壓軸專題 圓的各性質(zhì)的綜合題（學(xué)生版）-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練

備冷發(fā)05圓的各德質(zhì)妁修會墓

-----------------------°(^^9)°------------------------

重點楠現(xiàn)...............................................................................1

壓軸題型專練...........................................................................2

壓軸題型一鼻徑定理及其應(yīng)用.......................................................2

壓軸題型二圈周角與國心角.........................................................4

壓軸題型三圈內(nèi)接四邊好...........................................................6

壓軸題型四三角形的外按圄與外心..................................................8

壓軸題型五切戰(zhàn)的性質(zhì)............................................................10

壓軸題型六切線的性質(zhì)與判定的球合應(yīng)用...........................................12

壓粘題型七弧長的計算............................................................15

壓軸題型八扇形面積的計算........................................................16

壓軸題型九國體的計算............................................................18

壓物題型十三角的內(nèi)切國與內(nèi)心....................................................19

壓軸題型十一BI的綠惻..........................................................23

（重點梳理）

圈這個考點在初中數(shù)學(xué)中是“個性”比就明顯、容量比枝大的一個重點，這個特點的表現(xiàn)走:黃光國的性質(zhì)

只能在BB中應(yīng)用，其次圄的性質(zhì)的小考點掙別多，與其他重要幾何圖冊的集合出題的可能性也非常大。在其

眾多考點中，常在壓物題出現(xiàn)的考點有如下幾個：

1.三角形的外按圄與外心：經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個外接圓的圓心叫做三角

形的外心，三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點；

2.垂徑定理及其推論：

垂徑定理：垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的?。?/p>

推論1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；

推論2:平分弧的直徑垂直于弧所對的弦。

3.國心角與圄周角定理:

圓心角定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

圓周南定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心南度數(shù)的一半。

圓周角定理的重要推論:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

???

圓心南與圓周角定理的重要應(yīng)用：

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩個圓周角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一對量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各對量都相等。

（但在一些理論性問題中，注意弦所對的圓周角是有2種度數(shù)的，并且它們互補(bǔ)。）

4.國內(nèi)按四邊形的性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)（延伸應(yīng)用：圓內(nèi)接四邊形的一個外南等于與它相鄰內(nèi)角的對南）

5.弧長、扇好面積、Bl律樹面積計算公式:

弧長公式：刀=蜀

扇形面積公式：S扇形=嚅?=看）

oOU/

圓錐與圓柱相關(guān)計算公式：

6.切線的判定與性質(zhì)：

直線與圓相切的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線;

切線的判定問題解決口訣：有切點，連半徑，證垂直。

圓的切線的性質(zhì)：經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線；

切線的性質(zhì)問題解決口訣：有切點，連半徑，得垂直。

7.三角形的內(nèi)切圄與內(nèi)心：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心，三

角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點；

Q[壓軸題型專門O

壓軸題型一垂徑定理及其應(yīng)用

圓的計算問題中，只要奉涉到長度的計算，首先想垂徑定理相關(guān)的“知二得三”模型，具體內(nèi)容

如下：

[“知二得三”:

由圖可得以下5點：

①CD；②AE=E8；③AD過圓心O；④人&=3%；⑤Ab=B%；

以上5個結(jié)論,知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結(jié)論使用。

2.常做輔助線:連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角

1.（2024?武威三模）如圖，。。的半徑為5,弦=6,點。在弦48上，延長CO交。。于點。，則CD

的取值范圍是（）

A.6WCDW8B.8&CDW10C.9<CE><10D.94CD<10

2.（2024-柯橋區(qū)二模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.

小敏同學(xué)想到了如下方法:如圖，將紙條拉直并緊貼杯底,紙條的上下邊沿分別與杯底相交于人、口、

四點,然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.請你幫忙計算紙杯杯

底的直徑為（）

A.4.8cmB.5cm

3.（2024-高青縣模擬）如圖，。河的半徑為4,圓心雙的坐標(biāo)為（6,8）,點P是。M上的任意一點，E4

，,且上4、與①軸分別交于A、口兩點，若點A、點3關(guān)于原點O對稱，則AB的最大值為

A.13B.14C.12D.28

4.（2024-昆都侖區(qū)二模）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2,則該半圓

A.（4+V5）cmB.9cmC.4V5cmD.6V2cm

5.（2024?溫州模擬）某一公路單向隧道由一弧形拱與矩形組成，為了確定大貨車通過公路隧道的最大高

度，道路交通學(xué)習(xí)小組展開了以下研究.如圖1,經(jīng)測量得人口=4項,為了確定與弧形拱半徑的長

度，學(xué)習(xí)小組找到一根57n長的筆直桿子，將桿子一端置于點。處，另一端置于上點E處，AE=

1m.如圖2,調(diào)整桿子位置，直至一端在4B上的點G處，另一端在圓弧上點尸處，F(xiàn)G±AB,GB=

1/n,如圖3,某一集裝箱大貨車寬為2.4小，則該大貨車的最大高度（包括貨物）

壓軸題型二

Sie技漆

1、圓的計算問題中，如果是角度相關(guān)計算或證明,則立刻聯(lián)想圓周角與圓心角的相關(guān)

定理推論；

2、圓中最不缺的就是等腰三角形,所以圓的角度計算時，多想想有沒有等邊對等角，再

結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等等綜合思考。

6.（2024?重慶）如圖，是。。的弦，OC,交。。于點。，點。是。O上一點，連接RD,CD.

若/。=28°,則AOAB的度數(shù)為（）

;

A.28°B.34°C.56°D.62°

7.（2024-西藏）如圖，AC為。。的直徑，點。在。O上,ZABZ)=60°,CD=2,則AD的長為

)

D

A.2B.2V2C.2V3D.4

8.（2024-海南）如圖，AD是半圓O的直徑，點8、。在半圓上，且檢=余=①，點P在歷上，若

APCB=130°，則/.PBA等于（）

A.105°B.100°C.90°D.70°

9.（2024-陜西）如圖，48為。O的直徑，/=尬，乙4=53°,則的度數(shù)是.

10.（2024-長春）如圖，是半圓的直徑，人。是一條弦，。是正的中點，于點E,交入。于點

交人。于點G,連結(jié)AD.給出下面四個結(jié)論：

①乙4BD=N_DAC；

②AF=FG；

③當(dāng)。G=2,GB=3時，F(xiàn)G=^^；

④當(dāng)反）=2防，AB=6時，ADFG的面積是

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

5

11.（2024-包頭）如圖，AB是。。的直徑，BC,是OO的兩條弦，點。與點。在48的兩側(cè)，石是

OB上一點（OE>BE）,連接OC,CE,且ZBOC=2ZBCE.

⑴如圖1,若BE=1,無=0,求。。的半徑；

（2）如圖2,若8。=2OE,求證：BD〃OC.（請用兩種證法解答）

壓軸題型三圄內(nèi)接四邊形

12.（2024?吉林）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O.過點B作BE〃AD,交CD于點E.若/8EC=50°,

則/ZB。的度數(shù)是（）

A.50°B.100°C.130°D.150°???

13.（2024?濟(jì)寧）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形4BCD的兩組對邊，延長線相交于點E,F.若/E=

54°4Y,/9=43°19，,則乙4的度數(shù)為（）

A.42°B.41°20,C.41°D.40°20'

14.（2024?浙江）如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BCD中，/4DC</BAD,延長4D至點E,使AE

=/C,延長R4至點R,連結(jié)跳1,使ZAFE=ZADC.

（1）若乙4FE=60°,CD為直徑，求乙48。的度數(shù).

⑵求證:①EFV/BC；

②EF=BD.

F

AB

壓軸題型四三角形的外接腳與外心

15.（多選）（2024?濰坊）如圖，。。是△ABC的外接圓，AO〃BC,連接CO并延長交。O于點D.分別

以點A,C為圓心，以大于;AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點M.直線OM交于點

)

C.ZAOD=ZBACD.四邊形49CE為菱形

16.（2024-宜賓）如圖，△ABC內(nèi)接于◎O,BC為。O的直徑，4D平分2BAC交?。于。，則

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

17.（2024?河南）如圖，。O是邊長為4V3的等邊三角形ABC的外接圓，點。是丸的中點，連接BD,

CD.以點。為圓心，8。的長為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

c167r

A—B.4兀D.16兀

3

18.（2024-蘇州）如圖，△ABC中，=42，。為AB中點，NBAC=/BCD,cos/4DC=卒，QO

是A4CD的外接圓.

（1）求8。的長；

（2）求。。的半徑.

壓軸題型五切線的性質(zhì)

19.（2024?揚州）如圖，已知兩條平行線為，點統(tǒng)是k上的定點，AB，為于點B，點。、。分別是"，，2上

的動點，且滿足連接CD交線段于點E,CD于點H,則當(dāng)/A4H最大時,

sin/R4H的值為

20.（2024.重慶）如圖，4B是。O的直徑，是?O的切線，點B為切點.連接AC交。。于點。，點

E是。O上一點，連接BE,0E,過點［作AF〃BE交8。的延長線于點尸.若8C=5,CD=3,ZF

=NAOE,則AB的長度是；DF的長度是

21.（2024?青島）如圖，ZVIBC中，=B。，以為直徑的半圓O分別交AB,AC于點L>,E.過點E

作半圓O的切線，交AB于點交的延長線于點M若ON=10,cos乙4BC=稱，則半徑OC

5

的長為.

22.（2024-涼山州）如圖，。M的圓心為M（4,0），半徑為2,P是直線y=2+4上的一個動點，過點。作

。河的切線,切點為Q,則尸Q的最小值為.

???

23.(2024-天津)已知△/OB中，AABO=30°,48為。。的弦，直線MN與。O相切于點C.

(I)如圖①，若4B〃AW,直徑CE與4B相交于點。，求乙408和/8CE的大??；

(II)如圖②，若。B〃MN,。3,48,垂足為3,CG與08相交于點尸，O/=3,求線段O尸的長.

?M

壓軸題型六切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

1、圓的切線的判定，抓住本質(zhì)--證垂直。故切線判定的問題，重要思想是：要證垂

直，先找垂直。即要證明的直角多是由題目中出現(xiàn)的其他垂直或互余關(guān)系轉(zhuǎn)化得來

的。

2、切線的判定問題解決口訣:有切點,連半徑，證垂直。

24.（2024?威海）如圖，已知AB是。O的直徑，點C,。在。。上，且BC=CD.點E是線段4B延長線

上一點，連接EC并延長交射線人。于點尸./9EG的平分線交射線AC于點H,ZH=45°.

（1）求證：即是。。的切線；

（2）若鹿=2,CE=4,求人戶的長.

???

25.（2024-雅安）如圖，AB是。O的直徑，點C是。O上的一點，點P是R4延長線上的一點，連接47,

ZPCA=ZB.

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）若sinZB=，求證：AC=AP-,

（3）若CDLAB于。，上4=4,口。=6,求40的長.

26.（2024?淮安）如圖，在4ABC中，R4=及7,以4B為直徑作。。交AC于點。,過點D作DE_LBC,

垂足為E,延長應(yīng)交4B的延長線于點F

（1）求證：。斤為?O的切線；

（2）若8E=1,BF=3,求sin。的值.

27.（2024?遂寧）如圖，AB是。。的直徑，AC是一條弦，點。是衣的中點，ON_LAB于點E,交力C

于點F,連結(jié)「歸交AC于點G.

（1）求證：AF=DF；

（2）延長GL>至點M,使DM=DG，連結(jié)AM.

①求證：AM是。O的切線；

②若L>G=6,DF=5,求。O的半徑.

M

壓軸題型七

28.（2024-包頭）如圖，在扇形4OB中，乙4OB=80°,半徑。4=3,。是叁上一點，連接OC,D是OC

上一點，且連接若BDLOC,則念的長為（）

29.（2024?廣安）如圖，在等腰三角形ABC中，4B=AC=10,NC=70°,以AB為直徑作半圓，與AC,

口。分別相交于點O,E,則龐的長度為（）

C

25兀

~9~

30.（2024?臨夏州）如圖，對折邊長為2的正方形紙片4BCD,（W為折痕，以點。為圓心，OM為半徑作

弧,分別交A。，于E,F兩點，則防的長度為（結(jié)果保留兀）.

31.（2024-蘭州）“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具,在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在

展覽館的仿真模型.圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中。Af,ON的半徑分別是1cm和10cm,當(dāng)

?雙順時針轉(zhuǎn)動3周時，。N上的點尸隨之旋轉(zhuǎn)K,則n=.

壓軸題型八扇形面積的計算

32.（2024-泰安）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若

半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（)

C.[■?！猇3

33.（2024?日照）如圖,在菱形ABCD中，4B=2,=120°,點。是對角線AC的中點，以點。為圓心,

04長為半徑作圓心角為60°的扇形OEF,點。在扇形OER內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（）

4C-f-JD.無法確定

34.（2024-重慶）如圖,在矩形ABCD中，分別以點人和。為圓心，4。長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個

公共點.若40=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-87：B.16V3-47TC.32-4兀D.16四一8兀

35.（2024-樂山）如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點。作。。的切線CD交R4延長線于

點。，點E為用上一點，且

（1）求證：DC//AE；

（2）若EF垂直平分OB,D4=3,求陰影部分的面積.

36.（2024-山東）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃_BC,ADAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為圓

心，以AD為半徑作應(yīng)交于點E,以點口為圓心，以8E為半徑作防所交8C于點尸,連接FD

交防于另一點G,連接CG.

（1）求證：CG為EF所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留兀）

AEB

壓軸題型九IB雉的計算

37.（2024?廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑Z是5,則該圓錐的體

A.豈乎兀B.C.2娓RD.

oo3

38.（2024-呼和浩特）如圖是平行四邊形紙片48co,8。=36cm,ZA=110°,/BDC=50°,點、M為BC

的中點，若以“為圓心，MC為半徑畫弧交對角線8。于點N,則N7WC=度；將扇形MCN

紙片剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為cm.

39.（2024?廣東）綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

【實踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時,求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留兀）

壓軸題型十三角的內(nèi)切圄與內(nèi)心

40.（2024-濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時期我國偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，

被譽為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”.劉徽在注釋《九章算術(shù)》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容

方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式.如圖，以△ABC中，ZC=90°,

AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表

A.d=a+b—cB.d=2》

a+b+c

C.d=J2(c—Q)(c—b)D.d=|(Q—b)(c—fe)|

41.（2024.綿陽）如圖，在矩形4BCD中，點E在48上運動，△4DE的內(nèi)切圓與DE相切于點G,將

△ADE沿0E翻折，點4落在點尸處,連接BF.當(dāng)點E恰為4B的三等分點（靠近點/）時，且EG=

7^—1,。3=7^+1,則8$/46斤=

42.（2024-內(nèi)江）如圖，在AABC中，ZABC=60°,=8,E是邊上一點，且BE=2,點/是△ABC

的內(nèi)心，的延長線交于點。，P是上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為

43.（2024-煙臺）如圖，AB是。。的直徑，ZVIBC內(nèi)接于。O,點/為△ABC的內(nèi)心，連接C7并延長交

。。于點。，E是就上任意一點，連接AD,RD,BE,CE.

⑴若/ABC=25°,求/CEB的度數(shù)；

（2）找出圖中所有與。/相等的線段，并證明；

⑶若C7=2四，DZ=粵四，求△ABC的周長.

44.（2024-自貢）在電△ABC中，NC=90°,OO是△4BC的內(nèi)切圓，切點分別為。，及F

（1）圖1中三組相等的線段分別是CE=CR,AF=,BD=；若AC=3,BC=4,則?

O半徑長為；

（2）如圖2,延長到點河，使4M'=48,過