2025高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專練：數(shù)列的綜合

2025版新教材高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)

6.5數(shù)列的綜合

五年高考

高考新風(fēng)向

(創(chuàng)新考法、新定義理解)(2024新課標(biāo)/,19,17分灘)設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列⑶處…以.+2是

公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)0和切(吃)后剩余的4機(jī)項(xiàng)可被平均分為m組，且

每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列內(nèi)曲,...，如+2是(4)-可分?jǐn)?shù)列.

(1)寫出所有的(ij),lWK/V6,使得數(shù)列ai,a2,...,ae是可分?jǐn)?shù)列;

⑵當(dāng)m>3時(shí)，證明:數(shù)列ai,42,...,“4,”+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,…,4機(jī)+2中一次任取兩個(gè)數(shù)z和。勺),記數(shù)列me,...,a4M+2是(〃)-可分?jǐn)?shù)列的概

率為證明:PQ；.

8

考點(diǎn)數(shù)列的綜合

1.(2023新課標(biāo)〃,18,12分，中)已知｛所｝為等差數(shù)列,瓦』0n一6工為警記S,4分別為數(shù)

為偶數(shù).

列｛麗｝,｛況｝的前n項(xiàng)和S=32,T3=16.

⑴求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)n>5時(shí),4>Sm

2.（2022新高考/,17,10分，中）記S”為數(shù)列｛板｝的前n項(xiàng)和，已知m=1,修｝是公差為己的等差

數(shù)列.

⑴求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:工+」+…+工＜2.

。2

3.（2021全國(guó)乙文,19,12分，中）設(shè)｛劣｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)歹！J,數(shù)列｛瓦｝滿足力產(chǎn)等.已知

Qi,3a2,9。3成等差數(shù)列.

(1)求｛以｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S,和4分別為｛斯｝和｛瓦｝的前n項(xiàng)和.證明:力考.

4.(2021浙江,20,15分，中)已知數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為S⑷=《,且4s〃+1=3的-9(“￡2).

⑴求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛為｝滿足3況+04)以=0(〃￡N*),記｛瓦｝的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意“GN*

恒成立，求實(shí)數(shù)丸的取值范圍.

5.(2023天津,19,15分，難)已知｛飆｝是等差數(shù)列,。2+公=16,。5-。3=4.

2n-l

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式及左=2吁1的(aNW*).

(2)設(shè)｛瓦｝是等比數(shù)列，且對(duì)任意的左?N*,當(dāng)2"勺區(qū)2勺1時(shí)也＜服＜"i.

①當(dāng)k＞2時(shí)，求證:2仁1＜從＜2"+1;

②求｛瓦｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

三年模擬

練思維

1.（2024甘肅二診,17）設(shè)數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,2S?=n2+n（n^N*）.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和為且b”=「\_，求799；

Van^~-\/an+l

⑶證明:盍+盍+忌+???+/冷

2.（2024江蘇鹽城六校聯(lián)考,18）已知｛麗｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,｛從｝是首項(xiàng)為2的等差數(shù)

歹U,a3=b2且a4=bi+b3.

⑴求｛麗｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

⑵將｛詞和｛況｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,3,將AU3的所有元素按從小到大的順序排列

組成新數(shù)列｛圓｝,求數(shù)列｛c〃｝的前50項(xiàng)和&（）;

⑶設(shè)數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為dn=\bn4/國(guó)qzEN*,記｛4｝的前n項(xiàng)和為T”,若

+2,”為偶數(shù),

372?-i>22n+1+3?M4對(duì)任意的“GN*都成立，求正數(shù)t的取值范圍.

3.(2024江蘇連云港灌云高級(jí)中學(xué)模擬)設(shè)S”是數(shù)列｛m｝的前n項(xiàng)和，已知

(Ia+n,n為奇數(shù),

ai=l,an+i=\zn

an-2n,n為偶數(shù).

⑴證明｛3-2｝是等比數(shù)列，并求｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)n>2時(shí),。2侖S2”.

4.(2024福建三明質(zhì)量檢測(cè),18)已知數(shù)列｛&“｝滿足0a2..5一15=(/)小+”,〃@2.

⑴求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛麗｝的前n項(xiàng)和為S”,若不等式61)〃祝-14^^對(duì)任意的“6N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的

取值范圍；

⑶記萬(wàn)尸康，求證管+甘…+罟或（心*）.

練風(fēng)向

1.（新定義理解）（多選）（2024安徽安慶二模,11）滿足0=2e=1,即2=念+1+斯（“?1^*）的數(shù)列｛4〃｝

稱為盧卡斯數(shù)列，則（）

A.存在非零實(shí)數(shù)/,使得｛斯+1+3｝（“?N*）為等差數(shù)列

B.存在非零實(shí)數(shù)/,使得｛a/i+fa^S?N*）為等比數(shù)列

C.3an+2=an+4+an（nGN*）

2024

D￡=i023-3

2.（新定義理解）（2024浙江溫州第二次適應(yīng)性考試,18）數(shù)列｛或｝,｛為｝滿足:｛瓦｝是等比數(shù)

列力1=2,<72=5,且<7必1+<72。2+…+<7"瓦=2（。"-3）?！?8（〃?N*）.

⑴求an,bn,

（2）求集合A=｛尤［8由）0。。=0,運(yùn)2〃/￡N*｝中所有元素的和;

⑶對(duì)數(shù)列｛盤｝,若存在互不相等的正整數(shù)匕次2,...A儂2）,使得c的+皿+…也是數(shù)列出｝

中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛為｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛?｝,｛況｝是不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若是,

求出所有j的值;若不是，說(shuō)明理由.

3.（新定義理解）（2024山東泰安一模,19）已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列｛或｝的前n項(xiàng)和為Sn,

且。1=2,。2=4,斯斯+1=25“（5"+1+5”-1-2品）（〃￡N*,且?>2）.

⑴求數(shù)歹!]｛2｝的前n項(xiàng)和Tn.

⑵定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G-數(shù)列”.證明：

①對(duì)任意k<5且左?N*,存在“G-數(shù)列”｛加｝，使得bk<ak<bk+i成立；

②當(dāng)k>6且左?N*時(shí),不存在“G-數(shù)列”｛面,使得cm<am<cm+i對(duì)任意正整數(shù)m<k成立.

4.（新定義理解）（2024河南洛平許濟(jì)質(zhì)量檢測(cè),19）定義1進(jìn)位制:進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)

和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一,就是二進(jìn)制;滿十進(jìn)一,就是十進(jìn)制;滿十二

進(jìn)一，就是十二進(jìn)制;滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制;等等.也就是說(shuō)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾

進(jìn)制的基數(shù)就是幾,一般地，若左是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以上為基數(shù)的左進(jìn)制數(shù)可以表示

為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫在一起的形式

anan-\...aiao（k）（an,an-i,...,ai,aoGNfi<an<k,O<an-i,...,ai,ao<k）.k進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位

上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的累的乘積之和的形式.如7342⑻=7x83+3x82+4x81+2x8°.

定義2三角形數(shù):形如1+2+3+...+機(jī)，即1?（加+1）（機(jī)?N*）的數(shù)叫做三角形數(shù).

⑴若叱二3是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的a的值；

"個(gè)a（9）

⑵若nn1（*）是完全平方數(shù)，求k的值；

⑶已知c〃=11...1，設(shè)數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和為證明:當(dāng)”>3時(shí)$>生了.

⑼2

6.5數(shù)列的綜合

五年高考

高考新風(fēng)向

(創(chuàng)新考法、新定義理解)(2024新課標(biāo)/,19,17分灘)設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列0加…川*2是

公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)。和勾(吃)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且

每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列0曲,…⑷加+2是(冰可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的(ij),lWgV6,使得數(shù)列(21,tZ2,...,<76是可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)m>3時(shí)，證明:數(shù)列⑶血…,a4m+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；

(3)從l,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和/(力),記數(shù)列。1,。2”.—+2是(4)-可分?jǐn)?shù)列的概

率為證明:Pfn>j.

解析(1)(1,2),(1,6),(5,6).

理由:數(shù)列41,“2,…,。6中刪去。1,。2后，數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列…,。6是

(1,2)-可分?jǐn)?shù)列，同理數(shù)列Q1/Z2,…,06是(1,6)或(5,6)-可分?jǐn)?shù)列.

(2)證明:帆=3時(shí)，

成等差數(shù)列；

的,〃6,。9,。12成等差數(shù)列；

成等差數(shù)列.

m>4時(shí)，從05開始每連續(xù)4項(xiàng)成等差數(shù)列,05前12項(xiàng)分組同上，

即—47,010成等差數(shù)列;

03,06,09,012成等差數(shù)列；

05,08,011,014成等差數(shù)列；

ai5,ai6,ai7,ai8成等差數(shù)列；

(24m-1,tZ4m,6Z4m+1,6Z4m+2成等差列.證明畢.

⑶證明:從4m+2個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)i和刀勺)有C乳+2=8加2+6加+1種，

①首先證明(4p+1,4q+2)(/?<q)一定符合題意,p,q￡N,且q<m.

4/2+1與4q+2之間有4q+2-(4p+l)-l=4(q-p)個(gè)數(shù),按從小到大的順序每4個(gè)一組.

4/2+1前的4P個(gè)數(shù)按從小到大的順序每4個(gè)一組.

初+2后的4(力/個(gè)數(shù)按從小到大的順序每4個(gè)一組.

故(4p+1,4q+2)(0g〈把用)的不同取值有C^+1+(m+1)=#加2+3加+2)種.

②其次證明(4p+2,4q+1)(/?<飲1)一定符合題意,￡N,且q<m,

4/2+1前的4P個(gè)數(shù),按從小到大的順序每4個(gè)一組，

4q+2后的4(用-/個(gè)數(shù)按從小到大的順序每4個(gè)一組，

對(duì)4p+l,4p+2,4/7+3,…,4q,4q+l,4q+2,一共有4(q-p)+2個(gè)數(shù)，

去掉其中第2個(gè)與第4(q-p)+l個(gè)數(shù)，即4“+2與4q+L

下面證明去掉后剩下的4(q-p)個(gè)數(shù)可以分成q-p組，每組4個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.

該證明實(shí)際上為⑵的推廣.

令k=q-p>2,

4p+1,4p+1+k,4p+1+2左,4夕+1+3左成等差數(shù)列；

42+3,42+3+左,4/7+3+2左,4/7+3+3左成等差數(shù)列；

4P+2+左,4p+2+2￡4/7+2+3匕4p+2+4左成等差數(shù)列，

得證,.?.②得證.

故(4p+2,4q+l)的不同取值有窿(m2_附種，

由①②，分組方法共有?"/+3〃2+2)+3m2_m)=?2冽2+27n+2)=兀2+"計(jì)1種,

hm2+m+l12m+7八.八1

叩----------=---------->0,??Pm>~.

8m2+6m+l88(87n2+6m+l)8

考點(diǎn)數(shù)列的綜合

1.(2023新課標(biāo)〃,18,12分，中)已知｛服｝為等差數(shù)列,瓦/冊(cè)一6了為了數(shù)記s〃,4分別為數(shù)

為偶數(shù).

列｛麗｝,｛瓦｝的前n項(xiàng)和,54=32,乃=16.

⑴求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)n>5時(shí),4>的.

解析(1)設(shè)數(shù)列｛或｝的首項(xiàng)為初公差為d,

a-6,n為奇數(shù),

*.*bn=n/2=2。2/3=43-6,

2G.n為偶數(shù),

又乃二16,且61+歷+63=。1+2。2+。3-12=4〃2-12,

/.4<72-12=16,/.6/2=7,BP〃i+d=7,①

又S4=32,???4〃i+6d=32,②

由①②得ai=5,d=2,

Q〃=5+2(〃-1)=2〃+3.

(2)證明:乃〃=4+歷+…+岳〃-1+岳+匕4+..?+歷〃

=。1+。3+??.+〃2%1-6〃+2。2+2〃4+.??+2。2〃

=S2〃+〃2+.??+儂-6〃

=S2〃+&詈立6,

=S2〃+2〃2-〃.

乃〃+1=小〃+62〃+1=52幾+2〃2-〃+。2九+1-6=52九+1+2〃2-〃-6.

當(dāng)n>l時(shí),2-S2〃=2后心0,故不〃>S2〃,當(dāng)n>2時(shí)，乃〃+i-S2九+尸2-6>0,故乃九+1>52九+1.綜上，當(dāng)

n>5時(shí)

2.(2022新高考/,17,10分，中)記S”為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知0=1,僵｝是公差為I的等差

數(shù)列.

⑴求｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:工+2+...+三<2.

ala2an

解析(1)依題意得,S1=Q1=1,

=n+

—-+(n-l)x-=^?3Sn—(n+2)6Z?,

an133

貝!J3s〃+i=(〃+l+2)即+I=(〃+3)Q〃+I,

??3S〃+i-3S九=(〃+3)。九+1-(〃+2)。小

即3an+1=(n+3)an+1-(n-\-2)an.

???〃〃〃+i=(〃+2)o%即+1二竺￡,

ann

由累乘法得—=S+DS+2)

1X2

T71?(71+1)0+2)

乂QI=1,??a〃+i=-----------------,

2

「?〃〃='(；+i)(〃N2),又a\-\滿足上式，

所絲羅(〃?N*).

⑵證明:由⑴知白品=2(：^)，

=2(---)+2(i-i)+...+2(---)=2(1--)=2—<2.

ara2an\12/\23/\nn+1/\n+1/n+1

3.(2021全國(guó)乙文,19,12分，中)設(shè)｛z｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛為｝滿足為普已知

。1,3。2,9。3成等差數(shù)列.

(1)求｛〃"｝和｛仇｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S,和T”分別為｛a.｝和｛況｝的前n項(xiàng)和.證明:〃有

解析(1)設(shè)等比數(shù)列｛劣｝的公比為q.

?「。1,3。2,9。3成等差數(shù)列，

6。2=。1+9。3.即6aiq=ai+9aiq1.

又???｛z｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,

6q=l+9/,解得^i=^2=|,

nln-l

an=ai-q~=(^

*.<瓦=號(hào)\bn=n-Q).

⑵第一步:用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算Sn.

由等比數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)和公比知，前〃項(xiàng)和為

訂1

1-q2-@1

第二步:用錯(cuò)位相減法求Tn.

?.?加=婕)：

.".Tn=bl+bl+...+bn=1X+2XQ)+...+“0，①

2唔)＞竊+..?+◎”

①-②可得IT削…+(丁述r

1n

3

1號(hào)二(廣心+9(”

???4=0+；1n3

+-4.

第三步:表示爭(zhēng)并利用作差法證得結(jié)論.

??Sn_31p\n-1_33/l\n

4色=3.(邛<0,Tn<~.

22\372

4.(2021浙江,20,15分，中)已知數(shù)列｛外｝的前n項(xiàng)和為S〃,ai=《,且4Sw+i=3Sw-9(n￡N*).

⑴求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛為｝滿足3加+(止4)a*0(〃eN*),記｛仇｝的前n項(xiàng)和為若丁￡為對(duì)任意〃?N*

恒成立，求實(shí)數(shù)丸的取值范圍.

解析⑴由4sI+I=3SL9,得4S"=3S”-9(稔2),則4a〃+i=3見稔2),又4(ai+a2)=3a「9,ai=」,所以

4

4〃2=3QI,所以｛斕是以［為首項(xiàng)］為公比的等比數(shù)列,

44

n

⑵由題意得瓦=S-4)x(1)n則

7]i=(-3)x-

得；T〃=(-3)x|+Q)2++—+(￡)"-("-4)xQ)n+1,所以￡=-4nxQ"*】，由題意得

4啕”+)(〃一4)乂(丁恒成立，所以(在3)〃-%0,記刎=q+3)”MCN*),所以[鋁；

解得-3tWL

5.（2023天津,19,15分，難）已知｛z｝是等差數(shù)列而+化=16,。5-。3=4.

2n-l

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式及若=2吁1的（“NG*）.

klk

⑵設(shè)｛及｝是等比數(shù)列，且對(duì)任意的左CN*,當(dāng)2-<n<2-l^,bk<an<bk+i.

①當(dāng)k>2時(shí)，求證:2仁1（兒<201;

②求｛瓦｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

解析（1）設(shè)｛?！ǎ墓顬閐

由題意得工:丁:如解得吃二2工

所以〃〃=3+2("-l)=2〃+l.

2n-l

j=2?i—1。，二口2九—1+。2九-1+]+02九—1+2+..,+02九一]

_2n-1[2-2n-1+l+2-(2n-l)+l]

2

_2n-1-(2n+l+2-2n-l)

2

2n-1-3-2n3o1cc1

=----------=-x22n-1=3x22n_2=3x4"-I.

22-

(注:項(xiàng)數(shù)為(2〃-1)一2"+1=2"-2""=2"」)

klkkk+i

⑵①證^;2-<n<2-ln2y2〃W2奸1-202&+1W2〃+1W2H11,IP2+l<an<2-l,

?**bk<an<bk+i成立，

...心<Mmin，.?也<2e且以+>2附口,則加>2口.

綜上,2口<。區(qū)201,證畢.

②設(shè)｛瓦｝的公比為％前n項(xiàng)和為S?,

；｛況｝為等比數(shù)列，且左?N*,2口加<2"+1,

k+1k+l

：.2-l<bk+i<2+l,

k+1k+1-l

pbk+1.2+lc32

又疔丁,??q<^r=2+藥,q>-=23，

2k+l_%卜+1

?左?N*,...q=2,：.2k-l<bi2k-l<2k+l,：.bi=2,

A(^-Qn)_2(l-2n)

bn=2n,=2〃+i-2.

1-Q1-2

三年模擬

練思維

1.(2024甘肅二診,17)設(shè)數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,2S?=n2+n(n^N*).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和為且b”=「\_，求799；

Van^~-\/an+l

⑶證明:盍+盍+忌+???+/冷

解析(1)因?yàn)?s后層+凡所以s后?，

當(dāng)n>2時(shí).二『等-空與0=〃，

因?yàn)椤?=1也滿足上式，故〃,二〃(〃￡N*).

(2)因?yàn)閎n=I—且a=n(n￡N*),

yjan^~yJan+ln

所以為=赤+v^=(訴+1-加

所以799=(72-V1)+(V3-V2)+(V4-V3)+...+(V100-V99)=V100-l=9.

即799=9.

(3)證明:由于不三=2=:尸>/-'_K71+1-傷,

2y/an2y/nVn+Vny/n+yjn+1

故二+...+-^>V2-l+V3-V2+...+V100-V99=V100-l=9.

2、La*+.27>a22,6X32'CI99

所以原不等式成立.

2.(2024江蘇鹽城六校聯(lián)考,18)已知｛而是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,｛瓦｝是首項(xiàng)為2的等差數(shù)

歹|,。3=》2且a4=bi+b3.

⑴求｛m｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

⑵將｛麗｝和｛況｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,3,將AU3的所有元素按從小到大的順序排列

組成新數(shù)列｛為｝,求數(shù)列｛為｝的前50項(xiàng)和&o;

(an+i，n為奇教

⑶設(shè)數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式為dn=\bn媯〃GN*,記｛a｝的前n項(xiàng)和為T”,若

(y+2,R為偶數(shù),

3T2止侖22"+1+3*14對(duì)任意的“GN*都成立，求正數(shù)t的取值范圍.

解析⑴設(shè)｛酸｝的公比為式#0),｛況｝的公差為公

因?yàn)?lt;73=岳且。4=51+。3,所以q2=2+d,q3=4+2d,

nl

解得q=2,d=2,所以an=2~,bn=2n.

⑵由⑴知an=2nl,bn=2n,

因?yàn)閿?shù)列｛兒｝是正偶數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，數(shù)列｛或｝除首項(xiàng)外，其余項(xiàng)都是2的倍數(shù),

所以數(shù)列｛為｝的前50項(xiàng)和S50=1+2x49+竺fx2=2451.

為奇數(shù),

(3)因?yàn)椤笆癎N*,

n+2,n為偶數(shù),

所以

T2n-i=di+d2+d3+d4+...+t/2n-i=(2+23+25+...+22W-1)+(4+6+8+...+2n)=2^\4+^n(n-1)="|+-y-

+n2+n,

2n+12

由3T2?-i>2+3nM4得3(-|+彳+n+同涉叫?〃…,即t<n+^+l對(duì)任意的“?N*

都成立，

因?yàn)椤?分1之2魚+1,〃?獷,等號(hào)取不到，

n

當(dāng)n=l時(shí),1+2+1=4,當(dāng)n=2時(shí),2+1+1=4,

所以正數(shù)t的取值范圍是0</<4.

3.(2024江蘇連云港灌云高級(jí)中學(xué)模擬)設(shè)S”是數(shù)列｛麗｝的前n項(xiàng)和，已知

Gan+n,n為奇數(shù),

ai=l,an+i=\2

an-2n,n為偶數(shù)、

⑴證明｛如-2｝是等比數(shù)列，并求｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明:當(dāng)n>2時(shí),。2侖S2〃.

解析⑴由已知得02〃+2二32〃+1+2〃+1=/〃2〃-4〃)+2幾+1二32〃+1,所以〃2/+2-2=:(。2"-2).

因?yàn)閟乎n+l=|q2=#0,所以『安，

222%1-22

所以｛。2廣2｝是以，為首項(xiàng)年為公比的等比數(shù)列，

所以。2"-2=-/0，所以a2〃=-(m+2,

所以｛々2〃｝的通項(xiàng)公式為42“=-。+2.

(2)證明：由儂=拈)+2知。2"-2=拈)+2,

所以。2〃-1=。2止2-2(2〃-2)=6-4"-0,

z1\n

所以〃2九-1+。2后8-4〃-315),

所以S2〃=(ai+O2)+(Q3+〃4)+.?.+(。2個(gè)1+。2〃)

-8-4xl-3xQ)1J+L8-4x2-3xQ)2J+...+L8-4H-3X_=8止4(1+2+...+〃)-3

_o4n（n+l）3]

—------Dx----i---

21-2

=-2〃2+6〃-3+3x（|）"=-2（n-|）2+|+3xQn.

當(dāng)瘧2時(shí)的-S2“=-g）+2+2（律一|）-|-3x（|）.

令於曰（一滬

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x>2時(shí),1Ax）單調(diào)遞增.

又42）=0,

所以它2時(shí)，有犬x）N0,即2（%-|）2+j-4x（|）X>0,

所以當(dāng)n>2時(shí),G2”-S2侖0,即當(dāng)ri>2時(shí),。2侖S”

4.（2024福建三明質(zhì)量檢測(cè),18）已知數(shù)列｛或｝滿足ms…即is=（e）M+%〃GN*.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛麗｝的前n項(xiàng)和為S”,若不等式對(duì)任意的“?N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的

取值范圍；

（3）記。后1T，求證:練絲+簽空+...+組等<魚（〃EN*）.

Iog2璐Vbiy/bn

解析（1）因?yàn)閍i?ai…an-i?an=G[^）M+九①，

所以當(dāng)n>2時(shí)⑷?〃2..5M1=（金）6-1）2+"-1②.（1分）

n

由米得at,=2,（2分）

因?yàn)閹?1時(shí)<71=2也符合上式，

所以z=25￡N*.（4分）

⑵由⑴知,的=與等=2/1-2,（5分）

因?yàn)椴坏仁剑?1產(chǎn)外〃-14^^對(duì)任意的“?N*恒成立，

又S〉0且S,遞增，

所以（-1）小仁工+芳對(duì)任意的〃GN*恒成立，（7分）

因?yàn)镾I=2,52=6,S3=14,S4=30,（8分）

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),對(duì)任意的“?N*恒成立，即江回+當(dāng)

Sn'Wmin

因?yàn)镾2=6>W4所以kg,（10分）

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),-出的+芹對(duì)任意的“GN*恒成立，即-4sli，

因?yàn)橐?2<舊<53=14,所以（5陞+=9,-t<9,

'5n/min

所以t>-9.（12分）

綜上可知,-把烤.（13分）

1

（3）證明:因?yàn)閎n=2=^-,（14分）

log2aq2n

所以｛況｝是遞減數(shù)列，

所以J1+1<J，，（15分）

所以巧譽(yù)=2（b薩力<2先爛=2（五一倔二）,

VDnZVDn'Dn~rDn+l

若+黃+…+^32（亞-倔+倔-倔+.??+西-河二）<2'/=魚,

原不等式得證.（17分）

練風(fēng)向

1.（新定義理解）（多選）（2024安徽安慶二模,11）滿足ai=2,a2=l,a"+2=a〃+i+a"（〃?N*）的數(shù)列｛加｝

稱為盧卡斯數(shù)列，則（BCD）

A.存在非零實(shí)數(shù)f,使得｛?！?1+勿〃｝（“?2）為等差數(shù)列

B.存在非零實(shí)數(shù)/,使得｛麗+5｝（〃?2）為等比數(shù)列

C.3an+2=an+4+an（nGN*）

2024

D.2i=i（-1）七尸。2023-3

2.（新定義理解）（2024浙江溫州第二次適應(yīng)性考試,18）數(shù)列｛〃〃｝,｛如｝滿足:｛瓦｝是等比數(shù)

歹U,bi=2,〃2=5,且〃仍1+。2歷+…+Z瓦=2（癡-3）力1+8（〃￡N*）.

（1）求an,bn；

（2）求集合A=｛%|O㈤⑴瓦）=0,運(yùn)2〃/￡N*｝中所有元素的和;

⑶對(duì)數(shù)列｛品｝，若存在互不相等的正整數(shù)代危，…為（心2）,使得%+C&+...+%.也是數(shù)列｛品｝

中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛0｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛斕,｛為｝是不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若是,

求出所有j的值;若不是，說(shuō)明理由.

解析（1）V〃山1=2（。1-3）"+8/i=2,:.ai=2,

又。也+。2岳=2（。2-3）歷+8/1=2,〃2=5,:.Z?2=4,

???｛況｝是等比數(shù)列,｛%｝的公比為淀=2,：.bn=2n,

當(dāng)n>2時(shí)，。仍1+。2歷+..?+。沱i⑤-1=2（。個(gè)i-3）瓦-1+8,

則a〃從=2（。〃-3）a-2（?！?卜3）瓦-1,

將瓦二2〃代入,化簡(jiǎn)得公=2（加3）-（廝-卜3）,

得^a〃-i=3（〃N2）,

???｛〃〃｝是公差為3的等差數(shù)列，，麗=ai+（〃-l）d=3〃-L

⑵記集合A的全體元素的和為S,

集合小…,。2九｝的所有元素的和為42〃=2九（6；1+2）=6幾2+%

a2

集合N=｛玩。2,…,。2”｝的所有元素的和為B2n==22n+1-2,

1~—2y

集合MCN的所有元素的和為T,則有S=A2n+B2n-T,

對(duì)于數(shù)列｛仇｝:當(dāng)〃=2hl伏WN*）時(shí)力2-=22"=（3-1產(chǎn)i=3p-l（peN*）是數(shù)列｛詞中的項(xiàng)（由二

項(xiàng)展開式的特征得到），

當(dāng)〃=26左?N*）時(shí)/2k=2歷2=2（3?1）=3飲2（q@N*）不是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)，

a

%-1$2n>^Iog2（6n-l）-l.^ogzCen-lj+l】嘀（6廣1）+1］（其中

:.7="+。3+—+。2/1,其中

印表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)）.

..7;2（1一?。?。82（6九-1）+1一

.?.S=6〃2+〃+22，F(xiàn)3.4[F"L±

⑶當(dāng)戶3雙加GN*）時(shí),%+*+...+%是3的正整數(shù)倍，

故一定不是數(shù)列｛板｝中的項(xiàng)；

當(dāng)/=3"l（mCN*）時(shí),*+*+???+%除以3余1,不是數(shù)列｛詞中的項(xiàng)；

當(dāng)尸3冽+l（m@N*）時(shí),*+*+…+%除以3余2,是數(shù)列｛a〃｝中的項(xiàng).

綜上，數(shù)列｛詞是'和穩(wěn)定數(shù)列"，此時(shí)j=3加+1（加6N）

數(shù)列｛為不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下:

不妨設(shè):l<h<k2<...<kj,則bkl+bk2+...+bk.>bk.,且

瓦廣電+…+%劭i+"2+…+%=21+22+...+2勺=2號(hào)+1一2<2芍+J%+i，

故如+也也,.+%不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng).

數(shù)列｛況｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

3.（新定義理解）（2024山東泰安一模,19）已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列｛詞的前n項(xiàng)和為S*,

且ai=2,a2=4,aQi+i=2S〃（S"+i+S止i-2SQ（〃GN*,且n>2）.

⑴求數(shù)歹U目的前n項(xiàng)和Tn.

⑵定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G-數(shù)列”.證明：

①對(duì)任意k<5且左?N*,存在“G-數(shù)列”｛況｝，使得bi^ak<bk+i成立；

②當(dāng)k>6且左?N*時(shí),不存在“G-數(shù)列”｛面,使得cm<am<cm+i對(duì)任意正整數(shù)m<k成立.

解析（1）?！叭?尸2&（8+1+為一1-25〃）=2的（呢+1/"）（〃之2）」..｛z｝各項(xiàng)均不為0且遞

增，??Ctn+1-Cln^Q^

?。。_anan+l

（2分）

an+l-an

：.2S-i=an-ian（n>3）,，2a,尸3+」?！?/p>

nan-an-lan+l-anan-an-l

化間得I-2Q〃）=0（〃N3）,

an+1+an-1=2an（n>3）,（4分）

*.*41=2,32=4,/.a2〃3=2S2（S3+Sl-2s2）,?'?43=6.

???｛斯｝為等差數(shù)列,（5分）

1

/.an=2n,Sn=n+n,（6分）

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