第十三章　立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第十三章立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．2.理解棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．3.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體．4．會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．5.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．6.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖．7.會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．8.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面．9.能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．10.能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，理解三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的作用．11.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義．12.理解并掌握基本事實(shí)4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問(wèn)題．13.會(huì)用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在三角形中求簡(jiǎn)單的異面直線所成的角．14.理解直線與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系．15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題．16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．17．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問(wèn)題．18．了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角．19．理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念．20．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題．21.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系．22.理解平面與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系．23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題．24.了解兩個(gè)平行平面間的距離．25.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的大?。?6.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題．28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．29.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．30.能利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系．31.掌握球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積．32.會(huì)利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積．1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法棱柱結(jié)構(gòu)特征(1)兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行(2)側(cè)面都是平行四邊形記作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱……棱錐結(jié)構(gòu)特征(1)底面是多邊形(2)側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形記作棱錐S-ABCD分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(tái)(1)上下底面互相平行，且是相似圖形(2)各側(cè)棱延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)記作棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(lái)(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例).3．多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球分類定義圖形及表示表示圓柱將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓柱圓柱OO′圓錐將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐圓錐SO圓臺(tái)將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺(tái)圓臺(tái)OO′球半圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡(jiǎn)稱球球O5．旋轉(zhuǎn)體一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體．6．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)．畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．7．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z′軸．(2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變．(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．8．平面(1)平面的概念平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念．平面通常用平行四邊形來(lái)表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．(2)平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.9．幾何里的平面的特點(diǎn)(1)平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量．(2)平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的．10．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系位置關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上Ceq\o(∈,\s\up0(/))AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC11．平面的基本事實(shí)基本事實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面平面ABC①確定平面的依據(jù)②判定點(diǎn)線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．12．基本事實(shí)的推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．13．空間直線的位置關(guān)系(1)異面直線定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．(2)空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有14．平行直線(1)基本事實(shí)4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性．符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)“等角”定理如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．15．異面直線所成的角(1)定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)異面直線所成的角定義：a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．16．直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語(yǔ)言17．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語(yǔ)言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語(yǔ)言(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.以上三個(gè)條件缺一不可．(2)定理的作用①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．18．直線與平面垂直定義如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足圖示及畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線”．19．直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α20．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語(yǔ)言作用①線面垂直?線線平行②作平行線21．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．22．直線與平面所成的角(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫作斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．如圖所示，過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過(guò)斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影．平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角．(3)范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.23．兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有一條公共直線符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示24.兩個(gè)平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，a∩b＝A且a∥β，b∥β?α∥β圖形語(yǔ)言(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．25．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行符號(hào)語(yǔ)言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語(yǔ)言26．公垂線、公垂線段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段；我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．27．二面角(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作：二面角α-AB-β．28．二面角的平面角(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(2)圖形、符號(hào)及范圍圖形：符號(hào)：OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角α-l-β的平面角．范圍：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．29．平面與平面垂直(1)定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語(yǔ)言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線31．直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積(1)有關(guān)概念：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是直棱柱的高．如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形．正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái)．正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形．(2)公式：S直棱柱側(cè)＝ch(c為直棱柱的底面周長(zhǎng)，h為直棱柱的高)S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為正棱錐的底面周長(zhǎng)，h′為斜高)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分別為正棱臺(tái)的上下底面周長(zhǎng)，h′為斜高)32．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系33．圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積名稱圖形公式圓柱側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝2πrl圓錐側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝πl(wèi)(r＋r′)34.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系35．體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh．(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(SS′)＋S)h．36.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系V柱體＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V臺(tái)體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.37．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2；球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．對(duì)球的體積和表面積的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對(duì)應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．(3)球的表面積恰好是球的大圓(過(guò)球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍．題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列命題中正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號(hào)是__________．【解析】(1)由棱柱的定義可知，選D．(2)①錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；②錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；③正確，由棱柱的定義易知正確；④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以正確說(shuō)法的序號(hào)是③④.【答案】(1)D(2)③④思維升華棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F(xiàn)，G，H是三棱柱對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過(guò)此四點(diǎn)作截面EFGH，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】截面以上的幾何體是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-B1HGC1.題型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【例2】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號(hào)是________．【解析】①錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)．②正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形．③正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形．④正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．⑤錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．所以正確說(shuō)法的序號(hào)為②③④.【答案】②③④思維升華判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．(2)直接法棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)鞏固訓(xùn)練1．如圖，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)【解析】選B．由題意知，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C.故選B．2．(多選)下列說(shuō)法中，正確的是()A．棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等【解析】選AC．由棱錐的定義知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故A正確；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故B錯(cuò)；四面體就是由4個(gè)三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，故D錯(cuò)．題型三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例3】(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．圓柱的底面是圓面B．經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面C．圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體【解析】A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如圖所示，經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；C不正確，圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)；D不正確，圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．【答案】AB思維升華(1)判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．(2)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．鞏固訓(xùn)練1.給出以下說(shuō)法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長(zhǎng)；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長(zhǎng)；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面可以是一個(gè)正方形；④過(guò)圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形．其中正確的序號(hào)是________．【解析】根據(jù)球的定義知，①正確；②不正確，因?yàn)榍虻闹睆奖剡^(guò)球心；③不正確，因?yàn)榍虻娜魏谓孛娑际菆A面；④正確．【答案】①④題型四簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()【解析】該幾何體自上而下由圓錐、圓臺(tái)、圓臺(tái)、圓柱組合而成，故應(yīng)選A．【答案】A思維升華不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略(1)分割：首先要對(duì)原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過(guò)程進(jìn)行分析．鞏固訓(xùn)練1.若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺(tái)；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．通過(guò)觀察可知，該幾何體是由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱自上而下拼接而成的．2.已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】(1)以AB邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖①所示．(2)以BC邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)組合體：下部為圓柱，上部為圓錐，如圖②所示．(3)以CD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐，如圖③所示．(4)以AD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)組合體：一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐，如圖④所示．題型五旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問(wèn)題【例5】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)．【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為lcm，由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm.過(guò)軸SO作截面，如圖所示，則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9，即圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為9cm.思維升華解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問(wèn)題的解法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程(組)而解得．[注意]在研究與截面有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意截面與物體的相對(duì)位置的變化．由于相對(duì)位置的改變，截面的形狀也會(huì)隨之發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm，2cm，截得圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為12cm，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為________．【解析】如圖是圓臺(tái)的軸截面，由題意知AO＝2cm，A′O′＝1cm，SA＝12cm.由eq\f(A′O′,AO)＝eq\f(SA′,SA)，得SA′＝eq\f(A′O′,AO)·SA＝eq\f(1,2)×12＝6(cm).所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm).所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6cm.【答案】6cm2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長(zhǎng)度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是__________cm.【解析】如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長(zhǎng)為12πcm，則該小圓的半徑r＝6cm，其中∠ABO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)(cm).【答案】4eq\r(3)題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖．【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖①所示．(2)畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過(guò)點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.思維升華畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．(2)畫圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長(zhǎng)度關(guān)系是否發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示，在△ABC中，BC＝8cm，BC邊上的高AD＝6cm，試用斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖．【解析】(1)在三角形ABC中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在坐標(biāo)系x′O′y′中，在x′軸上截取O′B′＝OB，O′C′＝OC；在y′軸上截取O′A′，使O′A′＝eq\f(1,2)OA.(3)連接A′B′，C′A′，擦去輔助線，得到△A′B′C′，即為△ABC的直觀圖(如圖③所示).題型七畫簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖【例7】已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為6，高為4，用斜二測(cè)畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．【解析】(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過(guò)G，H分別作ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，CDeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，且使得AB的中點(diǎn)為G，CD的中點(diǎn)為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺(tái)的下底面ABCD的直觀圖．(3)畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過(guò)O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．(4)連接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖(如圖②).思維升華畫空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2).鞏固訓(xùn)練1.已知一棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長(zhǎng)為4cm，試用斜二測(cè)畫法畫出此棱柱的直觀圖．【解析】(1)畫軸．畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上畫MN＝3cm，在y軸上畫PQ＝eq\f(3,2)cm，分別過(guò)點(diǎn)M，N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P，Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱柱的底面．(3)畫側(cè)棱．過(guò)點(diǎn)A，B，C，D分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4cm長(zhǎng)的線段AA′，BB′，CC′，DD′，如圖①所示．(4)成圖．連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示．題型八直觀圖的還原與計(jì)算【例8】如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過(guò)點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.在過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).由圖可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底邊長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長(zhǎng)度為AD＝2.所以原圖形面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.思維升華(1)直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．(2)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．鞏固訓(xùn)練1.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】選D．如圖①②所示，分別為正三角形ABC的實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作A′D′⊥B′C′于點(diǎn)D′，則A′D′＝eq\f(\r(2),2)O′A′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.題型九圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化【例9】(1)用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖形語(yǔ)言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.【解析】(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示如圖①所示．(2)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)，圖形語(yǔ)言表示如圖②所示．思維升華三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言敘述，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．鞏固訓(xùn)練1.根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.【解析】(1)點(diǎn)P∈直線AB.(2)點(diǎn)Ceq\o(∈,\s\up0(/))直線AB.(3)點(diǎn)M∈平面AC.(4)點(diǎn)A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC.(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B.(6)直線AB?平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.題型十點(diǎn)、線共面問(wèn)題【例10】證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．【解析】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：方法一：(納入平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二：(輔助平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2，l2?α，所以A∈α.因?yàn)锳∈l2，l2?β，所以A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．思維升華證明點(diǎn)、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：因?yàn)閍∥b，所以a和b確定一個(gè)平面α，因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，所以a和c確定一個(gè)平面β.同理l?β.即l和a既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，且l與a相交，故平面α，β重合，即直線a，b，c，l共面．題型十一三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問(wèn)題【例11】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．【證明】連接EF，D1C，A1B，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)D1C，所以E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，可設(shè)D1F∩CE＝P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以根據(jù)基本事實(shí)3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．思維升華鞏固訓(xùn)練1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點(diǎn)且D1F∩CE＝M．求證：點(diǎn)D，A，M三點(diǎn)共線．證明：因?yàn)镈1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，從而M在兩個(gè)平面的交線上，因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以點(diǎn)D，A，M三點(diǎn)共線．2．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)．證明：因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)，如圖，設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α且M∈β，又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD，l共點(diǎn)．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．證明：因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD確定一個(gè)平面β(即平面ABCD)，又因?yàn)锳B∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)，兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．題型十二空間兩直線位置關(guān)系的判定【例12】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以(1)應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以(2)(4)應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以(3)應(yīng)該填“相交”．【答案】(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面思維升華(1)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為Aeq\o(∈,\s\up0(/))α，B∈α，l?α，Beq\o(∈,\s\up0(/))l?AB與l是異面直線(如圖).鞏固訓(xùn)練1．三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有()A．3對(duì) B．4對(duì)C．5對(duì) D．6對(duì)【解析】選A．三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中，成異面直線的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對(duì)．故選A．2．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交【解析】選D．a(chǎn)與c不可能平行，若a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A矛盾，但a與c異面、相交都有可能．題型十三平行公理和等角定理的應(yīng)用【例13】如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD1是菱形．【證明】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取棱BB1的中點(diǎn)G，連接C1G，EG.因?yàn)镋，G分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1.又A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1.從而四邊形EGC1D1為平行四邊形，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G.因?yàn)镕，G分別為棱CC1，BB1的中點(diǎn)，所以C1Feq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BG.從而四邊形BGC1F為平行四邊形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，又D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BF.從而四邊形EBFD1為平行四邊形．不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，易知BE＝BF＝eq\f(\r(5),2)a，故平行四邊形EBFD1是菱形．思維升華(1)證明兩直線平行的常用方法①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊；②定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；③利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)證明兩角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)注意說(shuō)明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明：(1)如圖，連接AC，因?yàn)樵凇鰽CD中，M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，所以MN是△ACD的中位線，所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，所以四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因?yàn)镹D∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.題型十四異面直線所成的角【例14】如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．【解析】(1)如圖，因?yàn)镃G∥BF.所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.思維升華求異面直線所成角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．[提醒]求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過(guò)解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.鞏固訓(xùn)練1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，P是平面EFGH的中心，求OP和CD所成的角．【解析】連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)，連接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP與CD所成的角為45°.2．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，若M，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．【解析】連接MG，因?yàn)锽CGF是正方形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))CG，因?yàn)镸，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，所以BMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))NG，所以四邊形BNGM是平行四邊形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其補(bǔ)角)是AG和BN所成的角，∠AMG(或其補(bǔ)角)是AM和BN所成的角，因?yàn)锳M＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角為78.4°.3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成的角．【解析】如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE(或其補(bǔ)角)就是EF與AB所成的角，EG＝GF.因?yàn)锳B⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG為等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.題型十五直線與平面平行的判定【例15】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.【證明】連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1.又ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.思維升華應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：(1)空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；(2)三角形中位線法；(3)平行四邊形法；(4)成比例線段法．[提醒]線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．鞏固訓(xùn)練1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出AB∥平面MNP的是()【解析】選C．在圖A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP；在圖D中，易知AB∥PN，PN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP.2．已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.證明：如圖，作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).因?yàn)镋A＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ.又因?yàn)锳B＝CD，所以PMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))QN，所以四邊形PMNQ是平行四邊形，所以PQ∥MN.又因?yàn)镻Q?平面CBE，MN?平面CBE，所以PQ∥平面CBE.題型十六線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例16】如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.【證明】如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BDM.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG，所以AP∥GH.思維升華鞏固訓(xùn)練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，試確定實(shí)數(shù)t的值．【解析】如圖，連接BD，AC，AC交BQ于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)O，連接MN，易知O為BD的中點(diǎn)．因?yàn)锽Q，AO分別為正三角形ABD的邊AD，BD上的中線，所以N為正三角形ABD的中心．設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AN＝eq\f(\r(3),3)a，AC＝eq\r(3)a.因?yàn)镻A∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN.所以eq\f(PM,PC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(3),3)a,\r(3)a)＝eq\f(1,3).即PM＝eq\f(1,3)PC，所以實(shí)數(shù)t的值為eq\f(1,3).題型十七直線與平面垂直的定義【例17】(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號(hào)填空()①三角形的兩邊②梯形的兩邊③圓的兩條直徑④正六邊形的兩條邊A．①③ B．②C．②④ D．①②④【解析】(1)因?yàn)橹本€l⊥平面α，所以l與α相交．又因?yàn)閙?α，所以l與m相交或異面．由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．(2)由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③所在的平面；對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直．【答案】(1)A(2)A思維升華對(duì)線面垂直定義的理解(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解．實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直．(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.鞏固訓(xùn)練1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m【解析】選B．對(duì)于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對(duì)于B，因?yàn)閘⊥α，則l垂直于α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對(duì)于C，也有可能是l，m異面；對(duì)于D，l，m還可能相交或異面．2．下列命題中，正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．【解析】當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；根據(jù)線面垂直的定義，若l⊥α，則l與α內(nèi)的所有直線都垂直，所以④正確．【答案】③④題型十八直線與平面垂直的判定【例18】如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D為棱B1B的中點(diǎn)．求證：A1D⊥平面ADC.【證明】由題意可知，A1A⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，所以AC⊥AB.又AB∩A1A＝A，所以AC⊥平面A1ABB1.因?yàn)锳1D?平面A1ABB1，所以AC⊥A1D.因?yàn)镈為B1B的中點(diǎn)，B1B＝2a，AB＝A1B1＝a，在△A1DA中，A1D＝eq\r(2)a，AD＝eq\r(2)a，A1A＝2a，所以A1D2＋AD2＝A1A2.所以∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.而AC∩AD＝A，故有A1D⊥平面ADC.思維升華(1)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．[提醒]要證明兩條直線垂直(無(wú)論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面．鞏固訓(xùn)練如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明：(1)因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因?yàn)锳Q⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.題型十九線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例19】如圖，已知正方體A1C.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.【證明】(1)如圖，連接A1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.(2)如圖，連接B1A，AD1.因?yàn)锽1C1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.思維升華(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．(2)直線與平面垂直的其他性質(zhì)①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線垂直；②若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；⑤如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面．鞏固訓(xùn)練在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，底面對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)求證：BD1∥平面ACE；(2)求證：BD1⊥AC.證明：(1)連接OE，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镺B＝OD，E為棱DD1的中點(diǎn)，所以BD1∥OE，又因?yàn)镺E?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因?yàn)锽D?平面BDD1，DD1?平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又由BD1?平面BDD1，所以BD1⊥AC.題型二十直線與平面所成的角【例20】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．【解析】方法一：(1)證明：如圖，連接CO，由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形，故CD⊥AO.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以CD＝eq\r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.方法二：(1)證明：因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4，3AD＝DB，eq\r(3)AC＝BC得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，則△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC.又CD?平面ABC，所以PD⊥CD.由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°.即直線PC與平面PAB所成的角為30°.思維升華鞏固訓(xùn)練如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的長(zhǎng)為4，∠MBC＝60°，求直線MC與平面CAB所成的角的正弦值．【解析】由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.所以∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．又因?yàn)樵赗t△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即直線MC與平面CAB所成的角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).題型二十一兩個(gè)平面平行的判定【例21】如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD.【證明】(1)因?yàn)锽1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD，又BD?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中點(diǎn)G，連接AG，GF，易得AE∥B1G，又因?yàn)锳E＝B1G，所以四邊形AEB1G是平行四邊形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因?yàn)镚F＝AD，所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因?yàn)锽D∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.思維升華證明兩個(gè)平面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面即可．(2)判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．鞏固訓(xùn)練已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.證明：因?yàn)镻M∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，所以NQ∥平面PBC，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.題型二十二兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點(diǎn)B，A和D，C，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α.【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交α于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED，AC.因?yàn)锳E∥CD，所以AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因?yàn)棣痢桅?，所以AC∥DE.又P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，所以PN∥DE，PN?α，DE?α，所以PN∥α.又M，P分別為AB，AE的中點(diǎn)，所以MP∥BE，且MP?α，BE?α.所以MP∥α，因?yàn)镸P∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.思維升華應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．鞏固訓(xùn)練如圖，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長(zhǎng)．【解析】(1)證明：因?yàn)镻B∩PD＝P，所以直線PB和PD確定一個(gè)平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，所以eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，所以CD＝eq\f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm).題型二十三二面角的概念及其大小的計(jì)算【例23】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成銳二面角A1-BD-A的正切值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)(2)一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定【解析】(1)如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)锳1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角．設(shè)AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).所以tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點(diǎn)，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-C的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)．【答案】(1)C(2)D思維升華(1)求二面角大小的步驟簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”．(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角[提醒]二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．鞏固訓(xùn)練若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為__________．【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OP，則∠POA為二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°.【答案】90°題型二十四利用定義證明平面與平面垂直【例24】如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.【證明】因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a，在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a.所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，又因?yàn)椤螦EC＝90°，所以二面角A-BD-C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.題型二十五利用判定定理證明平面與平面垂直【例25】(2020·高考江蘇卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.【證明】(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)，所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因?yàn)锽1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因?yàn)锳B?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.思維升華證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角；②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：鞏固訓(xùn)練如圖所示，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.求