2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：等腰三角形問題（含解析）

等腰三角形問題

一階方法突破練

1.如圖，點(diǎn)A,B在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格中確定格點(diǎn)C,使得.AABC是以AB為腰的等腰三

角形.

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+11與x軸交于點(diǎn)B,A(2,3)在直線上，在x軸上有一點(diǎn)C，使得△

4BC是以AB為底的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

第2題圖

3.如圖，已知拋物線)/=|%2_打_2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),

若.△P4C是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第3題圖

二階設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，直線.y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A,B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖①，連接BC,在y軸上存在一點(diǎn)D,使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)E,使△瓦4c是以AC為底的等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不

⑶如圖③，連接BC,在直線AC上是否存在點(diǎn)F,使△BCF是以BC為腰的等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)F的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

例題圖③

⑷如圖④，若拋物線的頂點(diǎn)為H,連接AH,在x軸上是否存在一點(diǎn)K,使△4HK是等腰三角形?若存在，求

出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(5)如圖⑤，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G,使△4CG是等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

例題圖⑤

三階綜合強(qiáng)化練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=必+4久-1與直線］:y=久-佼于A,B兩點(diǎn)

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)N,

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,用含m的式子表示出MN的長(zhǎng),并求出MN的范圍；

(3)(y軸上的動(dòng)點(diǎn))在y軸是否存在一點(diǎn)C,使得△ABC是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖①

備用圖②

2.如圖，拋物線y=|x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線BC的解析式為y=x-6.點(diǎn)

P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線.PE1%軸交直線BC于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.

⑴求拋物線的解析式；

(2)創(chuàng)新題?探究角的數(shù)量關(guān)系若點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)(且不與點(diǎn)O重合)，當(dāng)AE=2m時(shí)，請(qǐng)你猜想.乙4EP

與乙4co的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)(x軸上的動(dòng)點(diǎn))是否存在點(diǎn)P,使得△CEF是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且0B=304=3V3.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD,與BC交于點(diǎn)E,求器的最大值；

AE

(3)(對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn))若點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,使得.△BCM為等腰三角形?若存

在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

備用圖①

備用圖②

考向1等腰三角形問題

一階方法突破練

1.解：格點(diǎn)c的位置如解圖所示.

第1題解圖

2.解:.直線y=x+l與x軸交于點(diǎn)B,A(2,3),

..B(-L0),NABO=45°,..AB=3V2,

當(dāng)AB為底邊時(shí)，如解圖，作線段第2題解圖AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,連接AC,|yz

..AC=BC=3,lx；i

."ABC為等腰直角三角形，同。上

.-.C(2,0),第2題解圖

3.解:,.拋物線y=|%2_梟_2與X軸交于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,

.-.A(3,0),B(-l,0),C(0,-2),

.'.OA=3,OC=2,AC=V13.

1,點(diǎn)P在y軸上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),

則PC=\m+2\,PA=Vm2+9,

如解圖，①當(dāng)PA=CA時(shí)，以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧交y軸于點(diǎn)Px,此時(shí)點(diǎn)A在CP的垂直平分線上,

OPz=0C=2,.-.P式0,2);

②當(dāng).PC=CA=舊時(shí)，以點(diǎn)C為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)P2,P3,

|m+2|=V13,BPm+2=±V13,

解得小=舊一2或徵=-2-V13,

22(0，舊一2),「3(0,-2-V13);

第3題解圖

③當(dāng)PC=PA時(shí),作線段AC的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P4,

|m+2|=Vm2+9,BP(m+2)2=m2+9,解得m=^,

?.P4(0,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)或(0,V13-2)或(0,-2-VH)或(0，)

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：(1)..直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,.-.A(-3,0),C(0,3),

拋物線y=-尤2—2久+3與x軸交于點(diǎn)B,

如解圖①，當(dāng)ABCD是以BC為底的等腰三角形，作BC的垂直平分線交y軸于點(diǎn)D,則有BD=CD,

1,點(diǎn)D是y軸上的點(diǎn)，

.?.設(shè)DOd),.BD2=d2+l,

???CD2=(3-d)4BD=CD,

??.BD2=CD弓即d2+1=(3—d)弓解得d=g

.?點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(2)存在.

如解圖②，過點(diǎn)0作直線OP_LAC于點(diǎn)P,交拋物線于點(diǎn)E1,E2,則點(diǎn)E/2即為所求.

-,OA=OC=3,

-OP是線段AC的垂直平分線，

??.AP=CP,EiA=E1C,E2A=E2C.

，直線OP的解析式為y=-x,

y=-x

聯(lián)立

y=—%2—2%+3'

1-V13(1+V13

X=----X=----

解得?22

1+713,1—同'

2

1-V13.

丁);

例題解圖

(3)存在.

①當(dāng)BC=BF時(shí)，如解圖③，以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線AC于點(diǎn)F1,設(shè)F/,f+3),由題意可得，B

C2=10,BF^=(/-I)2+(/+3)2=2/2+4/+10,

2

BC=BFltBC=BF,,

10=2產(chǎn)+4f+10,解得兀=0(舍去),.f2=—2.，F(xiàn)i(-2,l)；

②當(dāng)BC=CF時(shí)，如解圖③，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線AC于點(diǎn)FzR,設(shè)F(m,m+3),

由題意可得CF2=62++3—3)2=2m2,BC2=10,

?.CF=BC,/.CF2=BC2,

?1-2m2=10,解得m=—時(shí)或m=V5.

???F2(-V5*-V5+3),F3(A/5-V5+3).

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2,1)或((-有，-遙+3)或(V5-V5+3);

(4)存在.

拋物線的解析式為y=—久2_2%+3=—0+1)2+4,

???A(-3,0),.-AH=2V5,

①如解圖④，當(dāng)AH為AAHK的底時(shí)，作AH的垂直平分線LL交x軸于點(diǎn)Q交AH于點(diǎn)L,

?,.L(-2,2),

設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b,將A,H兩點(diǎn)坐標(biāo)代入符y=2x+6,

???KiL1AH,

，設(shè)直線KJ的解析式為y=-^x+c,

將L（-2,2）代入得c=l,

直線KJ的解析式為y=-i%+l,

.?令y=0,得x=2,.*i（2,0）;

②如解圖④，當(dāng)AH為AAHK的腰時(shí)，以點(diǎn)A為圓心,AH為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)K2,K3,

止匕時(shí)AH=AK2=4K3=2V5,

.-.AT2（2V5-3,0）,&（-3-2V5<0）;

同理，以點(diǎn)H為圓心，AH為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)心此時(shí)K4與點(diǎn)B重合，即K4（l,0）.

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2,0）或（2遍-3,0）或（-3-2遙，0）或Q,0）；

由題意得，拋物線y=-%2-2%+3的對(duì)稱軸是直線x=-l,...設(shè)G(-l,n),

：.AC2=32+32=18,AG2=[-1-(-3)]2+n2=4+n2,CG2=12+(n-3)2=n2-6n+10.

當(dāng)AACG是等腰三角形時(shí)，分以下三種情況：

①當(dāng)AG=AC時(shí)，如解圖⑤，以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Gi,G2,

AG2=AC2,：.4+n2=18,解得n=±V14,

G1(-1-714),G2(-1--V14);

②當(dāng)CA=CG時(shí)，如解圖⑤，以點(diǎn)C為圓心,CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交對(duì)稱軸于點(diǎn)G3,G4,

???AC2=CG2,.-.18=n2-6n+10,解得n=3±V17,

G3(-l<3+V17),G4(-l<3-V17);

③當(dāng)GA=GC時(shí)，如解圖⑤，作AC的垂直平分線交對(duì)稱軸于點(diǎn)G5,

AG2=CG2,--4+n2=n2—6n+10解得n=l,

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（（-1，VI號(hào)或（-1,-舊）或（T，3+舊）或（-1，3-舊）或（-LD

三階綜合強(qiáng)化練

1.解:⑴,?拋物線y=*+4%-1與直線l:y=x-l交于A,B兩點(diǎn)

.聯(lián)立,曾不，解得仁：鹿二

⑵設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為((m，巾2+4m-1)則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,m-l),

...MN=m—1~(m2+4m_1)=—m2—3m=-(m+|)2+

?.點(diǎn)M是拋物線上A,B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),.一3<01<0,

-3<-1<0,-+1)+：的最大值為魯

MN的取值范圍為0<MN<2;

4

(3)存在.

?.A(-3,-4),B(0,-l),'AB=3V2,

①如解圖，當(dāng)AB是AABC的底時(shí)，作線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)C1,

-.C1D±AB,

，設(shè)直線CiD的解析式為：:y=-x+b,將點(diǎn)D(-1，-1)代入得b=-4,

，直線QD的解析式為::y=-x-4,.-.C1(0,-4);

②如解圖，當(dāng)AB是SBC的腰時(shí)，分別以點(diǎn)A,B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)C2,C3,C4,

??.AB=AC2=BCR=BC4=3V2.

BC2=6,

劭或(0,3V2—1)或

C2(0--7),C3(O>3V2-1),C4(O--1-3&),綜上所述,C點(diǎn)坐標(biāo)

(0--1-3V2).

第1題解圖

2.解:⑴???直線BC分別與x軸,y軸交于點(diǎn)B,C,/.B(6,0),C(0,-6).

,?拋物線y=|x2+bx+C經(jīng)過點(diǎn)B,C,

，將B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，

得｛18+。6”(=0,解得憶二;

；拋物線的解析式為y=|%2-2%-6;

(2)NAEP+NACO=90°.

理由：由⑴知拋物線的解析式為y=|x2-2%-6,令y=0,解得XI=-2,X2=6〃1A(-2,0),「QA=2,AC=

Vox2+OC2=2V10.

???AE=2V10,

.,.AC=AE,/.zACE=zAEC,

.?.zACO+zOCB=zPAE+zCBO.

?.OB=OC,/.zOCB=zCBO=45°,

，NACO=NPAE.

.NAEP+NPAE=90°,

.?.zAEP+zACO=90°;

(3)存在.

設(shè)P(m,0),則F(m^m2—2m—6^,E(m1m—6),EF2=|m—6—Qm2—2m—6)]=|m2+3m),

CE2=m2+(m-6+6)2=2m2,

CF2=m2+Qm2-2m-6+6)=m2+m2

當(dāng)ACEF是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

①當(dāng)CE=EF時(shí),

.-.CE2=EF2,2m2=—Im2+37n)

解得m=0倍去)或m=6+2&或m=6-2V2,

P(6+2A/2-0)或P(6-2&,0);

②當(dāng)CE=CF時(shí)，點(diǎn)(:在EF的垂直平分線上，

???+yF=2x(-6),

m—6+-m2—2m—6=—12,

2

解得m=0(舍去)或m=2,

③當(dāng)CF=EF時(shí),.CF2=EF^

22

???m2+m2—2—|m+3m)

解得m=4或m=0(舍去).

.■.P(4,0).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6+2V2-0)或(6-2魚，0)或(2,0)或(4,0).

3.解:(1)OB=30A=3V3,OA=V3,

.-.A(-V3,0),B(3V3,0),

.C(0,3),

拋物線的解析式為y=ax2+bx+3,

，將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，

3a—y[3b+3=0角妝曰a=—|

得27a+3回+3=0郵可

，拋物線的解析式為y=-^2+vx+3：

(2)【思路點(diǎn)撥】看見求比例關(guān)系或線段比值，可考慮利用相似三角形的比例關(guān)系求解.

如解圖①，過點(diǎn)D作DG±x軸于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AK，x軸交直線BC于點(diǎn)K,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d(k/O),將B(3遍,0),C(0,3)分別代入y=kx+d,

得+d=0

d=3

心-今,

解得

Id=3

，直線BC的解析式為y=-%+3,

??-X(-V3-0),

AT（-V3-4）,AK=4,

設(shè)點(diǎn)D[p'-^p2+誓P+3）,則F（p--yp+3）,

...DF=—|p2+V3p,