數(shù)學(xué)（廣東卷02）（參考答案）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（廣東卷02）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。12345678CABDCBBA二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9101112ABDABCACAD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.（答案不唯一）14．15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。17.【詳解】（1）選條件①：由，及正弦定理，. 1分又為內(nèi)角，所以，從而，即， 3分則，或（舍去），從而. 4分選條件②：由，及正弦定理，. 1分又為內(nèi)角，所以，代入上式即得，而，所以，從而. 3分則，或（舍去），因此，. 4分（2）由為邊上一點(diǎn)，且，從而，即.平方，得，即， 6分由基本不等式，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)有最大值，從而面積為也有最大值. 8分當(dāng)時(shí)，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以. 10分

18.【詳解】（1）數(shù)列成等比數(shù)列. 1分根據(jù)得； 3分，，，即數(shù)列成等比數(shù)列. 5分（2）由（1）得，，， 6分故由，得. 8分顯然，，單調(diào)遞增，且，故，，.，，, 10分當(dāng)時(shí)，,，綜上，知. 12分19.【詳解】（1）如圖所示：取中點(diǎn)，連接，則由題意有， 1分因?yàn)橛深}意，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，所以，所以?2分因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以?4分因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，從而?5分又因?yàn)?，面，且，所以平? 6分（2）由題意不妨設(shè)點(diǎn)到面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以解得， 7分如圖所示：設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫠?，所以為的中位線，即分別為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，所以?8分所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，所以，由（1）可知平面，故可取平面的一個(gè)法向量為， 9分不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，即可取， 10分不妨設(shè)平面與平面的夾角為，則， 11分即平面與平面的夾角的余弦值為. 12分20.【詳解】（1）記事件“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，記事件“第一項(xiàng)測(cè)試合格”， 1分由題意知，，， 3分又事件互斥，則，即， 5分所以在居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”的條件下，他第一個(gè)項(xiàng)目選擇了的概率為：，即已知居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”，他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率是. 6分（2）由居民乙獲一等獎(jiǎng)的概率為，可知.則. 8分令， 10分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).所以.所以的最小值為. 12分21.【詳解】（1）時(shí)，，要證，即證，即， 1分設(shè)恒成立，所以在單調(diào)遞減， 3分所以，即在恒成立，命題得證； 4分（2）當(dāng)時(shí)，，所以， 5分因?yàn)?，在的一個(gè)周期范圍內(nèi)， 6分時(shí)，；時(shí)，； 7分所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 8分（3）要證：，即證：，即證：， 9分因?yàn)?，所以，由?）可知，在恒成立，所以， 10分令，，令，解得， 11分所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，原命題得證. 12分22.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)镸A，MB的斜率之積為，所以， 2分因?yàn)镸是C上的點(diǎn)，所以，所以，故， 4分又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，故橢圓C的方程為：. 5分（2）設(shè)的斜率為，AP，BQ的斜率為，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，所以，同理， 7分易知，由，所以， 8分設(shè)的方程為：，的方程為：，聯(lián)立，則，解得：，聯(lián)立，可得：，因?yàn)橹?/p>