第11講 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）（原卷版）

第11講圓與圓的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型二：求兩圓的交點(diǎn)題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長題型五：圓的公切線條數(shù)題型六：圓的公切線方程題型七：圓系問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個公共點(diǎn)；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點(diǎn)；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時，兩圓相交；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓外離；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含．知識點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．【典例例題】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）兩圓和的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)圓，圓，則圓，的位置（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離題型二：求兩圓的交點(diǎn)【例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，P為圓C1：上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓：的切線，切點(diǎn)為T，則滿足的點(diǎn)P有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【例3】（2023·高二課時練習(xí)）若圓與圓外切，則＝（

）A．21 B．19 C．9 D．【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考期中）若，，且，則r的取值范圍是（

）A．(0，] B．(0，1] C．(0，] D．[0，2]【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎獔A與圓有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高級中學(xué)校考期中）圓：與圓：的公共弦長為________.【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線方程為___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦所在直線的方程為________．【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）圓與圓的公共弦長為______．題型五：圓的公切線條數(shù)【例5】（2023·高二課時練習(xí)）已知兩圓，，當(dāng)圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍________.【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，為平面上的動直線，點(diǎn)A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有______條．【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)校考期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離分別為4和9，則滿足條件的直線有__________條.【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·湖北襄陽·高二襄陽四中?？奸_學(xué)考試）圓與圓的公切線共有__________條題型六：圓的公切線方程【例6】（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）如圖，圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：_________【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀懗雠c圓和都相切的一條直線的方程__________．題型七：圓系問題【例7】過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．【對點(diǎn)訓(xùn)練14】已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求公共弦AB所在直線方程；（2）求過兩圓交點(diǎn)A、B，且過原點(diǎn)的圓的方程．【對點(diǎn)訓(xùn)練15】已知圓．求證：對任意不等于的實(shí)數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點(diǎn)的圓的方程．【對點(diǎn)訓(xùn)練16】已知圓和圓．（1）求證：兩圓相交；（2）求過點(diǎn)，且過兩圓交點(diǎn)的圓的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高二課時練習(xí)）若圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離4．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．46．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．17．（2023·高二課時練習(xí)）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．該圓的面積為 B．點(diǎn)在該圓內(nèi)C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切10．（2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習(xí)）已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為1011．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）設(shè)，圓與圓的位置關(guān)系可能是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離12．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長為C．圓C與圓相外切D．若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是三、填空題13．（2023·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.14．（2023·高二課時練習(xí)）到點(diǎn)、的距離分別為和的直線有________條．15．（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥校┮阎獔A與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍________．16．（2023·高二單元測試）已知圓和圓的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)M，且點(diǎn)M在直線上，則的最小值為_____.四、解答題17．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC的圓心為，且與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓的公共弦的長．18．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)可以作兩條直線與圓相切，切點(diǎn)分別為(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時，存在直線嗎？若存在求出直線方程，若不存在說明理由.19．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，動點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．(1)若，求兩條切線所在的直線方程；(2)求線段AB的最小值；(3)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（2023·福建莆田·高二莆田一中校考期末）（1）已知圓與圓.證明圓與圓相交；并求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求圓心既在第一象限又在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.21．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知圓C與圓M：相外切，且圓心C與點(diǎn)關(guān)于直線l：對稱．