圓的方程（7種常見(jiàn)考法歸類）-人教版高二暑假專項(xiàng)復(fù)習(xí)

第16講圓的方程7種常見(jiàn)考法歸類

☆

學(xué)習(xí)目標(biāo)

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

1隼I基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑.

2.圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.如圖所示.

3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,b),半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(無(wú)一a)2+(y—b)2=尺

當(dāng)a=b=O時(shí)，方程為<+>2=/，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為廣的圓.

注：(1)圓的方程的推導(dǎo)：

設(shè)圓上任一點(diǎn)M(尤，y),則|MA|=r,由兩點(diǎn)間的距離公式，得y(x-4+&-6.=r,

化簡(jiǎn)可得：0—°)2+&—6)2=尺

(2)當(dāng)圓心在原點(diǎn)即A(0,0),半徑長(zhǎng)廠=1時(shí)，方程為x2+y2=i,稱為單位圓.

(3)相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時(shí)，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的.

(4)圓上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在圓上.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d>rO點(diǎn)在圓外；d=rO點(diǎn)在圓上；d<K=>點(diǎn)在圓

(2)根據(jù)點(diǎn)M(xo,yo)的坐標(biāo)與圓的方程(x—a)2+(y—6)2=產(chǎn)的關(guān)系判斷:

（X0—。）2+（州一與2>，0點(diǎn)在圓外；

（刈一。）2+（州一/?）2=戶<4點(diǎn)在圓上；

（刈一。）2+（州一份2〈於0點(diǎn)在圓內(nèi).

知識(shí)點(diǎn)3圓的一般方程

1.圓的一般方程的概念

當(dāng)Z）2+E2-4F>0時(shí)，二元二次方程/+：/+6+4+尸=0叫做圓的一般方程.

注：將方程f+V+.+4+尸=0,配方可得G+g2+Q+|y=2!士?二竺，當(dāng)。2+序—4八>0時(shí)，

方程/+/+瓜+砂+尸=0表示圓.當(dāng)D2+￡2-4F=0時(shí)，方程^+/+Dx+Ey+F=G,表示一個(gè)點(diǎn)

2.圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑

圓的一般方程/+>2+m+@+/=0（》+￡2—4月>（））表示的圓的圓心為（一當(dāng)，—5,半徑長(zhǎng)為3

ylD2+E2~4F.

注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長(zhǎng)需

要代數(shù)運(yùn)算才能得出，且圓的一般方程/+產(chǎn)+.+與+歹=0（其中。，E,尸為常數(shù)）具有以下特點(diǎn)：

（l）f,9項(xiàng)的系數(shù)均為1；

⑵沒(méi)有孫項(xiàng)；

（3）D2+E2-4F>0.

3.常見(jiàn)圓的方程的設(shè)法

標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法

圓心在原點(diǎn)%2+,2=^2x2+y2—/^=0

過(guò)原點(diǎn)(x—a)z+(y—b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=Q

圓心在X軸上(x—a)2+y2=i2x2+y2+Dx+F=0

圓心在y軸上^+(y—b)2=r2x2+y2+Ey+F=0

222

與無(wú)軸相切(x-a)2+(y-b)2—b2x+y+Dx+Ey+^D=0

222

與y軸相切(x—?)2+(y—Z?)2=(22x+y+Dx+Ey+^E=0

A=C^0,

4.二元二次方程加+2孫+Cy2+nr+Ey+P=0表示圓，則<2=0,

^+E2~4AF>0.

5.以A（xi,yi）,B（X2,>2）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為（x—尤I）（X—尤2）+0—yi）（y—>2）=0.

知識(shí)點(diǎn)4圓的軌跡問(wèn)題

軌跡和軌跡方程區(qū)別：軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中形成的圖形，比如直線、圓等.軌跡方程是點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足的關(guān)系式.

弱解題策略)

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1'求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a,%)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a,

b,r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑.常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公

式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心'“'兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓

心”等.一般地，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷.

2、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法

(1)確定圓的方程：化為(x—aA+Cy—6)2=尺

(2)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入代數(shù)式(x—。尸+?一6)2,比較代數(shù)式的值與片的大小關(guān)系.

(3)下結(jié)論：若(x—a)2+(j—6)2=戶，表示點(diǎn)在圓上；若(x—a)2+(j—匕)2>,，表示點(diǎn)在圓外；若(無(wú)一°尸

+Q—6)2cz表示點(diǎn)在圓內(nèi).

此外，也可以利用點(diǎn)與圓心的距離］與半徑廠的大小關(guān)系來(lái)判斷.當(dāng)d>廠時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí),

點(diǎn)在圓上；當(dāng)水廠時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

3、圓的一般方程辨析

判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時(shí)，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一

般方程的特征時(shí)，再看它能否表示圓.此時(shí)有兩種途徑：一是看加+序—4尸是否大于零；二是直接配方變

形，看方程等號(hào)右端是否為大于零的常數(shù).

4、方程*2+y2+￡)x+Ey+尸=0表示的圖形

條件圖形

D2+￡2-4F<0不表示任何圖形

表示一個(gè)點(diǎn)(一3-￡)

》+序一轉(zhuǎn)=0

表不以(r3為圓心，以4.為半徑

U+F-gO“D

的圓

5、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略

(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.

(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,

E,F.

6、求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方程

(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.

7、用代入法求軌跡方程的一般方法

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如果題目中已經(jīng)建好坐標(biāo)系

我們可以省略此步驟________________________

［設(shè)］點(diǎn)＞［設(shè)曲線上任意一點(diǎn)|

Jr|把點(diǎn)”的坐標(biāo)看作已知點(diǎn)，尋找在已知方程的

［列式卜圖形的相關(guān)點(diǎn)，并表示相關(guān)點(diǎn)，代入已知方程,

列出方程f(x,y)=0

|化‘簡(jiǎn)川化方程/G,y)=O為最簡(jiǎn)形式］

8、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大'最小距離

設(shè)。A的方程(x-a)2+(丁一6)2=/,圓心A(a,b),點(diǎn)河是。A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)；記

d=\PA\；

①若點(diǎn)尸在。A外，則|PMImax=d+r；IPMlmin=d一廠

②若點(diǎn)尸在OA上，則|PMLx=2r；|PM|min=0

③若點(diǎn)P在0A內(nèi)，貝UIPMLx=d+/；IPM1mm=廠—d

9、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題常見(jiàn)的幾種類型

(1)形如“=E形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(X,7)和3,歷的動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.

(2)形如/=ax+勿形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線＞=-3+(截距的最值問(wèn)題.

(3)形如(工一”)2+。一A/形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)3,%)的距離的平方的最值問(wèn)

題.

l|Q考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(一)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心、半徑

例1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-iy+丁=13,則此圓的圓心及半徑長(zhǎng)分

別為()

A.(1,0),r=13B.(1,0),r=713

C.（-L0）,r=13D.（-1,0）,r=y/13

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.

【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)方程（尤-l）?+y2=13可得：圓C的圓心為（1,0）,半徑為舊，

故選：B.

變式1.（2023秋?高二單元測(cè)試）圓（x+4）2+（y-3）2=7的圓心和半徑分別是（）

A.（＜3）,7B.（＜3）,萬(wàn)

C.（4,-3）,7D.（4,-3）,77

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義即可得圓心坐標(biāo)和半徑.

【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（X-a）?+（y-6）2=/可得，

圓心坐標(biāo)為（T3）泮徑廠=6.

故選：B

變式2.（2023.江蘇.高二假期作業(yè)）已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-以+（y-I）?=2,則圓心C的坐標(biāo)為

圓的面積為.

【答案】（1,1）27r

【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出圓心和半徑，進(jìn)而得圓的面積.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-l）2+（y-l）2=2,

則圓心半徑/=收，故圓的面積S二兀/-2兀.

故答案為：（1,1）,271.

（二）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2.（2023春?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）已知圓C的圓心為點(diǎn)C（2,l）,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為.

【答案】。-2）2+（、-1）2=5

【分析】先求出圓C的半徑，再寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由已知得圓C的半徑「=亞幣=有，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-2)2+(y-l)2=5.

故答案為：(x-2)2+(y-iy=5.

變式L(廣東省廣州市培正中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)求圓心在y軸上，半徑為1,

且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】x2+(y-2)2=l

【分析】設(shè)圓的方程為/+日-加2=1,將點(diǎn)(1,2)代入圓的方程，求得6的值，即可求解.

【詳解】由題意，可設(shè)圓的方程為爐+(〉-加2=1,

因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)在圓上，可得1+(2-6產(chǎn)=1,解得6=2,

所以所求圓的方程為f+(>-2)2=1.

變式2.(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題)與x軸相切，且圓心

坐標(biāo)為(-1,-2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】—('+2)2=4

【分析】根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)結(jié)合與y軸相切可得到該圓的半徑可得答案.

【詳解】???圓心坐標(biāo)為(-1,-2),又與y軸相切，

二圓的半徑為2,

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y+2『=4.

故答案為：(x+l『+(y+2)2=4.

變式3.(2023春.重慶沙坪壩.高一重慶八中?？计谀?在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知弓(。,2)、鳥(niǎo)(4,4)兩

點(diǎn)，若圓/以勺丹為直徑，則圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(無(wú)一2)2+(y—3)2=5B.(無(wú)一2)?+('—3)?=百

C.(x-l)2+(y-4)2=5D.(x-l)2+(y-4)2-75

【答案】A

【分析】求出圓心/坐標(biāo)以及圓”的半徑，即可得出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.

0+42+4

【詳解】由題意可知，圓心M的橫坐標(biāo)為亍=2,縱坐標(biāo)為亍=3,即點(diǎn)M(2,3),

圓M的半徑為四用=J(2-0『+(3-2『=石，

因此，圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-3『=5.

故選：A.

變式4.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(L1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2元+3y+l=0上的圓的

方程.

【答案】(x-4)2+(y+3)2=25

【分析】利用待定系數(shù)法或幾何法求解.

【詳解】法一(待定系數(shù)法)：

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》-城+(丫-力=心

122

a+b=r4=4

則有<(?-l)2+(&-l)2=r2,解得.b=—3,

2a+3Z?+1=0r=5

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

法二(幾何法)：

由題意知。尸是圓的弦，其垂直平分線為無(wú)+>-1=0.

???弦的垂直平分線過(guò)圓心，

2x+3y+l=0

由

x+y-l=0

即圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑r=J42+(-3『=5.

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(XT)?+(y+3)2=25.

變式5.(廣東省肇慶市百花中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)直線4：2x+5y-12=。與直線

4：-3x+y+l=O相交于點(diǎn)A,直線/過(guò)點(diǎn)A且與直線2x-y+l=0平行.

(1)求直線/的方程；

(2)求圓心在直線/上且過(guò)點(diǎn)0(0,0),8(2,0)的圓的方程.

【答案】⑴2x-y=0；

(2)(x-l)2+(y-2)2=5.

【分析】(1)由題可得4(1,2),然后根據(jù)直線的位置關(guān)系可設(shè)/：2x-y+c=0,進(jìn)而即得;

(2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得圓心和半徑，即得.

2x+5y-12=0二，即A(l,2),

【詳解】(1)由-3x+y+l=0'可信

由題可設(shè)直線/：2x-y+c=0,又直線/過(guò)點(diǎn)4(1,2),

所以c=0,

所以直線/的方程為2x7=0；

(2)因?yàn)閳A心在直線/上且過(guò)點(diǎn)0(0,0),以2,0),

由0(0,0),3(2,0),可得線段的中垂線方程為尤=1,

J尤=1

可得尤=l,y=2,

[2x-y=0

所以圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為r=正萬(wàn)=宕，

所以圓心在直線/上且過(guò)點(diǎn)。(0,0),3(2,0)的圓的方程為+(y-2)2=5.

考點(diǎn)二：圓的一般方程

(-)圓的一般方程辨析

例3.(2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀?方程/+/+2,+%=。表示一個(gè)圓，則加

的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(F,l)

C.[!,+<?)D.(fl]

【答案】B

【分析】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.

【詳解】由尤2+J?+2y+"7=。，得*2+(y+l)2=1-根>0,

解得m<l.

故選：B

變式1.(2023秋?河南許昌?高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))方程尤2+/-依+2毆+2。+1=0表示圓,

則實(shí)數(shù)。的可能取值為()

A.1B.2C.0D.-2

【答案】D

【分析】先把尤2+丁-公+2沖+2°+1=0整理成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，滿足右邊關(guān)于。的表達(dá)式大于零.

可得(無(wú)一微)+(y+aj=^——2a—1,

【詳解J由/+曠-依+2ay+2a+l=0,

所以至-2〃-1>0,

4

2

解得。<-二或a>2,

選項(xiàng)中只有-2符合題意.

故選：D.

(-)由圓的一般方程求圓心、半徑

例4.(上海市第三女子中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)圓V+丁+2x-4y=0的圓

心坐標(biāo)是.

【答案】(T2)

【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo).

【詳解】由X2++2%—4y=。，得(％+1)2+(y—2)2=5,

可得圓心坐標(biāo)為(-1,2).

故答案為：(7,2).

變式1.(2023春?湖北武漢?高二武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知圓CY+y2_4y+3=0,則

圓。的圓心和半徑為()

A.圓心(0,2),半徑r=lB.圓心(2,0),半徑廠=1

C.圓心(0,2),半徑r=2D.圓心(2,0),半徑r=2

【答案】A

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得圓心與半徑.

【詳解】由f+/_分+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得爐+(y-2)2=1,

故圓心(0,2),半徑r=l.

故選:A.

變式2.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))圓C：/+尸+4》一2>+3=0的圓心是，半徑是.

【答案】(—2,1)④

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出答案.

【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，"+2)2+(、-1)2=2.

所以，圓心C(-2,l),半徑7=0.

故答案為：(-2,1)；0.

(三)求圓的一般方程

色2)例(2023秋?新疆克拉瑪依?高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥?求適合下列條件的圓的方程：

⑴圓心在直線x-2y-3=0上，且過(guò)點(diǎn)4(2,-3),3(-2,-5)的圓；

(2)過(guò)三點(diǎn)4(1,0),3(—1,—2),C(3,—2)的圓.

【答案】⑴(尤+1產(chǎn)+。+2)2=10

(2)x2+y2-2x+4y+l=0

(2-〃『+(_3_6『='

【分析】(1)首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-6)2=/，根據(jù)題意得到.(-2-4+(_5-4=產(chǎn)，再解

ci—2b—3=0

方程組即可.

l+D+F=0

22

(2)首先設(shè)圓的一般方程為：x+y+Dx+Ey+F=0,。2十石2一4方>。，根據(jù)題意得到1+4—O—2E+/=0,

9+4+3D-2E+F=0

再解方程組即可.

【詳解】⑴設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》-。)2+(>-6)2=/，由題知:

(2-a)2+(-3-b)2=r2

<(-2-a)2+(-5-Z?)2=r2,解得<6=-2.

a-2b-3=0[r2=10

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+l)2+(y+2)2=10.

(2)設(shè)圓的一般方程為：^+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

1+D+F=OfD=-2

由題知：\l+4-D-2E+F=Q=4,

9+4+3D-2E+F=0[F=1

所以圓的方程為：爐+y一2x+4y+l=0.

變式1.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知圓C經(jīng)過(guò)拋物線y=/-4x-8與x軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(0,2),則

圓C的方程為.

【答案】x2+y2-4x+2y-8=0

【分析】首先設(shè)圓的一般方程，結(jié)合條件，利用待定系數(shù)法，即可求解.

【詳解】設(shè)圓C的方程為必+丁+6+￡丫+尸=0,令y=o,X2+Dx+F=o,

則由圓C經(jīng)過(guò)拋物線y=l-4x-8與x軸的交點(diǎn)可知方程/+m+尸=。與/一4x-8=0同解，

所以D=T,尸=一8,所以圓C的方程為/+/一4了+4一8=0,

又因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)(0,2),所以4+2E-8=0,所以E=2,

所以圓C的方程為爐-4x+2y-8=0.

故答案為：x2+y2-4x+2y-8=0

變式2.(2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))己知點(diǎn)A(-2,l),3(-1,0),孰2,3),。(°,2)四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)。到坐標(biāo)原點(diǎn)。

的距離為.

【答案】3

【分析】待定系數(shù)法求得過(guò)AB,C的圓的方程為Y+y2-4y-l=0,從而可得〃+4-8-1=0,解得/=5,

再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解.

2222

【詳解】設(shè)過(guò)AB,C的圓的方程為：x+y+Dx+Ey+F=0,D+E-4F＞0,

‘4+1-2D+E+F=0[D=0

則＜1—。+尸=。,解得＜E=-4,

4+9+2Z)+3E+F=0[F=-l

所以過(guò)A,8,C的圓的方程為：x2+y2-4y-l=0.

又因?yàn)辄c(diǎn)。在此圓上，所以標(biāo)+4-8-1=0,解得4=5,

所以點(diǎn)。到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為正值=3.

故答案為：3

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在無(wú)軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（）

A.無(wú)2+V-2a-3y=0B.尤?+2^-3,=0

C.x~+y2—2x+3y=0D.x~+y~+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.

【詳解】設(shè)圓的方程為/+/+6+4+尸=0,（。2+1-4尸>0）,

由題意知,圓過(guò)點(diǎn)（0,0）,（2,0）和（0,3）,

F=0D=-2

所以4+2D+F=0,解得E=-3,

9+3￡+F=0[F=0

所以所求圓的方程為x2+/-2x-3y=0.

故選：A

變式4.（2023秋?高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）和（-1,0）,該圓與兩坐標(biāo)軸的四個(gè)截距之和為-2,

求圓的方程.

【答案】x2+y2-3x+5y-4=0.

【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，然后利用圓與兩坐標(biāo)軸的四個(gè)截距之和為-2,即可求解.

【詳解】設(shè)圓的一般方程為一+>2+m+珍+尸=。，由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2』）和（-1,0）,

2D+E+F+5=0

代入圓的一般方程，得

-D+F+l=0

設(shè)圓在x軸上的截距為4、X”貝I］它們是方程》2+m+/=（）的兩個(gè)根，得玉+%=-，

設(shè)圓在y軸上的截距為％、內(nèi)，則它們是方程^+萬(wàn)丁+尸=0的兩個(gè)根，得%+為=-△

由已知，得—。+（—￡）=—2,即。+石—2=0.③

由（*）③聯(lián)立解得D=-3,E=5,F=-4.

故所求圓的方程為％2+y1-3x+5y-4=0.

考點(diǎn)三：根據(jù)對(duì)稱性求圓的方程

（、1例6.（2023秋?重慶榮昌?高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谥校﹫A（尤+iy+（y-2）2=4關(guān)于直線y=0

對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(》+以+(丁+2)2=4

【分析】?jī)蓤A關(guān)于直線對(duì)稱等價(jià)于圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑不變，根據(jù)題意運(yùn)算求解.

【詳解】???圓(尤+仔+(二2)2=4的圓心(-1,2),半徑為4=2,

則(-1,2)關(guān)于直線y=0對(duì)稱的點(diǎn)為(-1,-2),

.?.對(duì)稱圓的圓心為(―1,—2),半徑為弓={=2,

故對(duì)稱圓的方程為：(x+iy+(y+2)2=4.

故答案為：—(y+2)2=4.

變式1.(2023秋?高二單元測(cè)試)圓(x+l)2+(y-4)2=l關(guān)于直線＞=無(wú)對(duì)稱的圓是()

A.(x-葉+(,+4)2=1B.(x-l)2+(y-4)2=l

C.(x+4)2+(y-l)2=lD.(%-4)2+(J；+1)2=1

【答案】D

【分析】求出圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到對(duì)稱圓的方程.

【詳解】圓-6-4)2=1圓心為(-1,4),半徑為1,

設(shè)點(diǎn)(T4)關(guān)于直線V=x對(duì)稱的點(diǎn)為(4力)，

b-4

----=—1

'*I，解得Q=4

則

Z?+4a-1b=-l9

r二F

所以點(diǎn)(-1,4)關(guān)于直線y=X對(duì)稱的點(diǎn)為(4,-1),

所以圓(x+l)2+(y—4『=l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓是(x—4)2+(y+l)2=l.

故選：D.

變式2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))與圓C:/+y2—工+2,=0關(guān)于直線/：%+y=0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

【答案】(x-l)2+^+1J=|

【分析】先求得所求圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】圓C:x2+y「x+2y=0的圓心半徑

點(diǎn)關(guān)于直線/：x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為c[i，-￡|

則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+[y+j2=?

故答案為：(x—l)2+[y+g)=1

變式3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知圓&：/+/+2苫-2.丫+1=0,圓C?與圓C1關(guān)于直線x-y-l=0對(duì)稱,

則圓G的方程為()

A.尤2+y?_4x+4y+7=0B.x2+y2-4A：-4V+7=0

C.Y+>2+4苫+4了+7=oD.X2+J+4工-4,+7=0

【答案】A

【分析】先求得圓C1的圓心坐標(biāo)C(-1,1)和半徑廠=1,再求得J(-1,1)關(guān)于x-y-1=。的對(duì)稱點(diǎn)C?(2,-2),

得到圓C?的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓C?的方程.

【詳解】由題意知，圓C?的圓心與G關(guān)于直線x-y-1=。對(duì)稱，且兩圓半徑相等，

2222

因?yàn)閳ACl:x+y+2x-2y+l=Q,即q:(x+l)+(y-l)=1,

所以圓心C1(-1,1),半徑為r=1,

設(shè)圓G(-1,1)關(guān)于直線x-y-1=。對(duì)稱點(diǎn)為C?(北〃)，

-1+m1+n

-------------1=0

則2；2,解得加=2,,=—2,即Cz(2,-2),

n—14“

----xl=-l

、機(jī)+1

所以圓C2的方程為C2：(x-2)2+(y+2)2=l,即Y+y2_4x+4y+7=0.

故選：A.

變式4.(2023春?河南開(kāi)封?高二統(tǒng)考期末)已知圓4：尤2+>2=4與圓C?關(guān)于直線2x+y+5=0對(duì)稱，則圓

C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+4?+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2-4

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線2元+y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，圓G的圓心坐標(biāo)為(。，0)，半徑為2,設(shè)圓心G(0,0)關(guān)于直線2x+y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)

-x(-2)=-l

a=-4

為G(a，6)，則“°，解得

C40L八b=-2,

2x—+—+5=0

22

所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+4)2+(y+2)2=4.

故選：A

變式5.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))求圓尤2+丁+4X-12丁+39=0關(guān)于直線3x-4y-5=0的對(duì)稱圓方程.

【答案】卜一外口+野1

【分析】求出已知圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再求出其圓心關(guān)于直線標(biāo)-分-5=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求對(duì)

稱圓的方程.

【詳解】由丁+丁+4X-12、+39=0可得(》+2)2+(、-6)2=1,

故圓心坐標(biāo)為P(-2,6),半徑為1,

設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于直線3x-4y-5=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(a,6)

_a-2.8+6_八

3---------4---------5=0a=

22,故喑26

則有,,,，解得

p-645

b=-

。+23

所以圓x2+y2+4x-12y+39=0關(guān)于直線3x-4y-5=0的對(duì)稱圓的方程為:

考點(diǎn)四：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

注2|例7?【多選】(2。23秋?高二課時(shí)練習(xí))(多選)下列各點(diǎn)中，不在圓(x-iy+(y+2)2=25的外部的

是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

【分析】利用給定的圓方程，把各選項(xiàng)中的點(diǎn)的坐標(biāo)代入判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,(0-1)2+(2+2)2<25,點(diǎn)Q2)在圓內(nèi)；

對(duì)于8,(3-1)2+(3+2)2>25,點(diǎn)(3,3)在圓外；

對(duì)于C,(一2-1『+(2+2)2=25,(一2,2)在圓上；

對(duì)于D,(4-1)?+(1+2)2<25,(4,1)在圓內(nèi).

故選：ACD

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))寫出圓心為42,-3),半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)

^(5,-7),^2(-2.-1)是否在這個(gè)圓上.若該點(diǎn)不在圓上，說(shuō)明該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi)？

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，驗(yàn)證是否在這個(gè)圓上.根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離判斷該點(diǎn)在圓外還是在圓

內(nèi).

【詳解】圓心為A(2,-3),半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2>+(y+3)2=25.

把點(diǎn)M|(5,-7)的坐標(biāo)代入方程(x-4+(>+3)2=25的左邊，

得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右兩邊相等，

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上.

把點(diǎn)心(一2,-1)的坐標(biāo)代入方程0-2)2+(y+3)2=25的左邊，

得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右兩邊不相等，

點(diǎn)M2的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上.

又因?yàn)辄c(diǎn)心到圓心A的距離d==J(—2-2)2+(-1+3)2=26<5.

故點(diǎn)加2在圓內(nèi).

變式2.（2023秋?高二校考課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓尤2+y2-2ay-4=0的內(nèi)部，則a的取值范圍是

（）.

A.a>\B.0<a<lC.—l<a<—D.a<\

5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題可知，半徑廠=行工，所以aeR，把點(diǎn)-1）代入方程，

貝Ma+l）2+（a-l）2-2a（a-l）-4<0,解得a<1,所以故°的取值范圍是a<1.

故選：D

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P（5,〃?）與圓V+y2=24的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不確定

【答案】C

【分析】點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外.

【詳解】因?yàn)槭?77/=25+7*>24,所以點(diǎn)在圓外,

故選：C

考點(diǎn)五：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

例8.（2023秋?山西晉中?高二山西省平遙中學(xué)校?？计谥校┤魣A

c：d+/一（加_2卜+（〃?-2））+加2-3優(yōu)+2=0過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.1B.2C.2或1D.-2或一1

【答案】A

【分析】把坐標(biāo)（。,。）代入圓方程求解.注意檢驗(yàn)，方程表示圓.

【詳解】將（0,0）代入圓方程，得病一3%=0,解得加=3或0,

當(dāng)〃z=3時(shí)，x2+y2-3x+6y=0,滿足題意；

當(dāng)”=0時(shí)，f+y2=o,不滿足題意.

故選：C.

變式1.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)尸（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)P為直徑

的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)尸。,5-2。，求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸,5-2/）,則線段O尸的中點(diǎn)為詈）

圓M的半徑為依閭=,2+（：-垃=,5戶一產(chǎn)+25,

所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為卜-;J+卜-子:=*’25

2

即x+y2_江+(2，_5),=0,即(爐+y2_5y)+(2y-x)=0,

2y—x—0

解得

尤2+,2_5y=0，

因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）、（2,1）.

故選：D.

變式2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若拋物線y=Y+G+6與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C,

則URC的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】（0,1）

【分析】設(shè)拋物線y=1+辦+6交y軸于點(diǎn)3（0,6）,交x軸于點(diǎn)4（/0）、C（%,0）,根據(jù)題意設(shè)圓心為

求出/=亨，寫出圓P的方程，可得出關(guān)于x、y的方程組，即可得出圓P所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)拋物線y=，+方+6交）軸于點(diǎn)5（0,6）,交x軸于點(diǎn)4（%,0）、C（x2,0）,

由題意可知A=T-46>0,由韋達(dá)定理可得%+%=-。，*=b,

所以，線段AC的中點(diǎn)為（一｝。｝設(shè)圓心為尸

由四|2=|PB|2可得L+￡：+產(chǎn)=：+(-6)2,解得t=X：+叫一〃

1-b—Z?+1?,1—b

?t,x；+g+Z?=0,貝m卜=------=----，則m，一〃=—^

-lb22

所以，圓尸的方程為［x+~|j+（y_等j一片+y

整理可得（/+/-耳+辦+N1-'）=0,

x2+y2-y=0

x=0

方程組尤=。的解為一

1=03=1

因此，U1BC的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.

故答案為：（。,1）.

變式3.（2023春?上海徐匯?高二上海中學(xué)校考期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)加，圓/+/_3小-6沖+9根-2=0恒過(guò)

定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為—.

17

【答案】。,1）或

555

x2+y2-2=0

【分析】由已知得龍2+/一2-（3x+6y-9）〃?=0,從而3二1二。’由此能求出定點(diǎn)的坐樂(lè)

【詳解】解：x2+y2—3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y—9)m=0,

:十：::，解得x=i,y=i,或x==，y

令

3%+6y—9=055

17

所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是（LI）或

5；5

7

故答案為：（U）或

5；5

變式4.（2023秋?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線C：

++(1+.)y2-4%+8〃y=0.

（1）當(dāng)。取何值時(shí)，方程表示圓？

（2）求證：不論。為何值，曲線C必過(guò)兩定點(diǎn).

（3）當(dāng)曲線。表示圓時(shí)，求圓面積最小時(shí)4的值.

【答案】（1）"一1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）a=~.

4

【分析】（1）當(dāng)。=-1時(shí)，可知方程表示直線；當(dāng)aw-L時(shí)，化簡(jiǎn)整理已知方程，可知滿足圓的方程；

（2）將已知方程整理為/+/-4工+°（/+必+8幻=0,從而可得方程組，解方程組求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)論可

證得；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知以AB為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對(duì)應(yīng)相等可構(gòu)造

方程組，解方程組求得結(jié)果.

【詳解】解：（1）當(dāng)。=-1時(shí)，方程為x+2y=0表示一條直線.

當(dāng)1時(shí)，(1+a)x2*4+(1+6f)y2-4x+Say=0,

4+16a2

整理得(x—2)2+(y+￥)2=

a+1a+1(a+1)2

4+16a2

>0

由于(1+a)2

所以O(shè)H-1時(shí)方程表示圓.

(2)證明：方程變形為x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.

X2+y2-4x=0,

由于。取任何值，上式都成立，則有

x2+y2+8)7=0,

16

鏟汨卜=0-、=亍

解4=0或-8

卜--H

所以曲線C必過(guò)定點(diǎn)A（0,0）,一11

即無(wú)論。為何值，曲線C必過(guò)兩定點(diǎn).

（3）由（2）知曲線C過(guò)定點(diǎn)A,B,在這些圓中，以AB為直徑的圓的面積最?。ㄆ溆嗖灰訟B為直徑的

圓的直徑大于A5的長(zhǎng)，圓的面積也大），

16

從而以為直徑的圓的方程為

ABy

2_8

1+a5

所以4產(chǎn)a=?4,解得a=；1.

1+a54

4+16a216

(1+a)2-5

考點(diǎn)六：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

例9.(上海市上海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)點(diǎn)/與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),尸(2,0)

的距離的比為3:1,則點(diǎn)/的軌跡方程為.

【答案】(%-Q孑+，2=Q[

416

【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M(x，y),利用條件得到3,再化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.

7(x-2)2+y2

I22

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題知J*+了=3,兩邊平方化簡(jiǎn)得2/+2y2一兔+9=0,即(a1+/=:

7(-r-2)2+y2416

QQ

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(X-：)2+/.

416

QQ

故答案為：(%-二)2+>2=77.

416

變式1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知圓C：f+—6y+i6=0,過(guò)點(diǎn)P(4,l)的直線與圓C交于點(diǎn)M,

N,線段MN的中點(diǎn)為。，則點(diǎn)。的軌跡方程為.

【答案】(iy+(y-2)2=l

【分析】先判斷點(diǎn)P在圓內(nèi)，連接C。，設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)5y),在利用垂徑定理得到C。，MN,寫出說(shuō)和

而坐標(biāo)，利用西?而=0,得到x,V的關(guān)系，即可得出結(jié)果.

【詳解】由圓C：/+/一8了-6>>+16=0方程變形為標(biāo)準(zhǔn)式(了-4)2+('-3)2=9,

進(jìn)而得出(4一4>+(1-3)2=4<9,所以點(diǎn)「(4,1)在圓C內(nèi)部，

又因?yàn)镼為線段MN的中點(diǎn)，連接CQ,由垂徑定理得CQ_LMN,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)(蒼丫)，得詼=(x-4,y-3),P2=(x-4,j-l),

所以西.苑=0,得(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4>+(y-2)z=1,

所以點(diǎn)。的軌跡方程為(x-釬+(y-2)2=1,

故答案為：(x—4)~+(y—2)-=1

變式2.(2023秋?安徽阜陽(yáng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,0),3(1,1),且被直線

(1)求圓E的一般方程；

(2)設(shè)尸是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】⑴/+丁-2x=0

(2)x?+y~-x=0

【分析】(1)根據(jù)直線方程求定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得圓心，利用兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案;

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，建立等量關(guān)系，代入圓的方程，可得答案.

【詳解】(1)直線，取一y—，〃=。恒過(guò)點(diǎn)(L0).

因?yàn)閳AE恒被直線儂-y一機(jī)=0(機(jī)eR)平分，

所以;加-丫一〃7=0恒過(guò)圓心，

所以圓心坐標(biāo)為(1,0),又圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,0),所以圓的半徑r=l,

所以圓E的方程為(尤-1)2+,2=1,HPX