6.4 探索三角形相似的條件-2020-2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂幫幫幫（蘇科版）（解析版）

探索三角形相似的條件知識(shí)點(diǎn)一、平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 如圖：l1∥l2∥l3，直線a、b分別與l1、l2、l3交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F、，則有：1. ；2. ；3. . 當(dāng)兩線段的比是1時(shí)，即為平行線等分線段定理，可見平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理特殊情況，平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的推廣.例：如圖，△ABC中，D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，下面比例式中，不一定能判斷ED∥BC的是（）A． B． C． D．【解答】B【解析】A、∵，∴，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；B、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴不能判斷△ABC與△ADE相似，不能得到∠B＝∠D，∴不能判斷BC∥DE，所以B選項(xiàng)的結(jié)論不正確；C、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；D、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選B．知識(shí)點(diǎn)二、由平行判定三角形相似 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，如圖所示：例：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD、BC上，且EF∥CD，G為邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BG，則圖中與△ABG相似的三角形有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】D【解析】如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，∵EF∥CD，∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN．故選D．知識(shí)點(diǎn)三、由兩角關(guān)系判定三角形相似 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，如圖所示：例：如圖，△ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE與AD相交于點(diǎn)F．則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】B【解析】①在△ABE與△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，則△ABE～△ACB；②∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．∵∠1＝∠2，∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ACD；綜合①②知，共有2對(duì)相似三角形，故選B．知識(shí)點(diǎn)四、由兩邊及夾角的關(guān)系判定兩三角形相似 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，如圖所示：例：如圖，下列選項(xiàng)中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．AC2＝AD?AB B．BC2＝BD?AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB【解答】B【解析】A、∵AC2＝AD?AB，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵BC2＝BD?AB，∴，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．知識(shí)點(diǎn)五、由三邊關(guān)系判定兩個(gè)三角形相似 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似，如圖所示：例：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，不一定能使△ADE與△ABC相似的條件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．【解答】C【解析】由題意得，∠A＝∠A，A、當(dāng)∠ADE＝∠B時(shí)，△ADE∽△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠ADE＝∠C時(shí)，△ADE∽△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，不能推斷△ADE與△ABC相似；故選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)時(shí)，△ADE∽△ACB；故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．鞏固練習(xí)一．選擇題1． 如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【解答】C【解析】∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∵∠B＝∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4對(duì)，故選C．2． 如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD【解答】C【解析】∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴與△BFD相似的三角形是△BDA，故選C．3． 如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接AE，則圖中與△ACE全等或相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】C【解析】∵將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CE＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；∴∠CAE＝∠B＝∠CEF＝45°，∵∠ACE＝∠ECF，∴△ACE∽△ECF；∵∠FAD＝∠FEC＝45°，∠AFD＝∠EFC，∴∠ADF＝∠ACE，∵∠DAF＝∠CAE＝45°，∴△ACE∽△ADF，綜上，圖中與△ACE全等或相似的三角形有3個(gè)．故選C．4． 如圖，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線DE剪開，剪下的三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【解答】C【解析】A、剪下的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意；B、剪下的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意．D、可得∠BDE＝∠ACB，∠B＝∠B，剪下的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意．故選C．5． 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．2411s B．95s C．2411s或95【解答】C【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，當(dāng)△BAC∽△BPQ，BPAB即t8解得t=24當(dāng)△BCA∽△BPQ，BPBC即t6解得t=9綜上所述，當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2411s或95故選C．6． 已知△ABC是正三角形，點(diǎn)D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），以BD為邊作正△BDE，邊DE與邊AB交于點(diǎn)F，則圖中一定相似的三角形有（）對(duì)．A．6 B．5 C．4 D．3【解答】B【解析】圖中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD．理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△ABC∽△EDB，可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，∴△BDC∽△BFE，∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，∴△BDC∽△DFA，∴△BFE∽△DFA，∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，∴△BDF∽△BAD．故選B．7． 如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，則下列結(jié)論正確的有（）①∠BAE＝30°；②CE2＝AB?CF；③CF=53CD；④△ABE∽△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】B【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABBE∵BE＝CE，∴CE2＝AB?CF．∵AB＝2CE，∴CF=1故②正確，③錯(cuò)誤，∴BEAB∴∠BAE≠30°，故①錯(cuò)誤；設(shè)CF＝a，則BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝25a，EF=5a，AF＝5a∴AEAF=2∴AEAF∵∠ABE＝∠AEF＝90°，∴△ABE∽△AEF，故④正確．故選B．8． 如圖，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在邊DC上有點(diǎn)P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】A【解析】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．設(shè)AP的長(zhǎng)為x，則BP長(zhǎng)為7﹣x．若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△APD∽△BPC，則AP：BP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x=②若△APD∽△BCP，則AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，這種情形不存在，∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選A．9． 坐標(biāo)平面上橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知A（2，0），點(diǎn)B（3，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)取一整點(diǎn)C，使O，B，C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與△AOB相似．那么C點(diǎn)不同的位置一共有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【解答】C【解析】∵A（2，0），點(diǎn)B（3，1），∴AB=2，OA＝2，OB=當(dāng)點(diǎn)C為（4，3）時(shí)，BC=5，OB=10，∴ABBC∴△AOB∽△BOC．當(dāng)點(diǎn)C'為（1，1）時(shí)，則OC'＝AB=2，OB＝OB=10，BC'＝∴△AOB≌△C′BO（SSS），∴△AOB∽△C'BO，當(dāng)點(diǎn)C″為（5，5）時(shí)，則OC″＝52，OB=10，BC″＝25∵ABOB∴△AOB∽△BC″O，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)C為（4，3）或（1，1）或（5，5）時(shí)，以O(shè)，B，C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與△AOB相似，故選C．10．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下結(jié)論：①BE=22GE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】C【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE=22GE，∴∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中AG=CE∠GAE=∠CEF∴△AGE≌△ECF，∴②正確；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正確；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯(cuò)誤；即正確的有3個(gè)．故選C．11．如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①AC＝FG；②四邊形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【解答】A【解析】①∵四邊形ADEF為正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD+∠FAG＝90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，∠G=∠C∠AFG=∠CAD∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG．故正確；②∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)G⊥CA，∴FG∥BC，∴四邊形CBFG是矩形．故正確；③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ．故正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．故選A．二．填空題12．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜12），連接DE，當(dāng)△BDE與△ABC相似時(shí)，t的值為．【解答】4或7或9．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝2，∵0≤t＜12，∴E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線為從A到B，再?gòu)腂到AB的中點(diǎn)，按運(yùn)動(dòng)時(shí)間分為0≤t≤8和8＜t＜12兩種情況，①當(dāng)0≤t≤8時(shí)，AE＝t，BE＝BC﹣AE＝8﹣t，當(dāng)∠EDB＝90°時(shí)，則有AC∥ED，∴△BDE∽△BCA，∵D為BC中點(diǎn)，∴E為AB中點(diǎn)，此時(shí)AE＝4，可得t＝4；當(dāng)∠DEB＝90°時(shí)，∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴BEBC即8?t4解得t＝7；②當(dāng)8＜t＜12時(shí)，則此時(shí)E點(diǎn)又經(jīng)過(guò)t＝7秒時(shí)的位置，此時(shí)t＝8+1＝9；綜上可知t的值為4或7或9，故答案為4或7或9．13．如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝2，PB⊥BF，垂足為點(diǎn)B，請(qǐng)?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M，使得以B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，則BM＝．【解答】2或25【解析】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM＝90°，∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP+∠CBM＝90°，∴∠ABP＝∠CBM，∴當(dāng)BABC=BPBM時(shí)，△BAP∽△BCM，即當(dāng)BABM=BPBA時(shí)，△BAP∽△BMC，即5綜上所述，當(dāng)BM為2或252時(shí)，以B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP故答案為2或25214．已知：△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，要使△AEF與△ABC相似，則需要增加的一個(gè)條件是．（寫出一個(gè)即可）【解答】EF∥BC或∠AFE＝∠B或∠AEF＝∠C【解析】要使△AEF與△ABC相似，需要增加的一個(gè)條件是EF∥BC，或者∠AFE＝∠B．故答案為EF∥BC或∠AFE＝∠B或∠AEF＝∠C．15．如圖，∠B＝∠D，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ABC∽△ADE，這個(gè)條件可以是．【解答】∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或AB【解析】∵∠B＝∠D，∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或ABAD=BCDE，可證△故答案為∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或ABAD16．如圖，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一個(gè)條件就能使△APQ∽△ABC，則這個(gè)條件可以是．【解答】∠P＝∠B或∠Q＝∠C或PA【解析】∵∠PAB＝∠QAC，∴∠PAQ＝∠BAC，若∠P＝∠B，則△APQ∽△ABC，若∠Q＝∠C，則△APQ∽△ABC，若PAAB=AQAC，則△故答案為∠P＝∠B或∠Q＝∠C或PAAB17．如圖，點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的?點(diǎn)，請(qǐng)你添加?個(gè)條件使△ACP∽△ABC：．【解答】∠ACP＝∠B（或APAC【解析】∵∠PAC＝∠CAB，∴當(dāng)∠ACP＝∠B時(shí)，△ACP∽△ABC；當(dāng)APAC=ACAB時(shí)，△故答案為∠ACP＝∠B（或APAC18．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE、AF交于點(diǎn)G，AF的中點(diǎn)為H，連接BG、DH．給出下列結(jié)論：①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△其中正確的結(jié)論有．（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)）【解答】①④【解析】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分別為BC和CD中點(diǎn)，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正確；∵AD＝4，DF=12∴AF=4∴DG＝AD×DF÷AF=455∵H為AF中點(diǎn)，∴HD＝HF=12AF∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG=AD2∴ABDH∴△ABG～△DHF，故④正確；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，則∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD與BG不平行，故③錯(cuò)誤；故答案為①④．19．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，當(dāng)C，B1，C1三點(diǎn)共線時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，交于AC于點(diǎn)D，下面結(jié)論：①△AC1C為等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤ABB1C=【解答】①②④⑤【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC1＝AC，∴△AC1C為等腰三角形，即①正確；∵∠ACB＝30°，∴∠C1＝∠ACB1＝30°，又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，∴∠AB1C＝75°，∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴CA＝CB1；∴②正確；∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，∴旋轉(zhuǎn)角α＝120°，故③錯(cuò)誤；∵∠BAC＝45°，∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，∵AB＝AB1，∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，在△AB1D與△BCD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正確；在△ABD與△B1CD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴ABB如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥B1C，設(shè)DM＝x，則B1M＝x，B1D=2x，DC＝2x，DC＝2x，CM=3∴AC＝B1C＝（3+1）x∴AD＝AC﹣CD＝（3?1）x∴ABB1C故答案為①②④⑤．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則BD的長(zhǎng)為．【解答】165或【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC=A若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∴CF：CE＝AC：BC，∴EF∥AB．連接CD，如圖1所示：由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴cosB=BC∴BD＝BC?cosB＝4×4②若CE：CF＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠A．連接CD，如圖2所示：由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD＝90°，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ECD，∴BD＝CD．同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，∴BD=12AB故答案為165或521．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PF⊥AE于F，當(dāng)以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，AP的長(zhǎng)為．【解答】3或25【解析】分兩種情況：①若△EFP∽△ABE，如圖1，則∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四邊形ABEP為矩形，∴PA＝EB＝3，②若△PFE∽△ABE，如圖2中，則∠PEF＝∠AEB，∵AD∥BC∴∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，∴AE＝5，∴EF=12AE∵△PFE∽△ABE，∴PEAE∴PE=256，PA∴滿足條件的PA的值為3或256故答案為3或25622．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一點(diǎn)，若以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△PBC相似，則PA＝cm．【解答】2或3【解析】設(shè)AP＝xcm．則BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，①當(dāng)AD：PB＝PA：BC時(shí)，35?x解得x＝2或3．②當(dāng)AD：BC＝PA：PB時(shí)，32=x∴當(dāng)A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，AP的值為2或3．故答案為2或3．23．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線DE垂直平分BF，垂足為D．當(dāng)△ACF是直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為．【解答】2或7【解析】（1）當(dāng)∠AFC＝90°時(shí)，AF⊥BC，∵AB＝AC，∴BF=12BC∴∵DE垂直平分BF，∵BC＝8∴BD=12（2）當(dāng)∠CAF＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB＝AC∴BM＝CM在Rt△AMC與Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，∴△AMC∽△FAC，∴AC∴FC=∵AC＝5，MC=12∴FC=∴BF＝BC﹣FC＝8?∴BD=12故答案為2或78三．解答題24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘時(shí)△PCQ的面積為8cm2？（2）如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘時(shí)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？【解答】（1）2s或4s；（2）當(dāng)t=125秒或t=1811秒時(shí)，以P、C、【解析】（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．由題意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，則12（6﹣x）?2x整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．（2）設(shè)t秒后以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，PCAC=QC解得：t=12當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，PCBC=QC解得：t=18綜上所述，當(dāng)t=125秒或t=1811秒時(shí)，以P、C、25．在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是線段AB上一點(diǎn)，且DB＝4，過(guò)點(diǎn)D作DE與線段AC相交于點(diǎn)E，使以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求DE的長(zhǎng)．請(qǐng)根據(jù)下列兩位同學(xué)的交流回答問(wèn)題：（1）寫出正確的比例式及后續(xù)解答；（2）指出另一個(gè)錯(cuò)誤，并給予正確解答．【解答】見解析【解析】解（1）DEBC∴DE=AD?BC（2）另一個(gè)錯(cuò)在沒(méi)有進(jìn)行分類討論，如圖，過(guò)點(diǎn)D作∠ADE＝∠ACB，則△ADE∽△ACB，∴DECB∴DE=AD?CB綜合以上可得，DE=53或26．如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一條直角邊與AB交于點(diǎn)Q．請(qǐng)寫出一對(duì)相似三角形，并加以證明．（圖中不添加字母和線段）【解答】見解析【解析】△BPQ∽△CDP，證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．27．在△ABC中，AD、CE分別是△ABC的兩條高，且AD、CE相交于點(diǎn)O，試找出圖中相似的三角形，并選出一組給出證明過(guò)程．【解答】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．證明過(guò)程見解答．【解析】圖