高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題（原卷版+解析）

微重點(diǎn)04平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題

平面向量中的最值與范圍問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系

數(shù)等的最值、范圍.解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，同時(shí)，

平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問(wèn)題的重要方法.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：求參數(shù)的最值（范圍）

★平面向弓四空管最值與-----?考點(diǎn)二求向量模、夾角的最值（范圍）

范圍問(wèn)題

考點(diǎn)三：求向量數(shù)量積的最值（范圍）

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：求參數(shù)的最值（范圍）

規(guī)律方法利用共線向量定理及推論

（1）a//b0a=幾人（Z?W0）.

⑵應(yīng)=兒應(yīng)+〃龍（4,〃為實(shí)數(shù)），則4B,C三點(diǎn)共線o4+〃=L

[例1]（2023?漳州模擬）已知△48G點(diǎn)2滿足反'=|礪，點(diǎn)￡為線段切上異于C,，的動(dòng)點(diǎn)，若瀛=AAB

+n~AC,則〃+的取值范圍是.

【變式1】設(shè)非零向量a"的夾角為心若㈤=2|引=2,且不等式|2a+引2|a+才引對(duì)任意的。恒成立，

則實(shí)數(shù)A的取值范圍為（）

A.[-1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【變式2】（23-24高三上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）在“1BC中，點(diǎn)。在線段AC上，且滿足

蒞=g正，點(diǎn)Q為線段8。上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足通=x1g+y/，則2*+4〉的最小值

為

【變式2】.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知向量方,5滿足|萬(wàn)|=1,方=（2友,1）,且而+5=C（2eR）,則函

數(shù)/0）=3》+必-0>-1）的最小值為______.

1+X

【變式4】（2023?深圳模擬）過(guò)△被7的重心G的直線/分別交線段46,2。于點(diǎn)￡,F,若亞=［葩，AF=

PAC,貝!J1+〃的最小值為（）

A"B—

4

C-D.1

O

考點(diǎn)二：求向量模、夾角的最值（范圍）

易錯(cuò)提醒找兩向量的夾角時(shí)，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是［0,n］.若向量a,6的夾角

為銳角，包括a?6〉0和a,b不共線；若向量a,的夾角為鈍角，包括a?6〈0和a,Z）不共線.

1

【例1】（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）己知向量。，區(qū)為單位向量，且。r為r=-金1，向量與5r+36共線，

則I方+*的最小值為.

【例2】（1）己知e為單位向量，向量a滿足（a—e）?（a-5e）=0,則|a+e|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

⑵平面向量a,6滿足|a|=3|6|,且Ia—3=4,則a與a—6夾角的余弦值的最小值為.

4

【變式1】（2023?安慶模擬）已知非零向量46的夾角為夕，|a+b|=2,且|司||引》可，則夾角J的最小

O

值為（）

JIJIJIJI

A-TB-Tc-上萬(wàn)

【變式2］（2023?杭州模擬）已知a=（1,2）”6=（1,1）,且a與a+且6的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)4的取值范

圍為.

【變式3】（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知向量a5為單位向量，且。為=-萬(wàn)，向量^與5+36共

線，則|5+*的最小值為.

考點(diǎn)三：求向量數(shù)量積的最值（范圍）

規(guī)律方法向量數(shù)量積最值（范圍）問(wèn)題的解題策略

⑴形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征

直接進(jìn)行判斷.

⑵數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等

問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.

【例3】（1）（2023?開封模擬）等腰直角三角形/6C的直角頂點(diǎn)力在x軸的正半軸上，點(diǎn)8在y軸的正半

軸上，點(diǎn)。在第一象限，且43=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝煙的取值范圍是（）

B.I0,

（2）（2023?全國(guó)乙卷）已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點(diǎn)4直線陽(yáng)與。。交于8,C兩點(diǎn)，D為

況的中點(diǎn)，若刃|=4，則行?麗勺最大值為（）

A.1+^B.I+；也C.1+72D.2+72

【變式1】（2023?臺(tái)州模擬）已知戶是邊長(zhǎng)為2的正六邊形/況嬌內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，〃為邊6c的中點(diǎn)，則

筋?初取值范圍是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【變式2]（2023?邵陽(yáng)模擬）已知四邊形/靦是邊長(zhǎng)為1的正方形，尸為對(duì)角線上一點(diǎn)，則潮?（PB+

的的最小值是（）

11

O----

A.B.4C.2D.12

【變式3】（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）己知點(diǎn)〃為直角AABC外接圓。上的任意一點(diǎn),

ZABC=90°,AB=1,BC=y[3,貝1|（次一礪）?兩的最大值為.

強(qiáng)化訓(xùn)練

單選題

1.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量Z,b,且同明=5,|￡+4=6,貝川扇+而一）的最小值為

（）

A24n,「16「12

A.—B.4C.—D.—

555

—.3—>

2.（23-24高三上?江西吉安?期中）AABC中，。為AC上一點(diǎn)且滿足C￡>=：C4,若P為BD上一點(diǎn),

且滿足衣=2而+〃記，九〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.M的最小值為]

B.加的最大值為1

lo

c.J+；的最大值為16D.J+的最小值為4

X4〃X4/j

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在"IBC中，O為線段AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，|AD|=2|DC|.連接8。，

在線段8。上任取一點(diǎn)E,連接AE,若通=“恁+6而，則的最小值為（）

,13”5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

4.（2023?安徽安慶?二模）已知非零向量Z,B的夾角為巴麻@=2,且同雁；則夾角。的最小值

為（）

7Cc兀c兀r兀

A.—B.-C.-D.一

6432

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知非零且不垂直的平面向量滿足|闔+|5|=6,若d在B方向上的投影

與5在日方向上的投影之和等于（無(wú)5），則百石夾角的余弦值的最小值為（）

A.2B,C,1D.2

272733

6.（23-24高三下?北京海淀?開學(xué)考試）已知A3是圓。：爐+,=1的直徑，C、。是圓。上兩點(diǎn)，且

/COD=60。，則（碇+而）,礪的最小值為（）

A.0B.C.—3D.—2\/3

7.在AABC中，點(diǎn)。為AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足反=3而，點(diǎn)P是直線80，AE的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸做一條

直線交線段AC于點(diǎn)M,交線段BC于點(diǎn)N（其中點(diǎn)M,N均不與端點(diǎn)重合）設(shè)由'=機(jī)而，CN=,iCB,

貝的最/］、值為（）

A.B.廿至C.-D.-

5555

8.（23-24高三上?陜西安康?階段練習(xí)）已知。是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

函+礪+云=6,麗7=%順,標(biāo)=以花,該均為正數(shù)，則W的最小值為（）

144

A.—B.—C.1D.一

293

二、多選題

1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量￡=西，b^OB，c=OC，且Z是單位向量，

—1

a-b=2,a-c=-,則下列結(jié)論正確的是（）

A.

-2-1-

B.若4B,。三點(diǎn)共線，則。=彳力+彳。

33

C.若向量54與工_￡垂直，則B+"-24的最小值為1

D.向量與弓的夾角正切值的最大值為史

4

—.2—?

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形A3c中，AD=-AC,且點(diǎn)尸在以AD

的中點(diǎn)。為圓心，Q4為半徑的半圓上，若麗=%麗+丁元，則下列說(shuō)法正確的有（）

—.—.13

B.BDBO=—

2

C.麗?瓦存在最大值

D.x+y的最小值為氈+1

9

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱ABCD-4與CQ］中，底面/題?為菱形，ZR4D=60°,

AB=AD=AAi=2,戶為cc,的中點(diǎn)，點(diǎn)O滿足雙=2成+〃西（幾《0』，〃?。』），則下列結(jié)論中正確

的是（

A.若X+〃=g,則四面體A0P。的體積為定值

B.若△ABQ的外心為。，則4原即為定值2

c.若石，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為叵

D.若4=1且〃=g,則存在點(diǎn)EeA3,使得AE+EQ的最小值為也+2回

三、填空題

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知向量萬(wàn)，B滿足向=2,何=1,且日，B的夾角為2，則歸-悶（/leR）

的最小值是.

2.（23-24高三上?山西太原?期末）已知非零向量Z，B夾角為",則莊網(wǎng)的最小值為.

3\b\------

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在四邊形A3CD中，AB=AC=AD=，ABLAD,則赤?也的最小

值為.

四、解答題

1.如圖，在△/回中，AB=2,AC=y/n,cosZBAC=^~,2為歐的中點(diǎn)，￡為"邊上的動(dòng)點(diǎn)（不

22

含端點(diǎn)），與方交于點(diǎn)。，AE^xAB.

⑵求前?豆的最小值，并指出取到最小值時(shí)x的值.

2.（22-23高三?北京?階段練習(xí)）已知非零平面向量Z,石的夾角為,，忖=B+W=1.

（1）證明：忖_石卜退w；

⑵設(shè)teR,求％+詞的最小值.

3.（22-23高三上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí)）己知@=（sinx+cosx,2cos0）,5=12sin6?,；sin2x

⑴若Z=（-3,4）且x=：,9e（O,無(wú)）時(shí)，￡與"的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍；

⑵若。音函數(shù)=￡區(qū)求“X）的最小值.

4.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,6是單位圓（圓心為。）上兩動(dòng)點(diǎn)，C是劣弧A8（含端點(diǎn)）上

的動(dòng)點(diǎn).記反=彳西+〃礪（A,〃均為實(shí)數(shù)）.

（1）若。到弦力8的距離是4.求2+〃的取值范圍；

（2）若13次-礪向量2麗+礪和向量瓦+礪的夾角為6，求cos?。的最小值.

5.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，線段DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,

并繞點(diǎn)G轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊AB,AC于點(diǎn)。E,設(shè)而=機(jī)；岳，通=”工，其中0<%41,0<〃41.

⑴求'的值；

mn

⑵求VADE面積的最小值，并指出相應(yīng)的"7,〃的值.

微重點(diǎn)04平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題

平面向量中的最值與范圍問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系

數(shù)等的最值、范圍.解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，同時(shí)，

平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問(wèn)題的重要方法.

?考點(diǎn)一：求參數(shù)的最值（范圍）

平面向量數(shù)量積的最值與

?考點(diǎn)二：求向量模、夾角的最值（范圍）

范圍問(wèn)題

考點(diǎn)三：求向量數(shù)量積的最值（范圍）

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：求參數(shù)的最值（范圍）

規(guī)律方法利用共線向量定理及推論

⑴a//b<^a=46（6W0）.

⑵應(yīng)=/龍+〃花（3〃為實(shí)數(shù)），則4B,。三點(diǎn)共線0八十〃=1.

【例1】（2023?漳州模擬）已知△/品點(diǎn)，滿足瓦=［礪，點(diǎn)￡為線段切上異于G，的動(dòng)點(diǎn)，若港=兒誦

+NAC,則1“+的取值范圍是.

【答案】（1，］

【解析】由題意設(shè)市=加/，（0,1）,

,一3->

因?yàn)?C=w劭，

所以為=標(biāo)上;（jc-AB）>

OO

ll.-?—*■—?―*■777（_\（.1J1\―?IU_?

所以/￡=/C+6F=ZC+g\AC~AB）13^

又誦=才荔+idAC,

99

所以A2+〃2=]++2

oy

又因?yàn)閙e（0,1）,由二次函數(shù)的性質(zhì)得

所以的取值范圍是『，-J.

【變式1】設(shè)非零向量a,6的夾角為%若㈤=2㈤=2,且不等式|2a+引2|a+力引對(duì)任意的Q恒成立,

則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.[―1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【答案】A

【解析】???非零向量a,b的夾角為心若?=21引=2,

/.|a|=2,Z?|=1,

a,Z>=2XIXcos9=2cos9,

?.?不等式|2a+引N|a+4人對(duì)任意的夕恒成立，

(2a+6)°》(a+=6)2,

4a2+4a,b+6'Na'+24a?b~\~,

整理可得(13—42)+(8—44)cos。三0恒成立，

cosJe[—1,1],

[13—4~+8—4X20,

【變式2］（23-24高三上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）在AABC中，點(diǎn)。在線段AC上，且滿足

歷=；恁，點(diǎn)。為線段上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足而=xI5+y/,則2*+4了的最小值

為.

【答案】20

【分析】根據(jù)題意，由B,。,。三點(diǎn)共線可得無(wú)+2y=l,x>0,y>。，再由基本不等式，即可得到結(jié)果.

由B,。,。三點(diǎn)共線可得x+2y=l,x>0,y>0,

則2*+4y=2工+22y>2y]2x-22y==2應(yīng)，

當(dāng)且僅當(dāng)2,=22y時(shí)，即x=時(shí)，等號(hào)成立，所以2,+4>'的最小值為2vL

故答案為：2亞.

【變式2].（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知向量萬(wàn)方滿足|川=1石=（2后,1）,且須+5=0（4eR）,則函

數(shù)/0）=3_￥+必-0>-1）的最小值為______.

1+X

【答案】3

【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系及已知求得回=3,代入已知函數(shù)并利用基本不等式求函數(shù)最小值，注意取

值條件.

【詳解】VAa+5=0(2eR),：.Aa=-b

33

貝！I/(x)=3x+------=3(l+x)+--------3,由于I>—1,則

1+X1+X

故/(x)=3(1+x)+-------3>2,3(1+x),-------3=3,

當(dāng)且僅當(dāng)3(x+l)=土即l=0時(shí)取等號(hào)，

???函數(shù)””的最小值為3.

故答案為：3

【變式4】（2023?深圳模擬）過(guò)△/回的重心G的直線,分別交線段四，然于點(diǎn)/F,若礪=4誦,AF=

PAC,則，I+〃的最小值為（）

A.|十?dāng)炭?+2/

B-3

4

C-3D.1

【答案】C

9

【解析】如圖，若〃為比1的中點(diǎn)，又G為的重心，則4G,〃三點(diǎn)共線，且加=可質(zhì),

0

因?yàn)槲迤?lt;誦+J否=37瀛+;亦，所以玩=上誦+4亦即花=3荔'+4萬(wàn),

NNN/N〃LJN/N〃J/J〃

又瓦G,尸三點(diǎn)共線，所以3+4=1,

故幾+〃=(4+〃)[YT+TTJ

當(dāng)且僅當(dāng)/=〃=1時(shí)，等號(hào)成立.

考點(diǎn)二：求向量模、夾角的最值(范圍)

易錯(cuò)提醒找兩向量的夾角時(shí)，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是[0,n].若向量a,6的夾角

為銳角，包括a?6〉0和a,6不共線；若向量a,8的夾角為鈍角，包括a?6〈0和a,。不共線.

【例1】(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知向量商，B為單位向量，且向量與5+36共線，

2

則IB+刊的最小值為.

【答案】叵

14

【分析】令"=?￡+3B)JeR,利用向量模的計(jì)算公式把|5+刊表示成力的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.

【詳解】因向量下與5+3力共線，令三而+3&JeR,

____rr1

則B+C=〃+(I+3，)B,而向量互，B為單位向量，且。為二-'，

于是得b+c=J,a+(l+3/)J)=+2?]+3/)〃石+(]+3/)2很2

=J7t2+5t+l=J7(^+—)2+—>-，

Y十DEV142814

當(dāng)且僅當(dāng)好小時(shí)取J”

所以|5+*的最小值為變.

14

故答案為：叵

14

【例2】（1）已知e為單位向量，向量司滿足（a—e）?（a—5e）=0,則|a+e|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】可設(shè)e=(1,0),a=(x,y),

貝!J(a—e),(a-5e)=(x-1,y)?(x—5,y)

=/—6x+5+/=0,

即(^―3)2+y=4,

則1WXW5,—2WJ<2,

2

Ia+e\=?~x+1~~+y=yl8x—4f

當(dāng)x=5時(shí)，,8x—4取得最大值6,

即|a+e|的最大值為6.

(2)平面向量a,b滿足|a|=3|引,且|a—引=4,則a與a—6夾角的余弦值的最小值為

【答案】七

【解析】如圖所示，設(shè)a=灑,b='而,

A

匕

貝ija-b=BA,

設(shè)|引\a\=3777,

又|a—引=4,則1＜加2,

-=3工互

2\OA\?\BA\

W+16-ffl,2jm22y[2

=24^—二三+五廠2\j三.指=3

當(dāng)且僅當(dāng)1/，即片小時(shí)，等號(hào)成立?

4

【變式1】（2023?安慶模擬）已知非零向量46的夾角為夕，|a+引=2,且|司|引2可，則夾角。的最小

值為（）

【答案】C

【解析】由|a+引2=4,

得㈤2+|6「+2|a|,|b\cos0=4,

即4221al,|b\(1+cos9)^^(1+cos9),

當(dāng)且僅當(dāng)㈤=|引時(shí),等號(hào)成立，

1

兀

又-

e/V-e-n

10JI3

2,

JI

所以?shī)A角。的最小值為

【變式2】(2023?杭州模擬)己知a=(1,2),6=(1,1),且a與a+A6的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范

圍為.

【答案】［一I，o］u(0，+°°)

【解析】因?yàn)閍=(l,2),b=(1,1),

所以己+幾6=(1+幾，2+4)，

因?yàn)椤放ca+的夾角為銳角，

所以a,(a+46)>0,且3與a+不共線，

所以I口+1幾++A22W+24+4,>0,

5

解得幾>一耳且見#0,

O

所以4的取值范圍為(一I，o)u(0,+8).

rr1

【變式3】(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知向量萬(wàn)，石為單位向量，且向量］與5r+36共

線，則I方+11的最小值為.

【答案】亙

14

【分析】令)=f(￡+35)/eR,利用向量模的計(jì)算公式把|萬(wàn)+1|表示成大的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.

【詳解】因向量e與5+3力共線，令三而+35),feR,

____rr1

則石+c=〃+(l+3/訪，而向量石為單位向量，且。2=-5,

于是得B+c=J,Q+（1+3，）B）=不（q+2/（l+3，）aZ+（l+3，）2片

=折+5"1=N答,

當(dāng)且僅當(dāng)/=-三時(shí)取“=”，

14

所以|B+e|的最小值為變.

14

故答案為：叵

14

考點(diǎn)三：求向量數(shù)量積的最值（范圍）

規(guī)律方法向量數(shù)量積最值（范圍）問(wèn)題的解題策略

⑴形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征

直接進(jìn)行判斷.

（2）數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等

問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.

【例3】（1）（2023?開封模擬）等腰直角三角形49C的直角頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上，點(diǎn)8在y軸的正半

軸上，點(diǎn)C在第一象限，且46=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則龍?澇的取值范圍是（)

【解析】由題意可得△的6為直角三角形,

且26=1,設(shè)布與茄的夾角為。，

則/（cosa,0）,6（0,sina）,

其中a￡（0,日，

如圖所示，則由等腰直角三角形的性質(zhì)可得。（cosa+sina,cosa）,

％一而44

-coscos

11

--cos-24+-

222

JI兀5JI

又2。十4￡了‘T

所以sin"a+2

則取應(yīng)乳，巧刊.

（2）（2023?全國(guó)乙卷）已知。。的半徑為1,直線用與。。相切于點(diǎn)4直線處與。。交于8C兩點(diǎn)，D為

理的中點(diǎn)，若|如|=十，則行?湯的最大值為（）

A.B.1+產(chǎn)c.1+A/2D.2+A/2

【答案】A

【解析】連接力，由題可知|的|=1,OALPA,

因?yàn)閨戶。|=加，

所以由勾股定理可得|以|=1,

JI

則/加=1.

設(shè)直線如繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。后與直線加重合,

JIJIJI

則一了〈“＜彳，//聯(lián)丁+9,

且1勿=/cos9.

所以湯.~PD=\~PA\|^?|cosly+0\

^cosf—+8

=M^COS。

=cos0—sin9cos夕

='1+'|cos29-；sin20

所以當(dāng)夕=—2時(shí)，布?瓦取得最大值，為空位.

oZ

【變式1】（2023?臺(tái)州模擬）已知戶是邊長(zhǎng)為2的正六邊形山?曲內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，〃為邊回的中點(diǎn)，則

崩?硼取值范圍是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【解析】如圖，過(guò)戶作孫U/〃于兒則淳?存|淳||就cos//W=±|旃?|而，分別過(guò)C,尸作呢L

AM,FHVAM,K,〃為垂足，

則當(dāng)“與"重合（即戶與。重合）時(shí)，薩?就取得最大值，當(dāng)從與〃重合（即戶與尸重合）時(shí)，辦?標(biāo)得最

小值，

因?yàn)槭钦呅?，所以以四為x軸，/￡為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則/（0,0）,爾2,0）,C（3,事）,F（-L部）,〃是切的中點(diǎn)，則g,書，

AM=[^,乎;AC=（3,^3）,AF=（—1,?。?

一一1513一一5,3

AM9AC=—+-=9,AM9AF=--^-\-^=—1,

所以淳?硼取值范圍是[—1,9].

【變式2]（2023?邵陽(yáng)模擬）己知四邊形/灰力是邊長(zhǎng)為1的正方形，尸為對(duì)角線上一點(diǎn)，則行?（PB+

物的最小值是（）

11

A.0B.——C.——D..2

【答案】B

【解析】作出如圖所示的圖形，

PA?（PB+Pb）=兩?2PO.

令淳=AAC,則Ae[0,1],

一—一i一一n、一

PO=AO-AP=~AC-AAC=h~\AC,

'：PA?iPO=~AAC-

=（24~—4）-24,4e［0,1］,

當(dāng)4=］時(shí)，（翊*2Psmin=一；.

【變式3］（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）己知點(diǎn)〃為直角AABC外接圓。上的任意一點(diǎn),

ZABC=90°,AB=1,BC=6,貝?。荩ㄊ幸粴v》兩的最大值為.

【答案】j3

【分析】

根據(jù)題意，利用正弦定理求得AABC外接圓的半徑為r=1,結(jié)合向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)得到

（OA-OB^-BM=\BM\COSZABM,結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

設(shè)直角AABC外接圓的半徑為,,

由正弦定理得。-AC川3）+1.一故r=1,

r~sinZABC^1一

所以（西-麗卜兩=麗.麗=|麗|?（|甌8$/42M）=|?。ǎ?5/42M,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)圓上一點(diǎn)河作平行于BC的圓的切線時(shí)，此時(shí)|麗|cos/A8M最大,

由于O到BC的距離為d=J網(wǎng)=；,所以忸岡cos/A8M的最大值為d+rg故答案為：!

強(qiáng)化訓(xùn)練

單選題

1.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量Z,b,且同帆=5,忖+4=6,貝!］弧+可。eR）的最小值為

B.4

【答案】A

【分析】求出晨B的值，寫出M+，（/eR）的表達(dá)式，即可求出最小值.

【詳解】由題意,

?—?2—2一—?

??a+b+2a?Z7=36，

忖=忖=5,

■--?]2_?2一2

a，b=—7，+b\=t?a+2ta,b+b—25r+2tx（—7）+25—25產(chǎn)—14%+25,

當(dāng)％=（時(shí)，卜。+0取得最小值

???卜Ir〃+。1|的最小值為2三4，

故選：A.

—>3―?

2.（23-24高三上?江西吉安?期中）AABC中，。為AC上一點(diǎn)且滿足。。二:。4,若。為上一點(diǎn),

4

且滿足衣=丸谷+〃記，九"為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.%的最小值為丁B.入N的最大值為1

C短布的最大值為16D-萬(wàn)+樂(lè)的最小值為4

【答案】D

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)向量基本定理和共線定理得到彳+4〃=1,從而利用基本不等式求出比”的最大值為

上；CD選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.

【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)閲?guó)=之瓦，所以衣=4亞,

故/=2通+〃xe=4費(fèi)+4〃而,

因?yàn)槊袷?。三點(diǎn)共線，設(shè)PB=mBD，即AB-AP=mAD-mAB，

故AP=(l+m)AB—mAD,

令％=1+m,4"=-m,故X+4//=1,

B

44為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得2+4//=12=414i,解得，—,

16

當(dāng)且僅當(dāng)2=上"=：時(shí)，等號(hào)成立，所以加的最大值為J,AB錯(cuò)誤；

2816

.(%+4〃)=1+1+也

CD選項(xiàng),+U+R2=4,

/I4〃丫X4〃

當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)即八nJ時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在“RC中，O為線段AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，|仞|=2]。。.連接3D,

在線段8。上任取一點(diǎn)E,連接AE,若通=“衣+6麗，則力+〃的最小值為（）

,13“5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

【答案】C

【分析】

根據(jù)E在線段8。上得到費(fèi)=幾赤+。-幾）通，結(jié)合已知條件得到。，。和2的關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)求最小值.

【詳解】「E在線段8。上，AAE=AAD+（1-A）AB,2e[O,l],

9—

???。為線段AC的一個(gè)三等分點(diǎn),\AD\=2\DC\,：.AD=-AC,

__2_____.__.__.__.

AE=-AAC+(l-A)AB^aAC+bAB,

,2

由平面向量基本定理得。=§4,b=l-Q

/+//%+(1_42=與2_22+]=3八2]+3,

9v'99I13)13

???當(dāng)4=/9時(shí)，〃+〃取得最小值g4

故選：C.

4.（2023?安徽安慶?二模）已知非零向量5的夾角為凡口+@=2,且同忖2^,則夾角6的最小值

為（）

兀c兀21e兀

A.—B.—C.—D.一

6432

【答案】C

【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積運(yùn)算律及題設(shè)可得422同./（l+cos，），注意等號(hào)成立條件，結(jié)合已知不等條件

求6范圍，即可得最小值.

【詳解】由卜+5]=4有同2+忸『+2同.Wcos6=4,即422同.W（l+cos，）Ng（l+cos，），

前一個(gè)等號(hào)成立條件為|￡|=出|，整理得COS64：.

由于6e[0,可，所以兀，于是夾角為。的最小值為三.

故選：C

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知非零且不垂直的平面向量。石滿足|引+|5|=6,若五在方方向上的投影

與方在萬(wàn)方向上的投影之和等于（無(wú)5）2,則商石夾角的余弦值的最小值為（）

2112

AA.—B.—C.-D.-

272733

【答案】A

【分析】

利用基本不等式得到|a|出區(qū)9,再利用投影的定義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則得到2石夾角的余弦值關(guān)于

I萬(wàn)1,1刈的表達(dá)式，從而得解.

【詳解】因?yàn)殄顋+|方1=6,所以|萬(wàn)防區(qū)團(tuán)+叫=9,

I2J

當(dāng)且僅當(dāng)I萬(wàn)|=|5|=3時(shí)，取等號(hào)，

設(shè)6,5的夾角為6,由題意得|創(chuàng)cosO+151cos。=（萬(wàn)石）？=|a|2|b|2cos20,

因?yàn)橄蛄糠橇闱也淮怪保詜且|四快0且cosdwO,

SI+出I6

所以cos8=>

⑷2出產(chǎn)5一藥,

7

所以日石夾角的余弦值的最小值為2.

27

故選：A.

6.（23-24高三下?北京海淀?開學(xué)考試）已知A3是圓。：/+/=1的直徑，c、。是圓。上兩點(diǎn)，且

ZCOD=6Q°,貝I（雙+歷）?通的最小值為（）

A.0B.—\/3C.—3D.—2-\/3

【答案】D

【分析】由題意設(shè)弦C。的中點(diǎn)為E,然后利用平面向量的數(shù)量積從而求解.

【詳解】由題意知，不妨設(shè)弦CD的中點(diǎn)為E,因?yàn)镹COD=60。，則ACOD為等邊三角形，所以可得

則3+礪=2礪，設(shè)礪與血的夾角為6（。3夕《兀），

所以（反'+歷）通=2配通=cc|詞|明3co夕=?0,

因?yàn)閏os。e[-1,1],所以（反+而）府的最小值為-2石，故D正確.

故選：D.

7.在AABC中，點(diǎn)。為AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足反=3而，點(diǎn)P是直線BD，AE的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸做一條

直線交線段AC于點(diǎn)交線段8C于點(diǎn)N（其中點(diǎn)Af,N均不與端點(diǎn)重合）設(shè)國(guó)=機(jī)b，CN=nCB，

則加+”的最小值為（）

【答案】B

【分析】由題意作跖〃AC交8。于凡可推出不=:，利用向量的線性運(yùn)算推出CP=zC4+?C2,結(jié)

AP455

—.1.3-?13

合題意推出CP=-CW+二CN,根據(jù)三點(diǎn)共線可得丁+}=1,結(jié)合“1”的妙用，即得

5mjn5m5n

13

機(jī)+”=（加+"）（「+F）,展開后利用基本不等式，即可求得答案.

5m5n

EFPE

【詳解】作EF〃AC交8。于凡連接CP,則△EFPs/\ADP,故大=不，

ADAP

A

M

BNEC

由于點(diǎn)。為AC邊上的中點(diǎn)，故AD=CD,

__"—?BE1DA八―,,EFBE1

EC=3BE，故==：，又MEFSABCD,1^—=—=-,

BC4CDBC4

,,PEEF1

故——=——=-，

APCD4

貝lj方二4+福=互+：亞=夙+：(方一兩

1—?43—?1—?3—.

=-CA+-x-CB=-CA+-CB,

55455

由于兩=CN=nCB,故存=』-.+?-西，

5m5n

13

因?yàn)镸,尸,N三點(diǎn)共線，故+三=1,

5m5〃

所以根+〃=(根+〃)(^—+—)=—+-^―+>—+2\m_4+2^/3

5m5n55m5n5)775

當(dāng)且僅當(dāng)4=理，結(jié)合;+3=i,即根=1±走,"=1!也時(shí)等號(hào)成立,

5m5njmjn55

即加+〃的最小值為土超目,

5

故選:B

8.（23-24高三上?陜西安康?階段練習(xí)）已知。是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

國(guó)+岳+灰^。，赤二無(wú)通，刀7=＞正,礪=4西x,y均為正數(shù)，