自動控制理論課件 zk-2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)資料VIP

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2025/4/141導(dǎo)讀為什么要介紹本章?

分析、設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的第一步是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章主要講什么內(nèi)容?

首先介紹控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念，然后闡述分析、設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)常用的幾種數(shù)學(xué)模型，包括微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式、結(jié)構(gòu)圖等。使大家了解機(jī)理建模的基本方法，著重了解這些數(shù)學(xué)模型之間的相互關(guān)系。2025/4/142第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1

引言

2.2控制系統(tǒng)的微分方程

拉普拉斯變換

2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

狀態(tài)空間表達(dá)式

2.4

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2.5

信號流圖與梅遜公式

2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理主要內(nèi)容：2025/4/1432.1引言1、數(shù)學(xué)模型的定義根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動過程的物理、化學(xué)等規(guī)律，描述系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

簡言之，描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2、建立數(shù)學(xué)模型的目的建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是控制理論分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。自控系統(tǒng)的組成是多種的，但卻可能具有完全相同的數(shù)學(xué)模型。可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律。2025/4/1442.1引言微分方程（或差分方程）——時域傳遞函數(shù)（或結(jié)構(gòu)圖）——復(fù)域頻率特性——頻域4、常用數(shù)學(xué)模型3、建模方法解析法（理論建模）——本課研究實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識）——系統(tǒng)辨識課研究輸入輸出模型狀態(tài)空間表達(dá)式——時域狀態(tài)空間模型2025/4/1455、由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換S=jω頻率特性2.1引言2025/4/1462.2控制系統(tǒng)的微分方程對單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，采用下列微分方程來描述。

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a0y(t)=

bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b0x

(t)其中：

y(t)為系統(tǒng)輸出量，y(I)表示輸出的I階導(dǎo)數(shù)

x(t)為系統(tǒng)輸入量，x(I)表示輸入的I階導(dǎo)數(shù)1、微分方程的描述2025/4/147(1)根據(jù)系統(tǒng)情況，確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；(2)從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定律，列寫出各元部件的動態(tài)方程，一般為微分方程組；(3)消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；(4)將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化。2、建立微分方程的一般步驟2.2控制系統(tǒng)的微分方程2025/4/1482.2控制系統(tǒng)的微分方程具有由電阻、電容、電感、運(yùn)算放大器等元件組成的裝置。對于這類系統(tǒng)，要使用基爾霍夫電流和電壓定律，以及理想電阻、電感、電容兩端電壓、電流與元件參數(shù)的關(guān)系。(1)電氣系統(tǒng)3、微分方程2025/4/149例2-1：寫出

RLC串聯(lián)電路的微分方程LRCi①②解：據(jù)基爾霍夫電壓定理：將②代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。2.2控制系統(tǒng)的微分方程2025/4/1410例2-2：求理想運(yùn)算放大器電路的微分方程RRui(t)Cuo(t)+-解：理想放大器正、反相輸入端的電位相同，且輸入電流為零。據(jù)基爾霍夫電流定理：整理后得，這是一階系統(tǒng)。2.2控制系統(tǒng)的微分方程2025/4/14112.2控制系統(tǒng)的微分方程

存在機(jī)械運(yùn)動的裝置，遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。根據(jù)運(yùn)動的方式，包括牛頓第二定律和牛頓轉(zhuǎn)動定律。牛頓第二定律：牛頓轉(zhuǎn)動定律：(2)機(jī)械系統(tǒng)2025/4/1412例2-3：求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移y(t)。mfF圖1mF圖2解：圖1為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖，圖中m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。取向下為力和位移的正方向。2.2控制系統(tǒng)的微分方程質(zhì)量塊受力分析如圖2所示。根據(jù)牛頓第二定律，可列質(zhì)量塊的力平衡方程：2025/4/1413這也是一個兩階定常微分方程。y(t)為輸出量，F(xiàn)(t)為輸入量。2.2控制系統(tǒng)的微分方程其中：故整理得標(biāo)準(zhǔn)方程：2025/4/1414

同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)：具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1與例2-3為力－－電荷相似系統(tǒng)。思考題：給出雙RC電路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i22.2控制系統(tǒng)的微分方程2025/4/1415拉普拉斯變換連續(xù)時間對應(yīng)的復(fù)頻域是用直角坐標(biāo)表示的復(fù)數(shù)平面，簡稱為S

平面或連續(xù)時間復(fù)頻域（s

域）。S

平面上的每一個點(diǎn)s都代表一個復(fù)指數(shù)信號，整個S

平面上所有的點(diǎn)代表了整個復(fù)指數(shù)信號集。S平面S

平面上虛軸上的所有點(diǎn)代表整個周期復(fù)指數(shù)信號集2025/4/1416

①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：將一個時間域的函數(shù)變換到

s域的復(fù)變函數(shù)，式中

s為復(fù)數(shù)。記作F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)

為反拉氏變換記拉普拉斯變換2025/4/1417拉普拉斯變換只要x(t)

是實(shí)指數(shù)或復(fù)指數(shù)信號的線性組合，X(s)就一定是有理的，具有如下形式：N(s)和D(s)分別為分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。使N(s)

=0的根為X(s)的零點(diǎn)，在S平面上用“O”表示。使D(s)

=0的根為X(s)的極點(diǎn)，在S

平面上用“×”表示。例ReIm-1xx2s=jws-plane1多項(xiàng)式之比2025/4/1418(1)

線性性質(zhì)：(2)

微分定理：②性質(zhì)：拉普拉斯變換2025/4/1419(4)時滯定理：(5)初值定理：(6)終值定理：(7)卷積定理：拉普拉斯變換(3)積分定理：(設(shè)初值為零)2025/4/1420③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：更多拉普拉斯變換知識請查閱光盤（附錄I拉普拉斯變換）。拉普拉斯變換2025/4/14212.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一定形式的傳遞函數(shù)對應(yīng)于一定的微分方程。有了傳遞函數(shù)，在許多情況下，可以不用解微分方程，而直接研究傳遞函數(shù)，就可以了解系統(tǒng)的重要特性。1、傳遞函數(shù)的定義在初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)元件輸出信號的拉氏變換式Y(jié)(s)

與輸入信號的拉氏變換式X(s)

之比。2025/4/1422例2-4：求下圖的傳遞函數(shù)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R1CuiR2uoi2i1解：其中：2025/4/14232.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)，且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。2、傳遞函數(shù)的性質(zhì)2025/4/14242.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)是復(fù)變量s

的有理分式，對實(shí)際系統(tǒng)而言，傳遞函數(shù)的分母階次n

總是大于或等于分子階次m，此時稱為n

階系統(tǒng)。2025/4/14253、傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式

表示為有理分式形式：式中：為實(shí)常數(shù)，一般

n≥m上式稱為

n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為

n階系統(tǒng)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1426

表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。零點(diǎn)、極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點(diǎn)圖上，用“×”表示極點(diǎn)位置，用“O”表示零點(diǎn)。2025/4/14272.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2-5：已知傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖。其中，零點(diǎn)為-2，極點(diǎn)為-3，-1-j，-1+j。0

j

-2-3-11-1S平面解：2025/4/1428

一個復(fù)雜的控制系統(tǒng)可以由若干元部件構(gòu)成，稱為環(huán)節(jié)。從動態(tài)方程、傳遞函數(shù)和運(yùn)動特性的角度看，不宜再分的最小環(huán)節(jié)稱為基本環(huán)節(jié)或典型環(huán)節(jié)。包括有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。K為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。(1)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）時域方程：傳遞函數(shù)：KR(s)C(s)比例環(huán)節(jié)方框圖4、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1429比例環(huán)節(jié)實(shí)例：①R0R1—＋2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)②R1R2uiuo電位器2025/4/1430(2)慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：R(s)C(s)慣性環(huán)節(jié)方框圖T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，若T=0，該環(huán)節(jié)就變成了放大環(huán)節(jié)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1431①兩個實(shí)例：RＬ2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中2025/4/1432②RC2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中2025/4/1433(3)積分環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：R(s)C(s)積分環(huán)節(jié)方框圖2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1434積分環(huán)節(jié)實(shí)例：RC2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1435(4)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

①②③分別稱為：純微分、一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。③②①2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1436實(shí)例：y(t)x(t)RC①純微分環(huán)節(jié)②一階微分環(huán)節(jié)uiRCio

一階微分環(huán)節(jié)是理想微分環(huán)節(jié)加比例環(huán)節(jié)，故又稱比例微分環(huán)節(jié)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1437(5)延遲環(huán)節(jié)

又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號，如圖所示。r(t)tc(t)t動態(tài)方程：其傳遞函數(shù)為：2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1438(6)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：時域方程：T為該環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，稱為無阻尼自振角頻率，而且，稱為阻尼比。只有當(dāng)時，該環(huán)節(jié)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@時它的輸出信號具有振蕩的形式。振蕩環(huán)節(jié)方框圖RC2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1439

如果時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘，兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。傳遞函數(shù)有兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)：可得2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1440(7)

其他環(huán)節(jié)

還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點(diǎn)在

s平面的右半平面，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的，稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/14412.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/1442

例2-6：已知傳遞函數(shù)，分析其組成環(huán)節(jié)。

因此，可知由4個環(huán)節(jié)：比例，慣性，振蕩和一階微分環(huán)節(jié)構(gòu)成。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：2025/4/1443

求傳遞函數(shù)一般要先列寫微分方程式，然后進(jìn)行拉氏變換后可得。對于電氣網(wǎng)絡(luò)，可采用電路理論中的運(yùn)算阻抗的方法，不列寫微分方程式，而直接求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。電阻的運(yùn)算阻抗：2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)電容的運(yùn)算阻抗：電感的運(yùn)算阻抗：各個元件的運(yùn)算阻抗，可以當(dāng)作普通電阻來運(yùn)算。5、電氣網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算阻抗與傳遞函數(shù)2025/4/1444例2-7：求

RC及

CR電路的傳遞函數(shù)。②RC①CR①②2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：2025/4/1445例2-8：求如圖所示無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。R1CuiR2uoR與C并聯(lián)后的阻抗為則2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：2025/4/1446思考題：用運(yùn)算阻抗的方法求出下面雙

RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。uiuouC2C1ici1R1R2i22.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：2025/4/1447狀態(tài)空間表達(dá)式1、狀態(tài)和狀態(tài)空間上例2-1：寫出

RLC串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型。LRCi解：據(jù)基爾霍夫電壓定理：即2025/4/1448狀態(tài)空間表達(dá)式

在已知ur(t)的情況下，只要知道uc(t)和i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故uc(t)和i(t)稱為“狀態(tài)變量”。記2025/4/1449狀態(tài)空間表達(dá)式

控制系統(tǒng)的狀態(tài)為完全描述系統(tǒng)的一個最小變量組，該組中的每個變量稱為狀態(tài)變量。

如上例中,為系統(tǒng)的狀態(tài)，即uc(t)、i(t)為狀態(tài)變量。(1)狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義2025/4/1450狀態(tài)空間表達(dá)式

如果n個狀態(tài)變量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是向量X(t)的分量，則向量X(t)稱為狀態(tài)向量。記為或(2)狀態(tài)向量2025/4/1451狀態(tài)空間表達(dá)式(3)狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)、…、xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間。(4)狀態(tài)方程

描述系統(tǒng)的狀態(tài)變量之間及其和系統(tǒng)輸入量之間關(guān)系的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。2025/4/1452狀態(tài)空間表達(dá)式上例中這樣，就可把一般物理系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式若改選uc和作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即令，，則狀態(tài)方程變?yōu)?025/4/1453狀態(tài)空間表達(dá)式(5)輸出方程

描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的方程?？梢钥闯?，同一系統(tǒng)狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。上例中，選取

作為輸出，通常輸出信號用y表示，則有或?qū)懗上蛄烤仃囆问?025/4/1454狀態(tài)空間表達(dá)式(1)狀態(tài)變量的選取是非唯一的。(2)選取方法可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量?？蛇x取獨(dú)立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。如電感電流i、電容電壓uc、質(zhì)量m

、速度v

等。2、狀態(tài)變量的選取2025/4/1455狀態(tài)空間表達(dá)式例2-9：已知系統(tǒng)微分方程組為

其中，ur為輸入，uc為輸出，R1、C1、R2、C2為常數(shù)。試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。2025/4/1456狀態(tài)空間表達(dá)式解：選寫成向量—矩陣形式：2025/4/1457狀態(tài)空間表達(dá)式3、狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程與輸出方程總合起來，構(gòu)成對一個系統(tǒng)動態(tài)的完整描述，稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。即2025/4/1458狀態(tài)空間表達(dá)式(1)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程輸出方程寫成向量矩陣形式2025/4/1459狀態(tài)空間表達(dá)式(2)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（p輸入q輸出）2025/4/14602.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖1、方塊圖的概念和繪制

信號線：表示信號傳遞通路與方向。

函數(shù)方塊(方框)：表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

相加點(diǎn)(比較點(diǎn))：對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算。“+”表示相加，“－”表示相減。

分支點(diǎn)(引出點(diǎn))：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。

方框圖是用元件(或子系統(tǒng))傳遞函數(shù)的組合來表示系統(tǒng)的一種圖形。方塊圖由函數(shù)方塊、信號流線、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等構(gòu)成。2025/4/1461例2-10：某系統(tǒng)的各傳遞函數(shù)如下：

C(s)=G(s)E(s)F(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)–F(s)繪制方塊圖是根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程式(它們組成系統(tǒng)的動態(tài)微分方程組)，及其拉氏變換。2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1462例2-11：繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)Uc(s)Ur(s)I1(s)1/R11/C1s(-)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：2025/4/14632.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

為了方便繪制方塊圖，對于復(fù)雜系統(tǒng)，列寫系統(tǒng)方程組時可按下述順序整理方程組：

(1)

從輸出量開始寫，以系統(tǒng)輸出量作為第一個方程左邊的量；

(2)

每個方程左邊只有一個量。從第二個方程開始，每個方程左邊的量是前面方程右邊的中間變量；

(3)

列寫方程時盡量用已出現(xiàn)過的量；

(4)

輸入量至少要在一個方程的右邊出現(xiàn)；除輸入量外，在方程右邊出現(xiàn)過的中間變量一定要在某個方程的左邊出現(xiàn)。按列寫的方程，從輸出量開始繪制系統(tǒng)的方框圖。2025/4/14642.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(b)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(d)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(e)I2(s)Uo(s)(a)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)解：例2-12：繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。2025/4/14652.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/14662、結(jié)構(gòu)圖的等效變換定義：在結(jié)構(gòu)圖上進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的運(yùn)算類型：①環(huán)節(jié)的合并；

--串聯(lián)

--并聯(lián)

--反饋連接②信號分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動。原則：變換前后環(huán)節(jié)的輸入、輸出量及其數(shù)學(xué)關(guān)系都保持不變2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1467(1)環(huán)節(jié)的合并：有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式。

串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：…C(s)

G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1468

并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)變換后R(s)C(s)(a)變換前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)(-)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)2025/4/1469

反饋回路的簡化：2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的概念正反饋與負(fù)反饋的概念閉環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)的概念+—2025/4/1470-

式中稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。為輸出對參考輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)。2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1471①G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)G2(s)+G3(s)G4(s)(-)G6(s)(-)C(s)R(s)G5(s)G1(s)例2-13：求如下圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：2025/4/1472②③G4(s)(-)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)G1(s)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)-G4(s)G1(s)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1473(2)信號相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動和互換

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。①信號相加點(diǎn)的移動把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端(相加點(diǎn)的后移)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1474

把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端(相加點(diǎn)的前移)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1475

相臨的信號相加點(diǎn)位置可以互換，或者是進(jìn)行合并；2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1476②信號分支點(diǎn)的移動

分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端(分支點(diǎn)的后移)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1477

分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端(分支點(diǎn)的前移)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1478

相加點(diǎn)和分支點(diǎn)在一般情況下，不進(jìn)行互換。

同一信號的分支點(diǎn)位置可以互換2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1479例2-14：將結(jié)構(gòu)圖簡化，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方案Ⅰ(分支點(diǎn)③前移)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢RG3H2G1G2G3H1G4(-)C(-)(a)(1)分支點(diǎn)③前移①②㈠㈡㈢2025/4/14802.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖G4G3H1CR(c)①②㈠㈢RH1+G3H2G1G2G3H1G4(-)C(b)①②㈠㈡㈢(2)兩并聯(lián)支路合并(3)G2與(H1+G3H2)所構(gòu)成的閉合回路合并，并與G1串聯(lián)2025/4/14812.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖G4CR(d)(4)H1為反饋支路的閉合回路合并，并與G3串聯(lián)(5)兩個支路相并聯(lián)，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2025/4/14822.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：

(1)分支點(diǎn)②后移H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢H2+H1/G3H1/G3G2G3G1G4(-)RC(a)①③㈠㈡㈢方法二2025/4/14832.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖H1/G3G4RC(b)(2)G2G3與(H2+H1/G3)所構(gòu)成的閉合回路合并，并與G1串聯(lián)(3)H1/G3為反饋支路的閉合回路合并G4CR(c)(4)兩個支路相并聯(lián)，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2025/4/14842.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：

(1)相加點(diǎn)㈡前移并于㈠合并H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢方法三G1G2G3G4(-)RC①②③㈠㈢H2/G1H1/(1-1/G1)(a)2025/4/14852.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(2)分支點(diǎn)②后移G1G2G3H2/G1G4RC(-)①③㈠㈢(3)兩并聯(lián)支路合并①③㈠㈢(b)G4G1G2G3CR(-)(c)2025/4/14862.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(4)反饋支路合并G4CR(d)(5)兩個支路相并聯(lián)，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2025/4/14872.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖等效為單位反饋系統(tǒng)R(s)(-)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(-)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)

負(fù)號可在支路上移動

E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)C(s)=R(s)+[-H(s)]C(s)(3)其它等價法則2025/4/1488例2-15

：雙RC

網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖簡化。Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(a)Ui(s)(-)(-)(-)I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：2025/4/1489(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(d)(c)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1490解：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：例2-16：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點(diǎn)移動-+①2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/1491-+②③2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2025/4/14922.5信號流圖與梅遜公式信號流圖的基本性質(zhì)：

1)

節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號的代數(shù)和，用“○”表示；

2)

信號在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)

支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號；

4)對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1信號流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。1、信號流圖2025/4/1493信號流圖中常用的名詞術(shù)語：

(1)源節(jié)點(diǎn)(輸入節(jié)點(diǎn))：在源節(jié)點(diǎn)上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

(2)阱節(jié)點(diǎn)(輸出節(jié)點(diǎn))：在阱節(jié)點(diǎn)上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。(3)混合節(jié)點(diǎn)：在混合節(jié)點(diǎn)上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62.5信號流圖與梅遜公式2025/4/1494(4)前向通路：信號從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時，每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。(5)回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路。回路上各支路增益之乘積稱回路增益，一般用La表示。(6)不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。2.5信號流圖與梅遜公式a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62025/4/1495(1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到s的代數(shù)方程；

2）每個變量指定一個節(jié)點(diǎn)；

3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列；

4）連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。2、信號流圖的繪制2.5信號流圖與梅遜公式2025/4/1496CuiR1R2uoi1i

信號傳遞流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)-1I1(s)I(s)R21+R1Cs1/R1

例2-17：2.5信號流圖與梅遜公式解：2025/4/1497

1)

用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號，得到節(jié)點(diǎn)。

2)

用線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。注意信號流圖的節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加。

G(s)C(s)R(s)(節(jié)點(diǎn))C(s)R(s)G(s)(節(jié)點(diǎn))(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)C(s)D(s)V(s)11(b)信號流圖G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)結(jié)構(gòu)圖(2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖2.5信號流圖與梅遜公式2025/4/1498Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)例2-18：繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖。2.5信號流圖與梅遜公式解：2025/4/1499

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸（即總傳遞函數(shù)）。其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；3、梅遜公式2.5信號流圖與梅遜公式2025/4/14100

—余因子式，即在信號流圖中，把與第K條前向通路相接觸的回路所在的項(xiàng)去掉以后的Δ值?！袉为?dú)回路增益之和；

—所有任意兩個互不接觸回路的回路增益乘積之和；

—所有任意三個互不接觸回路的回路增益乘積之和。

特征式：

2.5信號流圖與梅遜公式2025/4/141012.5信號流圖與梅遜公式解：三個回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4

前向通路有兩條：

，沒有與之不接觸的回路：，與所有回路不接觸：

回路相互均接觸，則：例2-19：已知系統(tǒng)信號流圖，求傳遞函數(shù)。該系統(tǒng)有5個獨(dú)立的回路：2.5信號流圖與梅遜公式例2-20：已知系統(tǒng)信號流圖，求傳遞函數(shù)。解：(1)x2x4(2)x2x5x1x2x3x4a12a23a34a42a32a45a44x5a35a522.5信號流圖與梅遜公式(3)x2x3x4(4)(5)x2x3x5

互不接觸的回路有2條：x1x2x3x4a12a23a34a42a32a45a44x5a35a522.5信號流圖與梅遜公式該系統(tǒng)有2條前向通道：(1)1x2x3x4x5x(2)2x1x3x5x2.5信號流圖與梅遜公式2025/4/141062.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理

線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)模型等，而這些模型之間又有某些內(nèi)在的等效關(guān)系。在Matlab

中，與傳遞函數(shù)的具體形式相對應(yīng)，又有tf對象和zpk對象之分，我們分別稱為有理分式模型和零極點(diǎn)模型。在本節(jié)就線性定常時不變系統(tǒng)(LTI)數(shù)學(xué)模型分析中用到的Matlab方法作一簡要介紹，主要有拉氏變換、傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換、控制系統(tǒng)的特征根及零極點(diǎn)圖、方框圖模型的傳遞函數(shù)、符號模型的運(yùn)算等。2025/4/141071、拉氏變換與反變換

拉氏變換“Laplace”的調(diào)用格式如下：

L=Laplace(F)：默認(rèn)自變量和默認(rèn)參變量

s；自變量默認(rèn)為t，返回結(jié)果默認(rèn)為s的函數(shù)。L=Laplace(F,t)：默認(rèn)自變量和指定參變量t；認(rèn)為L是符號變量t而不是默認(rèn)值s的函數(shù)。L=Laplace(F,w,z)：指定自變量w

和指定參變量z

；認(rèn)為

L是z而不是默認(rèn)值s的函數(shù)，積分是對w積分。2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14108例2-21：求x5

和cos(xw)的拉氏變換。>>symstwx>>laplace(x^5)ans=120/s^6>>laplace(cos(x*w),w,t)ans=t/(t^2+x^2)2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14109例2-22：求時域函數(shù)f(t)=6cos(3t)+e-3tcos(2t)-5sin(2t)的拉氏

變換。symsty;y=laplace(6*cos(3*t)+exp(-3*t)*cos(2*t)-5*sin(2*t))運(yùn)行結(jié)果：y=6*s/(s^2+9)+1/4*(s+3)/(1/4*(s+3)^2+1)-10/(s^2+4)2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14110

拉氏反變換“iLaplace”的調(diào)用格式如下：

F=iLaplace(L)：默認(rèn)自變量s和參變量t；是缺省獨(dú)立變量s的關(guān)于符號向量L的拉氏反變換，缺省返回關(guān)于t的函數(shù)。F=iLaplace(L,y)：指定參變量y

和默認(rèn)自變量s

；是一個關(guān)于y代替缺省t項(xiàng)的拉氏反變換。F=iLaplace(L,y,x)：指定自變量x

和參變量y；是一個關(guān)于x代替缺省t項(xiàng)的拉氏反變換。2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14111的拉氏反變換例2-23：求函數(shù)symssFF=ilaplace(16/(s^2+4)+(s+5)/((s+4)^2+16))運(yùn)行結(jié)果：F=8*sin(2*t)+exp(-4*t)*cos(4*t)+1/4*exp(-4*t)*sin(4*t)2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/141122、傳遞函數(shù)

有理分式模型傳遞函數(shù)的分子和分母均為多項(xiàng)式的形式稱為有理分式模型，如下式所示。在Matlab中，傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)用行向量表示。例如多項(xiàng)式P(s)=s3+2s+4，其輸入為P=[1024]2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14113傳遞函數(shù)分子或分母為因式時，調(diào)用conv()函數(shù)來求多項(xiàng)式向量。例如P(s)=5(s+2)(s+3)(10s2+20s+3)，其輸入為P=5*conv([12],conv([13],[10203]))調(diào)用函數(shù)“tf”可建立傳遞函數(shù)的有理分式模型，其調(diào)用格式如下：G=tf(num,den)2.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14114例2-24：已知某一系統(tǒng)的微分方程如下，試求其傳遞函數(shù)。num=[171220];den=[1612203625];G=tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果：Transferfunction:s^3+7s^2+12s+20----------------------------------------------------s^5+6s^4+12s^3+20s^2+36s+252.6應(yīng)用Matlab進(jìn)行模型處理2025/4/14115例2-25：將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理分式模型。num=conv([14],[14]);den=conv([100],conv([15],[1526]));G=tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果：Transferfunction:s^2+8s+16--------------------------------------------------s