(gè)不同角，回圖⑥中有不同角的個(gè)數(shù)為￥=21；故答案為：21.

2

【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的數(shù)字規(guī)律.根據(jù)已有圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?四川內(nèi)江?七年級(jí)月考）在銳角0AOB內(nèi)部，畫(huà)1條射線，可得3個(gè)銳角；畫(huà)2條不同射線，可

得6個(gè)銳角；畫(huà)3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫(huà)10條不同射線，可得銳角個(gè).

【答案】66

【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題.

【詳解】解：國(guó)在銳角MOB內(nèi)部，畫(huà)1條射線，可得1+2=3個(gè)銳角;

在銳角0AO2內(nèi)部，畫(huà)2條射線，可得1+2+3=6個(gè)銳角；

在銳角0AO8內(nèi)部，畫(huà)3條射線，可得1+2+3+4=10個(gè)銳角；...

團(tuán)從一個(gè)角的內(nèi)部引出w條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+...+(w+1)=1x(n+1)x(”+2),

回畫(huà)10條不同射線，可得銳角gx(10+1)x(10+2)=66.故答案為：66.

例3.(23-24七年級(jí)上?重慶?期中)如圖，以點(diǎn)。為端點(diǎn)引3條射線時(shí)，共有個(gè)角；以點(diǎn)0為端點(diǎn)

引4條射線時(shí)，共有個(gè)角；……；以點(diǎn)。為端點(diǎn)引?條射線時(shí)，共有個(gè)角(用含〃的代數(shù)式

表示).

【分析】有公共頂點(diǎn)的〃條射線，可構(gòu)成山二。個(gè)角，依據(jù)規(guī)律解答即可.

2

【詳解】解：以點(diǎn)。為端點(diǎn)引3條射線時(shí)，共有3個(gè)角；3=1+2；

以點(diǎn)。為端點(diǎn)引4條射線時(shí)，共有6個(gè)角；6=1+2+3；

以點(diǎn)。為端點(diǎn)引5條射線時(shí)，共有個(gè)10角；10=1+2+3+4；

以點(diǎn)。為端點(diǎn)引〃條射線時(shí)，共有(1+2+3+…+〃-1)=若D個(gè)角；

故答案為：3,6,\<

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵：有公共頂點(diǎn)的〃條射線，可構(gòu)成攻二D個(gè)角.

2

例4.（23-24七年級(jí)上?湖北孝感?期末）如圖1,從點(diǎn)。分別引兩條射線，則得到一個(gè)角,AO3.（圖中的角

均指不大于平角的角）

⑴探究：①如圖2,從點(diǎn)。分別引三條射線，則圖中得到個(gè)角；

②如圖3,從點(diǎn)。分別引四條射線，則圖中得到個(gè)角；

③依此類推，從點(diǎn)。分別引〃條射線，則得到個(gè)角（用含”的式子表示）；

（2）應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：某校七年級(jí)共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即

每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），則全部賽完共需多少場(chǎng)比賽？

【答案】⑴①3；②6；③“（?。?20

【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；

（2）將”=將代入求解即可.

2

【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)。分別引三條射線，圖中的角有

1+2=3,回圖中得到3個(gè)角；

②由題意可得，從點(diǎn)。分別引四條射線，圖中的角有ZAOCZAO2ZAO民/COANCOB,NOO5,

1+2+3=6,回圖中得到6個(gè)角；

③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)。分別引〃條射線，

1+2+3+...+〃-1二-^——』,團(tuán)得至——個(gè)角；

22

（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)"=16時(shí)，16x15=120回全部賽完共需120場(chǎng)比賽.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

〃條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？最多能將平面分成多少部分呢？

模型證明

直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)

101+1=2

211+1+2=4X

31+2=31+1+2+3=7Tv

41+2+3=61+1+2+3+4=11

?????????

n心+1)11

22

模型運(yùn)用

例1.(2023春?上海徐匯?七年級(jí)校考期中)同一平面內(nèi)畫(huà)9條直線，最多能畫(huà)出______個(gè)交點(diǎn).

【答案】36

【分析】從簡(jiǎn)單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條、6條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律

即可解答.

【詳解】2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有1+2+3+4個(gè)交點(diǎn)；

6條直線相交最多有1+2+3+4+5個(gè)交點(diǎn)；…

所以w條直線相交最多有1+2+3+4+5+...+(〃-1)=^^個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)〃=9時(shí)，等=36.故答案：36.

【點(diǎn)睛】本題考查相交線和圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題.

例2.（2023春?浙江嘉興?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成

了（）個(gè)部分.

A.7或8B.8C.8或9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可.

【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個(gè)部分，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，找出規(guī)律，解決問(wèn)題.

例3.（2023春,浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；〃條

直線相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)？（）

1,1,

A.—（M--ri）B.2n—1C.2n—3D.-（2n-3）

【答案】A

【分析】由2條直線相交時(shí)最多有1個(gè)交點(diǎn)、3條直線相交時(shí)最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)、4條直線相交時(shí)最多有

1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，可得5條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4、6條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5、7條直線相

交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5+6,可知"條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+〃-1==：（"-〃）.

【詳解】解：回2條直線相交時(shí)，最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交時(shí)，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交時(shí)，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；…團(tuán)5條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；

6條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；7條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)；

“條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+=.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形中相交點(diǎn)數(shù)量得出：w條直線相交，交點(diǎn)最多有

l+2+3+...+n-l個(gè)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2024七年級(jí)上?重慶?專題練習(xí)）為了探究同一平面內(nèi)的幾條直線相交最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)，能把

平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手，如圖.

列表如下:

直線條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)把平面最多分成部分?jǐn)?shù)

102

214

337

⑴當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，最多有個(gè)交點(diǎn)，可寫(xiě)成和的形式為；把平面最多分成部分，

可寫(xiě)成和的形式為.

（2）當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí)，最多有個(gè)交點(diǎn)，把平面最多分成部分.

⑶當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí)，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？把平面最多分成多少部分？

【答案】（1）10；1+2+3+4；16；1+1+2+3+4+5（2）45；56；（3）“?。?；

【分析】（1）兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，

第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1+2,

第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3,

第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3+4,

可得，n條直線兩兩相交，最多有也F2個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且晚2）.

一條直線把平面分成2部分，兩條直線把平面分成2+2=4部分，三條直線把平面分成2+2+3=7部分，四條

直線把平面分成2+2+3+4=11部分，五條直線把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n條直線把平面分成

2+2+3+4+5+...=l+l+2+3+...+n=：L+部分（2）代入（1）中的規(guī)律可得結(jié)果；（3）由（1）可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，

第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1+2,

第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3==，=6,

第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3+4=絲二。=10,

回可得，n條直線兩兩相交，最多有妁六個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且晚2）.

一條直線把平面分成2部分，兩條直線把平面分成2+2=4部分，三條直線把平面分成2+2+3=7部分，

四條直線把平面分成2+2+3+4=11部分，五條直線把平面分成2+2+3+4+5=16部分，

Eln條直線把平面分成2+2條+4+5+...=1+1+2+3+...+11=［1+"。；1）］部分

（2）當(dāng)n=10時(shí)，最多有—?T）=45個(gè)交點(diǎn),把平面最多分成1+吆羋弛=56部分.

22

（3）當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí)，最多有1+2+3+...+句—1）=喳?個(gè)交點(diǎn)；

把平面最多分成l+l+2+3+...+n=+1部分.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交有也甘個(gè)

交點(diǎn).本題體現(xiàn)了由“特殊到一般再到特殊”的思維過(guò)程，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探究意識(shí).

例5.（2023春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過(guò)觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多

有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；"條直線相交,

最多有個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；

【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問(wèn)題，請(qǐng)你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級(jí)舉辦籃

球比賽，第一輪要求每?jī)砂嘀g比賽一場(chǎng)，若七年級(jí)共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

【答案】［觀察發(fā)現(xiàn)］6,妁/；［實(shí)踐應(yīng)用］120場(chǎng)

【分析】［觀察發(fā)現(xiàn)］根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)

交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn).而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可猜想，"條直線相交，最多

有1+2+3+...+（〃；）個(gè)交點(diǎn)；［實(shí)踐應(yīng)用］把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行一場(chǎng)比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連

接，用此方法即可.

【詳解】［觀察發(fā)現(xiàn)］解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：I」**）；

②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=3X（；T）；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=4X（；T）；...

w條直線相交最多有妁/個(gè)交點(diǎn).故答案為：6,吟』.

［實(shí)踐應(yīng)用］該類問(wèn)題符合上述規(guī)律，所以可將〃=16代入地|”=120.團(tuán)這一輪共要進(jìn)行120場(chǎng)比賽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么

規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.

模型4.多邊形的對(duì)角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

從“邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出對(duì)角線，這些對(duì)角線能把多邊形分割成多少個(gè)三角形呢？，邊形共有多少條對(duì)

角線呢？

模型證明

結(jié)論：從〃邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（w-3）條對(duì)角線；這些對(duì)角線把多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形;

〃邊形共有對(duì)角線。

2

證明：由連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多邊形的對(duì)角線，

可知，從“邊形的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（〃-3）條對(duì)角線，這些對(duì)角線把多邊形分割成（”-2）個(gè)三角形

刖邊形有"個(gè)頂點(diǎn)，回共有〃（〃-3）條對(duì)角線

又團(tuán)能形成對(duì)角線的兩個(gè)點(diǎn)之間只算1條對(duì)角線（即上面的計(jì)算相當(dāng)于每條對(duì)角線重復(fù)計(jì)算了一次）,

n(n-3)

刖邊形有條對(duì)角線.

2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上?甘肅平?jīng)?階段練習(xí)）若從一多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可引9條對(duì)角線，則它是

（）

A.十三邊形B.十二邊形C.十一邊形D.十邊形

【答案】B

【分析】根據(jù)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以作（力-3）條對(duì)角線，進(jìn)而可求解.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是〃邊形，

由題意得：n—3—9,解得：”=12,，它是十二邊形，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，熟練掌握多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以作（〃-3）條對(duì)角線是解題

的關(guān)鍵.

例2.（23-24七年級(jí)上?河北保定?期末）若，邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的所有對(duì)角線可以將該"邊形分成6個(gè)三

角形，則〃的值為（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【分析】本題考查了多邊形中的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系.經(jīng)過(guò)"邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成

-2）個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，即可.

【詳解】解：依題意有九-2=6,解得〃=8.故選：C.

例3.（2023秋,廣東梅州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形

對(duì)角線的總數(shù)是（）

A.88B.44C.45D.50

【答案】C

【分析】根據(jù)一個(gè)“邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（〃-3）條對(duì)角線，即可求出該多邊形的邊數(shù).再根據(jù)w邊形對(duì)角

線的總數(shù)為"（"-3即可求解.

2

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為小

回一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對(duì)角線，回〃-3=8,解得:n=ll,

國(guó)總的對(duì)角線的條數(shù)為：1k（11-3）7條.故選C.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題.掌握〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（〃-3）條對(duì)角線和其對(duì)

角線總數(shù)為幽二3是解題關(guān)鍵.

2

例4.(2023春?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期末)連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.如

圖，，邊形有條對(duì)角線.

【分析】找出過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)可畫(huà)的對(duì)角線的條數(shù)，除去重復(fù)的即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過(guò)頂點(diǎn)4可以畫(huà)(〃-3)條對(duì)角線，過(guò)頂點(diǎn)為可以畫(huà)(〃-3)條對(duì)角線,

過(guò)頂點(diǎn)4可以畫(huà)(〃-3)條對(duì)角線；…，過(guò)頂點(diǎn)4可以畫(huà)(〃-3)條對(duì)角線；

加邊形的對(duì)角線條數(shù)的為鮑超，故答案為：①3.

22

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的對(duì)角線的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本知識(shí).

例5.(2023秋?浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí))請(qǐng)仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問(wèn)題:

多邊形的頂點(diǎn)數(shù)/個(gè)45678..n

從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)/條12345..①___________

多邊形對(duì)角線的總條數(shù)/條2591420..②___________

(1)觀察探究：請(qǐng)自己觀察上面的圖形和表格，并用含”的代數(shù)式將上面的表格填寫(xiě)完整，其中

①；②

(2)實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué).同學(xué)們約定，大年初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)

之間要打一個(gè)電話拜年，請(qǐng)問(wèn)，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)?

【答案】（1）（J）n—3；（2）——3）；（2）135個(gè)

【分析】（1）觀察表可知從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是多邊形的頂點(diǎn)數(shù)減3,即得加3,由此可完成①；

從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出〃一3條對(duì)角線，則“個(gè)頂點(diǎn)可以引出〃（"-3）條，其中每一條都重復(fù)算了一次，則可完

成②；（2）把6個(gè)組共18名學(xué)生看成18邊形的頂點(diǎn)，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這個(gè)多邊形的

對(duì)角線，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有多少條對(duì)角線的問(wèn)題，由（1）中結(jié)論即可完成。

【詳解】（1）由表可得，當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為w時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為小3；從一個(gè)頂點(diǎn)可

以引出“一3條對(duì)角線，貝”個(gè)頂點(diǎn)可以引出"（"-3）條，其中每一條都重復(fù)算了一次，因此實(shí)際的對(duì)角線條

數(shù)為-3）.故答案為：①3；②;“（"-3）

（2）因?yàn)?x6=18（名），18名學(xué)生看成是頂點(diǎn)數(shù)為18的多邊形，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這

個(gè)多邊形的對(duì)角線，則由（1）可得，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話為:xl8x（18-3）=135（個(gè)）.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對(duì)角線規(guī)律及其應(yīng)用，難點(diǎn)是理解這個(gè)規(guī)律的應(yīng)用：同組三個(gè)人之間不能打電

話，對(duì)應(yīng)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成對(duì)角線，因此18個(gè)人對(duì)應(yīng)18個(gè)頂點(diǎn)，不同組的兩

位同學(xué)間打一個(gè)電話對(duì)應(yīng)連接兩頂點(diǎn)的一條對(duì)角線.

習(xí)題練模型

1.（2023春?山東威海?七年級(jí)統(tǒng)考期中）從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出4條對(duì)角線，則該多邊形的邊

數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)從“邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對(duì)角線的條數(shù)公式3）求出邊數(shù)即可得解.

【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為力，由題意，得：3=4,

回”=7,回該多邊形的邊數(shù)為7；故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.掌握w

邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（?-3）條對(duì)角線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?四川成都?七年級(jí)校考階段練習(xí)）由成都到重慶的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵撼?/p>

都一資陽(yáng)一資中一內(nèi)江一隆昌一永川一重慶，那么要為這次列車制作的火車票有（）.

A.6種B.12種C.21種D.42種

【答案】C

【分析】從成都要經(jīng)過(guò)6個(gè)地方，所以要制作6種車票；從資陽(yáng)要經(jīng)過(guò)5個(gè)地方，所以制作5種車票，依

次類推，進(jìn)而求解.

【詳解】解：從成都到重慶的單程火車票有如下:

成都一資陽(yáng)、資中、內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（6種）;

資陽(yáng)一資中、內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（5種）;

資中一內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（4種）;

內(nèi)江一隆昌、永川、重慶（3種）;

隆昌一永川、重慶（2種）;

永川一重慶（1種）;

因此要為這次列車制作的火車票有：1+2+3+4+5+6=21（種），故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是要找出由一地到另一地的車票的數(shù)是多少.

3.（2023春?山東淄博?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A3是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5

個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

ABCDE

A.10B.11C.18D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)有多少條線段單程就需要印制多少種車票進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回圖中線段有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10條，

回單程要10種車票，往返就是20種，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)線段條數(shù)，熟知兩點(diǎn)構(gòu)成一條線段是解題的關(guān)鍵.

4.(23-24七年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí))在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為4，

三條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為出，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為

%…,("+1)條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為%，若一…+:7=6,則〃=()

A.15B.17C.19D.21

【答案】B

【分析】此題考查的是相交線，摸清數(shù)字的變化規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)直線相交得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)

律，再利用裂項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可解題.

【詳解】解：根據(jù)題意，得，

兩條直線最多將平面分成4個(gè)區(qū)域，即q=4,

三條直線最多將平面分成7個(gè)區(qū)域，即為=7,

四條直線最多將平面分成11個(gè)區(qū)域，即。3=11，...

則4—1=3=1+2,

%—1—6-1+2+3,

%—1=10=1+2+3+4…

回ctn—1—1+2+3+...+zz+l,

---------1-----------------...---------------------------------------

1+21+2+31+2+3+…+(〃+1)

222

=------------------1-------------------1-------1-----------------------------

(l+2)x2(l+3)x3(l+n+l)(n+l)

J111

2---------1----------1-???H--------------------------

2x33x4++

11111

=2--—|----------------F???H-------------------

2334n+1〃+2

=2

n

n+2'

11117

石=小

n17

0—

n+219

解得：n=T7,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=17是原方程的解.

故選：B.

5.（23-24七年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）平面內(nèi)有〃條不重合的直線，這〃條直線把整個(gè)平面最少分成〃個(gè)

部分，最多分成人個(gè)部分.若。+〃=1226,則〃的值為（）

A.47B.48C.49D.50

【答案】B

【分析】本題主要考查了規(guī)律探索，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出同一平面內(nèi)〃條直線，把這

幽土D+i部分，然后代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可.

個(gè)平面至少分成1+幾部分，最多分成1+2+3+4+???+幾+1=

2

【詳解】解：同一平面內(nèi)2條直線，把這個(gè)平面至少分成1+2=3部分，最多分成1+2+1=4部分,

同一平面內(nèi)3條直線,把這個(gè)平面至少分成1+3=4部分，最多分成1+2+3+1=7部分,

同一平面內(nèi)4條直線,把這個(gè)平面至少分成1+4=5部分，最多分成1+2+3+4+1=11部分,

n(n+l]%八

同一平面內(nèi)幾條直線,把這個(gè)平面至少分成1+〃部分，最多分成1+2+3+4+…+〃+1△一^+1部分,

2

團(tuán)a=〃+l,b=——+1,

2

團(tuán)。+〃=1226,

n(n+\\

團(tuán)〃+1+——M=1226,

2

n(n+\\47x(47+1)

團(tuán)當(dāng)〃=47時(shí)，〃+1+八——^+1=47+1+——------^+1=1177,

22

n(n+l)48x(48+1)

當(dāng)〃=48時(shí)，〃+1+-3——i+1=48+1+——------^+1=1226,

22

n(n+\\49x(49+1)

當(dāng)〃=49時(shí)，〃+1+——^+1=49+1+——------^+1=1276,

22

?qw（n+l）50x（50+1）

當(dāng)〃=50時(shí)，w+l+—、——^+1=50+1+——-------^+1=1327,

22

回〃=48符合題意，

故選：B.

6.（24-25八年級(jí)上?廣東云浮?期中）學(xué)習(xí)了多邊形后，我們知道過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作若干條對(duì)角線（三

角形除外）.如圖，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形有1條對(duì)角線，五邊形有2條對(duì)角線，六邊形有3條對(duì)角線.…按照

此規(guī)律，過(guò)十二邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有（）

【答案】C

【分析】本題考查了多邊形對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題，根據(jù)從一個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角的條數(shù)是

邊數(shù)-3,即可得出答案，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)4-3=1條對(duì)角線，

五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)5-3=1條對(duì)角線，

六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)6-3=1條對(duì)角線，

團(tuán)十二邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)12-3=9條對(duì)角線，

故選：C.

7.（2023?湖北?七年級(jí)階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）

A.46個(gè)B.55個(gè)C.56個(gè)D.67個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題.

【詳解】設(shè)直線條數(shù)有〃條，分成的平面最多有機(jī)個(gè).

有以下規(guī)律：

nm

11+1

21+1+2

31+1+2+3

n%t=l+l+2+3+…+〃=----------+1,

2

國(guó)根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+...+10=56；故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了過(guò)平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

8.（2023春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個(gè)交

點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個(gè)交點(diǎn)，......，n（?>2,且”是整數(shù)）條

直線相交最多能有（）

A.（2〃-3）個(gè)交點(diǎn)B.（3〃-6）個(gè)交點(diǎn)C.（4"-10）個(gè)交點(diǎn)D.個(gè)交點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：

【詳解】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；

6條直線相交有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；…

n條直線相交有1+2+3+4+...+（n-1）1）故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有

個(gè)交點(diǎn).

9.（2023春?山東淄博?七年級(jí)統(tǒng)考期中）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出加條對(duì)角線，它們將五邊形分

成〃個(gè)三角形，貝。"的值為（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】B

【分析】“邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（“-3）條對(duì)角線，它們把“邊形分成（〃-2）個(gè)三角形，由此即可計(jì)算.

【詳解】解：,??從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出5-3=2條對(duì)角線，它們將五邊形分成5-2=3個(gè)三角

形，.?.m=2,〃=3,，”的值為2^=8.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握："邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對(duì)角線，把〃邊形

分成(九-2)個(gè)三角形.

10.(2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí))過(guò)某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將此多邊形分成4個(gè)三角形，

則此多邊形的邊數(shù)為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)多邊形對(duì)角線定義可知，一個(gè)〃邊形某個(gè)頂點(diǎn)除了不能和自身以及左右兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)連成對(duì)

角線外，其余的(〃-3)個(gè)頂點(diǎn)都能與其連成對(duì)角線，這(〃-3)個(gè)對(duì)角線將多邊形分成(〃-2)個(gè)三角形，結(jié)合

此多邊形被對(duì)角線分成4個(gè)三角形，得到〃-2=4,解方程求出多邊形邊數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)〃邊形過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)所有對(duì)角線條數(shù)為("-3),這("-3)個(gè)對(duì)角線將多邊形分成

(〃-2)個(gè)三角形，?.?此多邊形被對(duì)角線分成4個(gè)三角形，，〃-2=4,解得"=6,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形對(duì)角線的定義及實(shí)際應(yīng)用，分析出多邊形對(duì)角線條數(shù)以及將多邊形分成的三角形

個(gè)數(shù)，由題意列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.(2023秋?廣東七年級(jí)月考)平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，最少

可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則a+b的值是()

A.16B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線…的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答.

【詳解】解：如圖：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)，

4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)，…〃直線相交最多有l(wèi)+2+3+4+5+...+m-l)="T)個(gè)交點(diǎn).

2

6x7

07直線相交最多有1+2+3+4+5+...+6=—=21個(gè)交點(diǎn).

回7條直線兩兩相交最多可以得到21個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到1個(gè)交點(diǎn)，

0cz=21,b-l,國(guó)a+b=22,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的交點(diǎn)問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是W條直線相交時(shí)最少有

一個(gè)交點(diǎn).

12.（23-24七年級(jí)下?山東聊城?期中）如圖，在已知一個(gè)角內(nèi)部畫(huà)射線，畫(huà)1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫(huà)

2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫(huà)3條射線，圖中共有10個(gè)角；求畫(huà)10條射線得的角共有個(gè)

【答案】66

【分析】本題考查了對(duì)角的概念和規(guī)律探索，根據(jù)畫(huà)1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫(huà)2條射線，圖中共有6

個(gè)角；畫(huà)3條射線，圖中共有10個(gè)角，可以得出規(guī)律是畫(huà)〃條射線，圖中共有：（〃+1）（〃+2）個(gè)角，把〃=10

代入計(jì)算即可.

【詳解】解：團(tuán)在已知角內(nèi)畫(huà)射線，畫(huà)1條射線，圖中共有3個(gè)角，3=1（1+1）（1+2）；

畫(huà)2條射線，圖中共有6個(gè)角，6=|（2+1）（2+2）；

畫(huà)3條射線，圖中共有10個(gè)角，10=g（3+l）（3+2）；

團(tuán)畫(huà)"條射線，圖中共有++個(gè)角，

回畫(huà)10條射線所得的角的個(gè)數(shù)是:（10+1）（10+2）=66（個(gè)），

故答案為：66.

13.（21-22七年級(jí)上?河北邢臺(tái)?期中）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段48上

有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有?=3條，如果線段A5上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有丫=6條，如果線段A5

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