2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）高考真題解析（參考版）

第1頁/共1頁絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷文科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2設(shè)，則（）A. B.1 C.-1 D.23.若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.4.等差數(shù)列的前項和為，若，（）A. B. C.1 D.5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A. B. C. D.6.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.7.曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）A B. C. D.8.函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（）A. B.C. D.9.已知，則（）A. B. C. D.原10題略10.設(shè)兩個平面，是兩條直線，且.下列四個命題：①若，則或②若，則③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A①③ B.②④ C.①②③ D.①③④11.在中內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．原13題略12.函數(shù)在上的最大值是______．13.已知，，則______．14.曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．15.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式.16.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求點到的距離.17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，證明：當(dāng)時，恒成立．18.設(shè)橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．19.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求的值.20.實數(shù)滿足．（1）證明：；（2）證明：．絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷文科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：A2.設(shè)，則（）A. B.1 C.-1 D.2【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算.【詳解】依題意得，，故.故選：D3.若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出可行域后，利用的幾何意義計算即可得.【詳解】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時，有最小值，此時直線過點，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D4.等差數(shù)列的前項和為，若，（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)甲排排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B6.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳解】設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.7.曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.【詳解】，所以，故切線方程為，故切線的橫截距為，縱截距為，故切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為故選：A.8.函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.原10題略10.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，且.下列四個命題：①若，則或②若，則③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.11.在中內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．原13題略12.函數(shù)在上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，.故答案為：213已知，，則______．【答案】64【解析】【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.14.曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．15.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求.【小問1詳解】因為,故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.【小問2詳解】由等比數(shù)列求和公式得.16.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求點到的距離.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作，連接，易證三垂直，結(jié)合等體積法即可求解.【小問1詳解】因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，由等體積法可得，，，，設(shè)點到的距離為，則，解得，即點到的距離為.17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，證明：當(dāng)時，恒成立．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，即可.【小問1詳解】定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】，且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證18.設(shè)橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得，故可證軸.【小問1詳解】設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程.【小問2詳解】直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．19.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)可得的直角方程.（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，法1：結(jié)合參數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方程，從而可求參數(shù)的值；法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)