重難點(diǎn)03 二次函數(shù)的最值問題（2種命題預(yù)測+19種題型總+專題訓(xùn)練+10種解題方法）（解析版）-2025年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破

第三章函數(shù)重難點(diǎn)03二次函數(shù)的最值問題（2種命題預(yù)測+19種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種解題方法）【題型匯總】類型一代數(shù)最值題型01定軸定區(qū)間最值問題解題方法：對于二次函數(shù)在m≤x≤n上的最值問題(其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在x=-b2）若m≤-b2a≤n，n+b2a＞-3)若m≤-b2a≤n，n+b2a＜-4)若m≤x≤n＜-b2a時(shí)，如圖④，當(dāng)，當(dāng)5)若-b2a＜m≤x≤n時(shí)，如圖⑤，當(dāng)，當(dāng)1．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線y=x2-2x-1，則當(dāng)0≤x≤3A．-2 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】把拋物線y=x2-2x-1化為頂點(diǎn)式，得到對稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為-2，再分別求出x=0【詳解】解：∵y=x∴對稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為-2，當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-2x-1=-1，當(dāng)x=3∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為2，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知二次函數(shù)y=ax2-6ax+6a，若當(dāng)2≤x≤5時(shí)，y的最大值是3，則a【答案】3或-1/-1或3【分析】本題考查二次函數(shù)的最值問題，分a>0,a<0，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵y=ax∴對稱軸為直線x=--6a當(dāng)a>0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵2≤x≤5，∴當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)值最大為：25a-30a+6a=3，∴a=3，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵2≤x≤5，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最大值為：9a-18a+6a=3，∴a=-1；故答案為：3或-1．3．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax-22+aa<0，當(dāng)-4≤x≤1時(shí)，y的最小值為-74，則【答案】-2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)解析式得到二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線x=2，則離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，即可得到當(dāng)x=-4時(shí)，y=-74，據(jù)此代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為y=ax-2∴二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線x=2，∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵當(dāng)-4≤x≤1時(shí)，y的最小值為-74，∴當(dāng)x=-4時(shí)，y=-74，∴a-4-2解得a=-2，故答案為：-2．4．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)-2<x<2時(shí)，求函數(shù)值y的范圍；【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5【分析】（1）把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；（2）先得出拋物線的開口方向，對稱軸，再結(jié)合x的范圍得到y(tǒng)的最值．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三點(diǎn)，∴0=a-b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：∴二次函數(shù)的解析式是y=x2-2x-3；（2）拋物線的對稱軸為直線x=--22×11＞0，則開口向上，又∵-2<x<2，∴當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值，即ymin=-4；當(dāng)x=-2時(shí)，y取最大值，即ymax=5，∴y的范圍是-4≤y＜5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．題型02利用對稱軸與圖像解決圖系關(guān)系問題解題方法：開口方向不確定時(shí)，先討論開口方向;1）開口向上時(shí)，離對稱軸越近，函數(shù)值越小，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大;2）開口向下時(shí)，離對稱軸越近，函數(shù)值越大，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函數(shù)y=a（1）若a=-1,則函數(shù)y的最大值為．（2）若當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，y的最大值為5，則a的值為．【答案】41或-【分析】本題考查二次函數(shù)的最值問題．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由題意可知此時(shí)二次函數(shù)為y=-x（2）將該拋物線一般式改為頂點(diǎn)式，即得出該拋物線對稱軸為直線x=1，再分類討論當(dāng)a>0時(shí)和當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，該二次函數(shù)為y=-x∵a=-1<0，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，最大值為4．故答案為：4；（2）∵y=ax∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)1<x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x軸上x=4到x=1的距離比x=-1到x=1的距離大，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，∴5=a4-1解得：a=1；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，最大值為-4a，∴5=-4a，解得：a=-5綜上可知a的值為1或-5故答案為：1或-56．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=a(x-2)2-a(a≠0)，當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，y的最小值為-4，則aA．12或4 B．4或-12 C．-43或4【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準(zhǔn)確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)a>0時(shí)，-a=-4，解得a=4；當(dāng)a<0時(shí)，在-1≤x≤4，9a-a=-4，解得a=-1【詳解】解：y=a(x-2)2-a頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-a)，當(dāng)a>0時(shí)，在-1≤x≤4，函數(shù)有最小值-a，∵y的最小值為-4，∴-a=-4，∴a=4；當(dāng)a<0時(shí)，在-1≤x≤4，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，∴9a-a=-4，解得a=-1綜上所述：a的值為4或-1故選：B．7．（2022·廣西賀州·中考真題）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出y=15時(shí)，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），∵1>0，開口向上，∴在對稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)的增減性，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．題型03定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有一端不確定）解題方法：對于二次函數(shù)中含有參數(shù)，對稱軸不確定，要求在定區(qū)間m≤x≤n條件下函數(shù)的最值，那么就需要分別討論對稱軸x=-b2a，相對于1）軸在區(qū)間左側(cè)：如圖①，當(dāng)-b2a＜m，對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而增大，所以，當(dāng)x=m時(shí)，y取值最小值；當(dāng)x=n2）軸在區(qū)間中間：如圖②③，當(dāng)m≤-b2a≤n，對稱軸在區(qū)間中間，那么在區(qū)間內(nèi)，y值先隨著x的增大而減小，又隨著x的增大而增大，所以，當(dāng)x=-b2a時(shí)，y取得最小值，m、n兩個(gè)數(shù)誰離對稱軸遠(yuǎn)，就在誰處取得3）軸在區(qū)間右側(cè)：如圖④，當(dāng)-b2a＞m，對稱軸在區(qū)間的右側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而減小，所以，當(dāng)x=m時(shí)，y取值最大值；當(dāng)x=n時(shí)，y取得最小8．（2022·四川資陽·中考真題）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=-1，且過點(diǎn)(0,1)．有以下四個(gè)結(jié)論：①abc>0，②a-b+c>1，③3a+c<0，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，當(dāng)m≤x≤1時(shí)，y有最大值為2、最小值為-2，此時(shí)m的取值范圍是-3≤m≤-1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸-b2a=-1，c=1②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④：運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=-1∴-b2a=-1∴ab＞0，∴abc＞從圖中可以看出，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值大于1，因此將x=-1代入得，-12?a+-1?b+c＞∵-b2a=-1，∴b=2a，從圖中可以看出，當(dāng)x=1∴a+b+c＜0，∴3a+c＜∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax+12+2，將(0,1)解得a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-x+1∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2；∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，得到-3≤m≤-1，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個(gè)正確結(jié)論，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax-4(a>0)，當(dāng)m<x≤0時(shí)，函數(shù)y值的最大值為-4，則m的取值范圍【答案】-4≤m<0【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，先求出對稱軸，再求出0,-4對稱點(diǎn)-4,-4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸x=-4a令y=0，y=-4，∴點(diǎn)0,-4關(guān)于直線x=-2的對稱點(diǎn)為-4,-4，如圖：∵a>0，∴開口向上，∵當(dāng)m<x≤0時(shí)，函數(shù)y值的最大值為-4，∴-4≤m<0，故答案為：-4≤m<0．10．（2022·吉林長春·中考真題）已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3，當(dāng)a?x?12時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1【答案】-1-3/【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若a≥-1；若a<-1，即可求解．【詳解】解：y=-x∴當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而減小，若a≥-1，當(dāng)a?x?12時(shí)，y隨x此時(shí)當(dāng)x=12時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為若a<-1，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1，∴-a解得：a=-1-3或-1+綜上所述，a的值為-1-3故答案為：-1-【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江紹興·中考真題）已知函數(shù)y=-x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，(1)求b，c的值．(2)當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．(3)當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3時(shí)，y有最大值為6(3)m＝－2或-3-【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝-x（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），再由-4≤x≤0，可得當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≤-3時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況：當(dāng)-3＜m≤0時(shí)，當(dāng)m≤-3時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝-x2c=-3-36-6b+c=-3，解得：b=-6（2）解：由（1）得：該函數(shù)解析式為y＝-x2-6x-3∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），∵-1＜0∴拋物線開口向下，

又∵-4≤x≤0，∴當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值為6．（3）解：由（2）得：拋物線的對稱軸為直線x=-3，∴當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x≤-3時(shí)，y隨x的增大而增大，①當(dāng)-3＜m≤0時(shí)，當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值為-3，當(dāng)x＝m時(shí)，y有最大值為-m∴-m2-6m-3+（-3∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②當(dāng)m≤-3時(shí)，當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為-4，∴-(m+3)2∴m＝-3-10或m＝-3+綜上所述，m＝-2或-3-10【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．題型04定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有兩端不確定）12．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=-x2-2x+2，當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值是3，則m的取值范圍是A．m≥-1 B．m≤2 C．-3≤m≤-1 D．0≤m≤2【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得當(dāng)x=-1時(shí)，y取最大值是3，又當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)【詳解】解：由題意，∵y=-x∴當(dāng)x=-1時(shí)，y取最大值是3．又當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故選：C．13．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二次函數(shù)y=-x（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，m-n=3求t的值．【答案】（1）3,4；（2）函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）t=3-3或3【分析】（1）把二次函數(shù)y=-x（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最大值和最小值．（3）分t＜0；0≤t<3；t≥3三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和m-n=3列出關(guān)于t的方程，解之即可．【詳解】（1）∵y=-x2+6x-5=-x-32（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，∴當(dāng)x=3時(shí)，y最大值=4∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=1時(shí)，y最小值∵當(dāng)3<x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x=4時(shí)，y最小值∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0．（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對t進(jìn)行分類討論．①當(dāng)t+3<3時(shí)，即，t<0，y隨著x的增大而增大．當(dāng)x=t時(shí)，n=-t∴m-n=-t∴-6t+9=3，解得t=1（不合題意，舍去）．②當(dāng)0≤t<3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴m=4．i）當(dāng)0≤t≤32時(shí)，在x=t時(shí)，∴m-n=4--∴t2-6t+9=3，解得t1ii）當(dāng)32<t<3時(shí)在x=t+3時(shí)，∴m-n=4--∴t2=3，解得，t1③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x=t時(shí)，m=-t當(dāng)x=t+3時(shí)，n=-t+3∴m-n=-∴6t-9=3，解得t=2（不合題意，舍去）．綜上所述，t=3-3或3【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的性質(zhì)以及最值問題，有難度，并學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．14．（2024·貴州六盤水·二模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,-4，且圖象經(jīng)過點(diǎn)3,0，0,-3．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式(2)將二次函數(shù)的圖象向右平移mm>0個(gè)單位，圖象經(jīng)過點(diǎn)1,-154，求(3)在由（2）平移后的圖象上，當(dāng)n-2≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)的最小值為-3，求n的值．【答案】(1)y=(2)m=(3)-12【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像平移性質(zhì)，二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax-12-4，再代入一個(gè)其圖象（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像平移性質(zhì)“左加右減，上加下減”，可得平移后二次函數(shù)解析式，再將其圖象經(jīng)過的點(diǎn)代入即可求得m的值；（3）由（2）可得平移后二次函數(shù)解析式，先求出函數(shù)取值為-3時(shí)，x的值，根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)，可知x的取值在x2=12左側(cè)或在【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,-4，設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax-1∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)3,0，0,-3，∴-3=a0-1解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為y=x-1（2）解：將二次函數(shù)的圖象向右平移mm>0個(gè)二次函數(shù)解析式為y=x-1-m∵平移后二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)1,-15∴-15解得：m1=1∴m的值為12（3）解：由（2）可知：平移后二次函數(shù)解析式為y=x-32當(dāng)函數(shù)取值為-3時(shí)，則有-3=x-解得：x1=5∵當(dāng)n-2≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)的最小值為-3，∴x的取值為x2=1①當(dāng)x的取值為x2則有n+1=1解得：n=-1②當(dāng)x的取值為x1則有n-2=5解得：n=9∴n的值為-12或15．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線y=2a-3x2+4a+2(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)記x在某個(gè)范圍時(shí)，函數(shù)y的最大值為m，最小值為n，當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，則m-n=3t，求t的值．【答案】(1)y=-(2)t的值為9-352【分析】本題考查了求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的增減性和最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，具有分類討論的思想．（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=3，得出-4a+222a-3（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，再進(jìn)行分類討論：①當(dāng)t+3<3即t<0時(shí)，y隨x的增大而增大，x=t時(shí)，y有最小值n，x=t+3時(shí)，y有最大值m，即可解答；②當(dāng)t>3時(shí)，x=t時(shí)，y有最大值m，x=t+3時(shí)，y有最小值n，即可解答；③當(dāng)0≤t≤3時(shí)，t≤3≤t+3≤6，x=3時(shí)，y有最大值為5，則n=5-3t，當(dāng)0≤t≤32時(shí)：-t2+6t-4=5-3t【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線x=3，∴-4a+2解得：a=1，經(jīng)檢驗(yàn)，a=1是分式方程的解，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x（2）解：y=-x∴對稱軸為x=3，∴當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，①當(dāng)t+3<3即t<0時(shí)，y隨x的增大而增大，x=t時(shí)，y有最小值n，x=t+3時(shí)，y有最大值m，∴-t又m-n=3t，整理得-t+3解得t=1，又t<0，∴不符合題意，舍去；②當(dāng)t>3時(shí)，x=t時(shí)，y有最大值m，x=t+3時(shí)，y有最小值n，∴-t又m-n=3t，整理得-t+3解得t=3，又t>3，∴不符合題意，舍去；③當(dāng)0≤t≤3時(shí)，t≤3≤t+3≤6，∴x=3時(shí)，y有最大值為5，∴m=5，又m-n=3t，∴n=5-3t，當(dāng)0≤t≤32時(shí)：解得t1=9+3當(dāng)32<t≤3解得：t3=0（舍去），∴t的值為9-352或綜上，t的值為9-352或題型05動(dòng)軸定區(qū)間16．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的函數(shù)y=-x（1）當(dāng)m=3時(shí)，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值m2，則m的值為【答案】3,180或2【分析】（1）運(yùn)用配方法得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由于開口向下，根據(jù)對稱軸位置分三種情況確定最小值的情況，分別代入計(jì)算即可解題．本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=-x2+6x+9=-（2）拋物線對稱軸為直線x=--2m①當(dāng)m=1時(shí)，且在-1≤x≤3時(shí)有最小值，根據(jù)二次函數(shù)對稱性，當(dāng)x=-1或x=3時(shí)，函數(shù)有最小值，不妨當(dāng)x=-1時(shí)，最小值為m2，即可得到：-1-2m+9=m2，解得：m=2②當(dāng)m>1時(shí)，且在-1≤x≤3時(shí)有最小值，則x=-1時(shí)，最小值為m2即可得到：-1-2m+9=m2，解得：m=2或–4，所以③當(dāng)m<1時(shí)，且在-1≤x≤3時(shí)有最小值，則x=3時(shí)，最小值為m2即可得到：-9+6m+9=m2，解得：m=0或6，所以綜上所述：m的值為0或2．17．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=-x2+2ax-a2+2（a為常數(shù)，且a≠0），當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為A．－6 B．4 C．-6或0 D．0或-2【答案】D【分析】根據(jù)題意可知二次函數(shù)y=-x2+2ax-a2+2=-x-a2本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確了解當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最值會(huì)發(fā)生變化，從而結(jié)合方程解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)y=-∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=a，函數(shù)的最大值為2，當(dāng)a>1時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)有最大值y=-1-ax=-3時(shí)，函數(shù)有最小值y=--3-a∵當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，∴-1-a解得：a=18(舍去當(dāng)a<-3時(shí)，x=-3時(shí)，函數(shù)有最大值y=--3-ax=1時(shí)，函數(shù)有最小值y=-1-a∵當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，∴--3-a解得：a=-178(舍去當(dāng)-3≤a≤1時(shí)，x=-3時(shí)，函數(shù)有最小值y=--3-a2+2∴2--解得：a=0或-6(舍去)，當(dāng)-3≤a≤1時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)有最小值y=-1-a2+2∴2--解得a=-2或4(舍去)，∴a=0或-2，故選：D．18．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)且b>0，c<0），當(dāng)-5≤x≤0時(shí)，-11≤y≤5，則c【答案】-10【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．由題意可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x=-b2<0，求出x=-5，x=0，x=-b2時(shí)函數(shù)值，分兩種情況：當(dāng)-b2≤-5<0時(shí)，此時(shí)，當(dāng)-5≤x≤0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)-5<-b2<0時(shí)，即b<10，此時(shí)，當(dāng)-5≤x≤-b2【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)且b>0∴函數(shù)圖象的對稱軸為：x=-b當(dāng)x=-5時(shí)，y=25-5b+c，當(dāng)x=0時(shí)，y=c，當(dāng)x=-b2時(shí)，①當(dāng)-b2≤-5<0時(shí)，此時(shí)，當(dāng)-5≤x≤0時(shí)，y∴25-5b+c=-11c=5，與c<0②當(dāng)-5<-b2<0此時(shí)，當(dāng)-5≤x≤-b2時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)-b2<x≤0∴c-b24或c-b24=-1125-5b+c=5，則c=5b-20解得：b=18或2，當(dāng)b=18時(shí)，c=5b-20=70>0，不符合題意；當(dāng)b=2時(shí)，c=5b-20=-10，符合題意；綜上，c的值為-10，故答案為：-10．題型06動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的最值問題19．（2024·云南昭通·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)若m-1≤x≤m+k(k>0)時(shí)，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p-q=3k，求k的值．【答案】(1)證明見解析(2)k=13【分析】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的最值問題，正確掌握二次函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由m+n=1得n=1-m，代入得函數(shù)解析式為y=-x（2）確定拋物線的對稱軸為直線x=m，開口向下，最大值為m2+n，再分兩種情況當(dāng)0<k<1時(shí)，當(dāng)k≥1時(shí)，求出【詳解】（1）證明：∵m+n=1，∴n=1-m，∴y=-∵Δ∴該函數(shù)圖像與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）∵二次函數(shù)y=-x2+2mx+n（m∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-把x=m代入y=-x2+2mx+n∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,m∴當(dāng)m-1≤x≤m+k(k>0)時(shí)，函數(shù)的最大值為p=若0<k<1，則x=m-1時(shí)函數(shù)有最小值，且函數(shù)最小值，q=-(m-1)∴p-q=m2若k≥1，則x=m+k時(shí)函數(shù)有最小值，且函數(shù)最小值q=-∴p-q=m2+n-m2綜上所述，k=13或20．（21-22九年級下·吉林長春·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=x2+mx+2m（m為常數(shù)，m<0），若對于任意的x滿足m≤x≤m+2，且此時(shí)x【答案】-2-22/【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由拋物線對稱軸與開口方向分類討論頂點(diǎn)為圖象最低點(diǎn)或直線x=m+2與拋物線交點(diǎn)為最低點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵y=x∴拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為-m當(dāng)m<-m2<m+2-m當(dāng)m+2≤-m2，即將x=m+2代入y=x2+mx+2m令2m解得m=-2+22（舍去）或m=-2-2故答案為：-2-22【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，能利用分類討論思想解答．題型07動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間參數(shù)取值范圍問題21．（24-25九年級上·北京豐臺(tái)·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px1,(1)當(dāng)h=1時(shí)，求拋物線的對稱軸；(2)若對于0≤x1≤2，h+4≤x2【答案】(1)直線x=1(2)當(dāng)a>0時(shí)，h的取值范圍為h≤-5或h≥7；當(dāng)a<0時(shí)，h的取值范圍為-2≤【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和拋物線的對稱軸，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）將h=1代入解析式，然后將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式求解即可得；（2）根據(jù)題意分兩種情況討論：a>0和a<0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別列出不等式（組）求解即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)h=1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=ax∴y=ax-1∴拋物線的對稱軸為直線x=1．（2）解：∵拋物線y=ax2-2ahx+ah2+1=ax-h2∴點(diǎn)Qx2,y2一定在對稱軸的右側(cè)，x=h-4時(shí)的函數(shù)值與由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)a>0時(shí)，若點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)，要使對于0≤x1≤2，h+4≤則h+5≤0，解得h≤-5；若點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，要使對于0≤x1≤2，h+4≤則h-5≥2，解得h≥7；②當(dāng)a<0時(shí)，要使對于0≤x1≤2，h+4≤則h+4≥2h-4≤0解得-2≤h≤綜上，當(dāng)a>0時(shí)，h的取值范圍為h≤-5或h≥7；當(dāng)a<0時(shí)，h的取值范圍為-2≤h≤22．（22-23九年級上·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；(2)點(diǎn)Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若對于x1，x2，都有y1【答案】(1)(n,-n)(2)①y1的最小值是-2，②n≤1或者【分析】（1）y=-x2+2nx-n2-n=-(（2）①y=-x2+2nx-n2-n=-(x-n)2-n，根據(jù)a=-1<0得拋物線開口向上，當(dāng)n-2<n<n+1，當(dāng)x1=2時(shí)，y1有最大值2，即可得n=-2，所以-4≤x1≤-1，此時(shí)，y=-(x+2)2

②y=-x2+2nx-n2-n=-(x-n)2-n的對稱軸為x=n，即可得當(dāng)x>n時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)n+1≤3-n時(shí)，y1≥y2，當(dāng)x<n時(shí)，y隨x【詳解】（1）解：y=-x2則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n,-n)；（2）解：①y=-x∵a=-1<0，∴拋物線開口向上，∵n-2<n<n+1，∴當(dāng)x1=2時(shí)，y12=-n，n=-2，∴-4≤x此時(shí)，y=-(x+2)2+2對稱軸為x=-2，在x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x1=-4時(shí)，y1有最小值：②∵y=-x2+2nx-∴當(dāng)x>n時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)n+1≤3-n時(shí)，y1當(dāng)x<n時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)n-2≥3-n時(shí)，y1即n+1≤3-n，解得，n≤1，n-2≥3-n，解得，n≥5綜上，n的取值范圍：n≤1或n≥5【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．類型二幾何最值問題題型01二次函數(shù)中的線段最值問題平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常用線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.解決這類問題的關(guān)鍵如下：①確定線段長對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行于x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②確定函數(shù)的最值，注意函數(shù)自變量的取值范圍.注意：單線段最值求解時(shí)一定要保證線段是非負(fù)的.1）鉛垂線段的求法-橫坐標(biāo)相同23．（2024·內(nèi)蒙古烏海·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，求△BCH的面積；(3)若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)3(3)94，(4)存在，P10,0，P26-3【分析】（1）由直線y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，得A(-1,0)、C(0,-3)，將A(-1,0)、C(0,-3)代入y=x2+bx+c，列方程組求b、c（2）設(shè)拋物線的對稱軸交BC于點(diǎn)F，求直線BC的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，推導(dǎo)出S△BCH=1（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)E、點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段ME的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出線段ME的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在x軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)M、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．由（3）得D32,0，M32,-32，由勾股定理求出OM=BM=322【詳解】（1）解：∵直線y=-3x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，∴A(-1,0)，C(0,-3)，∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)∴1-b+c=0c=-3解得b=-2c=-3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：設(shè)拋物線的對稱軸交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G．設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3，則3k-3=0，解得k=1，∴y=x-3；∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)H(1,-4)，當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，∴F(1,-2)，∴FH=-2-(-4)=2，∴S（3）解：設(shè)Ex,x2-2x-30<x<3∴ME=x-3-(x∴當(dāng)x=32時(shí)，ME（4）解：存在．如圖3，由（2）得，當(dāng)ME最大時(shí)，則D32,0∴DO=DB=DM=3∵∠BDM=90°，∴OM=BM=(點(diǎn)P1、P2、P3、P當(dāng)點(diǎn)P1與原點(diǎn)O重合時(shí)，則P1M=BM=當(dāng)BP2=BM=∴P當(dāng)點(diǎn)P3與點(diǎn)D重合時(shí)，則P3M=當(dāng)BP4=BM=∴P綜上所述，P10,0，P26-3【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形的判定、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及勾股定理、二次根式的化簡等知識(shí)和方法，解最后一題時(shí)要注意分類討論，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=-13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N求線段PN長的最大值．【答案】(1)A-2,0,B6,0,C(2)3【分析】（1）分別令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-13m2+43【詳解】（1）解：在y=-1令x=0，則y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，令y=0，則-1即x2解得：x=-2或x=6，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,0，設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=-2∴線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2（2）解：∵點(diǎn)P在拋物線y=-1∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-1∵PM⊥x軸交BC于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為m,-2∵點(diǎn)P在線段BC上方的拋物線上，∴0<m<6且PN=PM-NM=-1∵-13<0∴當(dāng)m=3時(shí)，PN有最大值，線段PN長的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．25．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時(shí)線段PD的長度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2(2)①當(dāng)m=52時(shí)，PD有最大值為94；②當(dāng)P的坐標(biāo)為2,4或3,3時(shí)，△BPD【分析】（1）把0,0，A4,0，B1,3代入y=ax2+bx+ca≠0求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，然后令（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出PD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，△PBD∽△AOC兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把0,0，A4,0，B1,3代入得c=016a+4b+c=0解得a=-1b=4∴二次函數(shù)的解析式為y=-x設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，則4m+n=0m+n=3解得m=-1n=4∴直線AB解析式為y=-x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C0,4（2）解：①設(shè)Pm,-m2∴PD=-=-=-m-∴當(dāng)m=52時(shí)，PD有最大值為②∵A4,0，C∴AO=CO=4，又∠AOC=90°，∴∠ACO=∠AOC=45°，又PD⊥x軸，∴PD∥∴∠PDB=∠ACO=45°，當(dāng)△PBD∽△OAC時(shí)，如圖，∴∠BPD=∠AOC=90°，∴BP∥∴P的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入y=-x2+4x解得x1=1，∴m=3，∴-m∴P的坐標(biāo)為3,3；當(dāng)△PBD∽△AOC時(shí)，如圖，過B作BF⊥PD于F，則BF=m-1，∠PBD=∠AOC=90°，又∠BDP=45°，∴∠BPD=45°=∠BDP，∴BP=BD，∴PF=DF，∴BF=1∴m-1=1解得m1=2，∴-m∴P的坐標(biāo)為2,4綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為2,4或3,3時(shí)，△BPD與△AOC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．2）水平相等的求法-縱坐標(biāo)相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函數(shù)y=-12x+m2+1與二次函數(shù)(1)當(dāng)m=0時(shí)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是兩個(gè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)．①當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，求PQ②當(dāng)PQ∥x軸時(shí)，求PQ的最小值．【答案】(1)(0,1)或1(2)m<-(3)①716；②【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題；（1）當(dāng)m=0時(shí)，一次函數(shù)為y=-12x+1，（2）聯(lián)立解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解；（3）當(dāng)m=-1時(shí)，一次函數(shù)為y=-12x+2①設(shè)Pa,-12a+2②設(shè)Pa-1【詳解】（1）解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，一次函數(shù)為y=-12x+1聯(lián)立方程組y=-解得x1=0，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1或12（2）由y=-得x∵兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，∴Δ得m<-（3）當(dāng)m=-1時(shí)，一次函數(shù)為y=-12x+2①∵PQ∥y軸設(shè)Pa,-∴PQ=∴當(dāng)a=-34時(shí)，②設(shè)P∵PQ∥∴-∴a=2b2+4b+2∴PQ=a-b=∴當(dāng)b=-34時(shí)，27．（23-24九年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）過點(diǎn)A-1,0、B3,0

(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥x軸交直線BC于E，F(xiàn)為直線BC上一點(diǎn)，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在（2）問的前提下，在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使∠BMP的度數(shù)最大，若存在，請寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)，并做詳細(xì)解答．【答案】(1)y=(2)EF的最大值為27216(3)M【分析】（1）用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax（2）先證明△FHP≌△AOC，得出FHPH=COAO=3，設(shè)Pm,m2-2m-3，求出Em2（3）利用圓周角定理判斷出當(dāng)△BPM的外接圓與對稱軸相切時(shí)，∠BMP的度數(shù)最大，然后設(shè)M1,n，O'x,y【詳解】（1）解：將點(diǎn)A-1,0，點(diǎn)B3,0代入0=a?-12+b?故拋物線的解析式為：y=x（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，∴C0,-3∴CO=3，∵A-1,0，∴AO=1，BO=3，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b則3k+b'=0∴直線BC解析式為y=x-3，過點(diǎn)F作FH⊥EF于H，

∴∠FHP=∠AOC=90°，又∠FPE=∠CAB，∴△FHP≌△AOC，∴FHPH設(shè)Pm,∵PE∥∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m2代入y=x-3，得m2-2m-3=x-3，解得∴Em∴PE=m-m∵BO=CO=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵PE∥∴∠BEP=∠OBC=45°，∴△EFH是等腰直角三角形，∴FH=EH，EF=2∴EHPH∴PH=1∵PE=PH+EH=1∴EH=3∴EF=2∴當(dāng)m=32時(shí)，EF取最大值為此時(shí)m2∴EF的最大值為27216，（3）解：∵y=x∴對稱軸為x=1，作△BPM的外接圓，記為⊙O

∵點(diǎn)M在對稱軸上運(yùn)動(dòng)，∴對稱軸與⊙O設(shè)⊙O'與對稱軸相切于M，在對稱軸上另取一點(diǎn)M'，連接BM'，PM'，BN，O則∠BMP=∠BNP，由∠BNP>∠BM∴∠BMP>∠BM∴當(dāng)⊙O'與對稱軸相切時(shí)，此時(shí)O'設(shè)M1,n，O'∵M(jìn)O∴x-12整理得n2解得n1=-10-∴M【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（2）用含字母的式子表示點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度，熟練掌握求二次函數(shù)最值，（3）利用圓周角定理找到符合已知條件的點(diǎn)M的位置．28．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A和B1,0（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C0,3(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)P作x軸平行線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作y軸平行線交x軸于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)M為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-(2)PD+PE的最大值為498，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為：N0,4或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線AC的解析式，設(shè)Pm,-m2-2m+3，則PE=-m（3）先求得拋物線的頂點(diǎn)P-1，4，對稱軸為x=-1，分當(dāng)點(diǎn)N在y軸上和點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，證明△CMG∽△NCO，求得CG=-13t，再證明△CMG≌△PNH，求得點(diǎn)【詳解】（1）解：∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B(1,0)，與-1+b+c=0解得b=-2拋物線的解析式為：y=-x（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，0=-x解得x1=-3，∴A(-3,0)，設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+nk≠0把A-3,0，C0,3代入得：解得k=1∴直線AC的解析式為y=x+3，設(shè)Pm,-∵PE∥∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m又∵點(diǎn)E在直線AC上，∴-m2-2m+3=x+3∴E-∴PE=-m∵PD∥y軸，∴PD=-m∴PD+PE=-m∵-2<0，-3<m<0，∴當(dāng)m=-54時(shí)，PD+PE有最大值，最大值為當(dāng)m=-54時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為-5答：PD+PE的最大值為498，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-（3）解：y=-x則拋物線的頂點(diǎn)P-1，4情況一：當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，P為拋物線的頂點(diǎn)，∵四邊形PMCN為矩形，∴N與P縱坐標(biāo)相同，∴N0,4情況二：當(dāng)點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為G，過P作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)Nt,0，則ON=-t∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP，∴∠MCG+∠OCN=90°，∵∠ONC+∠OCN=90°，∴∠MCG=∠ONC，又∵∠CGM=∠CON=90°，∴△CMG∽△NCO，∴CGON∵拋物線對稱軸為x=-1，點(diǎn)M在對稱軸上，C0,3∴MG=1，OC=3，∴CG-t=1∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°，∴∠CMG=∠PNH，∴△CMG≌△PNH，∴NH=MG=1，HP=CG=-1∴OH=ON+NH=-t+1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為t-1,-1∵點(diǎn)P在拋物線上，∴-1解得t1=1-∴N1-綜上所述：符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為：N0,4或N【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．3）斜線段的求法-化斜為直

29．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，C(1)求a，(2)若點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE∥AC，交拋物線y=ax2+bx+3于點(diǎn)E(3)若點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在拋物線上，當(dāng)A，D，【答案】(1)a=-(2)DE的最大值為25(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為-32【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸，將EF的長度用二次函數(shù)表示，即可求出EF最大值，從而求得線段DE的最大值；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3,0，∴-b解得a=-2（2）解：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，OC=3，當(dāng)y=0時(shí)，x1=-3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為92∴OA=OC，∠CAO=45°，∵DE∥AC，∴∠EDB=45°，∴△DEF為等腰直角三角形，DE=2∵點(diǎn)E在拋物線y=-2∴設(shè)Em,-∴EF=-2∵-2∴當(dāng)m=34時(shí)，EF的最大值為∴DE的最大值為258（3）解：設(shè)Em,-情況一：當(dāng)CE∥AD時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，AC=DE=32∵DE=2EF，∴2×解得m1=0（舍去），∴OF=32，∴DO=32，情況二：當(dāng)CD∥AE時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，AC=DE=32∵DE=2EF=2∴2×解得m1=-9∴F6,0，D綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為-32,【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)最值問題，二次函數(shù)與四邊形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．30．（2024·山東日照·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx-4a≠0與x軸交于點(diǎn)A，B-1,0，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)Dm,0是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥x軸交直線AC于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式：(2)過點(diǎn)P作PQ⊥AC，垂足為Q，求出PQ的最大值；(3)試探究在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使得△CPE為直角三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)存在最大值2(3)存在點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,-4或2,-6【分析】（1）利用線段的長度求得點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求得直線AC的解析式，利用DP⊥x軸，Dm,0，表示出點(diǎn)Em,m-4，Pm,m2（3）利用分類討論的思想方法分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCE=90°時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求得EP，從而得到關(guān)于m的方程，解方程求得m值，則結(jié)論可得；②當(dāng)∠EPC=90°時(shí)，此時(shí)CP∥x軸，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-4，從而得到關(guān)于m的方程，解方程求得【詳解】（1）解：對于y=ax2+bx-4a≠0，令∴C0,-4∴OC=4，∵OA=OC，∴OA=4，∴A4,0∵拋物線y=ax2+bx-4a≠0與x∴a-b-4=0解得：a=1b=-3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，∴解得：k=1,∴直線AC的解析式為y=x-4．∵DP⊥x軸，D∴Em,m-4，P∴PE=m-4-m∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵PE∥y軸，∴∠CEP=∠OCA=45°，∵PQ⊥AC，∴△PQE為等腰直角三角形，∴PQ=∵-22∴當(dāng)m=2時(shí)，PQ存在最大值22（3）解：存在點(diǎn)P，使得△CPE為直角三角形，3,-4或2,-6，理由如下：由（2）知：∠CEP=45°≠90°，Dm,0，Pm,∴PE=m-4-m∴分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCE=90°時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖，∵OA=OC，OA∥EF∴∠CEF=∠CAO=∠CEP=45°，∴CE=2∵EP=2∴EP=2m，∴-m解得：m=0（舍去）或m=2．∴P2,-6②當(dāng)∠EPC=90°時(shí)，此時(shí)CP∥x軸，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同為-4，∴m解得：m=0（舍去）或m=3，∴P3,-4綜上，存在點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,-4或2,-6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，配方法，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．31．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A-1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，請問線段PQ是否存在最大值？若存在，請求出最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作線段MN∥OC（點(diǎn)N在直線BC下方），已知MN=2，若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM【答案】(1)y=-(2)存在，最大值是982(3)3-172【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，設(shè)Pm,-m2+2m+3，根據(jù)三角函數(shù)得到PQ=PD?cos（3）設(shè)Mt,-t+3，得到xN=t，求出點(diǎn)N恰好在拋物線上且MN=2【詳解】（1）解：∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A∴y=-x+1∴y=-x（2）存在；∵y=-x∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C0,3∵B3,0∴OC=3=OB，∴∠OBC=45°，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，把B3,0代入，得：k=-1∴y=-x+3，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，設(shè)Pm,-m2∴PD=-m∵PQ⊥BC，∴∠PQD=90°=∠PEB，∵∠PDQ=∠BDE，∴∠DPQ=∠OBC=45°，∴PQ=PD?cos∴當(dāng)PD最大時(shí)，PQ最大，∵PD=-m-∴當(dāng)m=32時(shí)，PD的最大值為94，此時(shí)PQ∴P3（3）設(shè)Mt,-t+3，則：x當(dāng)點(diǎn)N恰好在拋物線上時(shí)，則：Nt,-∴MN=-t+3+t當(dāng)MN=2時(shí)，則：t2解得：t=3+172∵線段MN與拋物線有交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是3-172≤4）距離最值問題32．（2024·湖南婁底·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過A-2,0，B0,4兩點(diǎn)，直線x=3與x(1)求拋物線的解析式；(2)在線段OC上是否存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)Pm,n為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，0<m<3，過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，求當(dāng)P點(diǎn)到直線BC的距離最大時(shí)m【答案】(1)y=-(2)在線段OC上不存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角，見解析(3)m的值為73【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得到方程組，解方程組即可．（2）設(shè)OF=t，則FC=3-t，由△BOF∽△FCG得出BOFC=OF（3）過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，由余弦的定義得，PQPD=cos∠DPQ=cos∠DCM=OCBC即PQPD=35，則PQ=35【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過A∴4a-2+c=0c=4解得a=-∴拋物線的解析式為：y=-1（2）解：由題意得：∠GCF=∠FOB=90°，若在線段OC上是存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角，則∠GFC=∠FBO∴Rt∴∵B0,4∴OB=4當(dāng)x=3時(shí)，y=-1∴CG=5設(shè)OF=t，則FC=3-t∴∴∵∴方程無解，即在線段OC上不存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角．（3）解：∵0<m<3，∴點(diǎn)Pm,n為拋物線B、G過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，∴∠PDQ+∵PD⊥x軸，∴∠CDM+∵∠CDM=∴∠DCM=在Rt△BOC中，OB=4，OC=3∴BC=42∴PQPD=cos∠DPQ=∴PQ=3∴當(dāng)PD的值最大時(shí)，P點(diǎn)到直線BC的距離最大，∵n=-1∴Pm,-設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由題意得：b=4解得k=-∴直線BC的解析式為y=-當(dāng)x=m時(shí)，y=-4∴D∴PD=∴當(dāng)m=730<m<3時(shí)，PD即：當(dāng)P點(diǎn)到直線BC的距離最大時(shí)，m的值為73【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，二次函數(shù)求最值等問題，熟練利用轉(zhuǎn)化思想和方程思想是解決函數(shù)綜合題的關(guān)鍵．33．（2024·山西晉中·二模）綜合與探究如圖，直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過B(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請你確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線BC的距離最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及點(diǎn)P到直線BC的距離最大值；(3)在（2）的結(jié)論下，此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PBC面積相等？若存在，請直接寫出符合的點(diǎn)Q【答案】(1)y=-(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3，點(diǎn)P到直線BC的距離最大值為4(3)Q2+22【分析】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、二次函數(shù)中的線段最值、二次函數(shù)面積問題．（1）由直線y=-12x+2B（2）首先設(shè)Pm,-12m2+32m+2，過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于D，PE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，即可表示出PE（3）作PM∥BC交y軸于M，作M關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)N，再作NG∥BC，則【詳解】（1）∵直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y∴點(diǎn)C0，2∵拋物線y=-12x2+bx+c∴0=-1解得：c=2b=∴拋物線的解析式是y=-1（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于D，PE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，∵C0，2∴BC=2設(shè)Pm,-12∴PE=-1∵S△PBC∴PD=PE?OB∴當(dāng)m=2時(shí)，PD=45∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3，點(diǎn)P到直線BC的距離最大值為45（3）作PM∥BC交y軸于M，作M關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)N，再作NG∥BC，則直線NG到BC的距離等于直線∵以點(diǎn)Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PBC∴NG與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q，∵直線BC解析式為y=-1∴設(shè)直線PM解析式為y=-1把P2,3代入y=-12x+n得∴M0,4∵C0，2，M關(guān)于點(diǎn)C∴N0,0∵NG∥∴直線NG解析式為y=-1聯(lián)立y=-12xy=-1∴Q2+22,-5）線段比最值問題34．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于A-2,0、B6,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,4，頂點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AC、BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)當(dāng)PMAM的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PM(3)如圖2，在（2）的條件下，EF是此拋物線對稱軸上長為2的一條動(dòng)線段（點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），連接CE、AF，當(dāng)四邊形ACEF周長取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；在此條件下，以點(diǎn)G、E、H、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-13(2)P3,5；最大值為(3)H13,3、H【分析】（1）由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）作AN∥CO交直線BC于點(diǎn)N，作PQ∥CO交直線BC于點(diǎn)Q，得：AN∥PQ，得到△PQM∽△ANM，PMAM=PQAN，待定系數(shù)法求出直線BC的表達(dá)式，點(diǎn)N的坐標(biāo)是-2,163，求出AN=163，求（3）先說明C四邊形ACEF最小，就是CE+AF最??；作AA'∥EF，且AA'=EF=2，連接EA'，如圖4，則CE+AF=CE+A'E；作點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)C'4,4，連接C'A'交對稱軸于點(diǎn)E'，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E'時(shí)，C四邊形ACEF最??；待定系數(shù)法求出直線A'C'的表達(dá)式，得到E2,10【詳解】（1）解：由拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于A-2,0、B6,00=4a-2b+c0=36a+6b+c解得：a=-1∴y=-1對稱軸：直線x=-2+6∴yD∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為2,16（2）解：如圖3，作AN∥CO交直線BC于點(diǎn)N，作PQ∥CO交直線BC于點(diǎn)∴△PQM∽△ANM，∴PMAM設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，∴0=6k+b4=b解得k=-2即y=-2∵A-2,0∴把x＝﹣2代入y=-23x+4得y∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是-2,16∴AN=16∴求PMAM的最大值，就是求PQAN的最大值，即求設(shè)Pp,-13∴PQ=-=-=-1當(dāng)p=3時(shí)，PQ最大值時(shí)3，P3,5∴PMAM的最大值=PQAN（3）解：∵在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∴AC=A∴C四邊形∴C四邊形ACEF最小，就是作AA'∥EF，且AA'=EF=2，連接EA'，如圖∴四邊形AA'EF是?；∴A'E=AF，∴CE+AF=CE+A'E；作點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)C'4,4，連接C'A'交對稱軸于點(diǎn)E'，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E'時(shí)，C設(shè)直線A'C'的表達(dá)式為y=k∴2=-2k解得k=1即y=1∴E2,以點(diǎn)G、E、H、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴H13,3、H2【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．35．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A-2,0，B(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，在對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是以BC直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M，當(dāng)PMAM最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P【答案】(1)y=(2)D2,8或(3)3,-【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)D2,t，則BD2=16+t2，BC（3）過點(diǎn)A作AE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點(diǎn)F，由PF∥AE，可得△PMF∽△AME，MPAM=PFAE，設(shè)Pt,【詳解】（1）解：解：∵拋物線y=ax2+bx+c過A-2,0、∴4a-2b+c=036a+6b+c=0解得：a=14∴拋物線解析式為y=1（2）解：∵拋物線解析式為y=∴拋物線的對稱軸為直線x=2，設(shè)D2,t∴BD2=2-62當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，則DB∴t2解得：t=8，∴D2,8當(dāng)∠DCB=90°時(shí)，則D16+t解得t=-7，∴D2,-7綜上所述：D2,8或D（3）解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點(diǎn)F，∴PF∥AE∴△PMF∽△AME，∴MPAM=設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d，∴6k+d=0d=-3，解得k=12∴直線BC的解析式為y=12設(shè)Pt,14t∴PF=12∵A-2,0，∴E-2,-4，∴AE=4，∴MPAM=∴當(dāng)t=3時(shí)，MPAM有最大值916∴此時(shí)P的坐標(biāo)為3,-15【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想．題型02二次函數(shù)線段和、差最值1）線段和最小問題圖形條件如圖，A，B兩定點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.如圖，A，B兩定點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.結(jié)論當(dāng)A，D，B三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最小值為AB的長.當(dāng)A，D，B'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的長.36．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A-1,0，C0,3兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接AH、DH，求【答案】(1)該拋物線的表達(dá)式為y=-x(2)AH+DH的最小值為13【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式和利用軸對稱求最小值；（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線表達(dá)式即可；（2）利用軸對稱求最小值即可，AH+DH的最小值為BH+DH即BD，通過勾股定理求解即可．【詳解】（1）把A-1,0，C0,3代入y=-解得：c=3∴該拋物線的表達(dá)式為y=-x（2）由（1）得：拋物線的表達(dá)式為y=-∴對稱軸x=1，頂點(diǎn)M1,4∴B(3,0)設(shè)直線AM解析式為y=kx+m，將M1,4，A-1,0代入得：k+m=4∴直線AM解析式為y=2x+2，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2∴D(0,2)∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B(3,0)∴AH+DH的最小值為BH+DH即BD∴.BD=∴AH+DH的最小值為1337．（2024·寧夏銀川·一模）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B，C-2，(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸l上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+CQ的值最小時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及AQ+CQ的最小值；(3)如圖2，若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求12PK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)【答案】(1)y=(2)1,-32(3)最大值為258，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，求二次函數(shù)解析式等等：（1）先把解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接CQ，AQ，BQ，由對稱性可得CQ=BQ，則CQ+AQ=BQ+AQ，故當(dāng)A，B，Q三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)BQ+AQ的值最小，即此時(shí)AQ+CQ的值最小，最小值即為AB的長，由對稱性求出B4，0，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，-2，即可得到直線AB的表達(dá)式為y=12（3）設(shè)Pp,14p2-12p-20<p<4，則【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax-1將C-2，0代入y=a解得a=1∴拋物線的表達(dá)式為y=1（2）解：如圖，連接CQ，∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，∴CQ=BQ，∴CQ+AQ=BQ+AQ，∴當(dāng)A，B，Q三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)BQ+AQ的值最小，即此時(shí)AQ+CQ的值最小，最小值即為AB的長，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為1，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵C-2∴B4在y=14x2∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+nm≠0將點(diǎn)B4，0，A0，解得m=1∴直線AB的表達(dá)式為y=1將x=1代入y=12x-2∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為1，∵OA=2，OB=4，∴AB=4∴AQ+CQ的最小值為25（3）解：由（2）知拋物線的對稱軸為直線x=1，B4，0，直線AB設(shè)Pp,令12x-2=1∴Dp,0，K∴PK=-12p∴1∵-12<0∴當(dāng)p=32時(shí)，12PK+PD的值最大，最大值為25838．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-(2)37(3)存在，Q1,3或Q1,1【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D'，連接D'M，D'M與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H（3）分DM，DP，MP分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=-x2+bx+c∴-1-b+c=0c=3，解得：b=2∴y=-x（2）∵y=-x∴M1,4設(shè)直線AM:y=kx+m(k≠0)，則：-k+m=0k+m=4，解得：k=2∴AM:y=2x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴D0,2作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D'，連接D則：D'0,-2，∴當(dāng)M,H,D'三點(diǎn)共線時(shí)，MH+DH有最小值為

∵D'0,-2，∴D'即：MH+DH的最小值為：37；（3）解：存在；∵y=-x∴對稱軸為直線x=1，設(shè)Pp,t，Q當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：①DM為對角線時(shí)：1+p=0+1t+n=4+2

∴p=0t+n=6當(dāng)p=0時(shí)，t=3，∴n=3，∴Q1,3②當(dāng)DP為對角線時(shí)：0+p=1+12+t=4+n

∴p=22+t=4+n當(dāng)p=2時(shí)，t=-2∴n=1，∴Q1,1③當(dāng)MP為對角線時(shí)：1+p=0+14+t=2+n

∴p=0n-t=2當(dāng)p=0時(shí)，t=3，∴n=5，∴Q1,5綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q1,3或Q1,1或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2）線段差最大問題圖形條件如圖，A，B兩點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直線m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.如圖，A，B兩點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直線m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.結(jié)論當(dāng)A，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB的長當(dāng)A、B'、D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB'的長39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=ax2+2x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且A(-1，(1)求拋物線與直線AC的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且使得PA-PC的值最大，過對稱軸上的另一點(diǎn)Q任作與x軸不平行的直線l，交拋物線于點(diǎn)M，N，若△PMN的內(nèi)心始終在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)D是線段AC上(不含端點(diǎn)A，C)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線DEAB，交直線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，求線段DF的最小值．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3，直線AC的解析式為y=3x+3(2)1,2(3)12【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，即可作答．（2）先作圖，根據(jù)內(nèi)心定義，得出直線BC或直線AC1與對稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，求出直線BC的解析式為y=-x+3，代入（3）運(yùn)用分類討論，①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，C1時(shí)，則根據(jù)勾股定理得在Rt△DEF中，則有DF=23a2+a2=139【詳解】（1）解:∵拋物線y=ax2+2x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且A(-1，∴a-2+c=0解得a=-1∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3當(dāng)x=0時(shí)，y=3∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得-m+n=0解得m=3∴直線AC的解析式為y=3x+3，（2）解：由y=-x2+2x+3可知：對稱軸為直線x=-b連接AC并延長交于對稱軸，交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA-PC的值最大，把x=1代入y=3x+3，解得y=6∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)為C1要使得△PMN的內(nèi)心始終在對稱軸上，根據(jù)對稱性，直線l必經(jīng)過BC或經(jīng)過AC即直線BC或直線AC1與對稱軸的交點(diǎn)即為設(shè)點(diǎn)直線BC的解析式為y=mx+n把點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C的坐標(biāo)0得0=3m+n解得m=-1根據(jù)點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C可求出直線BC的解析式為y=-x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，根據(jù)對稱性，直線AC與對稱軸的交點(diǎn)也為Q，坐標(biāo)均為(1，（3）解：由于直線l有兩條，分兩種情況分析：①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，C1設(shè)直線AC1把C12，3得3=2p+q解得p=1∴直線AC1的解析式為設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為a，把y=a代入直線AC和直線A可得x∴DE=又∵EF=a，在Rt△DEF中，則有由題可知，0<a<3，∴此時(shí)DF不存在最小值，②當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為a，把y=a代入直線AC和直線BC可得x∴DE=∴EF=a在Rt△DEF中，則有令t=∴當(dāng)a=4825時(shí)，t即當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4825則DF=DF有最小值為12【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，軸對稱性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．40．（2023·內(nèi)蒙古興安盟·一模）如圖，已知直線y=12x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=12x2+bx+1與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、(1)求該拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使AM-CM的值最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,0或(1,0)或(3,0)或(3)M【分析】（1）首先得點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，那么把A，