全國(guó)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題專題03平面向量含解析

專題03平面對(duì)量

專題03平面向量

【考點(diǎn)1】平面對(duì)量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

卻(1)交換律：

a+b=6+a：

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

(2)結(jié)合律:

平行四邊形法則(a+b)+c=a+(6+c)

求a與b的相反向量一6的和

減法八a-b=a-\-(~b)

a

的運(yùn)算叫作&與b的差

三角形法則

(1)1Aa/=|川/a/：(1)結(jié)合律：1(〃a)=

(2)當(dāng)力＞0時(shí),4a與a,1〃a=〃(1a)：

數(shù)乘求實(shí)數(shù)/I與向量a的積的運(yùn)算

的方向相同：(2)第一安排律:

當(dāng)M0時(shí)，八8與a的(4+〃)a=la+pa；

方向相反；(3)其次安排律：

當(dāng)X=0時(shí)，48=0A(a+5)=4a+4。

【考點(diǎn)2】共線向量定理、平面對(duì)量基本定理及應(yīng)用

1.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)［使得6=4小則向量6與a共線.

(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4，使得6=4民

(3)4B,。是平面上三點(diǎn)，且力與4不重合，夕是平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線月5上，則存在實(shí)數(shù)

3使得________(如圖所示).

2.向量共線定理的應(yīng)用

(1)證明點(diǎn)共線：(2)證明兩直線平行：(3)已知向量共線求字母的值.

3.平而對(duì)量基本定理

假如叨,的是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)笆隨意向量&有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人，

42，使&=4?+九&，其中即是一組基底.

【考點(diǎn)3】平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

1.平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴若a=(擊，yi),b=(x2,yMbHO),則a±b=(汨±也，％土，2).

⑵若/(*”yi)?8(心，必)，則花=(*2—M,%一%).

(3)若a=(X,y),1￡R,則Xa=(1Ay).

2.向量平行的坐標(biāo)表示

(1)假如a=(小，y)),b=(留，%),則a〃b的充要條件為小%—*必=0.

⑵力(小，力)，S(x>,㈤，C(x3?%)三點(diǎn)共線的充要條件為(及一小)(必一切)一(照一M)(%—y)=0.

><注意

a4力的充要條件不能表示成上=旦，因?yàn)榧?，次有可能等?.推斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的

Xzy-z

向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.

【考點(diǎn)4】平面對(duì)量的垂直與夾角

2

1.平面對(duì)量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和兒記而=a,08=b,則/月如=〃(0°W，W180°)叫作向量

a與6的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為〃，則數(shù)量|aIblcos，叫作&與方的數(shù)

量積，記作a?b,即a?b=|a||b|cos。.規(guī)定：0?a=0.

(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于a的模al與力在a的方向上的投影l(fā)Alcos。的乘積.

2.平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a5都是非零向量，e是與6方向相同的單位向量，〃是a與3的夾角，則

(De,a=a?e=/a/cos0.

(2)a_L5=a,b=0.

(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=/aUb/',當(dāng)a與6反向時(shí)，a?b=~/a//b1.

特殊地，a?a=殊地或/a/="a?a

a?b

(1)COS°=質(zhì)沏

(5)la?b/^/a//b/.

3.平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,y.),b=(X?,%),a,6的夾角為"，則

(Da?b=x\X2-\-y\y->.

(2)1a|=)』+曲若力(M,yi),8(x2,度)，則|麗='(XLX?)'+(以一度)

,小八M照+乃必

(3)COS0=—==----7===.

y冊(cè)+K?“應(yīng)+%

(4)8_L?a?6=0=小照+切%=0.

4注意

汨度一X2M=0與矛1型+歹必=0不同，前者是兩向量&=(汨，y)，b=(X2,度)共線的充要條件，后者是

它們垂直的充要條件.

【考點(diǎn)5】平面對(duì)量的模及其應(yīng)用

求平面對(duì)量的模的公式

⑴a，=a?a=/&/2或/a/=)a?a=^?：

(2/a±b/=y){a±b)i=^^±2a*b-Ytf：

3

(S若a—(*,y),則Ia/=^x+y.

考向1平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在幾何中的應(yīng)用

(1)證明線段平行問題，包括相像問題，常用向量平行(共線)的充要條件：八2小先一的乃

=0.

(2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a_Lboa?6=00矛/2+d角=0.

(3)求夾角問題，常用公式：

a?b______汨版+%」

cos百獷正于

(4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模

/a/=?a?a=W+'或

\AB\=\'AB\=7(照—*)>+(必—必)；

考向2平面對(duì)量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)問題.解此類問題，除了要嫻熟

駕馭向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)駕馭三角恒等變換的相關(guān)學(xué)問.

4

題型一:平面對(duì)量的基礎(chǔ)應(yīng)用

例L（1）、（2024?山西太原?模擬預(yù)料）已知平面對(duì)量。=（4「2位=（1、-3）,若〃+勸與〃垂直，則】=

()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【分析】求出向量的模，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)鳧可得關(guān)于/I的方程，求得答案

【詳解】因?yàn)椤?（4,一2）g=（1,一3）,故必|=542+（-2尸=2&#=加,

由題忌a+M與人乖直，??(6/+A.b)-b—(i-b+Ab=0,

即4+6+104=0，解得2=-1,

故選:C

【變式訓(xùn)練I】、（2007?重慶?高考真題（理））與向量。=與3H；罔的夾角相等，且模為1的

向量是（）

【答案】B

【分析】先設(shè)定所求向量的坐標(biāo)，依據(jù)條件求解即可.

【詳解】設(shè)所求向量為，〃=（"）,依題意則有二+產(chǎn)=1,

ma_nib-k+-t-k—t

??即考"=/"'Jf，

同他

RF~T

解得JM

聯(lián)立方程

t=—

55

故選:B.

5

題型二:平面對(duì)量的綜合應(yīng)用

例2.（1）、（2007?福建?高考真題（理））己知|0人|=1,|。8|=6,。408=0,點(diǎn)。在/403內(nèi)，且

NAOC=30°.設(shè)OC=〃QA+〃O3（/"、"wR）,則呵等于（）

n

I/7

A.7B.3C.也D.73

33

【答案】B

【分析】由題意可得OA_LO3,建立坐標(biāo)系，由已知條件可得。。=（孫百〃），進(jìn)而可得tan30。-6〃■融

m3

即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)閨OA|=1,|O3|=JJ,OAOB=0,

所以O(shè)A_LOB,

又因?yàn)辄c(diǎn)。在/AOB內(nèi)，且N4OC=30°,

建立如圖所示的坐標(biāo)系：

又因?yàn)镺C=mOA+〃。8（，〃、〃wR）,

所以"

所以tan3（F=叵=3，

m3

所以巴=3.

n

故選:B.

（2）、（2024?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)料）已知平面對(duì)量“，人滿意;=（〃），,+@=1,則M的取值范

困為

【答案】Ta+】］

6

【分析】利用向量的模的計(jì)算公式，化簡(jiǎn)即可得到向量b的終點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】設(shè)，貝1」4+方=(1+樂1+)，)，,+。|=1,即為(l+X『+(l+?=1,則在平面坐標(biāo)系中向量力

的終點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距離為貶，則及-1W忖￡及+1.

故答案為：[>/2-1,>/2+1]

【變式訓(xùn)練2-1】、(2024?浙江?模擬預(yù)料)已知平面對(duì)量6c滿意：若對(duì)滿意條件的

隨意向量方，|。-力以c-a|恒成立，則coMc+a,a)的最小值是.

【答案】也

2

【分析】建立直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，依據(jù)題意計(jì)算即可.

【詳解】由題意設(shè)a=(1,0)為=(-l,/〃),c'=(x,y),c-Z?=(x+1,y-zn),c-?=(x-1,y),

由IC-。罔C-a|i+1)-+(,〃__y)~>Q(jc-1)-+,

化簡(jiǎn)得用2—2〃少+4*20恒成立，所以AW。,)，？&4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/..\x+1、x+1I、&

cos(c+a,a)=，i>，/=?>——

7(.r+l)2+y2J(x+1F+4Xi4x2,

V(x+1尸

當(dāng)且僅當(dāng).V2=4.r且x=1時(shí)取到等號(hào)：

故答案為：迎.

2

【變式訓(xùn)練2-2】、(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)料(理))已知/中，A=,AC=2,AB=5,點(diǎn)P為邊

/仍上的動(dòng)點(diǎn)，則。氏PC的最小值為?)

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】設(shè)所=2AB(OV441),

PBPC=PB(PB+BC)=AAB(AAB+AC-AB)

7

=/l(2-l)AS+/lABAC=25/l(A-l)+/l-5-2-

=25儲(chǔ)一2(M,

所以當(dāng)4==］時(shí)，尸3PC取得最小值為25x(步20x|=4

故選：A

題型三:平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用

例3.(IX(2024?江蘇常州-模擬預(yù)料)我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《冏髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”紿出

了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)

大正方形，如圖所示.在''趙爽弦圖"中，若BE=2EF，BF《BC+柒BA,則實(shí)數(shù)4=()

S

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】依據(jù)題給條件利用(BE『+(BF『=(8”列出關(guān)于4的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)4的值

【詳解】由8"=/1￡尸，可得BE=3BF,又瞿4c+2仍

1+22525

“2(1612A16A“1222

則BE=------——BC+——BnA=—-------BC4-----BA

I+/2525)25(1+/1)25(1+2)

又網(wǎng)=IM，|叫+網(wǎng)2=?,則(咐'+(叫=(哂

即f8C+3八］+f—BC+—=

(25(71+4)25(71+2)J(2525)

8

人」625（1+口八）625（1+2產(chǎn)，6251）6251）

256A2144A2256144,

即國(guó)西+西西+數(shù)+而=兀整理得7萬-⑼-9=。

解之得，2=3或2=—1（舍）

故選:B

（2）、（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）在5BC中，已知AB=2,AC=3,A=60°,AM=MBAN=2NC，

點(diǎn)。在邊8C上，則。MON的最大值為（）

A.3B.2C.-D.一

24

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，又可將。ON轉(zhuǎn)化為即可求出。MON的

最大值

【詳解】以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，力9所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

□

則用2,0）,唱，竽J，M（l,0）,"（1詞.

連接MN,設(shè)線段MN的中點(diǎn)為E,連接OE,

貝IJE1,-yj,DM.DN=（DE+EM）.（DE+EN）=（DE+EM）qDE-EM）

=.連接EC,EB,因?yàn)辄c(diǎn)。在線段BC上，

所以|￡>￡|a=max{|Eq,|EB|},

9

阿=(2-17+(0-用

44

所以目=—.所以。ATON的最大值為I".

Iimnx22

故選:C

【變式訓(xùn)練3-1】、（2024?北京?高考真題）在A8C中，AC=3.8C=4.NC=90。.〃為5BC所在平面

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,則的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.1-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（8s9,sin，），表示出知,PB，依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、協(xié)助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依□題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0.0）,A（3,0）,3（°，4），

因?yàn)椤–=l,所以〃在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

設(shè)網(wǎng)cos仇sine）,8G[0,2句，

所以/>A=（3-cos0,-sin。），/^=（-cos^,4-sin0）,

10

所以RVP5=(—cose)x(3—cose)+(4—sine)x(—sin。)

=cos;0-3cos〃-4sin0+sin’0

二1-3cos。一4sin〃

./、34

=1-5sin(e+°),其中sinp=二，cos^=—,

55

因?yàn)橐籰￡sin(J+0)Wl,所以-4e—5sin(e+/)W6,即P8e[T,6]：

故選：D

【變式訓(xùn)練3-2】、（2024?安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)料（理））已知向量M滿意|“-3"=|“+36，|a+R=4,

若向量c=/a+W+〃=/?）,且1工=很.人則|c|的最大值為（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先推斷出._1的設(shè)OA=a，08=〃，口目=〃，得到,q=4.設(shè)oc=c，推斷出4B,

M]OB\

C三點(diǎn)共線，由等面積法得|OC|=—"利用基本不等式求出最大境

AB

【詳解】由卜-3*,+幼|得。.〃=0，所以“！》.如圖:

S

設(shè)OA=a，05=〃，便卜加，畫=〃，由GJ■分可知,OA_LO8,所以.耳=卜一4=口+@=4,即—+,產(chǎn)=⑹

所以2〃吸，16,則〃四,8,當(dāng)且僅當(dāng)〃?=〃時(shí)取得等號(hào).

設(shè)OC=c,由c=2。+〃〃（見+〃=1）,可知力，B,C三點(diǎn)共線'由“.。=力.（:可知（。一）＞。=0，所以AB,

由等面積法可得：i|o4n=iM1ocL得|"|二斗言=詈”2,所以ici的最大值為2.

故選:B.

題型四:平面對(duì)量在其他學(xué)問中的應(yīng)用

II

例4.（1）、（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)料）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有顯明特色的花紋.八

角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)

紋樣.八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺.八角星紋持續(xù)的

時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的程澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角

星紋星紋.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是

正方形且邊長(zhǎng)為2,其中動(dòng)點(diǎn)夕在圓。上，定點(diǎn)從8所在位置如圖所示，則髭成最大值為（）

IZJ

A.9B.10C.TO&D.］（）白

【答案】C

，/s

【分析】由題意可得|。4|一W,|O3卜\AB\-2j5,cos/4O8=—望，設(shè)的夾角為儀,OBQP

的夾角為夕，則右3=26cos尸lOcosa,分P在/AOB所對(duì)的優(yōu)弧上和P在/AOB所對(duì)的劣弧上兩種

狀況計(jì)算即可得答案.

【詳解】解：如圖所示：連接OAO8,

12

□

因?yàn)橹虚g陰影部分是正方形且邊長(zhǎng)為2,

所以可得|。4|=而，I。例=7L|AB|=2石，

所以IOPI-IOAI-癡，

在“03中由余弦定理可得cos/AOB=-至，

5

所以sinNAOB=^~?

5

設(shè)0A,0P的夾角為0，08,0P的夾角為夕，

UUULIUU/-

AB>OP=(OB-OA)>OP=OB?OP-OAVP=215cosp-1Ocosa,

當(dāng)〃住N'AOB所對(duì)的優(yōu)弧上時(shí)，a十尸=2M-zlAOB,

所以cos(a+￡)=cosN4O8=-^^,sin(a+/?)=-sinZ.AOB=?

55

cosa=cos[(a+/7)—/7]=-c°sft^-sin/?,

所以屁方？=2石8s夕T0cosa=6、號(hào)cosQ+26sin尸=10及sin(/7+°),(其中tano=3)

所以滋工最大值為10人；

當(dāng)〃在』AO8所對(duì)的劣弧上時(shí)，a+^=^AOB,

所以cos(a+/?)=cosNAO8=-^^,sin(a+/?)=sinZ.AOB=,

cosa=cos[(a+,)_4]=_cos,+[sin/7,

13

所以學(xué)務(wù)>3?=2石85夕-1088。=6石。0$尸-2>/5$足/7=10&百11（尸+0）,（其中tan0=-3）

所以器疑最大值為10人：

綜上所述：器般最大值為10&.

故選：C.

（2）、（2024?浙江嘉興-模擬預(yù)料）平面對(duì)量”,'c,4滿意

\d\=b\=2db=lfc=Ad+（2-A）baeR\\d+4b\=y/2,則|d+d|的最小值為,

【答案】G-&

【分析】設(shè)〃=ou，=oRc=oc,d=-o。，利用平面對(duì)量的幾何意義及平面對(duì)量等和線定理進(jìn)行求解.

【詳解】解析：幾何意義+等和線

由題記a=OA,b=OB.c=OC,d=-OD,

則由|a|=S|=2ab=\,

得|OA|=|OB|=1,且N4O8=。.

作圖，如右圖所示：

3

AOB.ABN、.BMN為正三角形，OM=ME，

由c=/la+（2—2）A,得C在直線MN上，

又?.?4+4。=一0。+0月=。石，，|?！陓=5+4〃|=尤，即點(diǎn)〃在以點(diǎn)f為圓心，及為半徑的圓上，

：.\c+d\=\OC-OD\=\DC]>>/3-N/2.

故答案為：73-72.

【變式訓(xùn)練4-1】、（2024?湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計(jì)美麗的圖案，我國(guó)國(guó)旗上五顆

14

刺眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的隨意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉

正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖,設(shè)0是正五邊形力比如的中心，則

下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（）

A.AD+DB=OB-OAB.AO=O

C.AC+AD=3AOD.AOADBOBD

【答案】C

【分析】由半血對(duì)量的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一推斷

【詳解】對(duì)于A,AD+D8=AB.OB-OA=AB,故A正確，

對(duì)于B：因?yàn)锳8=AE,OB=OE,所以AOJLHE，故B正確，

對(duì)于C：由題意。是.ACD的外心,不是必CD的重心

設(shè)CD中點(diǎn)為M,則|AW|=|AO|+|OM|=|AO\+\AO\cos36°=1AO\-2cos2180,

AC-Ab=4cos218°Ad.故C錯(cuò)誤,

對(duì)于D：AOAD=^\ADBDf=BO-BD,故【）正確.

故選：C

【變式訓(xùn)練4-2】、（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）已知”，B滿意忖=1,應(yīng)，則出"+小|"7-〃|的最大

值為______.

【答案】4

【分析】忖=1,W=及，得到同=1,2a卜&,從而畫圖，點(diǎn)48在以原點(diǎn)為圓心，以"為半徑的

圓上，作出平行四邊形，利用差向量與和向量分別為平行四邊形的兩條對(duì)角線向量，結(jié)合三角函數(shù)有關(guān)公

式和性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閣=i,忖=也,如圖,

15

□

圓。的半徑為正，點(diǎn)力，〃在圓上，

以勿，如為鄰邊作平行四邊形如6,

設(shè)OA=&a，OB=b，則|孫|=|及〃一4,|oc|=|0a+4.

設(shè)NAOC=0（O*W）,

貝lj|0a+4+|衣—卜|0中網(wǎng)=2&cose+2&sine=4sin[e+2

當(dāng)0=（時(shí)，4sin（e+?）有最大值，最大值為4,

此時(shí)，2〃+4+|及。叫的最大值為4.

故答案為：4.

16

A組基礎(chǔ)鞏固

.一2-

1.(2024?河南?模擬預(yù)料(理))如圖，在一ABC中，BM=2BC，NC=,直線4V交BV于點(diǎn)、BQ=-BN,

貝IJ()

國(guó)

A.2+〃=1B.=1C.(2-1)(2//-3)=1D.(2x-3)(//-l)=1

【答案】C

【分析】把B。用表示，然后由三點(diǎn)AQ,"共線可得.

【詳解】由題意得，?C=|?7V=|(^+4/V)=|[^+(l-//MC]

3333

因?yàn)?。，機(jī)月三點(diǎn)共線，故?=1,化簡(jiǎn)整理得G-l)(2"-3)=l.

33A

故選：C.

2.(2024?四川省遂寧市教化局模擬預(yù)料(文))在中，AC=3,BC=5,。為線段8c的中點(diǎn)，

|AD|=||fiC|,E為線段6c垂直平分線/上任一異于3的點(diǎn)，則2AE,C8=()

A.7B.4C.7D.-6

J

【答案】c

【分析】先依據(jù)題意得力8C為直角三角形，A=],進(jìn)而得|ABf=16,再依據(jù)AE=AO+OE，CB=AB-AC^

2

DELCB^2AECB=2ADCB=\A^-|AC|=7.

【詳解】解：因?yàn)樵贘3C中，。為線段3。的中點(diǎn)，

所以4O=；(A8+AC),即2AQ=A8+AC，

因?yàn)锳C=3,BC=5,|AD|=||BC|,

17

所以4k=卜31+|AC|2+2|AC||A^|COSA,即16=卜81+6kBlcosA,

因?yàn)?c=AC-/18，

所以1Bep=|4C|2+|AB|2-2|AC||4fi|cosA,即16=卜81—6|AB|COSA,

所以，16=卜8『+6+目8$A=,81—6卜@cosA,即12%@cosA=0,

所以cosA=0,

因?yàn)锳<0,不)，所以A=],即_A6C為直角三角形，

所以kM=|3dTAc|2=i6

因?yàn)镋為線段BC垂直平分線/上任一異于。的點(diǎn)，

所以AE=4O+O石，CB=AB-AC^DEICB^

所以2AEC8=(2AO+2詞@==

=(AB+AC)(A/?-AC)=|4B|2-|AC|2=16-9=7

故選：C

3.(2024?四川雅安?模擬預(yù)料(理))如圖，在等腰直角5BC中，斜邊AC=4,M,N為線段用上的動(dòng)

點(diǎn)，且MN=l,則AM.的最小值為()

1315

A.—B.—C.4D.6

44

【答案】B

【分析】設(shè)8"=/,然后可得=3c)=/一3/+6,然后依據(jù)二次函數(shù)的

學(xué)問可得答案.

【詳解】因?yàn)樵诘妊苯恰癇C中，斜邊8。=4,所以A8=AC=20，

因?yàn)锽C=4、MN=\,所以MN=」6C,

4

設(shè)則0KY4,

18

=842?2夜4?（一曰+r+^-2>/2-41-^y^+^-r4-l=r2-3/+6

所以當(dāng)，=T時(shí)，前?麗取得最小值?，

故選：B

4.（2024?四川省綿陽南山中學(xué)模擬預(yù)料（理））如圖，在JBC中，已知A4=2,AC=S,ZBAC=dTt

BC、〃邊上的兩條中線/原6V相交于點(diǎn)P,則”在旅上的投影為（）

叵1

A4右n2/r85n

37213

【答案】A

【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及向量投影的計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.

【詳解】AC^=|AC||Afi|cos60°=8x2xl=8,

由于4M,BN是三角形的中線，所以P是三角形A8C的重心，

22

所以

則AP=gAM=gx；（A8+AC）=；（./?+AC）,

BP=2BN=gx；x（BA+8C）=g（—AB+AC-A8）W（Ad-248）,

|叫=g（AC—2A8）L—2何==-\IAC-4ACAB+4AB'

3

=-V64-4x8+16=,

33

APBP=^AB+AC^^AC-2AB^=^（-"?八。+4。2-2八8）

=*8+64-8）=號(hào).

APBP1634G

所以在上的投影為■而廠-〉<—產(chǎn)=-----

AP8P34>/33-

19

故選：A

5.(2024?全國(guó)?大化瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)料(文))已知點(diǎn)力、8在單位圓上，405=3幾，若

4

OC=2OA+xO8(xeR),則|OCT的最小值是()

A.2B.3C.5-242D.4

【答案】A

【分析】由|OC『=(2OA+xO8/結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算可化為二次函數(shù)，即可求最小值.

【詳解】|OCf=(2OA+xOB)2=4。/+^OB+4x\OA\\OB\cosy=x'-242x+4=(x—&/+2N2,因

此|0C/N2.

故選：A.

6.(2024?全國(guó)?清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)料圮知平面對(duì)量c滿意皿，且口=M=2,|c+a+N=l,

貝“c+M+2/+a|的最小值為()

A.叵B.厲C.叵D.歷

22

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得點(diǎn)。的軌跡，進(jìn)而依據(jù)相像以及三角形邊的關(guān)系即可結(jié)

合圖形求解.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)〃=(2,0)/=(0,2),0。=。=(工)，)，河(—2,0)4(0,—2)

則K+a+q=ln(x+2)'+(y+2『=1.故點(diǎn)C在以(-2,-2)為圓心，半徑為1的圓上，

31

如圖：取點(diǎn)4-5，-2),則型=2=_lDCJ,且N8E=ZWC,

2DC~I~2'DN~2

CN

因此,DCN，所以——=2,故CN=2EC,

EC

卜+4+2k+a卜J.+()'+2y+2必+2丫+)，」=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CW)由于

。后4。加之￡例=\[2+2'=姮，當(dāng)上，加.(7三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在線段加￡上時(shí)，等號(hào)取到，

Y22

因此k+@+2卜+°卜2(8+。例)?而，

故選：D

20

H

7.（2024?江西?模擬預(yù)料（文））如圖，在“8c中，=pAD=2DB>〃為CD上一點(diǎn)，口滿意

IIH.IU

AP=mAC+-AB,若|AC|=3，|4用=4,則ARCO的值為（)

3

【答案】C

【分析】依據(jù)CP,。三點(diǎn)共線求出〃?=：,然后把人aAC當(dāng)基底表示出4〃和。及，從而求APCO的值.

【詳解】因?yàn)槿恕?2。3,所以A4=；A。，

1~一3-3I

所以AP=〃*C+—A8=〃?AC+2A。，因?yàn)镃P,。三點(diǎn)共線，所以利+2=1,即〃?=一，

2444

1^1?■7..

所以AP=-4C+-A8,又CO=AD-4C=-AB-4C,

423

所以APCO=(；AC+：AB)(gA8-AC)=gA8'—：Ac'—gABAC

=-|Afi|'--|xc|2--|AB|-|AC|cos-=-xl6--x9--x4x3x-!-=—.

31141?31??I3343212

故選：C.

8.（2024?四川?模擬預(yù)料（理））八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖

2中的正八邊形八38EFG"，其中|。川=1,給出下列結(jié)論:

21

目

①OA與0"的夾角為］：

②OD+OF=OE；

③恒一困=芻/叫：

④向量OA在向量方方上的投影向量為-43（其中e是與笳同向的單位向量）.

2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用止八邊形入BCDEFGH的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐一分析各個(gè)命題總用

求解.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榘诉呅伟薆CDEFGH為正八邊形，所以乙4。“=與=￡,

84

所以04與0〃的夾角為￡，①錯(cuò)誤；

4

對(duì)于②，OD+OF=OEoOD=FE，明顯不成立，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，ZAOC=2*5=',所以卜乂-=|C4|=啦卜乂卜啦?。┙?2|。小=2,所以,4-OC\=^\DH\,

③正確：

對(duì)于④，/40力=3'?=亨，向量0人在向量陰上的投影向量為網(wǎng)cos4OOe=lx-等…今，

X/

④正確，

故選：B.

9.（2024?河南安陽?模擬預(yù)料（理））已知圓柱。&的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，月笈為圓的直徑，P

為圓。2上的點(diǎn)，則（PA+P孫06=（）

A.4B.472C.8D.8及

【答案】C

22

【分析】利用圓柱的軸截面性質(zhì)，求得圓柱的高與底面圓半徑，依據(jù)平面對(duì)量的線性性質(zhì)，把所求數(shù)量積

轉(zhuǎn)化為直角三角形中的兩個(gè)向量數(shù)量枳，利用數(shù)量積的定義求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓柱的高為力，底面半徑為〃

若圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

則：h=2r=2,

因?yàn)?仍為圓。I的直徑，戶為圓。2上的點(diǎn)，所以在小8中，。1為/出中點(diǎn)

/.（PA+PB）O0=2POt-02a=2'q\。回-cos<POI,O2OI>

又在PO02中，oto2=h=2,po2=r=i,且則尸a=6

如圖：為圓柱的一個(gè)軸截面

□

O<O225/5

所以cos<PO,0,0]>=cosZ.POO=Z

[X2~PO^~45~~

/.(PA+Pi?)0,0,=21PO,||O,O,|cos<PO..O2Ot>=2x>/5x2x^-=8

敗選：C.

10.（2024?上海松江?二模）已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M、N分別在邊A。、4C匕且4W=I,

BN=2,若點(diǎn)P在正方形A5CO的邊匕則的取值范圍是（）

A.L-6,6]B.1-6,2]C.f-2,6]D.[-2,2]

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)第及二次函數(shù)求值域即可得解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

23

□

則M(O,1),N(4,2),

當(dāng)P在A。上時(shí)，設(shè)P(O,y)(OWy"),PA/=(o,l-y),/W=(4,2-y)?

TT31

PM-PN=y2-3y+2=(y-^)2,

3ffI-

當(dāng)，=3時(shí)，(PMPNLn=-“當(dāng)y=4時(shí)，(PMPN)Z=6，

即」WPM.PNW6,

4

當(dāng)戶在BC上時(shí)，設(shè)P(4,yX0My：4),則p卷=(-41一y),所=(0,2-y)，

T./111

22

：.PMPN=y-3y+2=(y一一)一一,知一一<PMPN<6t

244

當(dāng)戶在A8上時(shí)，設(shè)P(x,0)(0<xW4)，PM=(-^,1),/W=(4-x,2)?

PM-PN=f-4x+2=*-2)2-2,

當(dāng)X=2時(shí)，(尸M.p&)mm=_2，當(dāng)芯=4時(shí)，(前.而)g=2,

即-2VPM/N42，

當(dāng)戶在C。上時(shí)，設(shè)P(M4)(0<X&4)，痛=(Y,-3),無=(4-乂-2)，

PM-PN=x2-4x+6=(x-2)2+2，

當(dāng)x=2時(shí)，(PM-PN)mn=2?當(dāng)*=4時(shí).，(向0.尸")恒、=6，

即2WPMPNK6.

綜上可得，-2<PMPN