2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)與解題模型專練：四邊形中模型、角度與面積（6大熱考題型）原卷版

難點(diǎn)與解題模型14四邊形中模型、角度與面積（6大熱考題型）

題型一：中點(diǎn)四邊形模型

題型二：十字架模型

題型三：對(duì)角互補(bǔ)模型

題型四：半角模型

題型五：四邊形中特殊角度問(wèn)題

題型六：四邊形中的面積問(wèn)題

題型突.精淮提分

題型一：中點(diǎn)四邊形模型

「藉T百T至「承....................I

ii

['中點(diǎn)四邊形"，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點(diǎn)而組成的四邊形，是四邊形

的內(nèi)接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態(tài):

（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）

（-）中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形

i

1.當(dāng)原四邊形對(duì)角線相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為菱形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為菱形

2.當(dāng)原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形

四邊形EFGH為平行四邊形

3.當(dāng)原四邊形對(duì)角線垂直且相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為正方形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為正方形

（二）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線之和

（三）中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

【中考母題學(xué)方法】

【典例1-1](2024?青海?中考真題)綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開(kāi)探究.

證明：SE、F、G、H分別是4B、BC、CD、D4的中點(diǎn),

國(guó)防、GH分別是VA3C和AACD的中位線，

EIEF=-AC,GH=-AC(①)

22----------------

?EF=GH.

同理可得：EH=FG.

團(tuán)中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①

（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想回，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后綾的證明過(guò)程.

（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想回，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后綾的證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③________④________

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④

【典例1-2】（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)

任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)分別是邊加的中點(diǎn)，順次連接E,￡G,",

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形瓦被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

圖1

尼翁（而"力尸汕“1654—1722）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下:

證明：如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)。作DM工AC于點(diǎn)M,交房于點(diǎn)N.

團(tuán)H,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，SiHG//AC,HG=^AC.（依據(jù)1）

2

RDN=NM,DM.

也DG=GC

2

回四邊形EFG"是瓦里尼翁平行四邊形，QHE〃GF,即族〃GQ.

^HG//AC,即〃尸Q,

回四邊形"是平行四邊形.（依據(jù)）

PQG20SDHPQG=HGMN=^HGDM.

=

國(guó)/ADC='AC'OM="G,DW,El^nHPQG^AADC■同理，…

任務(wù):

⑴填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形MCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG”,使得四邊形EFG”

為矩形；(要求同時(shí)畫(huà)出四邊形ABCD的對(duì)角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,2D得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形ER汨的周長(zhǎng)與對(duì)角線AC,助長(zhǎng)度

的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【典例1-3】(2024?江蘇泰州?三模)如圖，點(diǎn)E、F、G、”分別在菱形ABCD的各邊上.

圖1圖2圖3備用圖

【初步認(rèn)識(shí)】

(1)如圖1,若AE=AH=CF=CG,則四邊形EFGH一定是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【變式探究】

(2)如圖2,若AC、3D交于點(diǎn)。，E、”分別是AB、AD上一點(diǎn)，OE=OH,AE^AH,EO、"O的延

長(zhǎng)線分別交在CD、BC于點(diǎn)G、b，求證：四邊形￡FGH是矩形.

【深入思考】

(3)如圖3,若AC、3。交于點(diǎn)。，且49=10,8=5,當(dāng)滿足什么條件時(shí),可作出兩個(gè)不同矩形EPG”,

請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

(4)在(3)的條件下，設(shè)AH=x,AE=y,請(qǐng)?zhí)剿鳌放cx滿足的關(guān)系式.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1](2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))如圖1,已知四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H、依

次連接跖、FG、GH、HE、得到四邊形EFG”.

C

圖1圖2

⑴求證:四邊形EFG”為平行四邊形；

(2)連接AC與3。，當(dāng)AC與滿足什么條件時(shí)，四邊形瓦是矩形？

(3)如圖2,若四邊形ABCD是菱形，則四邊形ERGH是什么圖形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-2】(2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四邊形ABCD中，己知對(duì)角線AC=3D,點(diǎn)E,F,G,H

分別為AB,BC,CD,1M邊上的中點(diǎn)，連接跖，F(xiàn)G,GH,HE.求證：四邊形EFG”為菱形.

【變式1-3］（2023?陜西寶雞?一模）問(wèn)題提出

如圖1,在VABC中，AB^12,AC^9,DE//BC.若AD=4,則AE的值為.

問(wèn)題探究

如圖2,在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、4D的中

點(diǎn)，連接環(huán)、FG、GH、HE.若4?=14,3￡>=16,4103=60。，求四邊形EFG”的面積.

問(wèn)題解決

如圖3,某市有一塊五邊形空地ABCDE,其中/朋￡=445。=乙88=90。,48=60。米，80=800米，

AE=650米，￡>C=400米，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個(gè)四邊形花園MNG”,使點(diǎn)M、N、G、H

3

分別在邊AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan/BNM=:,請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的

面積最大的四邊形花園MNG”?若存在，求四邊形MNG”面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-4］（2024?寧夏銀川?一模）如圖1.在VA8C中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DE：

A

一7

操作1.將VADE繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。到△CEE的位置.

操作2.延長(zhǎng)DE到點(diǎn)E使EF=DE,連接CF.

試探究DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？B4--------------

圖1

（1）請(qǐng)結(jié)合操作1或操作2的方法所得出的結(jié)論，我們可以得到三角形中位線定理,

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）如圖2,四邊形中，對(duì)角線AC、5D相交于點(diǎn)O,四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H、依次

連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH.

圖2

①求證：四邊形EFG”為平行四邊形；

②當(dāng)AC與8。滿足一時(shí)，四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC與8。滿足一時(shí)，四邊形EFGH是菱形.

③若AC=16,次）=20,ZA（9fi=60°,求四邊形EFGH的面積.

【問(wèn)題解決】

（3）如圖3所示，在一個(gè)四邊形ABCD的草坪上修一條小路，其中點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別為邊48和邊。的中

點(diǎn)，且NA+NABC=90。，BC=6,AD=8,求小路P。的長(zhǎng)度.

圖3

【變式1-5](2023?黑龍江齊齊哈爾?三模)折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，有的同學(xué)玩過(guò)折紙，可能折過(guò)小動(dòng)物、

飛機(jī)、小船等.在折紙過(guò)程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).

如圖①，菱形紙片ABCD中,AB=4,ZA=60°.

B

圖①圖②圖③圖④

(1)活動(dòng)一:

如圖②，折疊菱形紙片ABCD,使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，則折痕的長(zhǎng)為,；菱形紙片的面積是

(2)活動(dòng)二：

如圖③，瓦EG,”分別是菱形紙片ABCD各邊的中點(diǎn)，分別沿著所，/G,GH,HE折疊并展開(kāi).猜想四邊

形E打汨是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

⑶活動(dòng)三：如圖④，先將菱形紙片沿AC折疊再展開(kāi)，點(diǎn)及EG,”分別在邊AB,8C,CD,D4上且

EF〃AC,再分別沿著石尸,尸&68,上石折疊再展開(kāi)，若四邊形￡7七”是正方形，則AE=；

⑷活動(dòng)四：如圖⑤，折疊菱形紙片ABCD,使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)F處，則折痕MN的長(zhǎng)為.

題型二：十字架模型

「藉i逗T系

i在正方形或矩形中存在兩條線段相交且垂直，因其形似“十字架"，所以我們稱其為“十字架”模型.

i

類型正方形過(guò)頂點(diǎn)型矩形過(guò)頂點(diǎn)型

圖示AFDAFn

FC""7---1

IL--------------------------J

BCBC

條件在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊在矩形ABCD中,點(diǎn)在邊AD上,CE

CD,AD上,AE_LBF±BD

解題思路利用正方形的各邊相等且四個(gè)角利用矩形的四個(gè)角均為直角及

均為直角，及AEXBF將同角的余CEXBD將同角的余角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明4ABF和4DAE證明ABCD和ZXCDE相似,進(jìn)而得

全等進(jìn)行求解到對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解

結(jié)論△ABF^ADAE.BF=AEASCD~ACDE,—=—

CECD

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為3,E為BC邊上一點(diǎn),BE=1.

將正方形沿GP折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形AGEF的面積為（）

C.6D.5

【典例2-2】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)了正方形后，小飛同學(xué)對(duì)正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段

的端點(diǎn)分別在正方形兩組對(duì)邊上的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究.請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：

如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)尸、E、G分別在AB、BC、CD上，且AELFG.

⑴尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)G作垂線交A3于點(diǎn)〃.（只保留作圖痕跡）

⑵證明AE=FG,將下面的過(guò)程補(bǔ)充完整.

證明：???四邊形A5C。是正方形，

,-.ZB=ZC=90°,BC=AB,

QHGLAB,

:.ZGHF=90°,

??.々=①一

vFGlAE,

..ZAFG-^-ZBAE=90°f

?.?NB4￡+NAEB=90。，

@_=ZAFG

ZB=ZC=/GHB=90°,

二?四邊形BCG”為矩形，

:.BC=GH,

:.@_=GH.

.(④)

.\AE=FG.

【典例2-3】（2024?河南?一模）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在正方形MCD中，已知所，求證:AE=BF.

甲小組同學(xué)的證明思路如下:

由同角的余角相等可得/AB尸=NZME.再由=ZBAF=ZD=90°,證得△ABJ&AZME(依據(jù)：

),從而得AE=3尸.

乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知/場(chǎng)=所，同樣可證得尸，證明思路如下：

由AB=ZM,=可證得Rt"lBF絲RtADAE(HL),可得zABb=NZME,再根據(jù)角的等量代換即可證

得AELJBF.

完成任務(wù)：

(1)填空：上述材料中的依據(jù)是(填"SAS"或"AAS"或"ASA"或"HL")

【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

同學(xué)們通過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)，己知尸可證得隹二所，已知/a=3/同樣可證得AE_LJB尸，為了驗(yàn)證這

個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究.

【遷移探究】

(2)在正方形A3CD中，點(diǎn)E在C。上，點(diǎn)M,N分別在AT>,BC上，連接力瓦腑交于點(diǎn)P.甲小組同學(xué)根

據(jù)MNJ_AE畫(huà)出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=AE畫(huà)出圖形如圖3所示.甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知

上亞，隹仍能證明皿=4￡,乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN=AE無(wú)法證明MNLAE一定成立.

圖3

①在圖2中，己知MN_LAE,求證：MN=AE；

②在圖3中，若=則4PM的度數(shù)為多少?

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在正方形ABCD中，相=3,點(diǎn)￡在邊A3上，點(diǎn)M在邊AD上，且AE=AM=1,點(diǎn)尸，N

分別在直線CD,BC上，若EF=MN,當(dāng)直線EF與直線"N所夾較小角的度數(shù)為30。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CP的

長(zhǎng).

【典例2-4】（2024?河南商丘?三模）（1）【操作判斷】

如圖1,在正方形中，點(diǎn)、E,F,G,"分別在邊AB,CD,AD,BC±,且EFLGH,則跖與G”的

數(shù)量關(guān)系為二

（2）【遷移探究】

如圖2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點(diǎn)E,F,G,"分別在邊AB,CD,AD,BC±,且

EFLGH,￡F與G”交于點(diǎn)。，試說(shuō)明（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化，如果結(jié)論不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變

化，請(qǐng)寫(xiě)出新結(jié)論并給出證明；

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖3,在mAABC中，ABAC=90°,AB=AC,當(dāng)點(diǎn)。為AC的三等分點(diǎn)，且AEL8D時(shí)，直接寫(xiě)出AE與

3。的數(shù)量關(guān)系.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（2024?江蘇徐州,模擬預(yù)測(cè)）某興趣小組在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，對(duì)四邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進(jìn)行了

如下探究：

【初探猜想】如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)、E,P分別是A3、A￡＞上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,若DELCF,

試判斷線段OE與CF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【類比探究】如圖2,在矩形ABCD中，AD=6,CD=3,點(diǎn)、E、/分別是邊AD、BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G、H

EF

分別是邊AB、CO上一點(diǎn)，連接跖，GH,若跖，GH,則=7=；

【知識(shí)遷移】如圖3,,在四邊形ABCD中，NZMB=90。，點(diǎn)石、廠分別在線段AB、AD上，且CELBZ"

連接AC,若VABC為等邊三角形，求片CE的值；

BF

【拓展應(yīng)用】如圖4,在正方形45CD中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且尸GLAE

交A石于"，連接斯和AG,當(dāng)相=2時(shí)，則石F+AG的最小值為_(kāi)_____.

AFDD

BCBEC

圖1圖4

【變式2-2］（2024?湖北恩施?三模）綜合與探究

問(wèn)題背景：如圖3,四邊形A3。是矩形，AB=mBC,點(diǎn)G、H、E分別是線段AD、BC、AB上的動(dòng)點(diǎn),

連接G/I,過(guò)點(diǎn)E作GH的垂線交線段C。于點(diǎn)尸（只考慮尸在C。上的情況）

ATJ

⑴①如圖1,當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到2點(diǎn)時(shí)，若AB=6,BH=2,…則正的值為

（直接寫(xiě)答案）

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)G不與A點(diǎn)重合，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到2點(diǎn)時(shí)，若加=2,試求器的值.

問(wèn)題探究:

⑵如圖3,當(dāng)G不與A重合,“不與2重合時(shí),用含根的式子表示箸的值?

問(wèn)題拓展:

9

（3）如圖4,將背景問(wèn)題中的矩形改成己知”在四邊形G8C尸中，ZC=90°,BG=?BC,sinZGBC=—,

G"，則等的值為.

.（直接寫(xiě)答案）

【變式2-3](2023?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))【探究證明】

(1)如圖1,矩形A8CD中，EF^\GH,EF分別交A8、CD于點(diǎn)E、F,GH分別交4。、8C于點(diǎn)G、H,求

丁EFAD

正:-G-H-=-A--B;

【模型應(yīng)用】

(2)如圖3,四邊形ABC。中，0ABe=90。，AB=AD=W,BC=CD=5,AM3￡W,點(diǎn)M、N分別在邊8C、AB

上,求質(zhì)的直

【變式拓展】

(3)如圖3,平行四邊形ABC。，AB=2,AlD=6,ZBAD=60°,直線/與平行四邊形相交，將平行四邊形

沿直線/折疊，當(dāng)其中有一組對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出折痕的長(zhǎng)度.

D

:D日FC；艱Z，V

AE”4NB6_-------、c心--------、c

圖1圖2圖3備用圖

題型三：對(duì)角互補(bǔ)模型

i指?點(diǎn)?迷?津

模型1:全等形一-90。對(duì)角互補(bǔ)模型

模型2:全等形-120°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型3:全等形一一任意角對(duì)角互補(bǔ)模型

模型4:相似形一-90。對(duì)角互補(bǔ)模型

【中考母題學(xué)方法】

【典例3-1】（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以

下探究.

Ar\1

在中，ZC=90°,AC=BC。是A3邊上一點(diǎn)，且一=-（"為正整數(shù)），E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn),

fBDn

過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交直線2c于點(diǎn)F.

【初步感知】⑴如圖1,當(dāng)“=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：4￡+2尸=立48,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

2

【深入探究】（2）①如圖2,當(dāng)〃=2,且點(diǎn)/在線段2C上時(shí)，試探究線段AE,BF,AB之間的數(shù)量關(guān)系，

請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直

接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）

【拓展運(yùn)用】（3）如圖3,連接所，設(shè)班的中點(diǎn)為若AB=2g,求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含”的代數(shù)式表示）.

【典例3-2】（2024?四川成都?二模）如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB（"為正整數(shù)），點(diǎn)E是BC邊上一

動(dòng)點(diǎn)，P為中點(diǎn)，連接PE,將射線PE繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，與矩形的邊交于點(diǎn)H

【嘗試初探】（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F在CD邊上時(shí)，試探究線段PE,抄之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)

寫(xiě)出結(jié)論并證明;

【深入探究】（2）若〃=2,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)尸在BC邊上時(shí)，求蕓的最小值;

BC

【拓展運(yùn)用】（3）若4?=2,設(shè)的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)E從點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程（用

含”的代數(shù)式表示）.

【典例3-3】(2024?河南?一模)已知NAC?=90。，點(diǎn)C是/493的角平分線O尸上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)

直角NA/CN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，兩直角邊CM,CN分別與直線Q4,08相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E.

(1)如圖1,若CDLQ4,猜想線段。D,OE,OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在射線Q4上，且CD與Q4不垂直，則(1)中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；如不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段O。，OE,OC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(3)如圖3,若點(diǎn)O在射線Q4的反向延長(zhǎng)線上，且OD=2,OE=8,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE的長(zhǎng)度.

【典例3-4】(2024廣東中考一模)如圖，已知NAO3=60。，在—493的角平分線上有一點(diǎn)C,將一

個(gè)120。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與射線。A相交于點(diǎn)。及

(1)如圖1,當(dāng)NOCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與Q4垂直時(shí)，請(qǐng)猜想OQ+OE與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)，OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與。1不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，(1)中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,當(dāng)/OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段OE與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

【典例3-5】（2024?江蘇淮安?一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究.

An1

在Rt^ABC中，NC=90。，AC=BC,。是A3邊上一點(diǎn)，且一=—（〃為正整數(shù)），E、尸分別是邊AC和

BDn

邊BC上的點(diǎn)，連接DE、DF,且2￡。尸=90。.

【初步感知】（1）如圖1,當(dāng)"=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=—AB,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

2

【深入探究】（2）①如圖2,當(dāng)"=2,試探究線段AE,BF,A3之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明;

②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,A3之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必

證明）.

【拓展運(yùn)用】（3）如圖3,點(diǎn)。為靠近B的四等分點(diǎn)，連接跖，設(shè)跖的中點(diǎn)為若AB=4攻，求點(diǎn)E

從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］（2024?江蘇??？家荒＃┤鐖D，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且NB4C=/ZMC,AB=15,

AD=12.過(guò)頂點(diǎn)。作于E,則——的值為（）

A.773B.9C.6D.7.2

【變式3-2](2024?安徽六安?三模)在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，某同學(xué)進(jìn)行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片

ABC(ZC=90°)內(nèi)剪取一個(gè)直角△。砂(/現(xiàn)/=90。)，點(diǎn)￡),E,F分別在AB,AC,BC邊上.請(qǐng)

完成如下探究：(1)當(dāng)。為AB的中點(diǎn)時(shí)，若NA=60。，ADEF=

(2)當(dāng)AC=3,3c=4、DE=2。尸時(shí)，AD的長(zhǎng)為

【變式3-3](2024?陜西?一模)問(wèn)題提出(1)如圖1,將直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線

AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E,線段PB和線段PE相等嗎？請(qǐng)證明；

問(wèn)題探究(2)如圖2,移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一條直

角邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決(3)繼續(xù)移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一條直角

邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

他11圖2

【變式3-4］（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分內(nèi)容.

我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸.如圖所示，OC是/AO3的平分線，P

是OC上任一點(diǎn)，作尸PEYOB,垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E.將，498沿OC對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PZ）與

PE完全重合.由此即有：角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

已知：如圖所示，OC是NAO3的平分線，點(diǎn)P是。C上的任意一點(diǎn)，PD±OA,PELOB,垂足分別為

點(diǎn)。和點(diǎn)E.

求證：PD=PE.

OEB

圖②

分析：圖中有兩個(gè)直角三角形尸。。和PEO,只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得尸￡>=PE.

（1）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程.

【定理應(yīng)用】（2）如圖②，已知OC是—AO3的平分線，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊。4、OB

上，連結(jié)PZXPE,ZAOB+ZDPE=180°.若NAC?=60。，OD+OE=5y/3,則OP的長(zhǎng)為.

（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，ZABC=60°,8E平分/ABC交AD于點(diǎn)E,連結(jié)CE,將CE繞點(diǎn)

E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)f落在邊A3上時(shí)，若BF+BC=126,則四邊形3CE5的面積為.

【變式3-5］（2024?北京?一模）在AABC中，AB=AC,/A=60。，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，作射線。E,與邊

交于點(diǎn)E,射線DE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，與直線AC交于點(diǎn)N（1）依題意將圖1補(bǔ)全；（2）小華通過(guò)

觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有?！?。江小華把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討

論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：由點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造一邊的平行線，利用全等三角形，可證/；

想法2：利用等邊三角形的對(duì)稱性，作點(diǎn)E關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)P,由NB4C與NEDP互補(bǔ)，可得/AED

與NA尸?；パa(bǔ)，由等角對(duì)等邊，可證。尸；

想法3：由等腰三角形三線合一，可得是NBAC的角平分線，由角平分線定理，構(gòu)造點(diǎn)D到AB,AC的

高，利用全等三角形，可證。....

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小華證明。尸（選一種方法即可）；

（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出BE,CF,之間的數(shù)量關(guān)系.

AA

D

圖1

題型四：半角模型

:指I點(diǎn)I迷I津

，“半角”模型是從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出兩條形成45。角的射線，這兩條射線與正方形的兩邊相交，從

而形成一個(gè)特殊的幾何圖形，如圖①,四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)EF分別在邊BC、CD上,NEAF=45。解決此類

問(wèn)題的方法是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，具體操作如下：

圖①圖②

:第一步:如圖②，將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使AD與AB重合，點(diǎn)F落在點(diǎn)G處；

;第二步:由旋轉(zhuǎn)可知/ABG=/D=90°,/BAG=/DAF,AG=AF,可得到G、B、E三點(diǎn)共線NGAE=/EAF=45°；

I

j第三步:得到結(jié)論:①/GAF=90°;②AAGEgAAFE;③EF=BE+DF.

i

【中考母題學(xué)方法】

【典例4-1］（2024?四川樂(lè)山?中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：

【問(wèn)題情境】

如圖1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、￡在邊上，且NZME=45。，BD=3,CE=4,

求DE的長(zhǎng).

解：如圖2,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACD,連接即，

圖1

由旋轉(zhuǎn)的特征得=ZB=ZACD',AD=AD',BD=CD'.

EINK4c=90°,ZDAE=45°,

BlZBAD+ZEAC=45°.

SZBAD=ZCAD',

SZCAD'+ZEAC=45°,BPZE4D,=45°.

BZDAE=ZDfAE.

在miE和"4E中，

AD=AD'ZDAE=ZD'AE,AE=AE,

回①.

^DE=D'E■

又ElNECD=ZECA+ZACD'^ZECA+ZB=90°,

El在RtZXECD中，②.

^CDr=BD=3,CE=4,

圖2

0DE=DE=⑶.

【問(wèn)題解決】

上述問(wèn)題情境中，"①"處應(yīng)填：；"②"處應(yīng)填：；"③"處應(yīng)填：.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬(wàn)變.

【知識(shí)遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形A3。的周長(zhǎng)的

一半，連結(jié)AE、AF,分別與對(duì)角線3。交于M、N兩點(diǎn).探究曲公MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖3

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形ABC。中，點(diǎn)、E、尸分別在邊BC、CD上，S.ZEAF=ZCEF=45°.探究BE、EF、。尸的數(shù)

量關(guān)系：（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）.

圖4

【問(wèn)題再探】

如圖5,在VABC中，ZABC=9Q°,AB=4,BC=3,點(diǎn)、D、E在邊AC上，且ND3E=45。設(shè)AD=x,

CE=y,求y與尤的函數(shù)關(guān)系式.

圖5

【典例4-2］（2022?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

點(diǎn)E,尸分別在BC,CD上，若NBAD=2/EAF,則=尸.

圖①

【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABC。.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A￡),A3上分別有景點(diǎn)M,N,且￡)M=100m,

2N=50（&-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線A/fN的長(zhǎng)比路線〃fAfN的長(zhǎng)少m

圖②

【典例4-3】(2022?貴州黔西?中考真題)如圖1,在正方形ABC。中，E,F分別是BC,C。邊上的點(diǎn)(點(diǎn)E

不與點(diǎn)B,C重合)，且ZE4F=45。.

(1)當(dāng)=「時(shí)，求證：AE=AF-,

(2)猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶如圖2,連接AC,G是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，GH1AE,垂足為K,交AC于點(diǎn)X且GH=AE.若DF=a,

CH=b,請(qǐng)用含a,6的代數(shù)式表示EE的長(zhǎng).

【典例4-4】（2022?貴州貴陽(yáng)?中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓

展探究.

An

如圖，在口ABCD中,AN為比邊上的高’寸，點(diǎn)M在仞邊上’且明=弧點(diǎn)E是線段加上

任意一點(diǎn)，連接8E,將沿BE翻折得

⑴問(wèn)題解決:

使點(diǎn)F與點(diǎn)加重合，則黑=

如圖①，當(dāng)440=60。，將AABE沿BE翻折后,

⑵問(wèn)題探究:

如圖②，當(dāng)/54。=45。，將AABE沿班翻折后,使EF〃BM,求—ABE的度數(shù)，并求出此時(shí)掰的最小

值；

⑶拓展延伸：

當(dāng)/區(qū)4。=30。，將AME沿BE翻折后，若EF_LAD,S.AE=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫(huà)出圖形，并求

出加的值.

【典例4-5】(2022?遼寧朝陽(yáng)?中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形ABCD中，0BAD=6O°,0fiCZ)=120°,

AB=AD,連接AC.求證：BC+CD=AC.

BC

「二

：DL-------------------aA

E-'

圖1圖2

⑴小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E,使DE=BC,連接AE.根據(jù)MAO+勖0=180。，推得回8+0AOC=18O。，

從而得到團(tuán)2=加1?！?然后證明AA￡)￡0A42C,從而可證BC+C￡)=AC,請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.

⑵【思維延伸】如圖2,四邊形A8C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD,連接AC,猜想8C,CD,AC之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑶【思維拓展】在四邊形A3C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD=R,AC與8。相交于點(diǎn)。.若四邊形

ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75。，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段。。的長(zhǎng).

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式4-1］（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題情境：如圖1,在四邊形ABCD中=/54￡>=120。，

ZB=ZADC=90°,E、尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且ZE4F=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量

關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明AABE空AADG,

再證明AAEF/AAGb,可得出BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

實(shí)際應(yīng)用：如圖2,在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD,四周修有步行小徑，且=

ZB+ZD=180°,在小徑8C,CD上各修一涼亭E,F,在涼亭E與尸之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)

量得ZEAF=；NBAZ>,跳=10米，。尸=15米，試在小王同學(xué)研究的基礎(chǔ)上，求兩涼亭之間的距離跖=

【變式4-2］（2023?吉林長(zhǎng)春?二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖①，點(diǎn)￡、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,

ZE4F=45°,試判斷BE、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系.小聰同學(xué)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使￡）G=3E,連接AG,

可證4ABE必ADG,進(jìn)而得到^AEF^^AGF,從而得出防、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.（不需

要證明）.

【類比引申】如圖②，四邊形ABCD中，ZBAD^90°,AB=AD,/B+ND=180。，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、

CD±,請(qǐng)回答當(dāng)44F與154D滿足什么關(guān)系時(shí)，仍有【問(wèn)題呈現(xiàn)】中BE、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系,

并給出證明.

【探究應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB=A￡>=60,-3=60。，ZADC=120°,NR4D=150。，點(diǎn)E、

廠分別在線段2C、CD上，且AE_LAD,OF=3073-30,直接寫(xiě)出線段跖的長(zhǎng).

【變式4-3］（2024?廣東深圳?一模）綜合與探究

【問(wèn)題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)尸89第12題（以下圖片框內(nèi)）.

如圖，AABC,均是頂角為42。的等腰三角形，BC,OE分別

是底邊，圖中的哪兩個(gè)三角形可以通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)而互相得到？

【初步探究】

(1)我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化.如圖1,在VABC與VADE中，

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求證：BD=CE.

【類比探究】

(2)如圖2,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)、E,尸分別是CD,8C上的點(diǎn)，S.DE=1.連接AE,AF,

EF,若ZEAF=45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出班'的長(zhǎng).

【深入探究】

(3)如圖3,D,P是等邊VABC外兩點(diǎn)，連接3。并取8。的中點(diǎn)且NAP￡>=120。，NMPC=60。.試

猜想出與尸D的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【拓展應(yīng)用】

(4)如圖4,在四邊形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2^3,BD二庖,請(qǐng)直接

寫(xiě)出3C的長(zhǎng).

圖1圖2圖3圖4

【變式4-4］(2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測(cè))［初步探究］

(1)如圖1,在VABC與VADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,易得BD=CE.請(qǐng)你寫(xiě)出證

明過(guò)程.

［解題反思］

以上我們可以把圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等聯(lián)系起來(lái)，并可以把特殊角度一般化.

［類比探究］

(2)如圖2,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E,尸分別是CO,3C上的點(diǎn)，且￡>￡=1.連接AE,AF,EF,

若N￡4F=45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出郎的長(zhǎng).

［深入探究］

(3)如圖3,D,尸是等邊VABC外兩點(diǎn)，連接8。并取80的中點(diǎn)且NAPD=120。，/MPC=60。.試

猜想a與PO的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

［拓展應(yīng)用］

(4)如圖4,在四邊形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2也,BD=庖,請(qǐng)直接

寫(xiě)出8C的長(zhǎng).

【變式4-5］(