直線方程重難點(diǎn)題型鞏固（定點(diǎn)最值對(duì)稱等10類題型）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期

直線方程重難點(diǎn)題型鞏固

（定點(diǎn)，最值，對(duì)稱等10類題型匯總）

總覽1題型解讀

■H；

■M過.施金，男相iH

aJEWMiW行

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="tw?fBt_t^tu__a__i_g_s_^.MniiHiM==*^

M'---------M———―--MM?

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AM三角后的三ift

H單例IWffBttIQaHr=

【題型1］知識(shí)點(diǎn)梳理與概念辨析.................................................2

【題型2】由平行，垂直關(guān)系求參數(shù)...............................................5

【題型3】由截距求直線方程......................................................7

【題型4】斜率或傾斜角取值范圍問題............................................10

【題型5】直線過定點(diǎn)問題.......................................................15

【題型6］3類與直線有關(guān)的對(duì)稱問題.............................................18

【題型7】光的反射問題.........................................................21

【題型8】直線方程3類?？甲钪祮栴}............................................25

【題型9】直線距離問題綜合....................................................29

【題型10］坐標(biāo)系中三角形三線綜合問題.........................................33

題型匯編1知識(shí)梳理與常考題型

【題型1】知識(shí)點(diǎn)梳理與概念辨析

基礎(chǔ)知識(shí)

1、lj/l2=%=月成立的前提條件

①兩條直線的斜率存在分別為左1，左2；②4與4不重合；

補(bǔ)充當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，與4的傾斜角都是90°,則

2、公式4JL4=々?左2=-1成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在

補(bǔ)充：當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直.

3、梳理清楚五類直線方程的表達(dá)式與限制條件

/“典型例題/

1.（易錯(cuò)）下列說法中正確的有（）

A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于-1,則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1

2,下列命題正確的是（）

A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示

B.直線/過點(diǎn)尸（%,%）.傾斜角為90。，則其方程為尤=無。

C.在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程二+』=1來表示

aa

D.直線＞=x+2在x軸上截距為2

3.（多選）下列關(guān)于直線的斜率和傾斜角的敘述正確的有（）

A.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角

B.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有斜率

C.若一條直線的斜率為tana,則該直線的傾斜角為a

D.若一條直線的傾斜角為a（a二90。），則該直線的斜率為tana

///鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1］下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.直線3x+y+2=0在y軸上的截距為2

B.直線'=0的傾斜角和斜率均存在

C.若兩直線的斜率左，內(nèi)滿足左=質(zhì)，則兩直線互相平行

D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等

【鞏固練習(xí)2】下列四個(gè)命題：其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①經(jīng)過定點(diǎn)外（廝,%）的直線都可以用方程y-%=左@-%）表示；

②經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)6（再,乂），心（孫力）的直線都可以用方程卜-X］）?（x-網(wǎng)）=（%-%）

（了一必）表示；

③兩點(diǎn)式適用于不垂直于x軸和y軸的直線；

④經(jīng)過定點(diǎn)工（0,9的直線都可以用方程了=丘+6表示.

A.0B.1C.2D.3

【鞏固練習(xí)3】（多選）下列關(guān)于直線方程的說法正確的是（）

7T

A.直線x-ysin0+2=0的傾斜角可以是

B.直線/過點(diǎn)（-2,3）,并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為x+y-l=0

C.過點(diǎn)%）的直線Ax+By+C=0的直線方程還可以寫成/（X-X。）+8（卜％）=0

D.經(jīng)過/（三,必）,8（馬,打）兩點(diǎn)的直線方程可以表示為之二五=忙土

必一為%一％2

【題型2】由平行，垂直關(guān)系求參數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)

1、由一般式確定兩直線平行的方法

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

/1:Atx+Biy+Cl=Q（4再不全為0）,12:A2x+B2y+C2=0（4，與不全為0），貝心

當(dāng)4與一44^0時(shí)，直線4,相交;

當(dāng)4與=44時(shí)，44直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；

2、由一般式確定兩直線垂直的方法

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

/]：4x+8]_y+G=0不全為0）,4:A2X+B2y+C2=0（4,與不全為0）,貝!|：

當(dāng)482-48產(chǎn)0時(shí),直線44相交；

當(dāng)4=0時(shí)，4/直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

/“典型例題/

4,若直線/[：（"l）x+（"2）y-l=0與直線乙：6工+（2”3）y-3=0垂直,則實(shí)數(shù)。的值為.

5.已知直線4：（加2+〃?-2）x+即一6=0與/2：2x+y-3=0平行，貝U實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-1B.2

C.-1或2D.以上答案均不對(duì)

///鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】直線乙：ax+3y+2a=0與直線4：2x+（“—l）y+（a+1）=0平行，則"/["/z”是

“a=-2”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要

【鞏固練習(xí)2】已知直線4：（加+2■+（加+3）＞一5=0和/2：6工+（2"?-1）〉-5=。，問實(shí)數(shù)加為何值時(shí),

分別有:（1）乙與4相交？（2）分/4?（3）4與4重合?

【題型3】求直線方程

基礎(chǔ)知識(shí)

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略截距式方程的限制

6.已知直線/經(jīng)過(1,2)

(1)當(dāng)直線的傾斜角為45。時(shí)，求直線/的方程；

(2)當(dāng)直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，求直線/的方程.

7,直線/過點(diǎn)4(2,3),則直線/與x軸、＞軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為()

A.9B.12C.18D.24

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】過點(diǎn)4(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x—y+l=OB.x+y-i=O

C.2x—y=0或x—y+l=0D.2x+y=0或x+歹+1=0

【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上?甘肅慶陽?階段練習(xí)）已知直線/：y=辦+2-。過定點(diǎn)P.

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；(2)若直線/在％軸和V軸上的截距相等，求。的值.

【鞏固練習(xí)3】過點(diǎn)尸（3,4）的直線/

（1）求/在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距相等的方程；

（2）求/與xy正半軸相交，交點(diǎn)分別是3,當(dāng)A4O2面積最小時(shí)的直線方程.

【題型4】斜率或傾斜角取值范圍問題

基礎(chǔ)知識(shí)

求斜率范圍看直線能否豎直，直線能豎直則斜率范圍帶±00

求傾斜角范圍看直線能否水平：直線能水平則傾斜角為范圍帶有0°和180°

/“典型例題/

8⑵-24高二上?湖南張家界?階段練習(xí)）已知某直線的傾斜角.與爭(zhēng)，則該直線的斜率上的

范圍為______

9.已知直線4：y=fcv-4與直線乙：x+2y+2=0的交點(diǎn)在第三象限.則實(shí)數(shù)后的取值范圍為（）

A.(-oo,-2)B.(-2,+co)C.D.(-2,0)

10.已知點(diǎn)4-2,4）,B（-l,-3）,若直線y=h與線段有公共點(diǎn)，則（）

A.ke(―8,—2]口[3,+8)B.kG[—2,3]C.kG(―,——]o[―,+

11.已知點(diǎn)4-1,3),8(3,2),過點(diǎn)尸的直線/與線段相交，則直線/的傾斜角的取值范圍

為，直線/的斜率的取值范圍為.

///鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】已知直線/的斜率左€卜1,6],則該直線的傾斜角a的取值范圍為()

【鞏固練習(xí)2】直線/的斜率k的取值范圍是1右],則傾斜角a的范圍是.

【鞏固練習(xí)3】已知直線》+廣3加=0和2x-y+2加-1=0的交點(diǎn)在第四象限，則掰的取值范圍

為.

【鞏固練習(xí)4】(23-24高二上?吉林延邊?期中)設(shè)點(diǎn)44,-3),5(-2,-2),直線/過點(diǎn)PCM)且與線段N3

相交，則直線/的斜率上的取值范圍是()

44

A.k>l^k<-4B.k>\^k<--C.-4<A：<1D.--<k<\

【鞏固練習(xí)5】已知點(diǎn)次1,2)、8(0,-唐)，若經(jīng)過點(diǎn)M(-1,0)的直線/與線段有公共點(diǎn)，則直線/

的傾斜角的取值范圍為()

_兀271r71,,57171,.271兀?！?1271

A.B.[0,—]U[—C.[0,—]U[—,7i)D.[―,—)U(—

4J464342ZJ

【鞏固練習(xí)6】已知點(diǎn)/(-1,3),8(3,2),過點(diǎn)的直線/與線段N8相交，則直線/的傾斜角的

取值范圍為，直線I的斜率的取值范圍為.

【題型5】直線過定點(diǎn)問題

核心?技巧

核心思路:把參數(shù)當(dāng)成主元，把孫當(dāng)成參數(shù)，當(dāng)冽前面的系數(shù)為0時(shí)，則不管m為何值，方程恒成

立，即可推出等量關(guān)系

12,直線(mT)x+(2m-\)y=m-3(meR)恒過定點(diǎn)

13.已知點(diǎn)”(2,2),8(8,4),直線/:加x-y+6-4加=0,若直線/與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍為.

14.已知直線/方程為(2+加)x+(l-2加)丁+4-3/=0,

那加為時(shí)，點(diǎn)0(3,4)到直線/的距離最大，最大值為

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】若直線Ax-y-24+3=0必過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)是.

【鞏固練習(xí)2】已知直線/：(3/Ul)x+(l-⑷丁+6-6幾=0(/1為實(shí)數(shù))過定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為.

【鞏固練習(xí)3】已知點(diǎn)尸(2,-3),0(-3,-2),直線＞=g-左+1與線段尸。相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是.

【鞏固練習(xí)4】(23-24高二上?山東?期中)已知直線/過點(diǎn)(1,2).

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求/的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/與x軸正半軸交于點(diǎn)4/與了軸正半軸交于點(diǎn)8,求ACMB面積的最小值.

【題型6】與直線有關(guān)的對(duì)稱問題

/核心?技巧/......................................

類型一：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

方法：待定系數(shù)法解方程組

類型二：直線關(guān)于直線對(duì)稱

方法：求一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)和交點(diǎn)聯(lián)立得兩點(diǎn)式方程

類型三：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

中心對(duì)稱后斜率不變，再求一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)即可得出點(diǎn)斜式方程

/“典型例題/

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

15.若直線4：了=去-左+1與直線4關(guān)于點(diǎn)(3,3)對(duì)稱，則直線4一定過定點(diǎn)()

A.(3,1)B.(2,1)C.(5,5)D.(0,1)

二、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

16.點(diǎn)。，2)關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)

三、直線關(guān)于直線對(duì)稱

17,(23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí))直線y=x+l關(guān)于直線丁=2x對(duì)稱的直線方程為()

A.3x-y-l=0B.4x-y-2=0C.-3=0D.lx-y-5=0

四、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

18.與直線版-4了+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為()

A.3x+4y—5=0B.3x+4>+5=0C.3x—4y+5=0D.3x—4y—5=0

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】與直線/：3x-4y+5=0關(guān)于V軸對(duì)稱的直線的方程為.

【鞏固練習(xí)2】已知點(diǎn)M(-l,2),直線/：2x+y-5=0,點(diǎn)M關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)是

【鞏固練習(xí)3】點(diǎn)關(guān)于直線/：x-y+l=O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【題型7】光的反射問題

H核心?技巧/...................................................

在直線方程的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到光的反射問題，比如求人(反)射光線方程、求從確定入射點(diǎn)到確

定反射點(diǎn)所走的路程、求從確定入射點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過幾次反射又返回最初入射點(diǎn)的最短路程問題，這些

問題的快速解決基本上都離不開“對(duì)稱法”.

/“典型例題/

19.(23-24高二上?浙江寧波?期中)如圖，一束光線從/(1,0)出發(fā)，經(jīng)直線x+y+l=O反射后又經(jīng)

過點(diǎn)3(6,-5),則光線從N到8走過的路程為()

A.V55B.2舊C.屈D.2715

20.(23-24?山東濰坊?期中)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知/(3,0),B(0,3),從點(diǎn)尸(1,0)射出

的光線經(jīng)直線為8反射到y(tǒng)軸上，再經(jīng)、軸反射后又回到點(diǎn)尸，則光線所經(jīng)過的路程的為

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1]一條光線沿經(jīng)過點(diǎn)”(1,2)且斜率為、的直線射到x軸上后反射，則反射光線所在的

直線方程為.

【鞏固練習(xí)2】(23-24高二上?廣東佛山?階段練習(xí))已知光線從點(diǎn)/(-1,2)射出，經(jīng)直線了=一工反射,

且反射光線過點(diǎn)8(4,-2),則入射光線所在直線的方程是()

A.2x+y=0B.2x+y+4=0C.x-2y+5=0D.x+2y-3=0

【鞏固練習(xí)3】一條光線沿直線2x-y+2=0入射至I]直線x+y-5=0后反射，則反射光線所在直線的

一般方程為.

【鞏固練習(xí)4】從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線＞=丈+1反射，反射光線剛好通過坐標(biāo)原點(diǎn)，則反

射光線所在直線的方程為.

【題型8】直線方程3類?？甲钪祮栴}

心?技157

類型一：點(diǎn)到直線距離最值即兩定點(diǎn)之間的距離

類型二：線段和差最值問題一半需要做對(duì)稱

類型三：由代數(shù)最值轉(zhuǎn)化為幾何將軍飲馬問題

21.點(diǎn)（0，T）到直線y=-x+l）距離的最大值為（）

A.1B.y/2C.73D.2

22.（22-23高二上?河南南陽?階段練習(xí)）已知點(diǎn)42,0）、5（-2,-4）,尸在直線/：x-2y+8=0上，則

悶+網(wǎng)的最小值等于.

23,已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+l=。，則+（y-1丫+&x-2f+y2的最小值為（）

A.45B.272C.廂D.275

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)11（23-24高二上?江蘇宿遷?期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好,

隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)

/（x）=Jd-2x+10+-1Ox+29取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為（）

【鞏固練習(xí)2】設(shè)x-y+l=O,求＜7=4+/2+6x-10y+34+G+/+4x-30y+229的最小值

是.

【鞏固練習(xí)3】著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”事實(shí)上，有很多代

數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：Ja-a『+（y-6）2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)”（無,心與點(diǎn)

N（a,6）的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得,=川？一2工+5+1苫2-6工+25的最小值為（）

A.2廂B.2及C.V2+V10D.3+0

【題型9】直線距離問題綜合

孑核心?技巧/

一、兩點(diǎn)間的距離

平面上任意兩點(diǎn)4（國,為），鳥（馬/2）間的距離公式為1461=J（》2—苞）2+（》2一%）2

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距離IOP|=M+y2.

二、點(diǎn)到直線的距離

7IAxr,+Bya+C

平面上任意一點(diǎn)到直線/：Zx+坊+。=0的距離~'°

3+/

三、兩條平行線間的距離

一般地，兩條平行直線4：4x+4y+G=0（Zj+BjwO）和（：^2X+^i.y+Q=0

（+8；彳0）間的距離d=L12=.

--"+§2

/II典型例題/

24.已知點(diǎn)尸（*,1+3。到直線/：y=21的距離為增，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.（0,-2）B.（2,4）C.（0,-2）或（2,4）D.（1,1）

25.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,且點(diǎn)/（-2,2）,8（4,-2）到直線/的距離相等，則直線/的方程為.

26.已知點(diǎn)尸（一2,2）,直線/:（2+2）x-（X+l）y-44-6=0,則點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍

為_______.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上?湖北十堰?期末）（多選）點(diǎn)/（2,7）,5（-23）到直線/：ax-2y+a-\=Q

的距離相等，則。的值可能為（）

A.12B.2C.9D.11

【鞏固練習(xí)2】已知/(-2,0),3(4,加)兩點(diǎn)到直線/：x-y+l=O的距離相等，則機(jī)=()

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

【鞏固練習(xí)3】已知尸(-L3),0(3,6),若p,。到直線/的距離都等于g,則滿足條件的直線/共

有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【鞏固練習(xí)4】至IJ直線x+后+/=0的距離不超過2,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)5】已知三條直線k:2x—y+a=0(a>0),/2:—4x+2y+1=0,/3:x+y—1=0,且多與I?

間的距離是述.

10

⑴求。的值.

(2)能否找到一點(diǎn)尸，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件？若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

①點(diǎn)P在第一象限；

②點(diǎn)p到乙的距離是點(diǎn)p到4的距離的③點(diǎn)尸到4的距離與點(diǎn)P到4的距離之比是0：。.

【題型10】坐標(biāo)系中三角形三線綜合問題

核心?技巧

中線處理策略：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，帶入中線方程

高線處理策略：斜率之積為一1

角平分線處理策略：把一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于角平分線做對(duì)稱

/“典型例題/

27.（23-24高二上?江蘇無錫?期中）已知ZUBC的頂點(diǎn)N（4,2）,頂點(diǎn)C在x軸上，4B邊上的高所

在的直線方程為》+27+加=0.

（1）求直線的方程；（2）若/C邊上的中線所在的直線方程為x-y-4=0,求冽的值.

28,（23-24高二上?福建三明?期中）已知△NBC的頂點(diǎn)/（5,1）,邊23上的中線CN所在的直線方程

為2x-y-5=0,邊/C上的高3〃所在的直線方程為x-2y-5=0.求：

（1）直線NC的一般式方程；（2）求△ZBC的邊N8的長.

29.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）在中，頂點(diǎn)/在直線了=》上，頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（-4,0）,邊的中線CD所在的直線方程為5x+7y-2=0,3c邊的垂直平分線的斜率為：.

（1）求直線/C的方程；（2）若直線/過點(diǎn)2,且點(diǎn)/、點(diǎn)C到直線/的距離相等，求直線/的方程.

30,(22-23高二上?遼寧大連?期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ZUBC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,2),AB

邊上的高線CM所在的直線方程為2x+y-2=0,ZB的角平分線所在