2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題31 平方根【八大題型】（舉一反三）（浙教版）（解析版）

專題3.1平方根【八大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【題型1平方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】............................................................1

【題型2根據(jù)平方根的性質(zhì)求字母的值】..........................................................3

【題型3根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求值】................................................................5

【題型4利用平方根的概念解方程】..............................................................7

【題型5根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的概念求值】....................................................9

【題型6估算算術(shù)平方根的取值范圍】...........................................................11

【題型7求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】...................................................12

【題型8有關(guān)算術(shù)平方根的探究規(guī)律題】..........................................................15

?舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1平方根和算術(shù)平方根】

平方根：

①定義：如果x2=a(aZ0),那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根.

②表示方法：正數(shù)a的正的平方根記作正，負(fù)的平方根記作-正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作士讀作正、

負(fù)根號(hào)a,其中a叫做被開(kāi)方數(shù).

③性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

算術(shù)平方根：

(1)定義：正數(shù)a有兩個(gè)平方根土我們把正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根.

⑵性質(zhì)：①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)：0的算術(shù)平方根是0：

②負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.當(dāng)a工0時(shí)，V?=a；

③算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：a>0：GO

【題型1平方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】

【例1】(2023春?七年級(jí)單元測(cè)試)已知a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)：/+VP+J(ai)2+

7(^17-V(a-l)2.

~h-10aiA

【答案J3a—3b

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【分析】a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置判斷a,b的符號(hào)，進(jìn)而判斷Q-從b-1,的符號(hào)，再由算術(shù)平方

根化簡(jiǎn)方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知b<-1<0<a<1,

?,?ci—b>0?匕-1V0,cz—1<0?

:.原式=|a|+|b|+|a—b|+|b—1|—\u—11

=a—b+a—b+1—b—1+a

=3a—3b.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，數(shù)軸表示數(shù)，掌握數(shù)軸表示數(shù)的定義，算術(shù)平方根化簡(jiǎn)的方法

是正確解答的前提.

【變式1-1](2023春?湖北武漢?七年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，已知f=3,那么在數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是

()

%P2尸3匕

4~~-2-10,1~2~3~4

A.P.B.P&

C.尸2或D.P1或24

【答案】D

【詳解】解：:xM,

.*..r=±V3,

，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Pi或P4.

故選：D.

【變式1-2](2023春?七年級(jí)單元測(cè)試)已知小》在數(shù)軸上位置如圖，化簡(jiǎn)RT討-m=.

ab

【答案】b

【分析】據(jù)數(shù)。、力在數(shù)軸上的位置確定Q-力，〃的符號(hào)，再根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，再合并

同類項(xiàng).

【詳解】解：從數(shù)軸上可以得出：Q<0,b>0,\a\>\b\t

?\a-bV0,

1?《(a-6)2—=\a—b\—|a|=—(a—b)—(—a)=—a+b+a=b.

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故答案為：b.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用數(shù)軸比較的大小，算術(shù)平方根，掌握算.術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3】（2023春?遼寧遼陽(yáng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形/BCD的面積為7,頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示

的數(shù)為I，若點(diǎn)E在數(shù)軸上（點(diǎn)E在點(diǎn)4的左側(cè)），且40=4E,則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

【答案】C

【分析】因?yàn)槊娣e為7的正方形A3CD邊長(zhǎng)為上，所以4。=夕，而得力E=上，力點(diǎn)的坐標(biāo)為

1,故E點(diǎn)的坐標(biāo)為1一行.

【詳解】解：???面積為7的正方形ABCZ）為7,

*.AD-y[7,

*：AD=AE,

：.AE=夕，

?.?只點(diǎn)表示的數(shù)為1.

???￡點(diǎn)表示的數(shù)為1一夕，

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與、平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出==

【題型2根據(jù)平方根的性質(zhì)求字母的值】

【例2】（2023春?廣東云浮?七年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為m+3和2機(jī)-15.

⑴這個(gè)正數(shù)是多少？

（2）m+21的算術(shù)平方根是多少？

【答案】（I）這個(gè)正數(shù)是49

（2）加+21的算術(shù)平方根是5

【分析】（1）根據(jù)“一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)''可得（m+3）+（2m-15）=0,即可求解；

（2）由（1）可求m+21=25,即可求解.

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要使V2023—九是正整數(shù),

即當(dāng)n=2022時(shí)，V2023-n=l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2023春?福建泉州?七年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)校考期中）已知％=1-20y=3a-4.

（1）已知x的算術(shù)平方根為3,求。的值；

⑵如果x,y都是同一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù).

【答案】（1"=-4

（2）這個(gè)數(shù)為1或25

【分析】（1）由工的算術(shù)平方根為3得到1-2a=9,解方程即可得到答案；

（2）分％=y和x+y=0兩種情況分別進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解；??”的算術(shù)平方根為3,

1-2a=9,解得Q=-4；

（2）①當(dāng)％=、時(shí)，即1-2a=3。-4,解得Q=1,

.*.x=1—2a=—1,y=3a—4=—1,

???這個(gè)數(shù)為（—1）2=1；

②當(dāng)x+y=0時(shí)，即1—2Q+3Q—4=0,解得a=3,

:.x=1-2a=-5,y=3a-4=5,

，這個(gè)數(shù)為52=25,

綜上所述，這個(gè)數(shù)為1或25.

【點(diǎn)睛】此題考查了平方根和算術(shù)平方根，讀懂題意并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【題型3根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求值】

【例3】（2023春?河南駐馬店?七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知|3工-y—l|和g+y-4互為相反數(shù)，求x+4y的

平方根.

【答案】±3.

【分析】根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組得出x、y的值，代入可求.

【詳解】由題意得：\3x-y-l\+J2x+y-4=0,所以｛瓷二二一

解得％=l,y=2

Ax+4y的平方根=_^/>+4y=_LV1+4x2=J_3

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考點(diǎn)：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、平方根.

【變式3-1］（2023春?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知%、y,滿足石=！+|y+2|=0,則好一4y的平方

根為.

【答案】±3

【分析】利用算術(shù)平方根及絕對(duì)值的非負(fù)性求出x、y的值，即可代入求出/-你的平方根.

【詳解】WF^I+|y+2|=0,

Ax-1=0,y+2=0,

/.x=1>y=-2,

:./-4y=1+8=9,

，無(wú)2-4y的平方根為±3,

故答案為：±3.

【點(diǎn)睛】此題考查算術(shù)平方根及絕對(duì)值的非負(fù)性，求一個(gè)數(shù)的平方根，能根據(jù)題意求出x、y的值足解題關(guān)

鍵.

【變式3-21（2023春?四川內(nèi)江?七年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知y=G7+標(biāo)F+9,

則y+x的平方根是（）

A.3B.±3C.4D.±4

【答案】D

【分析】直接利用算術(shù)平方根有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y的值，再利用平方根的定義得出答案.

【詳解】解：由題意可得：-］之°八，

114-2%>0

解得：x=7,

故y=9,

則y+x=9+7=16,

故y+x的平方根是：±4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根有意義的條件，解不等式組.能根據(jù)算:術(shù)平方根有意義被開(kāi)方數(shù)大于等于0得出

不等式組是解決此題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023春?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）己知（3-x）2-5與J彳+5互為相反數(shù)，則言的值是

（）

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A.6B.5C.D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出X、），，然后代入代

數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解:團(tuán)（3—幻2一5與爐方+5互為相反數(shù)，

團(tuán)（％—3產(chǎn)—5+yfy^2+5=0?

即"-3）2+百2=0，

所以％-3=0,y-2=0,

解得％=3,y=2,

「廠[.]X+33+3,

所以方=a=6?

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為。時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

【題型4利用平方根的概念解方程】

【例4】（2023春?河南鶴壁?七年級(jí)?？计谥校┤?一。2=（%+2）（工一2）,則a的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】C

【分析】先由整式乘法運(yùn)算公式-平方差公式化簡(jiǎn)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、直接開(kāi)平方解方程即可得到答案.

【詳解】解：x2-a2=（x+2）（%-2）,

x2-a2=x2-4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得小=4,

直接開(kāi)平方得a=±2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】小題考查解方程，涉及整式乘法運(yùn)算公式-平方差公式，掌握解方程步驟移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、直接開(kāi)

平方等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023春?湖南長(zhǎng)沙??七年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如果（無(wú)-1）2=4,那么x

的值是（）

A.4B.3或一1C.-1D.3

【答案】B

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【分析】根據(jù)平方根的定義解方程即可.

【詳解】（工-1）2=4,

開(kāi)平方得％-1=±2,

解得％=3或一1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根的定義解方程，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】（2023春?廣西梧州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）在公式y(tǒng)=（—1）2—8中，當(dāng)y=l時(shí)，x的值為.

【答案】4或-2

【分析】將y=l代入，用開(kāi)平方法，解關(guān)于x的方程即可.

【詳解】解：把y=1代入y=（x-I）2-8得：（％-1）2-8=1,

移頂?shù)茫海ǎ?=9,

開(kāi)平方得：x-1=±3,

:.X-4或x=-2.

故答案為：4或-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了開(kāi)平方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義，一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且

這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【變式4-3］（2023春.江西萍鄉(xiāng)?七年級(jí)?？计谥校┣笙铝懈魇街泄さ闹担?/p>

（1）9x2-25=0；

（2）4（2x-I）2=36

【答案】（1）%=：,或％=-<

JJ

（2）x=2或久=-1

【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)和平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

（2）根據(jù)等式的性質(zhì)和平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）9x2-25=0

移頂?shù)茫?/=25,

兩邊都除以9得，％2=g,

由平方根的定義得，x=±|;

即X=或％=--

3

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(2)4(2x-I)2=36

兩邊都除以4得，(2x-l)2=9,

由平方根的定義得，2x-1=±3,

即x=2或工=-1；

【點(diǎn)睛】本題考查平方根，理解平方根的定義，掌握等式的性質(zhì)是正確解答的前提.

【題型5根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的概念求值】

【例5】(2023春?四川資陽(yáng)?七年級(jí)?？计谥?已知2b+l的平方根為±3,3a+2b-1的算術(shù)平方根為4,求2b+3a

的平方根.

【答案】±g.

【分析】分別根據(jù)2b+l的平方根是±3,3a+2b-l的算術(shù)平方根是4,求出a、b的值，再求出2b+3a的值,求

出其平方根即可.

【詳解】解：由題意可知：

2b+l=(±3)2=9,

b=4,

3a+2b-l=42=16,

.\3a+8-l=16,

:.a=3，

:.2b+3a=8+9=17,

，2b+3a的平方根士舊.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根和算術(shù)平方根的定義，根據(jù)題意求出a、b的值是解答此題的關(guān)鍵.

【變式5-1】(2023春?廣東江門?七年級(jí)?？计谥?已知7^巧=2,則a的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)4的算術(shù)平方根是2可解答.

【詳解】解：???后斗=2,

二a+3=4,

Aa—1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的定義是關(guān)鍵.

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【變式5?2］（2023春?福建莆田?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x=l-a,y=2a-5.

（1）已知x的值4,求a的值及x+y+16的平方根；

（2）如果一個(gè)數(shù)的平方根是x和y,求這個(gè)數(shù).

【答案】（1）a=-3,±3；（2）9.

【分析】（1）根據(jù)％=4,求解方程可得a的值；再通過(guò)解方程計(jì)算得y的值，從而得到x+y+16的平方根;

（2）一個(gè)數(shù)的平方根是x和v，可得x=-y,通過(guò)解方程得a的值，再經(jīng)計(jì)算得x和v，從而完成求解.

【詳解】（1）13%=4

團(tuán)1-a=4

回a=-3

0y=2a—5=2x（—3）—5=-11

取:+y+16=4+（-11）+16=9

以十y+16的平方根為：±3.

（2）如果一個(gè)數(shù)的平方根是x和y

即這個(gè)數(shù)=",且％=-y

01—a=—（2a—5）

回a=4

（x=-3

01Q

ly=3

團(tuán)這個(gè)數(shù)="2=9.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根等知識(shí)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式5-3］（2023春?陜西西安?七年級(jí)?？计谥校┮阎龜?shù)X的平方根是〃［和兒

⑴當(dāng)71=6時(shí),求〃?的值；

⑵若mZx+im+nyxnSZ,求x-1的值.

【答案】⑴m=-3

（2）x=4

【分析】（1）利用正數(shù)平方根互為相反數(shù)即可求出機(jī)的值；

（2）利用平方根的定義得到（血+"）2=，/=%，代入式子血2》+（瓶+九）2%=32即可求出x值.

【詳解】（1）???正數(shù)X的平方根是用和7九+九，

.*.7n+7n+n=O,

Vn=6,

第10頁(yè)共18頁(yè)

，2m+6=0,

3：

（2）,正數(shù)x的平方根是加和m+n,

（m+n）2=x,m2=x,

Vm2x+（m+n）2x=32,

.\X2+X2=32,

.\X2=16,

Vx>0,

:.j=4.

%-1=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義及平方根的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【題型6估算算術(shù)平方根的取值范圍】

【例6】（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）估計(jì)質(zhì)的大小應(yīng)在（）

A.7.1?7.3之間B.7.3?7,5之間C.7.5?7.7之間D.7.7?7.9之間

【答案】B

【分析】先把回平方，再把選項(xiàng)中的數(shù)分別平方，即可解答.

【詳解】解：?；7.32=53.29,7.52=56.25,

二回在7.5?7.7之間，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算，解答本題的關(guān)鍵是熟知用“夾逼法”估算無(wú)理數(shù)是常用的估算無(wú)理數(shù)的

方法.

【變式6-1】（2023春?貴州貴陽(yáng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上表示數(shù)g的點(diǎn)可能是（）

ABCD

IIIII.l.l.l,I.

-3-2-1012345

A.點(diǎn)4B.點(diǎn)、BC.點(diǎn)、CD.點(diǎn)。

【答案】D

【分析】估算出g的范圍即可得出答案.

【詳解】解：：16V17<25,

V17<V25,

?工4</17<5.

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故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的大小比較.

【變式6-2】（2023春?貴州六盤水七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點(diǎn)，能落在A,8兩個(gè)點(diǎn)之間的

是（）

AB

-?--1??->

-101234

A.-V3B.V7

C.VilD.>/13

【答案】B

【分析】首先確定A,B對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分別估算四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:由數(shù)軸得，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是3,

A.-2<-V3<-l,不符合題意；

B.2<V7<3,符合題意；

C、3<VTT<4,不符合題意；

D.3<713<4,不符合題意；

故選：B

【變式6-3】（2023春?北京東城?七年級(jí)北京一七一中?？计谥校┱?qǐng)寫(xiě)出&與VT5間的一個(gè)整數(shù).

【答案】2（答案不唯一）

【分析】估算出企與45的取值范圍，即可求解.

【詳解】解：<企<2,3Vm<4,

???魚(yú)與同間的一個(gè)整數(shù)為2或3,

故答案為：2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的估算，估算出a與g的取值范圍是解題的關(guān)健.

【題型7求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】

【例7】（2023?重慶九龍坡?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃┤粢粋€(gè)正方形的面積是20,則它的邊長(zhǎng)最接近

的整數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】通過(guò)算數(shù)平方根的算法，計(jì)算山正方形邊長(zhǎng)，再根據(jù)估算得出結(jié)果.

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【詳解】解：???正方形的面積是20,

???正方形的邊長(zhǎng)為兩，

V16<20<20.25,

故4<際<4.5,則際更接近J

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考兗了求算數(shù)平方根、以及估算算數(shù)平方根，其中準(zhǔn)確算出算數(shù)平方根是關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）近!的整數(shù)部分是.小數(shù)部分是.

【答案】3JII-3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???9VII<16,

/.3<A/1T<4,

??.E■的整數(shù)部分為3,

???VH■的小數(shù)部分為E-3；

故答案為3,V1I-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個(gè)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）己知2a-1的算術(shù)平方根是3,匕-1的平方根是±4,c是g的整

數(shù)部分，求a+26-c的平方根.

【答案】±6

【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義分別求出%b、c的值；進(jìn)而得出Q+2b-c的值，求出它的平方根

即可；

【詳解】解：的算術(shù)平方根是3；6-1的平方根是±4,

A2a-1=9,6-1=16，

工。=5,b=17.

???c是的整數(shù)部分，3Vg<4,

c=3.

:?a+2b—c=5+17x2—3=36.

?:36的平方根是±6.

，a+2b-c的平方根為±6.

【點(diǎn)睛】本題考查了考查了平方根與算術(shù)平方根；熟練掌握平方艱與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

第13頁(yè)共18頁(yè)

【變式7-3]（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）采用夾逼法，利用企的一系列不足近似值和過(guò)剩近似值

來(lái)估計(jì)它的大小的過(guò)程如下：

因?yàn)楫a(chǎn)=1,2?=4,

所以1<企<2,

因?yàn)?.42=1.96,1.52=2.25,

所以1.4<yf2<1.5,

因?yàn)?.4M=1.9881,1.422=2.0164,

所以1.41<V2<1.42

因?yàn)?.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以1.414<V2<1.415,

因此加?1.41（精確到百分位），

使用夾逼法，求出力的近似值（精確到百分位）.

（2）我們規(guī)定用符號(hào)因表示數(shù)》的整數(shù)部分，例如用=0,[2.4]=2,

①按此規(guī)定[依+2]=_；

②如果苗的整數(shù)部分是a,正的小數(shù)部分是瓦求⑷-⑸的值.

【答案】（1）2.24：（2）①5,②3-花

【分析】（1）仿照使用夾逼法求應(yīng)近似值的方法解答即可：

（2）①先使用夾逼法確定g的范圍，然后即可確定國(guó)+2的范圍，再根據(jù)規(guī)定解答即可；

②先確定代的整數(shù)部分。與6的小數(shù)部分b的值，再代入所求式子化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）因?yàn)??=4,3?=9,

所以2c遍<3,

因?yàn)?.22=4.84,2.32=5295

所以2.2<\/5<2.3,

因?yàn)?.232=4.9729,2.242=5.0176,

所以2.23<V5<2.24,

因?yàn)?.2362=4.999696,2.2372=5.004169,

所以2.236<?<2.237,

因此迷?2.24.

（2）①因?yàn)?.12=9.61,3.22=10.24,

第14頁(yè)共18頁(yè)

所以3.1<au<3.2,

所以5.1vJIU+2V5.2,

所以[JIU+2]=5；

故答案為:5：

②因?yàn)?<<2,2〈的V3,

所以Q=l,b=V5—2,

所以原式=|1|一|遍-2|

=1-(V5-2)

=1-V5+2

=3—Vs.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用夾逼法求算術(shù)平方根的近似值、對(duì)算術(shù)平方根的整數(shù)和小數(shù)部分的認(rèn)識(shí)以及實(shí)數(shù)的

簡(jiǎn)單計(jì)算，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)足解題關(guān)鍵.

【題型8有關(guān)算術(shù)平方根的探究規(guī)律題】

【例8】(2023春?四川達(dá)州?七年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？茧A段練習(xí))探索與應(yīng)用.先填寫(xiě)下表，通過(guò)觀察后

再回答問(wèn)題：

a??.0.00010.01110010000?.?

???0.01X1y100???

(1)表格中x=_；>,=_；

(2)從表格中探究〃與論數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題:

規(guī)律：

①已知?3.16,則

②已知J5^=1.8,若低=180,Ma=_.

【答案】(1)0.1,10

(2)規(guī)律見(jiàn)解析,①31.6；②32400

【分析】(1)觀察表格確定出“與y的值即可:

第15頁(yè)共18頁(yè)

（2）根據(jù)表格中的規(guī)律“算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍”，據(jù)此分別計(jì)算①②可

得答案.

【詳解】（1）解：x=0.1,y=10；

故答案為：0.1,10；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍；

①向麗=lOVlOx31.6：

②a=3.24x10000=32400.

故答案為:①31.6；②32400.

【點(diǎn)睛】本題考杳了算術(shù)平方根的知識(shí)，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2023春?河南鄭州?七年級(jí)鄭州市第八中學(xué)?？计谥校┯^察下列有規(guī)律的一組等式：

月=&庠=2$即后=2/4=冊(cè)=舟=3舟即4=3島

（1）猜想：/-：------'后盤=-------

（2）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)用一個(gè)含n（ri為正整數(shù)）的式子表示這一規(guī)律.

【答案】⑴靖,5在

（2）被開(kāi)方數(shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子相同，分?jǐn)?shù)的分母是分子的平方加I,小二高=九總5

【分析】（1）根據(jù)給定的等式，進(jìn)行猜想即可；

（2）根據(jù)給定的等式可以看出，被開(kāi)方數(shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子相同，分?jǐn)?shù)的分母是分子的平方加1,進(jìn)行

表示即可.

【詳解】（1）解：由給定的等式猜想得：J4一標(biāo)出,6^=5標(biāo)

故答案為:出,5層

（2）由給定的式子可以得到：被開(kāi)方數(shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子相同，分?jǐn)?shù)的分母是分子的平方加1,

用一個(gè)含九（n為正整數(shù)）的式子可表示為：Jn-^=n后;

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的性質(zhì)和數(shù)字的規(guī)律性探究.熟練掌握算術(shù)平方根的概念，從給出的式子中正

確的找出規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2023春?安徽亳州七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一組實(shí)數(shù)按下列規(guī)律排列：

1：V2；V3；2；A/5；A/6：yfl第1行

瓜3；710；7TT；\/12；\/13；/14第2行

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715；4：717；/18；回;V20；V21第3行

根據(jù)這個(gè)規(guī)律解答以下問(wèn)題：

（1）直接寫(xiě)出第4行第1列