人教版2024-2025學年八年級下冊數(shù)學期中考試壓軸題訓練（含解析）

人教版2024-2025學年八年級下冊數(shù)學期中考試壓軸題訓練

一、選擇題

1.已知。+r=4,次?=2,則Jg+1的值為(

\aClvD

A.2V2B.2C.V2D.1

2.已知遮=a,V14=b,則A/0.063=()

ab3abab3ab

A.—B.-----C.—D.-----

1010100100

3.如圖，E1是團ABC。內(nèi)一點，EDLCD,EBLBC,ZAED=135°,連接EC,AC,BD,

下列結論：

①/ADE=NABE；

②△BCE為等腰直角三角形；

@DE+AB=&BD；

@AE2+AB2=AC2,

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個E

已知-1V0,化簡J(a+—4—J(a—62+4的結果為()

4.

2

A.2aB.-laC.--D.-

aa

5.如圖，在一個大長方形中放入了標號為①，②，③，④，⑤五個四邊形，其中①，②為

兩個長方形，③，④，⑤為三個正方形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙.若想求得長

方形②的周長，甲、乙、丙、丁四位同學提出了自己的想法：

甲說：只需要知道①與③的周長和;乙說:只需要知道①與⑤的周長和;

丙說：只需要知道③與④的周長和;丁說:只需要知道⑤與①的周長差.

下列說法正確的是（)

A.只有甲正確B.甲和乙均正確

C.乙和丙均正確D.只有丁正確

第5題圖第7題圖

二、填空題

6.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點P為斜邊BC上的一個動點，

過P分別作PE±AB于點E,作PF±AC于點F,連接EF,則線段EF的最小值

為?

7.如圖，在正方形ABC。中，AB=3,點E,尸分別在8,4。上，CE=DF,BE,C尸相

交于點G,連接DG.點E從點C運動到點D的過程中，DG的最小值

為.

8.任意一個四位正整數(shù)根=/加，如果它的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零，千位與十位上的

數(shù)字之和是10,百位與個位上的數(shù)字之和是9,則這個數(shù)稱為“十拿九穩(wěn)數(shù)”.將機的千

位與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)后的四位數(shù)記為加，其中F(m)=竺薩，若

"⑺)+4a+106+1=12,貝！］2a+b值為.

9.若9+舊與9-g的小數(shù)部分分別為a和b,則(a+3)(6-4)的值.

10.如果y=V比-2024+V2024—X—1,那么歹=.

11.“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，在如圖所示的弦圖中，大正方形ABCD是由四個

全等的直角三角形和一個小正方形組成的.若43=逐，ZCED^ZCDE,則的

面積為.

三、解答題

12.如圖，點A為y軸正半軸上一點，點B為x軸負半軸上一點，點C為無軸正半軸上一

點，AO=a,BO=b,CO=c,且a,b,c滿足a=7a—b+7b—a+c.

(1)若c=3,求AB的值；

(2)已知點。為x軸上一動點，連接AD,以A。為邊作等腰直角△">￡,ZDAE^90°.

①如圖1,當點。在BC上運動時(點。不與8、C重合)，連接CE,判斷線段8D,CD,

DE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②如圖2,當點。在8C延長線上運動時，連接CE,BE,在(1)的條件下，若2E=10,

求DE?的值；

(3)如圖3,若點。在第一象限且在AC上方運動，連接A。，以為邊作等腰直角4

ADE,ZDA￡=90°,連接BD,CE交于點F,連接CO,BE,在(1)的條件下，若C。

=5,AD=6,求BE的值.

圖1圖2圖3

13.如圖1,在平面直角坐標系xOy中,A(a,0),B(0,6),C(-。,0),且后三+^-46+4=

0.

Cl)求證：ZABC=90°

(2)NAB。的平分線交x軸于點。，求。點的坐標.

(3)如圖2,在線段AB上有兩動點M、N滿足NMON=45°,求證：BM2+AN2=MN2.

圖1

14.如圖，在平面直角坐標系中，點B(a,8)是第一象限內(nèi)一點，且a、6滿足等式Va-4+

四一1|=0.

(1)求點B的坐標；

(2)如圖1,動點C以每秒1個單位長度的速度從。點出發(fā),沿x軸的正半軸方向運動，

同時動點A以每秒3個單位長度的速度從。點出發(fā)，沿y軸的正半軸方向運動，設運動

的時間為t秒.當△ABC是以為斜邊的等腰直角三角形時，求f的值；

(3)在第(2)問中的點A、C運動條件下，當△ABC為直角三角形時，作/A3C的平

分線30(參考圖2)設的長為根，△ADB的面積為S.請直接寫出用含根的式子表

示S.

圖1圖2

15.如圖1,在平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)一點尸("，機)，且"加=18.過點尸作PM

軸交于點M，交AB于點E,過點尸作PNLx軸交于點N,交AB于點?已知點A

(0,a)點B(b,0)且a、b滿足b=7a—6+76—a+6.

(1)求點A、B的坐標；

(2)判斷由線段AE,EF,FB組成的三角形的形狀，并說明理由；

(3)①當機="時，如圖2,分別以PM、0P為邊作等邊△PMC和△尸。。，試判斷PC

和C。的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；

②當相W”時，如圖3,求NE。尸的度數(shù).

16.已知點A(xi,yi),B(x2,”)，則AB之間的距離為J(/-久2尸+(當一月因.

(1)若已知點A(-1,1),B(1,0),求線段AB的長；

(2)在(1)的條件下，若存在點C8,1),請判斷aABC的形狀，并說明理由;

(3)若y=2x+5+V久2一6久+45,求當x為何值時，y取最小值.

17.用四個全等直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的

弦圖.其中每個直角三角形的直角邊長分別為a、b(a〈b),斜邊長為c.

(1)結合圖①，證明勾股定理.

(2)如圖②，將這四個全等直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到八邊形

ABCDEFGH,若該八邊形的周長為24,0H=3,求該八邊形的面積.

(3)如圖③，將圖①中的每個直角三角形繞著斜邊的中點旋轉180。得到新的直角三角

形拼接成正方形PQWN,將圖③中正方形PQWN、正方形ABC。、正方形EEG*的面積

分別為Si、S2、S3,若Sl+S2+S3=18,則52=.

圖①圖②圖③

18.長方形AOC。在平面直角坐標系中的位置如圖：A(0,a)、C(b,0)滿足=+|b

-10|=0.

(1)求a,b的值；

(2)點E在邊CO上運動，將長方形AOCD沿直線AE折疊.

①：如圖①，折疊后點。落在邊OC上的點尸處，求點E的坐標；

②：如圖②，折疊后點。落在無軸下方的點尸處，AF與OC交于點M,EF與OC交于

點N,豆NC=NF,求。E的長.

19.如圖，在正方形ABC。中，A2=4,點￡是對角線AC上的一點，連結。E.過點E作

EFLED,交AB于點F,以DE,跖為鄰邊作矩形。EFG,連結AG.

(1)求證：矩形OEPG是正方形；

(2)求AG+AE的值；

(3)若廠恰為的中點，請求出AE的長.

參考答案

一、選擇題

題號12345

答案ADCAA

1.【解答］解：,：a+b^4,ab=2,

ab

_72x4

=^~

=2VL

故選：A.

2.【解答】解：V0.063=

_3岳回

=~loo-

VV5=〃，V14=b,

?.?原式=鬻.

故選：D.

3.【解答】解：①延長DE交48于點R如圖,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,NBAD=NBCD,AD=BC,

'：ED±CD,

：?ED_LAB,

：.ZAFD=ZBFD=90°,

'：ED±CD,EBLBC

：.ZCDE=ZCBE=9Q°,

?；NCDE+NCBE+NBCD+NBED=36U°,

ZBCD^ZBED=180°,

9：ZBEF+ZBED=1SO°,

:./BEF=NBCD,

：.ZBEF=ABAD,

???ZBAD+ZADE=ZABE+ZBEF=90°,

ZADE=ZABE,

故①正確；

在AAE/中，VZAFE=90°,ZAEF=180°-ZAED=45°,

：.ZEAF=ZAEF=45°,

：.AF=EF,

：.AADF^AEBF(AA5),

：.AD=BE,

'：AD=BC,

：.BE=BC,

VZEBC=90°

???ABCE為等腰直角三角形，

故②正確；

AADF當AEBF,

:.DF=BF,則△BDF為等腰直角三角形，

；./BDE=45°,

過點B作BG±BD交DC延長線于點G,則/DBE=ZGBC,

VZBCD+ZBE￡>=180°,NBCZ)+/BCG=180°,

：.NBED=NBCG,

；BE=BC,

:.△BDE"ABCG(ASA),

：.CG=DE,BD=BG,ZBDE=ZBGC=45°,則△BAG為等腰直角三角形,

：.DG=DC+CG=AB+DE,

由等腰直角三角形可知，DG=VBA+"2=V2BD,

：.AB+DE=DG=夜BD,

故③正確；

由勾股定理可知，AE2=<AF2+EF2=V2XF,則4F=*AE,

過點C作CHLAB于H,則CH=DF,

；CD=BC,

：.AADF^/\BCH(HL),

:.AF=BH,

/2萬

則C”=DF=BF=AB-節(jié)AE,BH=AF=EF=勺AE,

/o/o

：.AC2=AH2+CH2=(ZB+帝E/+(AB-^AE)2=2AB2+AE2,

故④不正確；

故選：C.

11

當-1V〃V0時，原式=〃一公+-+a=2a.

故選：A.

5.【解答】解：設③的邊長為〃，④的邊長為兒②的寬為羽

，⑤的邊長為②的長為：a+a+b=2a+b,①的長為x+a,寬為b-a,

???②的周長為：2(2a+b+x)=4a+2b+2x,

???①的周長=2(x+tz+Z?-a)=2x+2b,③的周長為4a,

???①與③的周長和為：4a+2b+2x,

???甲的說法正確；

1,①的周長=2(x+a+Z?-a)=2x+2b,⑤的周長為2(〃+/?)=2a+2b,

①與⑤的周長和為：2a+2b+2x+2b=2a+^b+2x,

，乙的說法錯誤；

二?③的周長=4〃，④的周長=4。，

，③與④的周長和為：4a+4b,

...丙的說法錯誤；

?⑤的周長為2(a+b)—la+lb,①的周長=2(x+a+b-a)—2x+2b,

⑤與①的周長差為：2a+2b-2尤-26=2。-2x,

丁的說法錯誤；

綜上可知：說法正確的只有甲,

故選：A.

二、填空題

6.【解答】解：連接AP,如圖1所示：

:在RtZXABC中，ZBAC=90°,PELAB,PF1AC,

四邊形AEPF是矩形，

：.EF=AP,

:點P為斜邊BC上的一個動點，圖1

線段EF的最小值為線段AP的最小值，由點尸到直線BC的距離中垂線段最短，過A

作AP_L2C,如圖2所示：

在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,則由勾股定理可

得BC=7AB2+AC2=V32+42=5,

11

.?.由等面積法可得SAABC^AB-AC=^BC-AP,即3X4=5AP,

解得4P=卷,圖2

故答案為：—.

7.【解答】答案為美三.

8?【解答】解：根據(jù)題意，c=10-a,d=9-b,

*.*m=10006Z+100/?+lOc+d,

:?m'=1000。+100d+1Qa+b,

.\m-m'=l000。+100/?+1Oc+d-(1000。+100J+1Oa+b)

=990a+99b-990c-99d

=99X(lOtz+Z?-10c-d),

：.F(m)==10a+6-10c-d,

§PF(m)=lOa+b-10(10-a)-(9-b)=20a+2b-109,

?/7f(m)+4a+10Z)+1=12,

(.20a+2b-109)+4a+10b+l=144,

24a+12b-108=144,

24a+126=252,

2a+/?=21.

故答案為：21.

9.【解答］解：V3<VT3<4,

/.12<9+V13<13,-4<-V13<-3,

.,.fl=9+V13-12=V13-3,5<9-V13<6,

：.b=9—月—5=4-g,

(fl+3)Cb-4)=(g-3+3)X(4-V13-4)=-13,

故答案為：-13.

10.【解答】解：由題意得：x-202420,2024-x'O,

解得：x=2024,

則y=-1，

(-1)2024=1,

故答案為：1.

11.【解答］解：如圖，,：ZCED=ZCDE,

:.CE=CD,

；NCFE=NCGD=90°,DG=CF,

：.RtACFF^RtADCG(.HL),

:.EF=CG,

:.AE=EH=EF=BF=CG=FG,

,?AB2=AE^+BE1=AE2+(2AE)2=(V5)2,

；.AE=1,BE=2,

:.EH=DH=\,

：.DE=V2,

連接CH交。E于M,

垂直平分。E,

:.DM=/DE=芋,ZCMD=90°,

：.CM=>JCD2-DM2=竽，

入一，11r3V23

.?.△CDE的面積為-DE-CM=-xV2x——=

2222

3

故答案為：

三、解答題

12.【解答】解：(1)Va=y/a^b+Vb^a+c,

??a-b20且Z?-

.\a=b=c=3f

在RtAAOB中，48=，/R2+8。2=V32+32=3魚；

(2)(DBa+cN=D爛;

理由如下：：△ABC和△AOE是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE^90°,

：.ZBAC-/DAC=ZDAE-ZDAC,

即N3Ar>=NEAC,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE^

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,ZACE=ZABD=45°,

：.ZDCE=ZACE+ZACD=45°+45°=90°,

?.在RtADCE中，C爛+CD2=DE2,

:.BD2+CD2=DE2；

②同①得：AABD名AACE(SAS),

：.ZABD^ZACE^45°,BD=CE,

：./BCE=ZACE+ZACB=90°,

在RtABCE中，CE=VBE2-BC2=V102-62=8,

：.BD^8,

：.CD=BD-BC=8-6=2,

VZBCE=90°,

:.NDCE=90°,

在RtAZ)C￡中，￡)￡2=CEr+CD1=82+22=68,

即DE1的值為68.

(3)-：AD=6,

.?.在心△&￡)￡中，DE2=AZ)2+AE2=62+62=72,

記EC與A。交于點G,同(2)得：AABD名AACE(SAS),

：.NADB=ZAEC,

又NFGD=/AGE,

；./DFE=/EAD=90°,

在RtZXEFD和中，DE2=EF2+DF2,BC2=BF2+CF2,

在RtZXEFB和RtzMJFC中，BE2=FE2+BF2,CD2=DF2+CF2,

：.DE2+BC2=BE2+CD2,

即72+36=BE2+25,

：.BE=V83.

13.【解答】解：(1)62—46+4=0.,

：.Va^2+(b-2)2=0,

則a—2,b—2,

；.OA=OB=OC,

AZABC=90°；

(2)如圖1,過點。作。于E,

：OA=OB=2,

圖1

：.AB=VOX2+OB2=V22+22=2V2,

平分NAB。，

：.OD=DE,

設OD—x,

1

'/S^AOB=^OA,OB=SAOBD+S^ABD,

111

x2X2=5x2Xx+77x2v2xx,

222

解得：x=2或—2,

：.D(2A/2-2,0)；

(3)證明：如圖2,過點。作。ELOM,并使OE=OM,連接AE、NE,

V90°,ZMOE^90°,

：.NMOB=ZAOE,

在△MOB和△EOA中，

OB=OA

乙MOB=Z.EOA,

OM=OE

：.AMOB^AEOA(SAS),

：.BM=AE,ZOBM=ZOAE,

：.ZNAE=90°,

122

：.AE+AN=ENf

在AMON和AEON中，

OE=OM

乙MON=乙EON,

ON=ON

:AMON經(jīng)AEON(SAS),

:.MN=NE,

:.BM2+AN2=MN2.

14.【解答】解：(1)點B(a,b)是第一象限內(nèi)一點，且a、b滿足等式而R+|b-1|=0.

.'.a-4=0,b-1=0,

:?〃=4,Z?=l,

：.B(4,1)；

(2)如圖1,過3作軸于

?；B(4,1),

；?BH=1,

由題意得。4=3/,OC=t,

???AACB是以AB斜邊的等腰直角三角形，

：.AC=BC.ZACB=90°,

ZACO+ZBCH=90°,

,??5H_Lx軸,

：.ZOHB=90°,

：.ZBCH+ZCBH=90°,

???/ACO=/CBH,

VZAOC=ZCHB=90°,

在△AOC與△CTffi中，

Z-AOC=乙CHB

Z.ACO=乙CBH,

AC=CB

：.AAOC^ACHB(A45),

???OC=BH=1,

:.t=1,

...當f=l時，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形；

(3)過點A作AFLDB,交8。延長線于RAP延長線交BC的延長線于點E.

/AFB=ZACB=NACE=90°,

：.ZCAE+ZE^90°,ZFBE+ZE^9Q°,

；./CBD=/CAE,

在△OCB和△ECA中

圖2

2CBD=Z.CAE

AC=BC,

/DCB=^ECA=90°

ADCB^AECA(ASA),

.\AE=DB=m,

在43剛和△BT屯中，

Z-ABF=Z.EBF

BF=BF，

ABFA=乙BFE=90°

ABFA^ABFE(ASA),

11

'?AF=EF==2m,

S=>?BD?AF=xmx=-rm2.

15.【解答】解：(1)9：b=Va^6+V6^a+6,

??〃=6,Z?=6,

?,?點A(0,6),點B(6,0)；

(2)由線段AE,EF,尸3組成的三角形的形狀為直角三角形，理由如下：

???點A(0,6),點8(6,0),

.9.AO=BO=69

：.ZOAB=ZOBA=45°,

VP(幾,m),

：.OM=PN=m,MP=NO=n,

：.AE^ME=V2(6-〃z),EP=A/2hn+n-6)=PF,BN=NF=五(6-n),

：.AEr=2(6-m)2=2(36+混-12%)，BF2=2(6-n)2=2(36+n2-Un),EF2=2

(.m+n-6)2=2(irr+rr+36~12m-I2n+2mn)=2(扇+”」+72-12m-12n),

:.AE2+BF2=EF2,

由線段AE,EF,FB組成的三角形的形狀為直角三角形；

(3)①PC=CD,PCLCD,理由如下：

'：PMLOM,ONLPN,NMON=90°,

四邊形PMON是矩形，

?冽=〃，

:.PM=PN,

???四邊形PMON是正方形，

：.PM=OM,

???△尸〃。和4尸0。都是等邊三角形，

:.PO=PD,PM=PC,ZMPC=ZOPD=60°,

：.ZMPO=ZCPD,

：.AMOP^ACDP(SAS),

:?CD=OM,ZPCD=ZPMO=90°,

：.CD=PC,PC.LCD；

②如圖，連接OF,OE,將△。尸3繞點。旋轉90°,得到△OHA,連接即，

：.AOFB^/\OHA,

：.OH=OF,ZOBA=ZOAH=45°,BF=AH,ZBOF=ZAOH,

；./HAB=90°,

：.AH2+AE2=HE2,

:.BF2+AE2=HE2,

又產(chǎn)，

:.HE=EF,

又：OET=OE,OF=OH,

：*XOEF空XOEH(SSS),

ZFOE=ZHOE,

：.ZEOA+ZBOF^ZEOF,

VZEOA+ZBOF+ZEOF=ZAOB=90°,NBx

.?.NEO尸=45°.圖

16.【解答】解：(1):點A(-1,1),B(1,0),

：.AB=V(-l-l)2+(l-0)2=V5；

故線段AB的長為遙；

(2)△ABC是等腰直角三角形，

理由：VAC=J(-l-1)2+(l-1)2=BC=J(l-1)2+(0-|)2=

：.AC=BC,AC2+BC2=I+I=5=AB2,

：.ZACB=90°,

/.AABC是等腰直角三角形；

(3)Vy=Vx2—2x+5+Vx2—6%+45=yj(x—l)2+22+^/(x-3)2+62,

代數(shù)式，(久一1尸+22+-3尸+62的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)

與點A(1,2)、點8(3,6)(2,3)的距離之和，

求y的最小值，相當于在x軸上找一點尸(尤，0),使得尸到點A(1,2)、點、B(3,6)

(2,3)的距離之和的最小值，

設點A關于x軸的對稱點為A',則出=必,，因此，求出+P8的最小值，只需求必'

+PB的最小值，由兩點之間，線段最短可得，PA'+PB的最小值為線段A'8的長度；

VA(1,2),

(1,-2),5,

過B作軸交A'H于H,交x軸于C,J

.?.△BCP的面積+四邊形M的面積=SmHB,2限

1II

A-x(3-x)X6+|x(3-x+2)X2=]x2x(2+6),

解得x-

答：當X為5時，y取最小值.

17.【解答】(1)證明：?..每個直角三角形的直角邊長分別為a、b(a<b),

每個直角三角形的面積為《b.

由題意得：中間小正方形的邊長為6-。，大正方形的邊長為c,

...中間小正方形的面積為(b-a)2,大正方形的面積為02.

:大正方形的面積=4個直角三角形的面積+中間小正方形的面積，

(Z?-〃)2+4X^ab=c2,

b2-lab+c^+lab=c2.

a2+b2=c2；

(2)解：??,八邊形ABCDEFGH的周長為24,

：.AB+AH=6.

設AH=x,則AB=6-x,

由題意得：0B=0H=3,

在RtZXABO中，

?.,OB1+O^=AB1,

(x+3)2+32=(6-x)2.

解得：x=l.

.\AH=1,

：.AO=AH+OH=4,

11

:?SAAOB=20A?05=2X4X3=6.

???將這四個全等直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到八邊形ABC。打尸GH,

???該八邊形的面積為4X6=24；

(3)解：由題意得：正方形石打汨的邊長為人-〃，

??Si=S正方形EFGH=(/?一4)2,

19

.,.S2=5I+4X,〃/?=(/?-a)+2ab,

.?.S3=SI+8X^ab=(Z?-〃)2+4ab.

???SI+S2+S3=18,

(/?-a)2+Qb-a>2+2ab-^-(b-a)2+4^/?=18,

A32+6?/?=18,

(b-a)2+2次7=6,

??S2=6.

故答案為：6.

18.【解答】解：(1)-：Va^8+ib-10|=0,

.fa=8

**t/?-10=0，

.Ca=8

F=10；

(2)①(0,8),C(10,0),

；Q=8,OC=10,

:四邊形AOC。是長方形，

.,.A￡)=OC=10,

設EC=x