《 備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第4章 第1講

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四章

第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)一個確定的值這個確定的值f′(x0)2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)___________________________為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)．3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝_________f(x)＝sinxf′(x)＝_________f(x)＝cosxf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝exαxα－1cosx－sinxaxlnaf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝__________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于______的導(dǎo)數(shù)與______的導(dǎo)數(shù)的乘積．yu′·ux′y對uu對x【特別提醒】1．利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．2．曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點(diǎn)．3．在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中要分清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)，不能混淆．【常用結(jié)論】1．f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，且(f(x0))′＝0.2．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．4．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”．【答案】C【答案】C【答案】CD【答案】1【答案】5x－y＋2＝01．求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運(yùn)算、三角恒等式等對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度減少差錯．2．(1)若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可進(jìn)行換元．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同． (

)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0)． (

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點(diǎn)． (

)(4)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線． (

)(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cosx． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重難突破能力提升2(1)(2021年亳州二中期中)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為

(

)A．1 B．eC．2e D．0導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，記f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，則f5(x)＋f2021(x)＝

(

)A．－5sinx－xcosx B．5sinx－xcosxC．－5sinx＋xcosx D．5sinx＋xcosx【答案】(1)B

(2)D【解題技巧】1．求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則中，要注意“＋”“－”的變化，如(cosx)′＝－sinx.2．對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關(guān)鍵是明確f′(x0)是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，求得所求導(dǎo)數(shù)值．【答案】(1)B

(2)A導(dǎo)數(shù)的幾何意義考向1求切線方程

(2020年Ⅰ卷)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為________．【答案】2x－y＝0考向2求切點(diǎn)坐標(biāo)

(2021年貴陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為________．【答案】(0,0)【解析】因?yàn)閒(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax，所以a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3x＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，所以切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為(0,0)．【答案】A【解題技巧】1．求切線方程的方法(1)求曲線在點(diǎn)P處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)P的切線，則P點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后列出切點(diǎn)坐標(biāo)的方程解出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出切線方程．2．處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切線上；(3)切點(diǎn)在曲線上．【答案】(1)(1,3)或(－1,3)

(2)2x－y＝0

(3)8

已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍．幾何意義的綜合應(yīng)用于是，當(dāng)x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表所示：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)

t＋3

t＋1

要使g(x)有3個零點(diǎn)，則t＋3>0且t＋1<0，解得－3<t<－1.所以t的取值范圍是(－3，－1)．【解題技巧】解決本題第(2)問的關(guān)鍵是利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)表示切線方程，可將問題等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程有三個不同的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)后，利用函數(shù)的單調(diào)性求極值，通過數(shù)形結(jié)合方法找到t滿足的條件即可．【變式精練】3．過點(diǎn)A(2,1)作曲線f(x)＝x3－3x的切線最多有 (

)A．3條 B．2條C．1條 D．0條【答案】A素養(yǎng)微專直擊高考3若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．【考查角度】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【核心素養(yǎng)】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．【易錯分析】由于題目中沒有指明點(diǎn)O(0,0)的位置情況，容易忽略點(diǎn)O在曲線y＝x3－3x2＋2x上這個隱含條件，進(jìn)而不考慮O點(diǎn)為切點(diǎn)的情況．易錯警示——求曲線的切線方程典例精析【解題技巧】1．求曲線過點(diǎn)P的切線方程的方法(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點(diǎn)P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x