圓（十三大題型）原卷版-2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

園壓軸專練(十三大題型)

題型1:“有直徑現(xiàn)直角”

1.如圖，己知點(diǎn)C是以48為直徑的半。。上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與48重合)，點(diǎn)。是介中點(diǎn)，連結(jié)

BD、0D,交/C分別于點(diǎn)E、F.

(1)如圖1,若22=4,7e的度數(shù)為120。，求OF的長(zhǎng).

⑵如圖2,若余=前,求差的值.

AF

(3)如圖3,連結(jié)OE,當(dāng)△。8￡成為直角三角形時(shí)，求與AOE/的面積比.

題型2：“有垂徑現(xiàn)三角形”

2.如圖1,點(diǎn)E是。。直徑上一點(diǎn)，AE=2,BE=8,過(guò)點(diǎn)E作弦。_LA8,點(diǎn)G在礪上運(yùn)動(dòng)，連

接CG.

(2)如圖2,連接NG,作"CG的角平分線交NG于點(diǎn)F，在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，/尸的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變

化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值.

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)8作3〃LCG于〃，連接。求。〃的最小值.

題型3：題型1和題型2綜合

3.已知：48是的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)、E,且弧8C=弧JB。.

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接/C,點(diǎn)尸為4c上的一點(diǎn)，連接叱，過(guò)點(diǎn)C作尸，垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)〃為弧的

中點(diǎn)，求NCE8的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接尸”交48于點(diǎn)N,若AF=AN,FG=4,求。。的半徑.

題型4：構(gòu)造出圓心角、圓周角之間的關(guān)系

4.如圖，在△43C中，/2=8。,/48。=90。,。是48上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,以CD為直徑的?！ā鼋?C于

點(diǎn)、E,連接8M并延長(zhǎng)交ZC于點(diǎn)尸，交?！庇邳c(diǎn)G,連接BE.

(1)若NE2G=45。，求證：點(diǎn)E是前的中點(diǎn).

(2)當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到使CD時(shí)，求的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)。到移動(dòng)到使而=30。時(shí)，求證：AE-+CF'=EF2.

題型5：題型1-4綜合

5.如圖，在△/BC中，點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，以。為圓心，04為半徑作。。，交2C于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,

弧與弧。。相等，點(diǎn)廠在線段8E上，NBAC=2NBDF.

⑴求證：AB=AC；

(2)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并加以證明；

⑶若OO的半徑為5,EB+DF=AO,求AD的長(zhǎng).

題型6：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（列方程；分類討論）

6.如圖1,在RtZX/BC中，AACB=90°,/C=12cm,AB=20cm,動(dòng)點(diǎn)。由點(diǎn)C向點(diǎn)2以每秒3cm速

度在邊NC上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)￡由點(diǎn)C向點(diǎn)/以每秒4cm速度在邊上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)。、點(diǎn)E從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)

動(dòng)t秒（方＞0）,連接DE.

圖1

⑴求證：ADCEsMCB；

（2）如圖2,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。、C、￡三點(diǎn)的圓為OO,連接C。并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)

①猜想直線。C與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)。。與邊48相切時(shí)，貝〃=_；

③在點(diǎn)。、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若。。與邊交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)加?在點(diǎn)N下方，如圖3）,連接CO并延長(zhǎng)

交邊48于點(diǎn)連接。河，當(dāng)AOHM與ACAE相似時(shí)，直接寫出f值.

7.在矩形48c。中，AB=6cm,5C=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)N出發(fā)沿4B邊以Icm/s的速度向點(diǎn)8移動(dòng)，同時(shí),

點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)沿2c以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為/秒：

⑴如圖1,幾秒后，△8尸。的面積等于8cm2?

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若以P為圓心、PZ為半徑的。尸與2。相切（如圖1）,求“直；

⑶若以0為圓心，PQ為半徑作。0.

①如圖2,以。為圓心，尸。為半徑作。。.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的［值，使。。正好與四邊形/BCD

的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3,若。。與四邊形CDP。的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，貝心的取值范圍為.（直接寫出結(jié)果，不需說(shuō)

理）

題型7：圓與平面直角坐標(biāo)系

8.如圖，以點(diǎn)尸為圓心的圓，交無(wú)軸于8、C兩點(diǎn)（5在C的左側(cè)），交了軸于A、。兩點(diǎn)（A在。

的下方），ZABC=30°,將△NBC繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)180。，得到△〃￡方.

⑴求A、5兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC,并判斷四邊形/CW的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)直線乙從與8M重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與3c重合時(shí)停止，設(shè)直線工與CM交點(diǎn)為E,

點(diǎn)。為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG,8c于G,連接M。、QG.請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中/M0G的大小是否變化?

若不變，求出/MQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型8：圓與二次函數(shù)

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，開(kāi)口向上的拋物線y="2+6x+c與x軸交于/,8(1,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,且。4=。。=3。8.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)若點(diǎn)G為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

⑶如圖2若M為線段4B的中點(diǎn)，N為拋物線的頂點(diǎn)，?T經(jīng)過(guò)4B,C三點(diǎn).經(jīng)過(guò)圓心7的直線交拋物

線于。，E兩點(diǎn)，直線沏交x軸于點(diǎn)尸，直線交x軸于點(diǎn)Q.求〃尸同。的值.

10.如圖，已知拋物線了=辦2+法+0（例＜0）與X軸交于/、2（4在2的左邊），與y軸交于C,且

OB=4OA.

圖2

⑴若點(diǎn)/的坐標(biāo)是（-1,0）,C的坐標(biāo)是（0,-4）,試求拋物線的解析式;

⑵在（1）的條件下，如圖1,直線＞=》與拋物線y="2+6x+c交于。、￡兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線DE下方的

拋物線上，若以尸為圓心作。尸，滿足O尸與直線。E相切，求當(dāng)。尸的半徑最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo);

（3）如圖2,若OB=OC,M、N分別是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上的兩點(diǎn)（M在N的右邊），連接4"、AN、

PB

MN,MV交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)K是取N的中點(diǎn)，若A/W的內(nèi)心在x軸上，K的縱坐標(biāo)為"，試探究——的

n

值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型9：新定義題一直線與圓的位置關(guān)系

II.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為1.對(duì)于。。的弦43和一點(diǎn)C,給出如下定義：若直線/C與

。。只有一個(gè)公共點(diǎn)，ZABC=a,則稱點(diǎn)C是弦48的“a切割點(diǎn)”.

①若點(diǎn)”(0,〃?)為弦的“120。切割點(diǎn)”，則心=,點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

②若弦4B與x軸平行且只有一個(gè)點(diǎn)尸為弦42的“a切割點(diǎn)”，則a的取值范圍是；

(2)已知點(diǎn)。為直線了=6x+b上一點(diǎn)，若存在OO的弦MN.當(dāng)1〈人W〈血時(shí)，點(diǎn)。為弦如V的"90。切割

點(diǎn)直接寫出6的取值范圍.

題型10：內(nèi)心

12.如圖：48是。。的直徑，C為O。上一點(diǎn)，CD平分N/C3,/是△N8C的內(nèi)心，CD與48相交于

連接40、BD、10.

(1)求證：BD=AD=DI；

(2)求證：ACBC-AHHB=CH2；

3

(3)已知tanNC/8=：,。/=逐，求。。的半徑.

題型11:圓與銳角的三角函數(shù)

13.如圖1,四邊形488內(nèi)接于OO,點(diǎn)N是麗的中點(diǎn)，CDfCB.直線MN與。。相切于點(diǎn)4交CD

⑵求。的值.

(3)如圖2,在/C上取一點(diǎn)尸，使NCAB=2NCDF.

①判斷ND與4尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4

②如圖3,作FH13C于點(diǎn)X,//LAD于點(diǎn)/.若FH:AI=2:3,sinZBCD=~,連接OF,請(qǐng)直接寫出

tan/OFG的值.

題型12：弧長(zhǎng)與扇形面積綜合

3

14.如圖，在△A8C中，ZBG4-9O0,5c=12,sin^=-,。是4g的中點(diǎn)，。是線段。8上一點(diǎn)，以O(shè)

為旋轉(zhuǎn)中心，將線段。。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到扇形。。E.

①判斷：點(diǎn)CDE1-(填"在”或“不在”)；

②求4E兩點(diǎn)間的距離.

(2)如圖2,設(shè)彘交AC于點(diǎn)F,OE交AC于點(diǎn)G,若。尸，N2于點(diǎn)。，求陰影部分的面積;

圖2

(3)當(dāng)扇形DOE所在圓與△4BC的邊相切時(shí)，求近的長(zhǎng).

■jr

15.如圖1、圖2、圖3和圖4、48是半圓。的直徑，且48=4,點(diǎn)C以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度從點(diǎn)3沿

AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/.

O0

圖1圖2

(1)連接4C,BC.求圖1中的陰影部分面積和的最小值S；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線尸。，點(diǎn)P在射線N3上，且尸。=3,過(guò)點(diǎn)P在射線的上方作

PHLPQ.且9=1.當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，求點(diǎn)X到射線N8的距離；

(3)如圖3和圖4,在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將半圓。沿3C折疊，BC與4B交于點(diǎn)D.

①連接C"若NABC=25°,求/BCD的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)。落在半徑。4上(包括端點(diǎn)O,A)時(shí)，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)；

③如圖4,連接。C,過(guò)點(diǎn)/作與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)2c交/E于點(diǎn)尸，連接CD.當(dāng)

/E=d(d>0)時(shí)，請(qǐng)直接用含d的式子表示器.

題型13：情景探究題

16.閱讀理解:

(1)【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的

知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易.我們把這個(gè)過(guò)程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型.

①類型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1,在中，AB=AC,ABAC=44°,。是△4BC外一點(diǎn)，且3=/C,

求/3DC的度數(shù).

解：若以點(diǎn)/(定點(diǎn))為圓心，AB(定長(zhǎng))為半徑作輔助圓。工,則點(diǎn)C、。必在。/上，/A4c是ON的

圓心角，而乙8。。是圓周角，從而可容易得到NBDC=。；

②類型二，“定角+定弦”：如圖，RtA/BC中，ABA.BC,48=6,BC=4,P是ZUBC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足ZPAB=ZPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為；

(2)【問(wèn)題解決】如圖3,在矩形48CD中，己知48=3,BC=4,點(diǎn)尸是8c邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與8,C

重合)，連接相，作