湘豫聯(lián)考2025屆高三一輪復習質(zhì)量檢測數(shù)學試題（含答案與解析）

機密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2024~2025學年高三一輪復習質(zhì)量檢測

數(shù)學

注意事項：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在

試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條形碼

上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的

答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

M=(%|-%+3>0),?/=J%---<0>

1.已知集合〔l1+xJ,則()

A.{x|l<%<3］B.{x|-3Wx<-l或久21}

C.1x|-l<x<ljD.或1<XW3}

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是(—1,百)，則二^=()

Z

Al+y/3iB.1-V3i

C.-1+^iD.一后

3.在平面直角坐標系中，角1與角尸的頂點均與坐標原點重合，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊關(guān)于

直線丁=兀對稱.若角a的終邊經(jīng)過點。卜君』)，則cos，=()

A.立B.一旦C.逅D.

6666

4.已知"％)是定義域為R的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=-x2+ax+5-a,貝甘"(%)在［—2,2］上單調(diào)

遞增”的充要條件是（）

Aa>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

5.已知在平面直角坐標系中，。為坐標原點，直線/分別交龍軸的正半軸、y軸的正半軸于兩點，^BOC

的面積為若點4（1,4）為平面內(nèi)一點，且滿足荏.*=13,貝（）

A.-B.1C.1D.2

42

6.漢代劉歆等人設(shè)計的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量為一器的標準量器，各器均為圓筒形（可

視為圓柱）.如圖，正中的圓柱體的上部為斛量，下部為斗量，左耳為升量，右耳上為合量，下為能量.某

興趣小組制作一“新莽嘉量”模型，設(shè)升、斗、斛圓柱的底面半徑分別為不公與，高分別為4,%,%,體積分

別為憶匕,匕.若■，%,%成等比數(shù)列，且2=與=5彳，4=10"，則3=（）

A.2B.4C.6D.8

7.已知拋物線。：丁2=2加（0>0）的焦點為￡〃[3，&]為。上一點，N為。上一動點，。是坐標原

點.若MP工NF,垂足為P,貝||。目的最大值是（）

A3+A/17口V17-3

22

C.3+而D,屈.

44

8.已知函數(shù)/(x)=cosx—電竺+!(%＞兀)，其從小到大的第個零點記為區(qū)，，則

XX

sin4+sin旦+…+5出區(qū)包=()

222

A.0B.立C.3D.1

22

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.踢毯子是一項深受青少年兒童喜愛的民間體育活動.某校踢毯子社團共10名學生，下表記錄了這10名

學生一分鐘踢毯子的個數(shù).

小于20個的人數(shù)3

不小于20個，小于30個的人數(shù)5

不小于30個的人數(shù)2

設(shè)這10名學生一分鐘踢毯子的個數(shù)的平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)分別為則下列說法一定正

確的是（）

A.?>16B.s2<10

C.20<m<30D.20<<7<30

2%2-8%+9,%>2,

10已知函數(shù)/'（尤）=<1若實數(shù)七,々滿足玉=/（%），則（）

------,x<2,

、3—九

A.f（x）（口,”）上不單調(diào)B.〃尤）沒有極值，也沒有最值

C.%=%2D.再+%2=6

11.已知數(shù)列｛4｝滿足?+i—4|=l（"eN*）,且q=1總為數(shù)列｛叫的前〃項和，則（）

A.若01ao<0,則存在左w｛2,3,…,99｝,使得4=0

400

B.若010G=100,則q,%…，成等差數(shù)列

C.存在數(shù)列｛4｝,使得$02=1

D.存在左eN*，使得S4/+1=100

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)〃x）=lnx-依在（1,2）上存在極值，則實數(shù)。的取值范圍是.

22

13.若直線x+@+3=0與雙曲線工—？-=1有且只有一個交點，則實數(shù)k的值是.

47

14.有4個不透明的袋子ABC,。，每個袋子中均裝有形狀、大小完全相同的4個小球，編號分別為1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同學依次隨機從每個袋子中各取出1個球，取出不放回.已知甲取出的4個

小球編號之和為14,乙取出的4個小球編號之和為13,則丙取出的4個小球編號之和大于6的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在銳角7ABe中，內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,且滿足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

(1)求5；

(2)若。=3祈,0=6,點。在3。延長線上，且CD=10,求cosNCLD.

16.如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面=3c=4,P3=AC=5,。為棱PC上的動點.

(1)求證：24,平面ABC；

(2)是否存在點。，使得平面A3D與平面5CD夾角的余弦值為主5?若存在，請求出點。的位置；

25

若不存在，請說明理由.

17.已知函數(shù)/(x)=e*(M+a).

(1)若曲線丁=〃力在*=1處的切線過點(2,5),求實數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間.

22

18.己知橢圓E：總工+方=10〉0)的左、右焦點分別為耳,工，直線/過點尸2與E交于A3兩點，且

的周長為8.

(1)求E的標準方程及離心率；

(2)設(shè)與N片癡的角平分線交于點尸，若點尸到直線/的距離為述，求直線/的方程.

19.已知集合A={4，%,…M〃},定義集合

1\.（4）={。叫+。嗎+—+："/叫，牡，...，加上互不木目等，且根,?e{1,2,3,???,?）,/=!,2,3,-??,^j（2<^<n-l）

（1）若4={1,2,3,4},3={1,2,4,8},寫出集合馬口）,'.）；

（2）若4={弓,。2,…,即）}￡{1,2,3,…,100},且對任意%+。叫w72（A），如果。皿+。也<1°°，則

存在/e{l,2,3,…*10},使得=。西+a也,求證：4+a2T--<■%（）>500；

⑶給定整數(shù)左22,若存在集合入川4知…^/滿足：對任意六乩義工…,”},存在

a+aH

mxm1卜'eT^.（A）,且“w/（i=l,2,3,…，左），使得力?=。仍+。也卜，,求"的最小

值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

M={x|-x+320},N=<%-~-<0>

1.已知集合〔1+xJ,則M「N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|-3Wx<-l或x21}

C.1x|-l<x<l}D.{x|x<-l或1<XW3}

【答案】D

【解析】

【分析】先解一元一次不等式及分式不等式化簡集合M與集合N,再利用集合交集運算求解.

【詳解】因為集合〃={H—X+3N0}={X|XV3},

1-X

集合N=4x---<0}={x|x<-l或%>1],

1+X

所以加「N={x|x<—1或1<XW3}.

故選：D.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（—1,百），則二^=（）

A.1+73ZB.l-73i

C.-1+y/3iD.—1—y/3i

【答案】A

【解析】

【分析】求出復數(shù)z,再利用復數(shù)的除法計算得解.

【詳解】依題意，z=—l+?，所以心=-4(-1-731)=1+^L

z-1+V3i(-1+V3i)(-1-V3i)

故選：A

3.在平面直角坐標系中，角a與角尸的頂點均與坐標原點重合，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊關(guān)于

直線丁=%對稱.若角a的終邊經(jīng)過點「卜際,1),貝ijcos，=()

A.&B.—@C,—D.—叵

6666

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)角的對稱性、三角函數(shù)的定義，即可得所求角得余弦值.

【詳解】由角戊的終邊經(jīng)過點尸卜6』)，

因為結(jié)合角a與角夕的終邊關(guān)于直線丁=x對稱，

所以cos/?==^=Y^.

VU56

故選：C.

4.已知〃力是定義域為R的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=-x2+ax+5-a,貝『"(%)在［—2,2］上單調(diào)

遞增”的充要條件是()

A.a>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可得"/(%)在［-2,2］上單調(diào)遞

增”的充要條件的。的取值范圍.

【詳解】因為/(%)是定義域為R的奇函數(shù)，則/(。)=0,

且x>0時，/(x)=-x2+ax+5-a,

5—a20

若/(%)在［-2,2］上單調(diào)遞增，則,解得4WaW5,

12

故""工)在［-2,2］上單調(diào)遞增，，的充要條件是“4WaW5”.

故選：D.

5.已知在平面直角坐標系中，。為坐標原點,直線/分別交x軸的正半軸、y軸的正半軸于6,C兩點，^BOC

的面積為j若點4(1,4)為平面內(nèi)一點，且滿足通.衣=13,貝U|OC|=()

A.-B.4C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

【分析】不妨設(shè)根據(jù)數(shù)量積的坐標公式求出/,進而可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)

則荏.恁=1；_1,_4)(_1/_4)=17_；_今=13,解得f=

故選：B.

6.漢代劉歆等人設(shè)計的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量為一器的標準量器，各器均為圓筒形(可

視為圓柱）.如圖，正中的圓柱體的上部為斛量，下部為斗量，左耳為升量，右耳上為合量，下為痛量.某

興趣小組制作一“新莽嘉量”模型，設(shè)升、斗、斛圓柱的底面半徑分別為不々,與，高分別為％,外,％,體積分

別為若匕成等比數(shù)列，且弓〃，,則〔=（）

K，%,=4=5/i,=IOA2

%

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的信息，利用圓柱的體積公式及等比數(shù)列定義求解即得.

【詳解】依題意，％=篝勺=3=1°，即%所成等比數(shù)列的公比為io,則匕=8當=100,

V2h,吊叫~九

所哈=1。。4=4

故選：B

7.已知拋物線C:_/=2px（p>0）的焦點為5，及為C上一點，N為。上一動點，。是坐標原

點.若MP：LNF,垂足為尸，則|。周的最大值是（）

A

3+717R屈-3

D.----------

22

C3+而D.Q

'-44

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點"求得拋物線標準方程，然后根據(jù)題意列等式即可求解

【詳解】由題可得2=2'x」,

所以p=2,所以F（l,0）.

2

因為A4PLEP，所以點尸在以線段加少為直徑的圓上.

由題易得該圓的圓心為線段M戶的中點,

所以圓心坐標為,半徑為=]><,；+2:：

33+V17

所以|0P|的最大值為+—=

44-

故選：C.

pwc(xsin%1/、

8.已知函數(shù)/(X)=COSX------h—(x>7l),其從小到大的第?(neN*)個零點記為4,則

XJC

sin-^-+sin—+---+sin-^l=()

222

A.0B.也

2cTD1

【答案】A

【解析】

【分析】☆gabxcosx-sinx+l,/(x)在(私+⑹上的零點與函數(shù)g(x)的相同，利用導數(shù)判斷函數(shù)

g(x)的單調(diào)性，分析可知，g(x)在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都有唯一零點，且注意到g2?+^=0peN*),

進而可得出出、%、L、%024的值，代值計算可得所求代數(shù)式的值?

sinYIxcosx-sinx+1

【詳解】因為/(%)=cos%-----+—二

XXX

4g(^)=xcosx-sinx+l,顯然/(%)在(兀,+“)上的零點與函數(shù)g(x)的相同,

又g'(%)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

由g'(x)>。且%>兀,可得2配+兀vx<2析+2兀(左6N),

令g'(x)<。且兀,可得2癡+2兀<1〈2癡+3兀(左￡1\),

所以g(x)在(2E+兀,2為1+2兀)(左￡N)上單調(diào)遞增，

在(2E+2兀,2kn+3兀)(左eN)上單調(diào)遞減.

又g(2E+ji)<0,g(2E+2ji)>0,g(2foi+37i)<0(^eN),

所以g(x)在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都有唯一零點.

另一方面，注意到g12E:+1J=0優(yōu)eN*).

兀兀71

所以。2=2兀+—,2=4兀+—,L,%024=2024兀+—,

所以sin'^+sin?H-----卜sin〃黃=sin[兀+￡■J+sin[2兀+：JH-----i-sinf1012兀+巳

兀兀兀

=-sin—+sin---------Fsin—=0

?444?

1012項

故選：A.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，

然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與無軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

⑶參變量分離法：由/(力=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線丁=。與函數(shù)y=gO)的

圖象的交點問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.踢牌子是一項深受青少年兒童喜愛的民間體育活動.某校踢毯子社團共10名學生，下表記錄了這10名

學生一分鐘踢毯子的個數(shù).

小于20個的人數(shù)3

不小于20個，小于30個的人數(shù)5

不小于30個的人數(shù)2

設(shè)這10名學生一分鐘踢毯子的個數(shù)的平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)分別為M,52,m,d,則下列說法一定正

確的是()

A.w>16B.?<10

C.20<772<30D.20<J<30

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)的概念結(jié)合已知問題，逐項驗證即可得結(jié)論.

0x3+20x5+30x2

【詳解】對于A,平均個數(shù)的最小值=16,無法確定具體數(shù)據(jù)，因此A一定正確;

10

對于B,若10名學生一分鐘踢毯子的個數(shù)為0,0,0,20,20,20,20,20,30,30,

0x3+20x5+30x2

則平均個數(shù)=16,方差

10

222

2（0-16）X3+（20-16）X5+（30-16）X2痂口才工施

1

S二-----L---------1----------/---------1----------L-----=124>10，故B不正確；

10

對于C,若10名學生一分鐘踢毯子的個數(shù)為0,0,0,20,21,22,23,24,30,30,則眾數(shù)根=0,故

C不正確;

對于D,中位數(shù)應(yīng)為數(shù)據(jù)排序后，第五個數(shù)據(jù)和第六個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由題可知這兩個數(shù)均在[20,30)

內(nèi)，所以204d<30,故D正確.

故選：AD.

2x2-8x+9,x>2,

10.己知函數(shù)/'(%)=<1若實數(shù)七,吃滿足%=/(%)，為2=/(%)，則()

-——,x<2,

、3一九

A./(X)在(1》,小?)上不單調(diào)B.7(%)沒有極值，也沒有最值

C.%1=x2D.再+々=6

【答案】BC

【解析】

【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B；設(shè)/</，根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)

遞增，從而得馬<%，即有玉=%2,從而判斷C；分士22、X]<2求出的值，從而判斷D.

【詳解】作出函數(shù)y=/0)的圖象，如圖所示：

由于二次函數(shù)y=2三_8x+9在［2,+8)上單調(diào)遞增，

而y=占在(—“a)上單調(diào)遞增，

同時y=2/—8x+9在x=2處的函數(shù)值與>=―匚在x=2處的函數(shù)值相等,

3-x

所以/(%)在(―8,+。)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

由/(%)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(可沒有極值，也沒有最值，故B正確；

不妨設(shè)％W々，則由/(九)單調(diào)遞增可得“X)W/(W).

又用=/(%),W=/(%),

所以％2<%，所以只能占=%2，故C正確；

所以％=/(%1),

若為22,則%!=2x；-8%+9,此時占=%=3；

則%+尤2=6；

若工］<2,則玉={—,止匕時為=々=土史

3一再2

則/+%,=3—,故D錯誤.

故選：BC.

11.已知數(shù)列{qj滿足|an+i-a/=l（"eN*）,且％=為數(shù)列{a“}前”項和，則（）

A.若0100V0,則存在左w{2,3,…,99},使得久=0

B.若qoo=lOO,則…,成等差數(shù)列

C.存在數(shù)列{4},使得耳02=1

D.存在keN*，使得S4Hl=100

【答案】ABC

【解析】

【分析】本題給出數(shù)列的首項及遞推公式，引導學生利用遞推關(guān)系研究數(shù)列的特定項，以及前〃項和，由于

遞推關(guān)系不唯一確定，則需要用好不等式思想和特例思想來求解.

【詳解】設(shè)為為數(shù)列中第一次取負值的項，則QT=0,否則何一與題設(shè)矛盾.

所以一定存在左72,3,…,99},使得4=0,A正確;

因為。100—%9<1,生）9—“98<1,，，，,"2—"1<1,所以。100—499.所以—100,

當且僅當4+1—%.=1"=1,2,3,…,99時等號成立.所以外,外,…,。儂成等差數(shù)列，B正確；

a

取q=a5=…=。]0]=1,—,,,—%02=°，〃3=%=…=佝9—%=6=…=i00—0，

則S1O2=1,C正確；

由于“21（kGN*）一定是奇數(shù)，a2A一定是偶數(shù)，所以54Ml必為奇數(shù)，因此不存在左eN*，使得S4/+1=100,

D錯誤；

故選:ABC.

【點睛】方法點睛：利用好遞推中的確定關(guān)系和不等式關(guān)系，從而根據(jù)相應(yīng)問題去解答

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（》）=-6在（1,2）上存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（；.1）

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再探討并求出極值點，列式求出范圍.

1_Y|1

【詳解】函數(shù)/3)=lnx-雙的定義域為(0,+s),求導得/，(X)二——〃=二-----,

%%

當aWO時，/，(%)＞0,無極值點；當。＞0時，由/'(x)=0,得％=工，

a

當0＜x＜4時，f'(x)＞0,當x＞工時，/'(x)＜0,則％=工是函數(shù)/(x)的極值點，

aaa

依題意，1＜工＜2,解得!＜。＜1,

a2

所以實數(shù)。的取值范圍是(；/).

故答案為：(//)

22

13.若直線x+6+3=O與雙曲線L—二=1有且只有一個交點，則實數(shù)左的值是.

47

【答案】±也

7

【解析】

【分析】由直線恒過定點(-3,0),直線不可能與雙曲線相切，只能直線平行與漸近線.

【詳解】由于直線恒過定點(-3,0),所以直線不可能與雙曲線相切.要滿足有且只有一個交點，直線必須

平行于雙曲線的漸近線，漸近線方程為y=±-x=±^-x，所以一,=±也，

a2k2

解得左=±些

7

故答案為：±—~—

7

14.有4個不透明的袋子A,5C,D,每個袋子中均裝有形狀、大小完全相同的4個小球，編號分別為1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同學依次隨機從每個袋子中各取出1個球，取出不放回.已知甲取出的4個

小球編號之和為14,乙取出的4個小球編號之和為13,則丙取出的4個小球編號之和大于6的概率是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)題意首先算出第一行數(shù)字之和為14,并且第二行數(shù)字之和為13的填法，再求出在第一行數(shù)字

之和為14,并且第二行數(shù)字之和為13的條件下，第三行數(shù)字之和大于6的填法，兩個數(shù)相除即可.

【詳解】題中問題等價于往如下表格中隨機地填數(shù)字，其中每列都是1,2,3,4的排列，求在第一行數(shù)字

之和為14,并且第二行數(shù)字之和為13的條件下，第三行數(shù)字之和大于6的概率.

ABCD

甲

乙

丙

T

第一行數(shù)字之和為14,并且第二行數(shù)字之和為13包含的情況數(shù)可如下計算:

如果第一行數(shù)字是3個4,1個2,那么共C：x24種不同的填法；

如果第一行數(shù)字是2個4,2個3,那么共C；x2x2,種不同的填法.

所以共有?+2C：）X24種不同的填法.

第三行數(shù)字之和大于6包含的情況數(shù)可如下計算：

①第一行數(shù)字依次是4,4,4,2,則第二行只能依次為3,3,3,4,如下表.

ABCD

甲4442

乙3334

丙

T

如果第三行第四列是3,則前3列可以是2,2,2,或2,2,1,或2,1,1；

如果第三行第四列是1,則前3列可以是2,2,2,共有1+3+3+1=8種可能.

所以如果第一行數(shù)字是3個4,1個2,那么共C：x8種不同填法.

②第一行數(shù)字依次是3,3,4,4,則第二行可能為4,4,3,2或4,4,2,3,如下表（只列出其中一種情

況）.

ABCD

甲3344

乙4432

丙

T

此種情況下，余下兩行也有8種不同的填法，

所以如果第一行數(shù)字是2個4,2個3,那么共Cjx2x8種不同的填法.

所以第三行數(shù)字之和大于6共有（C：+2C：）x8種不同的填法.

Q1

所以第三行數(shù)字之和大于6的概率為—

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在銳角7ABe中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

（1）求5；

（2）若。=3#,。=6,點。在3。延長線上，且CD=10,求cosNC4￡）.

TT

【答案】（1）B=—

4

⑵u

14

【解析】

【分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再用余弦定理即可求出角8的值

（2）利用正弦定理先求出NAC3=工，進而得到NA8=交，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

33

【小問1詳解】

由正弦定理，得a?+c2—b2=拒知，

由余弦定理，得COSBJ+C、”,所以cosBnXZ

lac2

IT

因為5為三角形內(nèi)角，所以5=7.

4

【小問2詳解】

b

在VA5C中，由正弦定理，得

sinBsin/ACS

所以sin〃C廢跡=￡^=色

b62

因為VA3C為銳角三角形，所以NAC3=?.所以=

33

在AACD中，由余弦定理，得AD?=4。2+“2—2ACxCDxcosNACD，

1

所以AD?9=36+100+2x6xl0x-=196,所以AD=14.

2

后2AC2+AD--CD236+196-10011

所以cosACAD=----------------------=--------------=一

2xACxAD2x6x1414

16.如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面為棱PC上的動點.

(1)求證：Q4,平面ABC；

(2)是否存在點。，使得平面A血與平面5CD夾角的余弦值為主6?若存在，請求出點。的位置；

25

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在點。，且當點。位于PC上靠近尸的三等分點

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)定理得到由勾股定理得到再根據(jù)線面垂直的定義即

可證明平面ABC.

(2)過A作Ay〃3C,建立空間直角坐標系，設(shè)麗=2正,OVXW1,由平面A3。與平面BCD夾角的

余弦值為主5,即可求出D的坐標.即得答案.

25

【小問1詳解】

因為BC_L平面。AB,PAu平面ABu平面

所以3C，PA且.

由且3c=4,AC=5,可得AB=3.

由A3=3,PA=4,P3=5,因為AB?+P42=.2,可得八4,AB.

因為AB。BC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,所以上4J_平面ABC.

【小問2詳解】

過A作Ay〃5C,則AP,AB,Ay兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標系.

則P（0,0,4）,A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（3,4,0）.

設(shè)平面BCD的法向量為％=（%,%，4）,

由題可得BC=（0,4,0）,BP=（-3,0,4）,

n,-BC=0,f4y.=0,

則一即1

4"BP=0,1-3%+4Z]=0.

取罰=4,則平面BCD的一個法向量為%=（4,0,3）.

由于。在棱PC上，設(shè)而=4定

所以赤=彳（3,4,—4）=（3/1,44T/L）.

所以￡）（3442,4-42）.

設(shè)平面ABD的法向量為為=（%2，y2,z2）,

由題可得AB=（3,0,0）,AD=（32,42,4-42）,

心?AB=0,3%,=0,

則《一_.即《/、

ii2AD=0,|3也+4/1%+（4-4/1”2=0.

取為=九—1，則平面ABD的一個法向量為%=（O,X—LX）.

由題意，得叫/—--2-\=5__義___&|13）川_）_2_+__川___=3三亞’

整理得3/!?+22—1=0.

解得2=1或x=—1.

3

因為0W4W1,所以

3

故存在點O,且當點。位于PC上靠近尸三等分點時，

平面與平面BCD夾角的余弦值為也.

25

17.己知函數(shù)/（司=6*（國+々）.

（1）若曲線丁=/（可在％=1處的切線過點（2,5）,求實數(shù)a的值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

53

【答案】(1)?=---

2e2

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)求導，得到切線斜率，點斜式得到曲線y=/(x)在x=l處的切線方程，代入(2,5)可求實數(shù)

a的值；

(2)對無討論兩種情況，分別求出導函數(shù)，再分別對。進行討論，對每種情況判斷導函數(shù)的符號，即可求

得函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【小問1詳解】

當x>0時，/(%)=ex(x+a).

因為/=,

所以/,(l)=e(2+a),/(l)=e(l+a).

所以切線方程為y-e(l+a)=e(2+a)(x-l).

53

又切線過點(2,5),代入切線方程可得。=3-e.

【小問2詳解】

當x>0時，/(x)=eA(x+a).

因為/'(x)=e*(x+a+l),

所以若1,則當xe(0,+8)時，/'(x)>OJ(x)單調(diào)遞增；

若a<—1,則當xe(O,—a—1)時，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減；

當xe(—a—l,+co)時，/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

當了<0時，/(x)=e￥(-x+a).

因為/'(x)=e"(―x+a—1).

所以若時，則當x?y,o)時，r(x)>OJ(x)單調(diào)遞增；

若a<l時，則當尤e(a—1,0)時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

當次?-8,。一1)時，y'(x)>o,/(x)單調(diào)遞增.

又易知a21時，對任意不<0,々〉0,均有/(%)</(0)</(9)，

所以1時，單調(diào)遞增區(qū)間是(—a,+").

綜上所述，a<—1時，單調(diào)遞增區(qū)間(y,a—1),(—a—1,+。)；

—l<a<l時，單調(diào)遞增區(qū)間是(―cqa—+8)；

時，單調(diào)遞增區(qū)間是(—a,+“).

22

18.己知橢圓E：高工+2=1伍〉0)的左、右焦點分別為耳,K，直線/過點尸2與E交于兩點，且

的周長為8.

(1)求E的標準方程及離心率；

(2)設(shè)/耳A3與/耳癡的角平分線交于點尸，若點尸到直線/的距離為述，求直線/的方程.

16

V2V21

【答案】(1)土+匕=1,e=—

432

(2)x-2y-1=0或x+2y-l=0

【解析】

【分析】(1)由AAB片的周長為8,可得4a=8,a=2,即可得橢圓方程，再根據(jù)離心率公式求解即可；

(2)當直線斜率不存在時，不滿足題意；當斜率左存在時，設(shè)直線/:丁=左(％-1),與橢圓方程聯(lián)立，從而

得AABFI的面積為S=乎，則+4%%=孚，結(jié)合韋達定理求出k的值即可；

【小問1詳解】

解：由題可知4a=8,

所以a=2.

所以匕2+1=4，解得b=y/3■

22

所以E的標準方程是土+乙=1.

43

又H=〃2一人2=i，

C|

所以離心率e=—=—.

a2

【小問2詳解】

解：由（1）可知F2（1,0）,

當直線/的斜率存在時，可設(shè)直線/:y=k（x—1）.

與橢圓方程聯(lián)立得（4左一+3）尤~—8k°x+4k~-12=0.

設(shè)40i，yi）,B（久2，%）?

因為直線/過橢圓內(nèi)的定點F2,所以keR均能保證A>0,

2

8k之4k-12

則%+%=

4左2+3

因為與ZF.BA的角平分線交于點p,

所以點尸到耳A耳5,A5的距離均為延.

16

所以AABG的面積為s=g（|AK|+忸用+|A卸乂手=乎.

所以gx由工區(qū)%一％|=乎。

所以J（M+=~~■

_6k

又%+%=左（為_1）+左（々-1）=左（為+%—2）=^^.

_942

%%=%一（七一1）仁一=

36k2.-9k2_45

所以（4左2+3）2―X4^+3=16-

化簡得176k4+136尸-45=0-

所以（4左2—1）（44左2+45）=0.

解得心士;.

當直線/的斜率不存在時，