圓錐曲線-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（原題版）

專題09圓錐曲線

目錄

題型一：圓錐曲線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01忽略圓錐曲線定義中的限制條件

易錯(cuò)點(diǎn)02忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置

易錯(cuò)點(diǎn)03求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍

易錯(cuò)點(diǎn)04求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍

題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)06混淆“焦點(diǎn)弦”和“非焦點(diǎn)弦”

易錯(cuò)點(diǎn)07恒成立意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問(wèn)題錯(cuò)誤

題型一：圓錐曲線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件

般易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例4(24-25高三上?陜西榆林?期中)已知小瑞是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“帆周-幽可為定直，是“動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡是雙曲線''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若帆4陰=°，則|5|=|加聞，此時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是線段招入的垂直平分線，

所以，"幟耳I-為定值"n“動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線”；

若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，貝3班|-|“或?yàn)槎ㄖ担?/p>

所以，“崢|-|“瑪I為定值"u“動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線

因此，』嗎|-阿以為定直，是“動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易雙曲線中定義中幟耳|-惘磯=2a<2c=|耳閭這一限制條件而錯(cuò)選C.

【避錯(cuò)攻略】

1、橢圓的定義

（1）定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)B，&的距離的和等于常數(shù)（大于1HBI）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

（2）幾何表示：|MPi|+|MB|=2a（常數(shù)）且2a>\FiF2\.

【解讀】在橢圓定義中，必須2a>嗎/2|,這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件；當(dāng)2a=回巳|時(shí)，點(diǎn)的

軌跡是線段當(dāng)2a<尸1BI時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.因此在根據(jù)橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，務(wù)必注意這

一隱含的條件.

2、雙曲線的定義

（1）定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，B的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于尸i&l）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲

線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

⑵幾何表示：IIMRI—阿巳||=2。（常數(shù)）（24<嗎均）.

【解讀】（1）常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離.

（2）如果沒(méi)有絕對(duì)值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支.

（3）當(dāng)2a=|品&|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以出為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線（包括端點(diǎn)）.

⑷當(dāng)2a>|尸1凡|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

3.拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/（/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)用的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線

的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

【解讀】（1）“一動(dòng)三定”：一動(dòng)點(diǎn)加；一定點(diǎn)F（即焦點(diǎn)）；一定直線/（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)M到定

點(diǎn)尸的距離與到定直線/的距離之比為1）.

（2）定義中，要注意強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)廠不在定直線/上.當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且垂直于

定直線/的一條直線.

易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時(shí)，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如

橢圓要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和是大于焦距的常數(shù)；雙曲線要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差

的絕對(duì)值是小于焦距的常數(shù)；二拋物線則要滿足定點(diǎn)不在定直線上.

舉一反三

1.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①動(dòng)點(diǎn)尸（羽V）滿足JY+。一2）2+舊+（y+2）2=4,則P的軌跡是橢圓

②動(dòng)點(diǎn)尸（X,y）滿足舊+（y一2）2+J尤2+（y+2）2=5,則P的軌跡是雙曲線

③動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足到y(tǒng)軸的距離比到尸（L0）的距離小1,則P的軌跡是拋物線

④動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足Q一2）+丫2一5=o,則P的軌跡是圓和一條直線（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2025高三.全國(guó).專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（0,2）,B（0,-2）,C（3,2）,若動(dòng)點(diǎn)M（x,y）滿足|肱1|+|AC=|MB|+怛C|

則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.9_?=]B.=l（y<-l）

22

C.尤2-上=1D.x2-^=l（x<-l）

33v7

3.（2024?陜西西安?一模）平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)尸（3,0）的距離比M到y(tǒng)軸的距離大3,則動(dòng)點(diǎn)M滿足的方

程為.

■易錯(cuò)題通關(guān).

22

1.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）已知圓Q:（x+3）+/=81和C2:（x-3）+/=1,若動(dòng)圓P與圓G內(nèi)切,

同時(shí)與圓G外切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）

.x2y20尤2y2]?x2y2.cx?/1

A.——+—=1B.—+—=1C.—+—=1D.——+—=1

1672592516169

2.（2024?安徽池州?二模）已知圓O:V+=4和兩點(diǎn)A（-m,0）0）（m>0）,P為圓。所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

記以PA為直徑的圓為圓以PB為直徑的圓為圓N,則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.若圓"與圓。內(nèi)切，則圓N與圓。內(nèi)切

B.若圓M與圓0外切，則圓N與圓。外切

C.若〃2=1,且圓M與圓。內(nèi)切，則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

D.若根=3,且圓M與圓0外切，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

3.（24-25高二上.全國(guó)?課后作業(yè)）已知點(diǎn)4（-1,0）,3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足|刑+|冏=1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡是（）

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

4.（24-25高三下?全國(guó)?課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)”（無(wú)，。滿足方程5/x-l）2+（y-2）2=|3x+4y+12],則點(diǎn)M的軌跡

是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

5.（24-25高二上?黑龍江?期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-2,0）,B（2,0）,尸是一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則（）

A.若|胡+歸卻=6,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

B.若41Tp同=2,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

c.^\PA+PB\=\PA-PB\,則點(diǎn)尸的軌跡為直線

D.若網(wǎng)=2閥，則點(diǎn)尸的軌跡為圓

6.（2024.河北.模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知平面內(nèi)點(diǎn)A（-l,0）,8（1,0）,點(diǎn)尸為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.|上4|+|依|=4,點(diǎn)P的軌跡為橢圓B.|上4|-|尸目=1,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

C.|以卜|?狎=1,點(diǎn)尸的軌跡為拋物線D.謁=2,點(diǎn)尸的軌跡為圓

7.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知點(diǎn)日一后,0）、0MM周一|班|=2,

點(diǎn)M的軌跡為C,則C的方程為.

8.（24-25高三下?湖北荊州?開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)尸（1,0）與定直線》=0的距離的差為1.則動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡方程為.

易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?江蘇無(wú)錫?期中）求長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)（3,-1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）

——+—=1

B.8282

182

9

C.《+匚1或?qū)?服=1

D.二1

182y93

【答案】c

【分析】分析可知，。=36,對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出〃的值，即

可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意可知，a-3b,

22

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為器+51,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得舒9+我1=1，解得從=2,

22

此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1;

182

22

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=i,

9b?b2

1QQO

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得本+2=1,解得k,

此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為會(huì)十麥"

22

綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三r+乙v=1或82+—82-1.

182§

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略對(duì)橢圓焦點(diǎn)位置的討論而漏解.

【避錯(cuò)攻略】

1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程^r+^=vl(a>b>0)^v+^r=l(a>b>0)

焦點(diǎn)(-C,0)與(c,0)(0,一c)與(0,c)

a,b,c的關(guān)系c2=a2—b2

【解讀】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的方程，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原

點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.

2222

（2）兩種橢圓琶=1,京+標(biāo)=1（。>6>0）的相同點(diǎn)是：它們的形狀、大小都相同，都有a>b>0,a2=b2

+，；不同點(diǎn)是：兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.

（31項(xiàng)和尸項(xiàng)誰(shuí)的分母大，焦點(diǎn)就在誰(shuí)的軸上.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形,23

4

標(biāo)準(zhǔn)方程京一泊1s0,6>0)^-^=l(a>0,6>0)

焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(0)-c：，F(xiàn)2(0,C)

a,b,c的關(guān)系c1=a2+b2

【解讀】(1)焦點(diǎn)Fl,尸2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)

走”，若f項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在X軸上；若V項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上，即f,y2的系數(shù)異

號(hào).

⑵標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)。和b,確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的〃

一/與橢圓中的〃=〃一/相區(qū)別.其中c>a,c>%,而a,b無(wú)大小要求.

3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

y2=2px(p>0)碓,o)X=~~

12

y1=-2px(p>0)心,0x=-

I)2

j^=2py(p>0)y=~-

工J2

y

j^=~2py(p>0)《0—y=-

V)/2

【解讀】(1)只有拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號(hào)的一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一個(gè)變量的一次單項(xiàng)式.

⑶拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

(4)焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定.當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸

的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向.

易錯(cuò)提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點(diǎn)在x,y軸兩

種情況，二拋物線則有四種方程，故我們?cè)谔幚韴A錐曲線方程相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要先定位，即分析焦點(diǎn)位

置，不確定要討論，在定量，即求a,4c或p的值.

舉一反三

1.（24-25高二上?天津和平?期末）已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x,實(shí)軸長(zhǎng)為2,則雙曲線C的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

V-1

A.------1B.X2

~416

222

C.一匕=1或匕一爐=1D.X2=-4x2=]

~4164

2.（24-25高三上?四川雅安?診斷測(cè)試）已知橢圓反+且=1的離心率為左，則匹=（）

mn2m

C.4或5D.g或2

A.2B-z

3.（24-25高三上?陜西寶雞?期末）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（-2,4）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過(guò)點(diǎn)尸（一5,4）,Q（0,6）,

則橢圓的方程為（）

2222

AA.——%+—y=1iB.工+匕=1

45363645

22

c+=1D.工+匕=1

-^i?3625

2.（24-25高二上?河北衡水?期末）過(guò)點(diǎn)（2,2）且與橢圓9/+3/=27有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（）

AfB9?D.21

686824

y2

3.（23-24高三下.安徽?期末）已知雙曲線C：工-=1,則=3”是“雙曲線C的離心率為舊”的（）

m"i+3

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于>軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程為（）

211

A.y=-xB.J2——XC.x2=4yD.X2=-4y

44

5.（24-25高三上?山西太原?階段練習(xí)）已知橢圓C:工+>2=1,則"=2”是“橢圓C的離心率為變”的（）

m2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

22

6.（24-25高三上?上海楊浦?階段練習(xí)）與橢圓工+乙=1有相等的焦距，且過(guò)圓丁+/一6彳一8丁=0的圓心

6338

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

7.（23-24高二上.江蘇南通?期末）寫出符合下列兩個(gè)條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

①實(shí)軸長(zhǎng)為4；②漸近線方程為，=±2》

8.（2024?陜西榆林?二模）已知拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,3）,寫出C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.

9.（24-25高二上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）分別求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

22

（1）過(guò)點(diǎn)尸（-3,2）,且與橢圓］+5=1有相同的焦點(diǎn).

（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2,-虛），.

易錯(cuò)點(diǎn)03：求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

22

典例（24-25高三上?山東濱州?階段練習(xí)）設(shè)耳耳分別為橢圓C:，+3=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，M在

cib

橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得叫，M7"則橢圓C的離心率范圍是.

【答案】［孝，1］

【分析】探求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，找出a,b,c滿足的不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為離心率解之即可.

【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M滿足班，班，所以加在以耳耳為直徑的圓上.

又因?yàn)镸在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得加耳^MF2,

所以,

則〃<，<〃，即

同除/得l-e24/<l,解之得變Ve<l.

2

故答案為：［#』］

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略橢圓的離心率滿足（0,1）這一范圍而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

求離心率范圍的方法

技巧1：建立關(guān)于?和C的一次或二次方程與不等式.

技巧2：利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.￡,鳥為橢圓二+/=1（.>6>0）的左、右焦點(diǎn)，p為橢

圓上的任意一點(diǎn)，\PF^[a-c,a+cy耳,名為雙曲線工一與=1（。>（）,6>0）的左、右焦點(diǎn)，/>為雙曲線上

a2b2

的任一點(diǎn)，\PFx\>c-a.

技巧3：利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.小居為橢圓￡+工=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上的動(dòng)

a2b1

點(diǎn)，若ZRPFz=e，則橢圓離心率e的取值范圍為sin?4e<l.

技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

技巧5：涉及尸片?尸工的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是ee（O,l）,而雙曲線的離心率范圍是

（1,+a））,在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.

叁舉一反三

22

1.（24-25高三上?北京?期中）橢圓—+多=1（。>6>0）上存在一點(diǎn)p滿足片尸_L巴尸，耳鳥分別為橢圓的

ab

左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（）

A.（0,1]B.（0當(dāng)C.[1,D0.[爭(zhēng)）

22

2.（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知雙曲線?-4=1（。>0,6>0）左、右頂點(diǎn)為A,B,

若該雙曲線上存在點(diǎn)P,使得尸4尸8的斜率之和為1,則該雙曲線離心率的范圍為（）

2222

3.（23-24高三上.河北邢臺(tái).期末）設(shè)橢圓=+1=l（a>/,>0）與雙曲線與一3=1,若雙曲線的一條漸近

abab

線的斜率大于好，則橢圓的離心率e的范圍是____.

2

,易錯(cuò)題通關(guān)

丫2v?Tt

1.（2021?黑龍江哈爾濱.三模）雙曲線C：號(hào)一2=1（a>0,&>0）右焦點(diǎn)為歹2，過(guò)F?傾斜角為彳的直

線與雙曲線右支交于A,B兩點(diǎn)，則雙曲線離心率的范圍為（）

A.(1,72)D.[I"

22

2.（23-24高二上.湖南郴州.期末）已知耳,月是橢圓C:=+A=l（a>0>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)”在C上，若

ab

使鳥為直角三角形的點(diǎn)M有8個(gè)，則C的離心率的范圍是（）

D-

6>0）的右焦點(diǎn)為尸，P、Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的兩點(diǎn)，M、N分別是P2。尸的中點(diǎn)，若以跖V為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的范圍是.

22

4.（23-24高二上?云南昆明?期末）已知雙曲線=1的焦點(diǎn)在y軸上，則離心率e的范圍為_______

m-24-m

丫2V23

5.（24-25高二上?遼寧大連?期中）已知雙曲線「-與=1伍>0,6>0）的漸近線方程為了=土;x,則其離心

ab4

率為.

22

6.（23-24高二上.江西南昌?期中）設(shè)小尸2是橢圓G：=+七=1（4>偽>0）與雙曲線

a{

22

02：三-2=13>。也>0）的公共焦點(diǎn)，曲線C-G在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)“，N不鳴=90。，若橢圓的

a2b2

離心率6e，則雙曲線的離心率的范圍是

22

7.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）已知VA3C是橢圓三+3=l（a>b>0）的內(nèi)接三角形，其中原點(diǎn)。是

ab

VABC的重心，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為且a,直線3C的傾斜角為:兀，則橢圓的離心率為___.

__________2_6

易錯(cuò)點(diǎn)04：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二上?河南平頂山?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知VA5C的頂點(diǎn)4（-2,0）,3（2,0）,其

內(nèi)切圓圓心在直線x=l上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）

222

A.--一^-=l(x>1)B.x2-^-=l(x>l)

453

2222

C.—+^=1(0<X<1)D.—+^=1(O<X<1)

9594

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)VABC與圓的切點(diǎn)分別為RE,尸，則有|物=|相=2,忸尸|=|/=1,|C?|=|CF|,所以

|G4|-|CB|=3-1=2.

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A,8為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支(右頂點(diǎn)除外)，

2

即c=2、。=1,又°2="+62,所以廿=3,所以方程為f一］_=1。>1).

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò)而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

求軌跡方程的方法

1.直接法

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下:

第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)尸(無(wú),y)

第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含為y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為

的方程式化簡(jiǎn)

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說(shuō)明軌跡是什么曲線.

2.定義法

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程.

3.相關(guān)點(diǎn)法

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，(該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知

曲線方程)，則可以設(shè)出P(x,y),用(x,y)表示出相關(guān)點(diǎn)p的坐標(biāo)，然后把p的坐標(biāo)代入已知曲線方程，

即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

4.交軌法

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常?？梢韵冉夥匠探M得出

交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通

常選變角、變斜率等為參數(shù).

易錯(cuò)提醒：|求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方

程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò).

舉一反三

1.(24-25高三上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí))一動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)Af(-3,0),且與己知圓N：+/=16外切，

則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程是()

丫2d丫2丫2

A.--y=1(-^^2)B.—+^=l(x>^

C.y-^-=l(%<-2)D.^+y=l(%<-2)

2.(24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)已知4,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線相交于點(diǎn)M,且

直線AM的斜率與直線3M的斜率的差是2,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.^=-x2+l(x^±l)

B.y=d+i(xw±i)

C.x=-y2+l(y^±1)

D.%=/+1("±1)

3.(24-25高三上?山東濱州?階段練習(xí))已知VABC的頂點(diǎn)A(3,0),5(-3,0),且周長(zhǎng)為16,求頂點(diǎn)。的軌

跡方程.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高二上?福建莆田?期中)己知圓￡:(x+3)2+J?=1和圓G：(x_3)2+丁=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G及

圓a相外切，則動(dòng)圓圓心”的軌跡方程是（）

22

A.—+/=1B.元2+匕=i

88

22

C.---V2=l（x>l）D.x2-^=l（x<-l）

88

22

2.（24-25高三上?山東青島?階段練習(xí)）已知橢圓C:土+匕=1,從C上任意一點(diǎn)尸向》軸作垂線段PP',P為

164

垂足，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

2222

A.1^+Y=l（xwO）B.%2+y2=4（x^0）C.^-+^-=1（x^0）D.x2+y2=8（x*0）

3.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,0）,B（2,0）,動(dòng)點(diǎn)C和。分別位于>

正半軸和負(fù)半軸上，若|OC|-|8|=1,則AC和的交點(diǎn)Af的軌跡方程為（）

A.國(guó)+聞=4（,彳0）B.x2+y2=4（y^0）

c.3+y2=i（"0）D.-^-y1=1（J*0）

4.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）（多選）設(shè)A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（T,0）,（1,o）,直線AM,8M相交于點(diǎn)M,

設(shè)直線A"、2M的斜率分別為心包，下列說(shuō)法正確的是（）

4

A.當(dāng)%#2=-§時(shí)，點(diǎn)”的軌跡是橢圓的一部分

4

B.當(dāng)左他=§時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分

C.當(dāng)勺-&=2時(shí)，點(diǎn)"的軌跡是拋物線的一部分

D.當(dāng)仁+&=2時(shí)，點(diǎn)Af的軌跡是橢圓的一部分

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)耳（-2,0）,乙（2,0）的距離之

積為定值彳（彳>0），且曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)尸（為,%）為曲線C上一點(diǎn)，則（）

A.曲線C的方程為y+力2=4卜2-力

B.點(diǎn)卜20,0）在曲線C上

C.0<|J0|<1

D.看+y；e[0,8]

6.（24-25高三上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知0知：/+2苫+;/-35=0,過(guò)點(diǎn)N（l,0）且斜率不為零的直線/交

于A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NC〃4W交于C,貝U|CW|+|CN|=；點(diǎn)C的軌跡方程為

7.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）己知點(diǎn)。（2,-12）是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)4（-7,0）,3（7,0）兩

點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)O的軌跡方程為一.

8.（24-25高二上?上海?期中）已知平面直角坐標(biāo)系中8（—2,0）、C（2,0）.若A為動(dòng)點(diǎn)且滿足|相|-卜。=g忸。，

則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為.

\DM\3

9.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，OP1.X軸，垂足為。，點(diǎn)河在。P的延長(zhǎng)線上，且王才=5，

當(dāng)點(diǎn)?在圓爐+尸=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為.

題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)05：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024.四川南部縣模擬）過(guò)點(diǎn)P（3,l）作直線1與拋物線/=-4.r只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線/有

________條（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，I：尤=3,與拋物線無(wú)交點(diǎn)，不合題意；

，滿足題意;

當(dāng)直線/斜率為零時(shí)，/：y=l,與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)—,1j

當(dāng)直線/斜率不為零時(shí)，x—3=］。-1）,

K.

即x=（（y—i）+3,

尤=7■（廠1）+3,

由，k'得4+⑥+12%—4=0,

J2=14X

貝II/=16—4612々-4）=0,解得左」1t,

滿足題意的直線/有兩條；

綜上所述，過(guò)點(diǎn)P（3,l）與拋物線y2=-4x只有一個(gè)交點(diǎn)的直線/有3條.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略對(duì)斜率不存在、二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論.

【避錯(cuò)攻略】

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

（1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個(gè)交點(diǎn)（特殊情況除外），相切有一個(gè)交點(diǎn)，

相離無(wú)交點(diǎn).

（2）判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線I的方程Ax+By+C=O代入圓錐曲線C的方

程.消去y（或X）得到一個(gè)關(guān)于變量x（或y）的方程或a^+by+c^O）.

①當(dāng)今0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式/,有/>0時(shí)，直線/與曲線C相交；/=0時(shí)，直線/與

曲線C而相切；/<0時(shí)，直線/與曲線C相離.

②當(dāng)。=0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，貝也與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線

/與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線/與拋物線的四對(duì)稱軸平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式

設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（xi,?），8（X2,>2）,則\AB\=—十改|尤i—x2|=

■\l（1+嚴(yán)）［〈Xl+X2）2—4X1X21或|AB|=yj1+力yi―，2l

=yj（1+為［⑴+m）2—4yM，左為直線斜率且以o.

易錯(cuò)提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x（或y）,得到關(guān)于y（或X）

的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需

討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.

舉一反三

1.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）若直線/：，=左（》-2）與雙曲線C:9=1恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則直線/的

斜率的所有可能值為.

2.（24-25高二上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）（多選）已知直線/：y^kx+1,雙曲線C：/-V=1.以下說(shuō)法正確

的是（）

A.當(dāng)左=0時(shí)，直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)

B.直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，kf或-叵

C.當(dāng)上＜-0或左,應(yīng)時(shí)，直線/與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)

D.當(dāng)-0＜女＜后時(shí)，直線/與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

2

3.（243高三上廣東廣州?階段練習(xí)）已知橢圓C:人與=|,直線/：＞=%+根，若橢圓c上存在兩點(diǎn)關(guān)

于直線/對(duì)稱，則根的取值范圍是（）

(42變］（42克］

A.B.C.D.

一丁彳33J4'4

777

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（1,4）且與拋物線V=4x恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

22

2.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）設(shè)直線/：＞=兀+加與橢圓氏±+匕=1相交于A、3兩點(diǎn)，當(dāng)相變化時(shí),

43

線段A5的中點(diǎn)所在的直線方程為（）

434

A.y=-xB.y=-x

3

34

C.y=——xD.y=——x

43

3.（24-25高二上?廣西北海?期中）（多選）若直線/與雙曲線￡-9

1的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，貝IJ/的

315

方程可以是（）

A.y=45x+lB.y=x+lC.y=3xD.y—5/2%+5/2^-1

2

4.（24-25高三上?北京?期末）直線y=%（x-3）與雙曲線亍-y21的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，則上的取值范圍

為一

丫2V21

5.（24-25高二上?陜西西安?階段練習(xí)）雙曲線於-3二1與直線/：》=-耳光+根（MER）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

22_

6.（24-25高三上.陜西漢中?階段練習(xí)）已知橢圓區(qū)會(huì)+方=1（"＞10）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的&倍，且橢圓E

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線/：y=Mx-2)交橢圓E于M,N兩點(diǎn),若線段"N中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，求直線/的方程.

7.已知直線/：y=2x+m,橢圓C：了+2=1.試求當(dāng)切取何值時(shí)，直線/與橢圓C：

(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

8.對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過(guò)點(diǎn)(括,2),(2,-")，斜率為Z的直線/過(guò)點(diǎn)P(l,1).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求斜率左的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)%使得直線/與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸恰好為AB中點(diǎn)？為什么？

易錯(cuò)點(diǎn)06:混淆“焦點(diǎn)弦”和“非焦點(diǎn)弦”

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(24-25高三上?山東青島?階段練習(xí))頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且截直線2*-、+1=0所得弦長(zhǎng)為至

的拋物線方程為_______________

【答案】9=12%或>2=_軟

【詳解】設(shè)所求拋物線方程為丁=奴(0*0)①，直線方程變形為y=2x+l②.

設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，將②代入①整理得

+(4—a)x+l=0,貝U|A同=+2?)["4—4x-^-=^/15.

解得。=12或a=T.故所求拋物線方程為I?=12x或丁=_4x.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略斜率不存在的情況而造成漏解.

【避錯(cuò)攻略】

斜率為6左。0)直線/與拋物線交于A&,%),5(%，%)兩點(diǎn)，若求弦\^\的長(zhǎng)?

(1)一般弦長(zhǎng)公式：=Jl+k?.卜］=J1+:-.

(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條過(guò)焦點(diǎn)F的弦，A(5,％),B8,%),則弦長(zhǎng)

\AB\=\AF\+\BF\=xl+x2+p.