專題1　幾何探究開放型問題

數(shù)學(xué)

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題一幾何探究開放型問題欄目導(dǎo)航分類探究型問題類型一類比探究型問題類型二對于圖形不明確的問題，我們要分情況討論圖形會出現(xiàn)哪些可能的情況：當(dāng)面對點(diǎn)的位置時(shí)，我們需要確定點(diǎn)在線段上還是在線段的延長線上；當(dāng)面對直角三角形時(shí)，我們需要確定哪個(gè)角是直角，并據(jù)此展開不同情況的討論；分類探究型問題(8年1考：2024·25)類型一核心技法對于等腰三角形，我們需要辨別給定的邊是腰還是底邊，并相應(yīng)地分析角是頂角還是底角，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行分類討論；如果題目中涉及兩個(gè)相似三角形，我們需要細(xì)致地探討它們各邊之間的對應(yīng)關(guān)系，以進(jìn)行分類討論；在圓的討論中，對于非直徑的弦，我們常根據(jù)其對應(yīng)的優(yōu)弧和劣弧來分情況進(jìn)行探討；另外，在求圓中兩條平行弦的距離時(shí)，我們還需要考慮這兩條弦是在圓心的同側(cè)還是兩側(cè)，以便進(jìn)行分類討論.例1(2024煙臺)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點(diǎn)，連接AD.將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段ED，連接BE.典例精析典例精析【嘗試發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系為______________；過點(diǎn)E作EM⊥CB延長線于點(diǎn)M，利用一線三垂直全等模型證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；

【類比探究】(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與D的數(shù)量關(guān)系并證明；

同(1)中方法證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；【聯(lián)系拓廣】(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，請直接寫出sin∠ECD的值.

分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí).分別畫出圖形，求出sin∠ECD.

針對訓(xùn)練A2.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，求AP的長.

類比法是將兩個(gè)相似對象對比，發(fā)現(xiàn)它們的共同屬性，從而推斷出一個(gè)對象可能具有的另一屬性.在初中數(shù)學(xué)中，運(yùn)用類比法可助于理解新概念或解決新問題，先對相關(guān)問題提出可能的結(jié)論或解決策略的猜想，隨后努力證明或反駁這些猜想，從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的.類比探究型問題(8年1考：2017·24)類型二核心技法例2(1)如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為G.求證：△ADE∽△DCF；典例精析典例精析證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠C＝90°.∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.∴∠CDF＋∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC.∴△ADE∽△DCF.∠ADE＝∠DCF＝90°，進(jìn)而得到∠CDF＋∠DFC＝90°，再結(jié)合題意即可得到∠AED＝∠DFC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定即可求解；【問題解決】(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH.求證：∠ADF＝∠H；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL).∴DE＝CF.又∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵點(diǎn)H在BC的延長線上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS).∴∠H＝∠DFC.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝∠H.可先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再根據(jù)三角形全等的判定證明Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)即可得到DE＝CF，進(jìn)而得到CF＝CH，再結(jié)合題意證△DCF≌△DCH(SAS)即可得到∠H＝∠DFC，進(jìn)而運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可求解；【類比遷移】(3)如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長.解：如圖，延長BC到點(diǎn)G，使CG＝DE＝8，連接DG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC.∴∠ADE＝∠DCG.∴△ADE≌△DCG(SAS).∴∠DGC＝∠AED＝60°，DG＝AE.∵AE＝DF，∴DG＝DF.∴△DFG是等邊三角形.∴FG＝FC＋CG＝DF＝11.∴FC＝11－CG＝11－8＝3.延長BC到點(diǎn)G，使CG＝DE＝8，連接DG，類比第2問中的思路，證明△ADE≌△DCG(SAS)，進(jìn)而得到