中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：相似三角形中的母子型相似模型（含答案及解析）

專(zhuān)題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

AQ

特點(diǎn)當(dāng)NABD=NACB時(shí)

AABD^AACB

性質(zhì)：AB2=A￡>?AC

其中：

ZA是公共角

AB是公共邊

BD與BC是對(duì)應(yīng)邊

結(jié)論AB2^AD?AC

【模型證明】

特殊母子型—射影定理

在RtAACB與RtAADC中，當(dāng)ZABC=ZACD時(shí)，有

解決方案RtAACBsRtAADCRtACDB

射影定理：AC?=AO?AB

BC2=BD?AB

CD2=AD?BD

母子相似證明題一般思路方法：

①由線(xiàn)段乘積相等轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線(xiàn)段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線(xiàn)段比例式中的個(gè)別線(xiàn)段，之后再重復(fù)第三步;

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在RfAABC中，8是斜邊A3上的高，則圖中的相似三角形共有（）

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD±,BELCF于點(diǎn)G,若BC=4,AF=1,則CE的長(zhǎng)

為（）

3.如圖，Rt—ABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)P,。分別在3C,AC上，CP=3尤，

CQ=4x（0<x<3）.把△PCQ繞點(diǎn)/>旋轉(zhuǎn)，得到上叫,點(diǎn)。落在線(xiàn)段P2上.若點(diǎn)。在NBAC的平分線(xiàn)

上，則CP的長(zhǎng)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.如圖，R3ABC中，AC_LBC,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,DE_LAD交AB于點(diǎn)E,M為AE的中

DE3

點(diǎn)，BFLBC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=NADC；②一=-；③AC?BE=12；

DA4

@3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

2

2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在吊AABC中，ZBAC=90°,8A=CA=6ji。，。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),

FA4

把ACDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在C處,EC與A3交于點(diǎn)尸，連接3C.當(dāng)元=1時(shí)，8c的長(zhǎng)為（）

A.|A/5

B.65L.—D.672

5

二、填空題

6.如圖，在「ABC中，點(diǎn)。在AB上,請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△AZ5CS2X4CB,那么可添加的條件是

94

7.如圖，在氏公ABC中，ZACB=90°,CD_LA3于點(diǎn)。，已知AO=13￡>=彳，那么BC=

8.如圖，在ABC中，NABC=45。，AB=26,AD=AE,NDAE=90。，CE=迷，則CD的長(zhǎng)為

3

9.如圖，在，ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在3C邊上，/氏位）=90。一：/（7,點(diǎn)尸在AC上，BFLAD,垂足

為E,若CD=2,AD=4下,則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為.

10.如圖，在11ABe中，相=47,2。平分442€；石在54延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE=BD,若BC=8,AE=2,則

。的長(zhǎng)為

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AABC中，。為A8上一點(diǎn)，ZACD=ZB.求證：AC2=AD-AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在口ABC。中，E為BC上一點(diǎn)，尸為C。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ZBFE^ZA.若BP=

4,BE=3,求A。的長(zhǎng).

圖1圖2

12.如圖，在AABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=26,CD=4,BD=2,求證：AACDs/^CA.

4

c

13.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，點(diǎn)D在A3上，且一=—

ACAB

(1)求證△ACOS^ABC；

(2)若A￡>=3,BD=2,求C￡>的長(zhǎng).

14.ABC中，ZABC=90°,瓦)，AC,點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)且有AF=CP,

過(guò)廠(chǎng)點(diǎn)作我LAC于點(diǎn)H.

(1)求證：ADEs-CDB；

(2)求證：AE=2EF；

(3)若尸H=JL求BC的長(zhǎng).

4DAr)

15.如圖，在AABC中，。是BC上的點(diǎn)，石是A。上一點(diǎn)，且一=——,ZBAD=ZECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BC,CD；

(2)若AO是△ABC的中線(xiàn)，求差CF的值.

16.如圖，已知矩形ABC。的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AGL8。分別交3D、3C于點(diǎn)G、E.

(1)求證：EB2=EGEA；

5

(2)連接CG,若BE=CE.求證：ZCGE=ZDBC.

17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB,NDEC=NB.

(1)求證：AAEDS/\ADC；

(2)若AE=1,EC=3,求AB的長(zhǎng).

18.如圖，銳角△ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

(1)求證：AACDs^ABE；

(2)若將點(diǎn)D,E連接起來(lái)，則4AED和^ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

19.如圖，43是＜。的直徑，AD、3D是fO的弦，BC是,O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為8,OC//AD,BA.CD的

延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是:。的切線(xiàn);

6

(2)若0的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

20.如圖1,在菱形ABC。中，AC是對(duì)角線(xiàn)，AB=AC=6,點(diǎn)E、尸分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

AE=BF,連接4尸與CE相交于點(diǎn)G.

(1)求NCGP的度數(shù).

(2)如圖2,作DHLCE交CE于點(diǎn)H,若CF=4,AF=2幣,求GH的值.

(3)如圖3,點(diǎn)。為線(xiàn)段CE中點(diǎn)，將線(xiàn)段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段EM,當(dāng)AM4c構(gòu)成等腰三

角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

21.在放△ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。為AB上一點(diǎn).

(1)如圖1,若CD_LA8,求證：AC2=ADAB；

FH4AD

(2)如圖2,若AC=BC,EFLCD交CD于H,交AC于F,且一=-,求一的值；

HE9BD

(3)如圖3,若AC=BC,點(diǎn)〃在CD上，ZAHD=45°,CH=3DH,貝l|tan/ACH的值為

22.如圖，在AA8C中，ZACB=9Q°,AB=10,AC=8,CO是邊A8的中線(xiàn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)CZXDB向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)尸作PQLAC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作矩形PQMN,使

2

點(diǎn)C、N始終在尸。的異側(cè)，且PN=§P。.設(shè)矩形PQMV與△AC。重疊部分圖形的面積是S,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為f(s)(t>0).

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在邊CO上時(shí)，用含r的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng).

(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊上時(shí)，求r的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)連結(jié)。。，當(dāng)直線(xiàn)。。將矩形尸QMN分成面積比為1：2的兩部分時(shí)，直接寫(xiě)出/的值.

7

c

8

專(zhuān)題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

AD

特點(diǎn)當(dāng)NABD=NACB時(shí)

△ABD^AACB

性質(zhì)：AB^=ADtAC

其中：

ZA是公共角

AB是公共邊

________BD與BC是對(duì)應(yīng)邊

結(jié)論AB2=AD?AC

【模型證明】

特殊母子型——射影定理

A

入

'曲

解決方在RtAACB與RtAADC中,當(dāng)ZABC=ZACD時(shí)，有

案RtAACBsRtAADC^RtACDB

射影定理：AC?=A￡>?48

BC~=BD?AB

CD?=AD?BD

母子相似證明題一般思路方法：

⑤由線(xiàn)段乘積相等轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段比例式相等；

@分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

⑦第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線(xiàn)段乘積相等；

⑧第②步不成立，則選擇替換掉線(xiàn)段比例式中的個(gè)別線(xiàn)段，之后再重復(fù)第

三步；

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在加AABC中，8是斜邊AB上的高，則圖中的相似三角形共有（）

9

c

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【詳解】：/ACB=90。，CD±AB

.,.△ABC^AACD,△ACD^ACBD,AABC^ACBD

所以有三對(duì)相似三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)

成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分另?。菰谶匔D,AD上，鹿，中于點(diǎn)6,若BC=4,AF=1,

則CE的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】過(guò)D做。"_LPC于點(diǎn)H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過(guò)證明和

△FDHs^CBG計(jì)算得到GC,再通過(guò)證明AECGsACDF從而求得CE的長(zhǎng).

【詳解】如下圖，過(guò)D做于點(diǎn)H

/.NDHF=90

正方形ABCD

：?NFDC=90B.AD=CD=BC=4

10

u：AF=1

：.FD=AD-AF=4-1=3

?*-FC=dFlf+C?=132+42=5

又ZDHF=ZFDC=90

J△FDCsMHD

.FHFD_3

FD~FC

9：FD=3

9

FH=-

5

又???正方形ABCD

???AD//BC

：.ZDFH=NBCG

?；BE1CF于點(diǎn)、G

ZBGC=ZCGE=90

：.AFDH^ACBG

.GCBC_4

**FH-FD-3

ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90

，△ECGsMDF

12

??.ECGC3

~FC~^D~4-5

33

??.EC=-FC=-x5=3

55

故選：A.

方法二：

ZBEC+ZFCD=90°,

ZDFC+ZFCD=90°,

???NBEC=NDFC,

XVZCDF=ZBCE,

BC=CD,

AABCE^ACDF,

.'.CE=DF=4-1=3;

【點(diǎn)睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握

11

正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

3.如圖，RtABC中，NC=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)尸，。分另！］在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PC。繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，得到△FDE,點(diǎn)。落在線(xiàn)段PQ上.若點(diǎn)。在

N54C的平分線(xiàn)上，則CP的長(zhǎng)為()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算可知名=5=空，結(jié)合定理兩邊成比

BCJAC

例且?jiàn)A角相等的三角形相似證明△PQC^/\BAC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

NCPQ=/B,由此可得出PQ〃AB；連接AD根據(jù)PQ〃A2和點(diǎn)D在4BAC的平分線(xiàn)上可

vEZADQ=ZDAQ,由此可得4。=。。，分別表示A。和。。由此可得方程12-4x=2x,解

出x,即可求出CP.

【詳解】解：：在R/AA8C中，AB=15,BC=9,

'-AC=7AB2-BC2=4152-92=12.

..PC_3x_xQC_x

*BC~~9~3"AC-12-i，

.PC_QC

**BC-AC,

vzc=zc,

.,.△PeC^ABAC,

工NCPQ=NB,

：.PQ//AB；

連接AD,

■:PQI/AB,

12

/.ZADQ=ZDAB.

?.?點(diǎn)D在NR4c的平分線(xiàn)上，

.\ZDAQ=ZDAB,

：.ZADQ=ZDAQ,

：.AQ=DQ.

,:PD=PC=3x,QC=4x

在RtLCPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

,'.DQ—2x.

'：AQ=i2-4x,

：.12-4x=2x,解得x=2,

：.CP=3x=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換一旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)

的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.

4.如圖，R3ABC中，AC±BC,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,DE_LAD交AB于點(diǎn)E,

M為AE的中點(diǎn),BFLBC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=NADC；

DE3

②——=-；③AOBE=12；④3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

DA4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】①/AED=90。-NEAD,ZADC=90°-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

.-.ZAED=ZADC.故本選項(xiàng)正確；

ABBD4

②AD平分NBAC,----=-----=—,???設(shè)AB=4x,則AC=3x,

ACCD3

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2,貝iJ(3x)2+49=(4x)2,

解得：x=幣,

:ZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90°,

.,.△ADE^AACD,得DE：DA=DC：AC=3：布,故不正確；

③由①知NAED=/ADC,

；./BED=/BDA,

又：/DBE=/ABD,

13

/.△BED^ABDA,

/.DE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,

.,.BE：BD=DC：AC,

.,.AC?BE=BD?DC=12.

故本選項(xiàng)正確；

④連接DM,

在RtAADE中，MD為斜邊AE的中線(xiàn)，

則DM=MA.

ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃:BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs^CMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,

.,.3BF=4AC.

故本選項(xiàng)正確.

綜上所述，①③④正確，共有3個(gè).

5.如圖，在RM.A8C中，ZBAC=90°,BA=CA=6y/io,。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CA

延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，把ACOE沿翻折，點(diǎn)C落在C處，EC'與AB交于點(diǎn)F,連接BC'.當(dāng)

等FA時(shí)4，5c的長(zhǎng)為（）

EA3

A.|>/5B.6710C.手D.60

【答案】D

【分析】如圖，連接CC,過(guò)點(diǎn)。作C歸，EC于"設(shè)交DE于N,過(guò)點(diǎn)"作"7,所

于T,過(guò)點(diǎn)。作DMLEC于證明NCUB=90。，求出CC,BC即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，連接CC',過(guò)點(diǎn)C作C歸，EC于X.設(shè)AB交DE于N,過(guò)點(diǎn)N作N7UEF

14

于T,過(guò)點(diǎn)。作于M.

FA4

,：ZFAE=ZCAB=90°,一=-,

EA3

：.EF：AF：AE=5：4：3,

CH//AF,

:.△EAFsXEHC,

:.EC：CHEH=EF：AFtAE=5：4：3,

設(shè)EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,貝！JCH=2左,

由翻折可知，ZAEN=ZTEN,

9

：NA±EAfNTLET,

：./NAE=/NTE,

■:NE=NE,

:?△NEAQANET(AAS),

：.AN=NT,EA=ET,

設(shè)AE=3M,AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,貝!JAE=ET=3m,TF=2m,

在RtAFNT中,FN2=NT2+FT2,

(4m-x)2=x2+(2m)2,

3

解得：x=-m,

u：AC=AB=6y/i0,ZCAB=90°,

：.BC=^AC=12下,

CD=BD-6A/5,

*：DM±CM,ZZ)CM=45°,

???CM=OM=3亞，

'JAN//DM,

.AN_EA

3

：.ANDM2m_1,

EA~EM~3m~2

：.EM=6y/10,

15

:.EC=9M=5k,

.,9710

??K=-------,

5

18M36710

??C/7---------，Cn-------，

55

22

cc=^CH+CH=^(1^0)2+(36^0)2=18后，

?；DC=DC=DB,

：.ZCCB=90°,

?，?BC=7(BC)2-CC2=7(12A/5)2-(18V2)2=6近，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角二角形，等腰直角二角形的性質(zhì)，相似二角形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決

問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

二、填空題

6.如圖，在一ABC中，點(diǎn)。在A8上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ADCs/vlcB,那么

可添加的條件是.

【答案】NACD=NABC(答案不唯一，也可以增加條件：NADC=NACB或AC?=AO.AB).

【分析】題目中相似的兩個(gè)三角形己經(jīng)有一個(gè)公共角，可以再增加一對(duì)相等的角，用兩組角

相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等

判定兩三角形相似.

【詳解】若增加條件：ZACD=ZABC,

?：ZACD=ZABC,且NA=NA,

：.NADC:VACB.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解

題的關(guān)鍵.

94

7.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,CZ)_LAB于點(diǎn)。，已知AD=丁2￡>=彳，那么8c

16

DB

【答案】李

【分析】證明△BCOS^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】解：,?,NACB=90。，CDLAB,

：.ZACB=ZCDB=90°,

'：ZB=ZB,

：./\BCD^/\BAC,

/.BC2=—,

25

,?BC>0

5

故答案為：2叵.

5

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題

關(guān)鍵.

8.如圖，在，ABC中，ZABC=45°,A3=2夜，AD=AE,NDAE=90。，CE=5則

CD的長(zhǎng)為.

【分析】在CD上取點(diǎn)F,使NDEF=/ADB,證明▲4)/^^￡尸，求解￡)尸=4,再證明

CEFs.CDE,利用相似三角形的性質(zhì)求解CF即可得到答案.

【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F,使ZDEF=/ADB,

17

AD=AE,/DAE=90。，

由jM+e=[DE2，

/.DE=0AD=0AE，

/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=NADE+^EDC=ZABD+ABAD,

.,./AD=4DC,

^BDA=^DEF，

ADBs二DEF,

DFDF/—

=72,ZEFD=ZABD=45°,

ABAD

AB=2^/2，

.-.DF=4,

又?ZAED=45°=^CDE+ZC,ZEFD=ZCEF+ZC=45°,

.,./CEF=/CDE,

,NC=NC,

CEFsCDE,

.CEDC

,CF-CE'

X.DF=4,CE=5

百_CF+4

?石=方’

.?.CF=1或CF=5（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)：C/=l符合題意，

.-.CD=CF+4=5.

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法,

相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在8C邊上，ZBAD=90°--ZC,點(diǎn)尸在AC上,

2

BFLAD,垂足為E,若CD=2,AD=4布,則線(xiàn)段斯的長(zhǎng)為.

18

【答案】遞

11

【分析】過(guò)A作AHLBC于H,根據(jù)已知條件得到NABE=g/ACB,求得/ABE=NDBE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE,AB=BD,設(shè)AB=BD=AC=x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得到AH=8,過(guò)C作CGXAD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

【詳解】解：過(guò)A作AHLBC于H,

VBFXAD,

.\ZABE+ZBAD=90°,

ZBAD=90°-ZABE,

VZBAD=90°-yZACB,

.?.ZABE=1-ZACB,

VAB=AC,

/.ZABC=ZACB,

.\ZABE=1-ZABD,

ZABE=ZDBE,

VZAEB=ZDEB=90°,BE=BE,

19

/.△ABE^ADBE(ASA),

；.AE=DE,AB=BD,

設(shè)AB=BD=AC=x,

，BC=x+2,BH=CH=^^,DH=^^-2,

22

VZAHD=ZBED=90°,ZADH=ZBDE,

.'.△ADH^ABDE,

ADPHPH

；?BD~DE~AD,

F

廠(chǎng)x+2_2

???4⑹:2,

x2A/5

.??x=10或x=-8(不符題意，舍去),

.*.AB=BD=AC=10,DH=4,

???AH=8,

過(guò)C作CG1AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,

.*.ZG=ZAHD=90°,

VZADH=ZCDG,

AAADH^ACDG,

.ADAHPH

''~CD~~CG~~DG'

?46—84

??丁一蕊—岳'

20

???CG=拽，DG=^-

55

VEF1AD,DG±AD,

???EF〃CG,

.'.△AEF^AAGC,

AD

EF_AE_，

CG~AG~^G

EF2也

w，

解得：EF二遞,

11

故答案為：逑.

11

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在,ABC中，4?=4(7,a)平分448。,￡在氏1延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE=BD,若BC=8,

AE=2,則CD的長(zhǎng)為.

【答案】757-3

【分析】通過(guò)證△AEEXZXFBD(SAS),得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,進(jìn)

而求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到NBAD=NDFC,從而證二CFDs工CAB,得到與=用，將證

CABC

得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

【詳解】解：；BD平分/ABC,DE=BD

21

.'.ZABD=ZDBC,ZAED=ZABD

.,.ZDBC=ZAED

如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE

則在與，F(xiàn)BD中,

AE=FB

<NAED=ZDBC

DE=BD

：.AAED^AFBD(SAS)

???AE=BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF

.\CF=BC-BF=8-2=6

VZBAD=18O°-Z2ME,ZDFC=1800-ZDFB

：.ZBAD=ZDFC

XVZC=ZC

???4CFDs4CAB

.CFCD

"~CA~~BC

VAB=AC

???ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

???ZFDC=180°-ZDFC-ZC=ISO°-ZBAD-ZABC

;ZC=1SO°-ZBAD-ZABC

???ZFDC=ZC

.\DF=FC=6,貝IAD=DF=6

???CA=6+CD

XVCF=6,BC=8

.6CD

??6+c。-

解得。。=扃-3.

故答案為：歷-3.

【點(diǎn)睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，是中考綜合性題目，而且還要會(huì)解一元二次方程，用方程法解幾何問(wèn)題.解答此

22

題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系.

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AABC中，。為AB上一點(diǎn)，ZACD=ZB.求證：AC2=

AD-AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在口中，￡為BC上一點(diǎn)，尸為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ZBFE

=ZA.若BF=4,BE=3,求的長(zhǎng).

【分析】（1）證明即可得出結(jié)論；

（2）證明△BFES/VBCR得出2產(chǎn)求出BC,則可求出AD

【詳解】（1）證明：：NACZ）=NB,/A=NA,

...△ADCs-CB,

.ADAC

"AC-AB；

：.AC2=AD-AB.

（2）?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又；NBFE=NA,

：.ZBFE=ZC,

又：NFBE=/CBF,

:.△BFEsABCF,

,BFBE

?,法一茄’

:.BF2=BE-BC,

.“BF24216

??BC=-----=——=——,

BE33

：.AD=—.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確

掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

23

12.如圖，在△ABC中，。為邊上的一點(diǎn)，且AC=2"，8=4,BD=2,求證:

△ACD^ABCA.

【答案】證明見(jiàn)解析.

\rrr\

【分析】根據(jù)AC=2面，CD=4,BD=2,可得==力，根據(jù)/C=/C,即可證明結(jié)論.

nCAC

【詳解】解：；4。=2及，8=4,BD=2

.AC276A/6CD4二二指

"BC-4+2-V'AC-2擊一3

.ACCD

"BC-AC

vzc=zc

AACD^ABCA.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

AnAC

13.如圖，在RSABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在AB上，且一=—.

ACAB

(1)求證△ACDs^ABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求。的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)展

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出

ACD-ABC

(2)由ACD~ABC得ZADC=ZACB=90。，ZACD=ZB,推出_ACDCBD,由相似三

角形的性質(zhì)得隼=黑，即可求出CD的長(zhǎng).

【詳解】(1)＜A嘿D=A￡C，NA=NA,

ACAB

???_ACD?一ABC；

(2)VACD-.ABC,

ZADC=ZACB=90°,ZACD=ZB9

：.ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

???J^CD_CBD,

24

.CDBD

即m=ADBD=3x2=6,

"AZ?"CD

/.CD=娓.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14.ABC中，ZABC=90°,AC,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)R

且有AF=CF,過(guò)/點(diǎn)作由，AC于點(diǎn)H.

（1）求證：ADEs^CDB；

（2）求證：AE=2EF;

（3）若FH=6,求BC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.

【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得ZADE=NCD3=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZDAE=ZDCB,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得些=養(yǎng)=1,再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一可得

CL）Do2

Ar）

AH=CH,從而可得二7=2,然后根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可得證；

DH

DEAF

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得轡=笠，從而可得。瓦BD的長(zhǎng)，再根據(jù)相似

三角形的判定可得ABDBCD,然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出8的長(zhǎng)，最后在

RtZ\BCD中，利用勾股定理即可得.

【詳解】證明：（1）BD.LAC,FH.LAC,

ZADE=ZCDB=90°,BDFH,

AF=CF,

:.ZDAE=ZDCB,

ZADE=ZCDB

在VADE和△CDS中,

ZDAE=ZDCB

ADE.CDB；

(2).,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，

:.DE=BE=~BD,

2

25

由（1）已證：ADECDB,

ADDE_1

,CD~DB~2"

設(shè)AD=a（a>0）,則CD=2a,AC=AD+CD=3a,

.FH±AC,AF=CF,

13

：.AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三線(xiàn)合一）,

22

:.DH=AH-AD=-a,

2

又，BDFH,

AEADa

.??/=麗=/=2,

一a

2

即AE=2EF；

（3）由（2）已證：AE=2EF,

AE=-AF,

3

BDFH,

:.^ADE_AHF,

DEAEnnDE2

FHAF百3

解得。E=g百，

:.BD=2DE=-y/3f

3

ZABC=90。,RD_LAC,

ZBAC+ZABD=ABAC+AC=90°,

??.ZABD=NC,

在△加和△砂中，][“ZAD入B=”ZBDC=90°’

??.ABDBCD,

.ADBD

,?茄一而‘

由（2）可知，設(shè)AD=Z?S>0）,則CD=2b,

解得6=3但或。=一2西（不符題意，舍去），

33

26

CD=2b=^-

3

則在RtZXBCD中，BC=^BD2+CD2==4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在△ABC中，。是8C上的點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，K—,ZBAD=ZECA.

（1）求證：AC2=BC-CD；

（2）若是AABC的中線(xiàn)，求笠CF的值.

AC

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）顯

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出ACE-得ZB=NEAC,進(jìn)而求出

AABC^ADAC,再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）由ACE可證NCD^=NC￡D,進(jìn)而得出CD=C石，再由（1）可證AC=0C。，

由此即可得出線(xiàn)段之間關(guān)系.

【詳解】（1）證明：——=——,ZBAD=ZECA,

ACCE

.-.ABAD^AACEf

：.ZB=AEAC,

ZACB=NDCA,

:.AABC^ADAC,

.ACBC

"~CD~~AC'

AC2=BC.CD.

(2)解：BAD^ACE,

\ZBDA=ZAEC,

..NCDE=NCED,

:.CD=CE,

AO是△ABC的中線(xiàn),

:.BC=2BD=2CD,

27

:.AC2=BC.CD=2CD2,即：AC=yflCD，

.CECD女

"AC0CD2'

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出

BAD^ACE是解題關(guān)鍵.

16.如圖，已知矩形A3C。的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AGL3。分別交3D、BC

于點(diǎn)G、E.

(1)求證：EB2=EGEA；

(2)連接CG,若BE=CE.求證：ZCGE=ZDBC.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）易證ABEGS^AEB,利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決；

（2）由（1）的結(jié)論及8E=CE,易證明ACEGsAAEC,從而可得/CGE=/ACE,由OB=OC,

oi^ZCGE=ZDBC.

【詳解】（1）???四邊形ABC。是矩形

ZABE=9Q°

：.ZABG+ZEBG=90°

'：AG±BD

：.ZABG+ZBAG=90°

：./EBG=/BAG

:?RtABEGsRtAAEB

.EBEG

??瓦一商

EB2=EG.EA

（2）由（1）有：EB2=EGEA

;BE=CE

CE2=EGEA

,CEEA

"~EG~~CE

'：ZCEG=ZAEC

:.ACEGsLAEC

：.ZCGE=ZACE

:四邊形ABC。是矩形

28

：.AC=BD

：.OB=OC

：./DBC=NACE

：.ZCGE=ZDBC

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

（1）求證：AAEDs^ADC；

（2）若AE=1,EC=3,求AB的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及/DEC=/ADB可得出NADE=NC,結(jié)合

ZDAE=ZCAD即可證出4AED^AADC；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）證明：:/DECn/DAE+NADE,ZADB=ZDAE+ZC,ZDEC=ZADB,

；.NADE=NC.

又；/DAE=NCAD,

.?.△AED^AADC.

（2）VAAED^AADC,

.ADAEAD1

??=,艮nnI）=,

ACAD1+3AD

；.AD=2或AD=-2（舍去）.

又：AD=AB,

/.AB=2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等,

兩三角形相似”證出△AEDs^ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長(zhǎng).

18.如圖，銳角△ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

A

（1）求證：△ACD^AABE；

（2）若將點(diǎn)D,E連接起來(lái)，則△AED和△ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

29

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）相似，理由見(jiàn)詳解；

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用相似三角形的判定方法AA進(jìn)行證明即可得到結(jié)論；

（2）連接DE,根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得對(duì)應(yīng)邊成比例，交換下比例項(xiàng)，即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）VCD,BE分別是AB,AC邊上的高，

ZADC=ZAEB=90°.

.'.△ACD^AABE

（2）連接DE,

VAACD^AABE,

AAD：AE=AC：AB.

AAD：AC=AE：AB.

VZA=ZA.

/.△AED^AABC,

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，正確連接輔助線(xiàn)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定進(jìn)

行證明是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，43是（。的直徑，AD.BD是O的弦，2C是《。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為3,OC//AD,

BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.

⑵若。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AE=1.

【分析】（1）連接OD,由題意易證△CDOgaCBO,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證;

（2）由題意易得△EDAs/^EBD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及ED=3AE可求解.

【詳解】（1）證明：連接OD,如圖所示：

30

ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD,

X-OA=OD,

ZDAO=ZADO,

ZCOD=ZCOB,

OD=OB,OC=OC,

CDO^ACBO,

AZCDO=ZCBO,

BC是。的切線(xiàn)，

ZCBO=ZCDO=90°,

點(diǎn)D在。。上，

?'?CD是。的切線(xiàn)；

(2)由(1)圖可得：

ZADO+ZEDA=90°,NODB=NDBO,

A8是。的直徑，

???ZADB=90°,即NADO+NODB=90°,

ZEDA=ZODB=ZDBO,

XZE=ZE,

AEDA0°AEBD,

ED?=AE-EB，

31

。的半徑為4,ED=3AE,

AB=8,EB=AE+8,

9AE2=A￡-(AE+8),

解得：AE=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線(xiàn)定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的

切線(xiàn)定理及判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖1,在菱形ABC。中，AC是對(duì)角線(xiàn)，A2=AC=6,點(diǎn)、E、歹分別是邊A3、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足連接A尸與CE相交于點(diǎn)G.

(1)求NCG尸的度數(shù).

(2)如圖2,作DHLCE交CE于點(diǎn)H,若CT=4,AF=2幣,求G8的值.

(3)如圖3,點(diǎn)。為線(xiàn)段CE中點(diǎn),將線(xiàn)段E。繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段EM,當(dāng)AMAC

構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

【答案】(1)60°；(2)蛀；(3)2或3指一3

7

【分析】(1