中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題：二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題（含答案）

壓軸題解題模板01二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題

題型解讀

二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題在中考中常下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中

常作為壓軸題出現(xiàn)，多考查二次函數(shù)與幾何圖形各題型的考查熱度。

的綜合，一般要用到線段最值、圖形面積、特殊

考試熱度

三角形、特殊四邊形、相似三角形等相關(guān)知識，

以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思

想。此類題型常涉及以下問題：

①求拋物線、直線的解析式；

②求點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長度、圖形面積；

③探究幾何圖形的存在性問題或周長、面積

的最值問題。

題型一二次函數(shù)與最值問題

解題模板:

根據(jù)條件設(shè)出合適的解析式，再代入坐標(biāo)求解

根酶件判斷是線段最值問題還顆長最值問題

根據(jù)上一步條件進(jìn)行構(gòu)圖并確定動點(diǎn)位置

KU用距離公式或二次函數(shù)性質(zhì)列式計算

【例1】(2023?棗莊節(jié)選)如圖，拋物線-爐+法+c經(jīng)過A(-1,。)，c(0,3)兩點(diǎn),

并交x軸于另一點(diǎn)3,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)”是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH,DH,求的最小值;

【變式1-1](2023?內(nèi)蒙古節(jié)選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-f+ox+c與x軸

的交點(diǎn)分別為A和3(1,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是直

線AC上方拋物線上一動點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,過點(diǎn)尸做x軸平行線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸做y軸平行線交x軸于點(diǎn)。，求

PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【變式1-2](2023?眉山)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+Z?x+c與x軸交于點(diǎn)A(-

3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上時，連接3P交AC于點(diǎn)。，如圖1,當(dāng)里的值最

DB

大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及曲的最大值；

DB

【變式1-3](2023?西寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A(6,0),與y

軸交于點(diǎn)3(0,-6),拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且對稱軸是直線x=l.

(1)求直線/的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點(diǎn)尸是直線/下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PCLx軸，垂足為C,交直線1于

點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作垂足為求的最大值及此時尸點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二二次函數(shù)與圖形面積問題

【例2】(2023?婁底)如圖，拋物線丁=尤2+法+。過點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)3(5,0),交y軸于

點(diǎn)C.

(1)求0,c的值.

(2)點(diǎn)P(xo,yo)(O<xo<5)是拋物線上的動點(diǎn).當(dāng)xo取何值時，△PBC的面積最大?

并求出△P3C面積的最大值;

【變式2-1](2023?懷化)如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁二④^+法-8與x軸

交于A(-4,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線AC,連接以、PC,求△%C面積的最大值

及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【變式2-2](2023?安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線丁=以2+笈(。老0)

經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),對稱軸為直線x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知點(diǎn)3,。在拋物線上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為/，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為什1.過點(diǎn)3作x軸

的垂線交直線于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)E.

(z)當(dāng)0<f<2時，求△03。與AACE的面積之和；

(")在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)3,使得以3,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為3?

~2

若存在，請求出點(diǎn)3的橫坐標(biāo)f的值；若不存在，請說明理由.

【變式2-3](2023?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)

丁=-/+笈一的圖象與天軸交于點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)以1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點(diǎn)。，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物

線上的一個動點(diǎn)，求面積的最大值.

【變式2-4](2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，與，軸交于C點(diǎn)，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得S=SAABC?若存在，請求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

題型三二次函數(shù)與圖形判定問題

類型一與特殊三角形相關(guān)

解題模板:

根據(jù)條件設(shè)出合適的解析式，再代入坐標(biāo)求解

利用圖形的判定方法確定動點(diǎn)軌跡并作圖

根據(jù)動點(diǎn)位置設(shè)出坐標(biāo)，利用公式表示線段長度或點(diǎn)的坐標(biāo)

根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行分類討論并列式計算

技巧精講：

1:動點(diǎn)構(gòu)成特殊三角形的作圖方法

類別問題情境圖示作圖方法

“兩圓一線”

已知定點(diǎn)力津和直線在/①以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑作圓；

zfil

等腰三角形上找一點(diǎn)P,使得△P/W為②以點(diǎn)B為圓心、線段AB長為半徑作圓；

等腰三角形③作48的垂直平分線

P\匕大p/

---'

“兩線一圓”

...

已知定點(diǎn)4,8和直線，，在Z①過點(diǎn)4作48的垂線；

直角三角形上找一點(diǎn)P,使得為②過點(diǎn)B作/的垂線；

直角三角形③以線段AB為直徑作圓

1

ptp;hp2

2.動點(diǎn)構(gòu)成特殊三角形的分類討論方法（情景同上）

類別性質(zhì)分類討論列式計算

①以2為頂角，則48=4P；（DAB2=AP2；

等腰三角形等腰三角形有兩邊相等②以為頂角，則B4=BP；?BA2=BP2；

③以4P為頂角，則P4=PB?PA2=PB2

①當(dāng)心A4B=90°時；（DAB2+4產(chǎn)二BP2；

直角三角形直角三角形有一個角為90。,且三邊滿足勾股定理②當(dāng)N48P=90。時；（2）AB2+BP2=4尸；

③當(dāng)N4PB=90。時③4"+BP2=AB2

若題目考查動點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，則先對頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，將幾何和代數(shù)方

說明

法相結(jié)合求解即可

【例3】(2023?隨州節(jié)選)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丁=加+樂+<:過點(diǎn)A(-

1,0),B(2,0)和C(0,2),連接3C,點(diǎn)P(m,n)(m>0)為拋物線上一動點(diǎn)，過

點(diǎn)P作PN±x軸交直線3C于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)N.

(1)直接寫出拋物線和直線3C的解析式;

(2)如圖2,連接。當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求相的值;

（圖1）（圖2）

【變式3-1](2023?恩施州節(jié)選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=

-尹+6x+c與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

(1)如圖，若A(0,遙)，拋物線的對稱軸為x=3.求拋物線的解析式，并直接寫出y

》?時》的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若P為y軸上的點(diǎn)，C為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)APBC為等

邊三角形時，求點(diǎn)P,C的坐標(biāo)；

【變式3-2](2023?益陽)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/：y=a(x+2)(a>0)與x軸交

于點(diǎn)A,與拋物線E：yuqx2交于3,C兩點(diǎn)(3在C的左邊).

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若3點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為9點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A,B1,C為頂點(diǎn)的三角形是

直角三角形時，求實(shí)數(shù)。的值；

類型二與特殊四邊形相關(guān)

技巧精講：

1.動點(diǎn)構(gòu)成特殊四邊形的作圖方法

類別問題情境圖示作圖方法

p____。___.p

已知平面內(nèi)不共線的4,B,C三點(diǎn)，求一\Z\/①過點(diǎn)c作4B的平行線CP1,CP,；

“三定一動”問題點(diǎn)P,使得4,B,C,P四個點(diǎn)構(gòu)成平行四②過點(diǎn)4作BC的平行線APt,AP2；

邊形\/③過點(diǎn)B作4c的平行線8Pz,BP,

\/①將4B上下左右平移，確定點(diǎn)P,Q的

已知平面內(nèi)兩點(diǎn)4,8,求兩點(diǎn)P,Q,使A位置；

“兩定兩動”問題

得4,&P,Q四個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形V,'N②取4B的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)經(jīng)過中點(diǎn)的直線確定

點(diǎn)P,。的位置

2.動點(diǎn)構(gòu)成特殊四邊形的分類討論方法（情境同上）

類別分類討論列式計算

①以4B為對角線；

■孫+%B=%C+孫，②凌4+%C=48+%2，③%+盯=xB+xc,

“三定一動”問題②以4c為對角線；

.力+y=y+%;x+yc=y?+%；

BcJA+%=yB+yc

③以4P為對角線

①以AB為對角線；

X+XX+XX

%+&=x+與，②AP~B+%Q,c%Q=B+孫，

P③

“兩定兩動”問題②以4P為對角線；,

.YA+y?=yp+y(>;?M+yp=y+yi%+為=y?+%

③以AQ為對角線BQ

若題目考查動點(diǎn)構(gòu)成菱形、矩形、正方形，則作圖方法與平行四邊形類似，要注意根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)排除不

說明

符合的圖形,最后根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)

【例4】（2023?自貢）如圖，拋物線y=-4r+bx+d與x軸交于A（-3,0）,3兩點(diǎn)，與y

3

軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線解析式及3,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo);

【變式4-1](2023?巴中)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=加+法+。(aWO)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,

0)和3(0,3),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)若直線關(guān)=m與關(guān)軸交于點(diǎn)N,在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)當(dāng)機(jī)取何值時，使

得AN+MN有最大值，并求出最大值.

(3)若點(diǎn)P為拋物線y=ax2+》x+c(aWO)的對稱軸上一動點(diǎn)，將拋物線向左平移1個單

位長度后，Q為平移后拋物線上一動點(diǎn).在(2)的條件下求得的點(diǎn)是否能與A、P、

。構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由.

【變式4-2](2023?錦州)如圖，拋物線尸-依r+fec+c交x軸于點(diǎn)A(-1,0)和3,交y

軸于點(diǎn)C(0,3我)，頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形ODEB的面積為7遙，求點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)R是對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)H是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對稱軸右側(cè)

的拋物線上是否存在點(diǎn)G,使以點(diǎn)E,F,G,"為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且NERG=60°,

如果存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【變式4-3](2022?黔西南州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)的直線A3與

y軸交于點(diǎn)3(0,4).經(jīng)過原點(diǎn)。的拋物線y=-N+Ax+c交直線A3于點(diǎn)A,C,拋物線

的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線y=-j^+bx+c的表達(dá)式；

(2)M是線段A3上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)〃丁軸且MN=2時，求點(diǎn)”的坐標(biāo)；

(3)尸是拋物線上一動點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,Q為頂

點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、解答題

1.(2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=。％2+日久+。與》軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)8(3.0),

與y軸交于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)過點(diǎn)P作PE1%軸于點(diǎn)E,交BC于

點(diǎn)、F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)4BEF的周長是線段PF長度的2倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線頂點(diǎn)時，點(diǎn)。是y軸上的動點(diǎn)，連接BQ,過點(diǎn)3作直線，1BQ,連

接QF并延長交直線，于點(diǎn)當(dāng)BQ=BM時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

2.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+

+c的圖象與x軸交于點(diǎn)4(—2,0)和點(diǎn)B(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,6).點(diǎn)。為線段上

的一動點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,求△a。。周長的最小值；

(3)如圖2,過動點(diǎn)D作DPII2C交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接P4PB,記4。2。與4PBD

的面積和為S,當(dāng)S取得最大值時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.

3.(2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知拋物線與％軸交于4(1,0)和B(—5,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C.直線y=-3%+3過拋物線的頂點(diǎn)P.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線％=m(-5<m<0)與拋物線交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F.

①當(dāng)EF取得最大值時，求m的值和EF的最大值；

②當(dāng)△￡1/(7是等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

4.(2023?重慶?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12+匕％+。與％軸交

于點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)與其中B(3,0),C(0,-3).

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線2C下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD12C于點(diǎn)D,求PD的最大值及此時點(diǎn)P的

坐標(biāo);

⑶在(2)的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與

y軸交于點(diǎn)F,Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn).寫出所有使得以QF為腰的是

等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過程寫出來.

5.(山東東營?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=a%2+b%—3(ar0)與x軸交于點(diǎn)2(—1,0),

點(diǎn)B(3,0),與丁軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在對稱軸上找一點(diǎn)Q,使AZCQ的周長最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)”是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)^PMB是以PB為

腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點(diǎn)”的坐標(biāo).

6.（西藏?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線-/+桁+。與％軸交于A,3兩

點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)C且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,5）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖（甲）.若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離最大時，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）圖（乙）中，若點(diǎn)”是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)“使

得以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

7.(遼寧阜新.中考真題)如圖，二次函數(shù)y-x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)2(-3,0),5(1,0),

交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一動點(diǎn)，PM1%軸，交直線AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)①若點(diǎn)P僅在線段4。上運(yùn)動，如圖1.求線段MN的最大值;

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱

形.若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

壓軸題解題模板01二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題(解析版)

題型一二次函數(shù)與最值問題

［例1］(2023?棗莊節(jié)選)如圖，拋物線y=-f+fec+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn),

并交x軸于另一點(diǎn)3,點(diǎn)“是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH,DH,求MH+DH的最小值；

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；

(2)利用待定系數(shù)法可得直線AM的解析式為y=2x+2,進(jìn)而可得。(0,2),作點(diǎn)。關(guān)

于x軸的對稱點(diǎn)(0,-2),連接M,D'H,MH+DH=MH+D'H^D'M,即

的最小值為M,利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得答案；

【解答】解：(1):拋物線丁=-/+fec+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，

?f_l_b+c=0

*Ic=3'

解得：］b=2,

Ic=3

???該拋物線的表達(dá)式為y=-f+2x+3；

(2)9?*y=~X2+2X+3=-(x-1)2+4,

???頂點(diǎn)M(1,4),

設(shè)直線AM的解析式為尸質(zhì)+d,則|k+d=4,

I-k+d=O

解得：］k=2,

Id=2

/.直線AM的解析式為y=2x+2,

當(dāng)x=0時，y=2,

：.D(0,2),

作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)》(0,-2),連接力M,D'H,如圖，

y

A/0：/HBx

D

則H,

：.MH+DH=MH+D'H^D'M,即MH+DH的最小值為￡>'M,

"：D，M=V(1-0)2+(4+2)2=f

：.MH+DH的最小值為何；

【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì),

軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023?內(nèi)蒙古節(jié)選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-R+bx+c與％軸

的交點(diǎn)分別為A和3(1,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)尸是直

線AC上方拋物線上一動點(diǎn).

(D求拋物線的解析式；

(2)如圖1,過點(diǎn)P做x軸平行線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P做y軸平行線交x軸于點(diǎn)D,求

PE+PD的最大值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)先求直線AC的解析式，設(shè)P(/,-t2-2Z+3),則。(/,0),E(---23-人2什3),

可得PD+PE=-2(什$)2+理，當(dāng)t=-$時，PD+PE取最大值毀，此時尸(-巨，生_)；

4848416

【解答】解：(1)把3(1,0),C(0,3)代入y=-f+fec+c得：

f-l+b+c=0

1c=3，

解得[b=2

1c=3

拋物線的解析式為y=-d-2x+3；

(2)在y=-x2-2x+3中，令y=0得0=-x2-2x+3,

解得x=-3或x=l,

AA(-3,0),

由A(-3,0),C(0,3)得直線AC解析式為y=x+3,

設(shè)P(3---2什3),則。(/,0),E(-F-23-戶-27+3),

：.PD+PE=-t2-2t+3+(-尸-2/)-t=-2t2-5t+3=-2(什$)2+^-,

48

：-2<0,

當(dāng)t=-2時，PD+PE取最大值理，

48

此時P(--,更)；

416

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?眉山)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+Z?x+c與x軸交于點(diǎn)A(-

3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上時，連接3P交AC于點(diǎn)。，如圖1,當(dāng)里的值最

DB

大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及型的最大值；

DB

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),C(0,3)代入丁=依2+法+的

即可求得拋物線的解析式；

(2)運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為y=x+3,過點(diǎn)P作「￡〃》軸交直線AC于

點(diǎn)、E,設(shè)P(K-P-2什3),則石(-P-2tf-t2-2%+3),可得PE=-I2-2t-t--P-

3t,由PE//x軸，得AEPDs^ABD,進(jìn)而得出電=患=一1-此=(什旦)2+9，

DBAB44216

再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；

【解答】解：(1)?.?拋物線yuaf+bx+c與％軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,3),

9a-3b+c=0

a+b+c=0，

c=3

a=-l

解得：4b=-2，

c=3

???該拋物線的解析式為y=-％2-2x+3；

(2)設(shè)直線AC的解析式為丁=履+〃，則-3k+n=0,

ln=3

解得：。=1,

ln=3

直線AC的解析式為y=x+3,

過點(diǎn)尸作。石〃了軸交直線AC于點(diǎn)E,如圖，

PE=-t2-2t-t=-t1-3t,

,：A(-3,0),B(1,0),

.,.AB=1-(-3)=4,

,.?PE〃x軸，

:.AEPDs叢ABD,

?PD=PE

'*DB而'

9

.?.電包=_1(什旦)2+_9_；

DB44216

:-1<0,

4

.?.當(dāng)r=-旦時，里的值最大，最大值為_L,此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-旦，生)；

2DB1624

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為線段長度，

幾何圖形與二次函數(shù)結(jié)合的問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)等，最后一

問推出為解題關(guān)鍵.

【變式1-3](2023?西寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A(6,0),與y

軸交于點(diǎn)3(0,-6),拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且對稱軸是直線x=l.

(1)求直線/的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點(diǎn)P是直線/下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C,交直線1于

點(diǎn)。，過點(diǎn)P作尸垂足為求的最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)根據(jù)拋物線的對稱軸是直線x=l,可設(shè)y=a(x-1)2+k,利用待定系數(shù)法即可求得

答案；

(3)由NPCA=90°,ZOAB=45°,可得NPDM=NADC=45°,利用解直角三角形可

得PM=?PD,設(shè)點(diǎn)PG,I/2-1r-6),則。(3-6),可得PD=/-6-(工戶-L

24242

-6)=-工尸+當(dāng)=-1(-3)2+1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

4244

【解答】解：(1)設(shè)直線/的解析式為(機(jī)W0),

?直線/與x軸交于點(diǎn)A(6,0),與y軸交于點(diǎn)3(0,-6),

解得："1,

ln=-6

:,直線I的解析式為y=x-6；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-A)2+k(aWO),

???拋物線的對稱軸是直線x=L

.,.y=a(x-1)2+k,

?拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,

?(25a+k=0

Ia+k=-6

f」

-4

解得：Z

戶,2工5

???拋物線的解析式為y=[(x-1)2一至；

-44

⑶VA(6,0),B(0,-6),

.".0A=0B=6,

在△A03中，ZAOB=90°,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

,.?PC,無軸，PMLl,

:./PCA=/PND=90°,

在Rt^ADC中，,.?NPC4=90°,ZOAB=45°,

AZADC=45°,

：.ZPDM=ZADC=45°,

在中，/PMD=90°,ZPDM=45°,

.\sin45°=電，

PD

:.PM=?PD,

2

".'y=—(%-1)2--=—x2-—x-6,

■4442

設(shè)點(diǎn)P(r,—t2--t-6),

42

/.D(6t-6),

：.PD=t-6-(—Z2--/-6)=-^-t2+—t=-—(?-3)2+—,

424244

:-l<o,

4

??.當(dāng)/=3時，PD有最大值是2，此時最大，

4

PM±叵PD=?~X2=則反,

2248

當(dāng)。=3時，l?-l/-6=lx9-lx3-6=-^1,

42424

：.P(3,-旦)，

4

...PM的最大值是史巨，此時點(diǎn)尸(3,一紅).

84

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角

形等，本題難度適中，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型二二次函數(shù)與圖形面積問題

【例2】(2023?婁底)如圖，拋物線y=x2+fec+c過點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)5(5,0),交y軸于

點(diǎn)C.

(1)求。，c的值.

(2)點(diǎn)P(xo,yo)(0V尤o<5)是拋物線上的動點(diǎn).當(dāng)xo取何值時，△P3C的面積最大？

并求出△PBC面積的最大值；

【分析】(1)由拋物線過點(diǎn)A,B,可直接得出拋物線的表達(dá)式為：y=(x+1)(x-5),展

開即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)P作PD±x軸，交線段BC于點(diǎn)D,則SAPBC=L0B?PD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

2

可得結(jié)論；

(2)由題意可知PfUPE,若△PER是等腰直角三角形，則PE=PR分別表達(dá)PE及PF,

可求出xo的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)..?拋物線y=/+Ax+c過點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)3(5,0),

，拋物線的表達(dá)式為：y=(x+1)(x-5)=f-4x-5,

:.b=-4,c=-5；

(2)由(1)得，拋物線的解析式為：y=》2-4x-5,

令x=0,則y=-5；

：.C(0,-5)

，直線3C的表達(dá)式為：y=x-5,P(xo,x2-4xo-5),

如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段于點(diǎn)。，

.*.SAPBC=1(9B*PD=1X5X(xo-5-x2+4xo+5)

22°

=-S(X0-2.5)2+期，

28

...當(dāng)xo=2.5時，S的值取最大，最大值為3；

8

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、圖形的

面積計算等，本題難度不大.

【變式2-1](2023?懷化)如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+fec-8與x軸

交于A(-4,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線AC,連接以、PC,求△必C面積的最大

值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法，將A(-4,0)、B(2,0)代入尸加+陵-8,即可求得

拋物線的函數(shù)表達(dá)式，再利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為y=-2x-8,設(shè)Pt2+2t-過點(diǎn)P

作PF//y軸，交AC于點(diǎn)F,則F(/,-2?-8),進(jìn)而可得SA^C=SAMF+SAPCF=2(-戶

-4t)=-2(什2)2+8,運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；

【解答】(1)解：?.?拋物線尸加+法-8與x軸交于A(-4,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，

?(16a_4b_8=0

I4a+2b-8=0

解得：卜=1,

lb=2

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=f+2x-8,

Vy=^2+2x-8=(x+1)2-9,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-9)；

(2)解：?.?拋物線y=f+2x-8與y軸交于點(diǎn)C,

：.C(0,-8),

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+小則1-4m+/°,

ln=-8

解得：產(chǎn)2,

ln=-8

??.直線AC的解析式為y=-2x-8,

設(shè)尸(方,戶+2—8),

過點(diǎn)P作尸歹〃丁軸，交AC于點(diǎn)E如圖，

y

A\\o\BX

則尸(6-2z-8),

**?PF—-2t~8~(於+21-8)=-P-4b

2

SAPAC=S^PAF+S^PCF=-IFF*(t+4)+lpF*(-?)=2PF=2(---4f)=-2(什2)+8,

22

：-2<0,

??.當(dāng)/=-2時，S△如c的最大值為8,此時點(diǎn)P(-2,-8)；

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，圓的性質(zhì)，圓周角定理等，解題關(guān)鍵是證得OE=LMN,得

2

出以為直徑的。一定經(jīng)過點(diǎn)E.

【變式2-2](2023?安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線丁=以2+法(0/0)

經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),對稱軸為直線x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知點(diǎn)3,C在拋物線上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為3點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為什1.過點(diǎn)3作x軸

的垂線交直線于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)E.

(z)當(dāng)0<f<2時，求△03。與△ACE的面積之和；

(“)在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)B,使得以B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形的面積

為之？若存在，請求出點(diǎn)3的橫坐標(biāo)f的值；若不存在，請說明理由.

2

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)由題意得3(3-3+牝)，C(Z+l,-P+2/+3),利用待定系數(shù)法可得的解析式為

y=x,則。(Kt),E(什1,什1),

⑴設(shè)5。與％軸交于點(diǎn)過點(diǎn)A作AN1.CE則0),NH+1,3),利用S4OBD+S

△ACE=^BD'OM+^AN'CE即可求得答案；

22

(“)分兩種情況:①當(dāng)2<y3時，②當(dāng)A3時,分別畫出圖象，利用S四邊形DCEB=』(BD+CE)

2

?DH,建立方程求解即可得出答案.

【解答】解：(1):拋物線丁=加+法(aWO)經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),對稱軸為直線x=2,

(9a+3b=3

解得：

lb=4

(2)由(1)得：y=-X2+4X,

.,.當(dāng)時，y=-t2+4t,

當(dāng)x=7+l時，y=~(?+l)2+4(7+1),即y=-戶+2/+3,

:.B(t,-產(chǎn)+47),C(t+1,-Z2+2t+3))

設(shè)。4的解析式為y=依，將A(3,3)代入，得：3=3k,

k=1,

AOA的解析式為y=x,

：.DCt,/),E(/+1,f+1),

(z)設(shè)3。與x軸交于點(diǎn)航，過點(diǎn)A作ANLCE,如圖,

—(-t2+4t-t>t+—(-f+2什3-t-1)*(3-?-1)

2222

=1(-戶+3產(chǎn))+1(戶-3尸+4)=-戶-旦戶+2=2；

222222

(“)①當(dāng)2</<3時，過點(diǎn)。作于H,如圖,

則H(%+1,力，BD——e+4,-t—-P+3，，CE=t+1~(-P+2/+3)=P-1-2,DH—1+1

-t=l,

二?S四邊形=1(BD+CEXDH,

2

即3T(-產(chǎn)+3什人L2)XI,

22

解得：片區(qū)

2

②當(dāng)/>3時，如圖，過點(diǎn)。作DHLCE于H,

則BD=t-（-產(chǎn)+47）=戶-33CE=P-t-2,

S四邊形DBCE=—（BD+CE）,DH,

2

即旦=■1（產(chǎn)-3什戶-廣2）XI,

22

解得：加=叵+1（舍去），父=-叵+l（舍去）；

22

綜上所述，％的值為5.

2

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，四

邊形面積等，其中(2)(z7)分類求解是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)

丫=一/+玄-。的圖象與苫軸交于點(diǎn)4(一3,。)和點(diǎn)8(1.0),與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點(diǎn)。，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物

線上的一個動點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】(Dy—+3?

9

(2)SAMCD*大=W；

【分析】(1)根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；

(2)作M2，AC于Q,作于尸，交AC于E,先求出拋物線的對稱軸，進(jìn)而求得C,

。坐標(biāo)及。的長，從而得出過M的直線丫=》+m與拋物線相切時，AMCO的面積最大，根據(jù)

x+相=-*2-2x+3的△=0求得加的值，進(jìn)而求得知的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得8上的高M(jìn)2的值，

進(jìn)一步得出結(jié)果；

【詳解】(1)解：由題意得，

y=—(x+3)(x—1)——尤—-2x+3；

(2)解：如圖1,

圖1

作MQ±AC于Q,作ME_LAB于歹，交AC于E,

OA=OC=3,ZAOC=90°,

:.ZCAO=ZACO=45°,

/.ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

拋物線的對稱軸是直線：x==

y=尤+3=—1+3=2,

???0(1,2),

C(0,3),

CD=42,

故只需△MCD的邊CD上的高最大時，AMCD的面積最大,

設(shè)過點(diǎn)M與AC平行的直線的解析式為：y=x+m,

當(dāng)直線＞=》+〃2與拋物線相切時，AMC。的面積最大，

由x+m=—x2-2x+3得，

x2+3%+(jn-3)=0,

由4=0得，

32-4(m-3)=0^f,

29

%一3="

9

x9+3xH—=0.

4

33

y=x+3=----1-3=—,

22

…1539

ME=--------=—.

424

9V29A/2

:.MQ=MEsinZMEQ=MEsin45°=-x

c_169號9

??SAMCD最大=3X,2x-^—=鼻；

Zoo

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和

性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是分類討論.

【變式2-4］（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+M+c的圖象與無軸交于A,B

兩點(diǎn)，與y軸交于c點(diǎn)，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得工皿=5-80?若存在，請求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

【答案】⑴)=/一4%+3

⑵P(2T)或尸]心,心)或彳*,4]

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)S△嘰=S-,可得P到AC的距離等于B到AC的距離，進(jìn)而作出兩條AC的平行線,

求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；

【詳解】⑴解：將點(diǎn)3(1,0),<7(0,3)代入1+法+。,得

[1+/?+。=0

[c=3

\b——4

解得:

，拋物線解析式為y=?-4x+3；

(2)Vy=？-4x+3=(X-2)2-1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),

當(dāng)y=0時，X2-4X+3=0

解得：%=也=3

.?.4(3,0),則。4=3

VC(0,3),則OC=3

AOC是等腰直角三角形,

??q_c

?°APAC-□△ABC

???p至UAC的距離等于B至UAC的距離，

???4(3,0),C(0,3),設(shè)直線AC的解析式為>=丘+3

3%+3=0

解得：k=-l

直線AC的解析式為y=T+3,

如圖所示，過點(diǎn)B作AC的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,

設(shè)的解析式為y=-x+d,將點(diǎn)3(1,0)代入得,

-l+d=0

解得：d=1

直線BP的解析式為y=-x+i,

(y=-x+l

[y=x2-4x+3

x=1Px=2

解得:j=?；?/p>

y=-l

尸(2,-1),

7PA=J(3-21+12=^2,PB=J(2-l『+12=&,AB=3-1=2

P^+PB^AB2

???一形尸是等腰直角三角形，且ZAP3=90。,

如圖所