2024-2025學年福州一中九年級上學期月考數學試題及答案

2024-2025九年級上數學適應性練習（1）一、選擇題（每小題4分，共40分）△ABC△DEF，則ABC與的相似比是（1.A.1:2，若AB=1，=2）B.1:3C.2:3D.3:22.下列關于圖形對稱性的命題，正確的是（）A.正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形D.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形3.若△ABC△DEF且相似比為14ABCB.：1與的面積比為（C.：16）A1：4D.：14.如圖，AD∥∥CF，直線l，l與這三條平行線分別交于點，CDEF．已知AB＝，12BC＝3DE2的長為()A.4B.5C.6D.85.如圖，若≌，則點Q應是圖中的（）A.點AB.點BC.點CD.點D=3=，則CD的長是6.如圖，ABC中，BAC=90°，AD⊥BC于DABBC()第1頁6頁83234353A.B.C.D.7.下列說法正確的是（）A.有一個角等于100的兩個等腰三角形相似B兩個矩形一定相似C.有一個角等于的兩個等腰三角形相似D.相似三角形一定不是全等三角形8.如圖，一張矩形報紙ABCDABaBC，EF分別是AB的中點，將這張報紙沿著直線對折后，矩形AEFD的長與寬的比等于矩形ABCD的長與寬的比，則ab等于（）A.2:1B.1:2C.3:1D.1:39.如圖正方形ABCD中，E、F分別為、BC的中點，與交于點O，則=（）132312255A.B.C.D.10.如圖，在矩形中，AB=2BCM是邊的中點，點EF分別是邊AB，上的點，且AF⊥MEGEB=2，BF=，則四邊形的面積為（）第2頁6頁6152855261268513A.B.C.D.二、填空題（每小題4分，共24分）DEBC中，DE∥BC，若的值為__________．如圖，在ABCAD3=DB=6，，則是位似三角形，點O是位似中心，且AC=9，=3，=6，則12.如圖，ABC和DEF=__________．中，點、分別在邊、AC上，且∠AED=∠ABC，如果13.如圖，在ABCDEAD=，BD=AE=6，那么AC的長______．是以點ABC與ABC14.C_______．11第3頁6頁3⊥于點C，=，且BC=AC，當CD=4，15.如圖，在四邊形ABCD中，ACBC4=2時，線段BD的長度為______．16.如圖，已知正方形ABCDE是上的一個動點，EFAE交FAE，為邊作矩形AEFG，若AB=，則點G到AD距離的最大值是________.三、解答題（86分）(0??2+3?2．17計算：18.如圖，已知A，C在同一直線上，∥CD，∠ABE=CDF，=CE．求證：ABCD．m2?4m+41÷19.先化簡，再求值：?1，其中m=2?2．m?1m?120.如圖△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，＝，求及的長．5第4頁6頁21.如圖，點CD在線段上，△PCD是等邊三角形，且CD2=AC?．（1）求證：PDB（2∠；APB的度數．22.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，EAD上一點，連接，它們相交于點∠ACB=∠ABE．（1）求證：AE2=EF?BE；（2AE2，=EF=1，CF=4，求AB，BC的長．中，，，將ABC繞點23.ABCB=°C=°A逆時針旋轉30°后至△AB1．（1的度數；∠1（2AB=3+1，線段BC與，BC分別交于M、N，求的長．11中，、分別是AB中點，點24.，在銳角ABCDEF為AC上一點，且=A，MDEF交ACM．第5頁6頁（1）求證：DA；=（2G在上，且∠=C，如圖2，求證：?EF=?EC．25.已知拋物線y=mx24m)x+c過點(1，a，(-，a)，，-1)．（1）求拋物線的解析式；（2）已知過原點的直線與該拋物線交于AB兩點（點AB，連接AC，BC，點DC之間的拋物線上運動（不與點AC①當點A的橫坐標是4時，若△的面積與△ABD的面積相等，求點D的坐標；②若直線OD與拋物線的另一交點為，點F在射線上，且點F的縱坐標為-，求證：=．第6頁6頁2024-2025九年級上數學適應性練習（1）一、選擇題（每小題4分，共40分）△ABC△DEF，則ABC與1.，若AB=1，=2的相似比是（D.3:2）A.1:2B.1:3C.2:3【答案】A【解析】求解．【詳解】解：∵△△ABC∽DEF，AB12=∴，即相似比為1:2；故選：A．2.下列關于圖形對稱性的命題，正確的是（）A.正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形D.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形【答案】B【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別，一個圖形繞著某固定點旋轉180后能夠與原來的【詳解】解：A、正三角形既是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；B、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確，故符合題意；°C、線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；D、平行四邊形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；故選：．3.若△ABCA.：4△DEF且相似比為14ABCB.：1與的面積比為（C.：16）D.：1【答案】C第1頁23頁【解析】【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：，∴△ABC△的面積比為：，故選：．【點睛】此題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解本題的關鍵．4.如圖，AD∥∥CF，直線l，l與這三條平行線分別交于點，CDEF．已知AB＝，12BC＝3DE2的長為()A.4B.5C.6D.8【答案】C【解析】【詳解】解∶∵ADBECF，根據平行線分線段成比例定理可得ABDE132==，即，BCEFEF解得：EF=6，故選：．5.如圖，若≌，則點Q應是圖中的（）A.點AB.點BC.點CD.點D【答案】D【解析】第2頁23頁【分析】根據全等三角形的性質判斷即可；≌【詳解】∵，∴點Q應是圖中的D點，如圖所示；故選D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，準確分析判斷是解題的關鍵．ABBC=3，則CD的長是=6.如圖，ABC中，BAC=90°，AD⊥BC于D()8234353A.B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據勾股定理可得AC【詳解】解：∵ABC中，BAC90，∴AC=BC?AB=3?2=5，=5，利用面積法求出AD，再根據勾股定理即可求得答案．∠=°=2=3，，2222∵BAC90，AD⊥BC，∠=°∴∠BAC=∠ADC=90°，∵3AD25=25∴AD=3第3頁23頁225353(5)2∴CD=AC2?AD2=?=故選D．7.下列說法正確的是（）A.有一個角等于100的兩個等腰三角形相似B.兩個矩形一定相似C.有一個角等于的兩個等腰三角形相似D.相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【解析】【分析】A100°的角只能是等腰三角形的頂角，所以這兩個等腰三角形相似；B中兩個矩形雖然角度相同，但對應的邊長比不相等時，兩個矩形不相似；C中等于45°的角可以是等腰三角形的頂角或底角；D中兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等；進而判斷選項的正誤．【詳解】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的頂角，所以這兩個等腰三角形相似，故正確，符合要求；B中兩個矩形雖然角度相同，但對應的邊長比不相等時，兩個矩形不相似，故錯誤，不符合要求；C中等于45°的角可以是等腰三角形的頂角或底角，當為頂角時，三角分別為4567.567.5；當為底角，，°時，三角分別為454590°，故這兩個等腰三角形不相似，故錯誤，不符合要求；D中當兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等，故錯誤，不符合要求；故選A．【點睛】本題考查了相似三角形，等腰三角形等知識．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．8.如圖，一張矩形報紙ABCDABaBC，EF分別是AB的中點，將這張報紙沿著直線對折后，矩形AEFD的長與寬的比等于矩形ABCD的長與寬的比，則ab等于（）A.2:1B.1:2C.3:1D.1:3【答案】A【解析】第4頁23頁【分析】根據相似多邊形的性質解答即可【詳解】解：∵EF分別是AB的中點，1aAE=AB=∴，22∵矩形AEFD的長與寬的比等于矩形ABCD的長與寬的比，ADAE=∴，ABAD∴AD2=AE.AB，1即b2=a2，2ab22=2，∴∴a：=2：1．故選A．【點睛】本題考查相似多邊形的性質．相似多邊形對應邊成比例．9.如圖正方形ABCD中，E、F分別為、BC的中點，與交于點O，則=（）132312255A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握正方形中的全等模型和相似模型是解題的關鍵．先證明△≌△BAF，得出=，再證明∠=△∽△FAB，即可得，將、轉化為即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，==90°，==∥，∵E、F分別為、BC的中點，第5頁23頁11AE=BF=AB=BC∴，22△BAF在和中，=AB∠DAE=∠ABFAE=BF，()BAFSAS，∴∴∠=，∵AD∥，∴∠DAO=∠AFB，∴△∽△FAB，=∴，=(2BF)2+BF=5BF，2∵在Rt中，AF=AB2+BF22BF25==∴，5BF5故選：．10.如圖，在矩形中，AB=2BCM是邊的中點，點EF分別是邊AB，上的點，且AF⊥MEGEB=2，BF=，則四邊形的面積為（）6152855261268513A.B.C.D.【答案】B【解析】MH⊥AB【分析】設a，得到=AB=2a，==a．作于H，先證明出5RtEMH∽RtFAB，利用性質建立等式解出a=，利用勾股定理求出AF=26，再根據2Rt∽RtAFB，利用相似比求出面積即可．【詳解】解：設a，則=AB=2a，==a．第6頁23頁作MHAB于H，⊥則90∠=°?∠=∠FAB．△△所以RtEMH∽RtFAB．=所以即，aa?22a=，15a=解得于是．25=AB=5．，2所以AF=AB2+BF2=52+1=26，21152△=AB×BF=×5×1=．22又Rt∽RtAFB，2?2△AE529===所以．△AF262699545SS=△=×=26252因此所以．△2654585=△?△=?=．25252【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定及性質、勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定．二、填空題（每小題4分，共24分）DE中，DE∥BC，若的值為__________．如圖，在ABCAD=3，DB=6，則BC第7頁23頁13【答案】【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．根據DE∥BC，即可判斷出△△，即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△△，+3913====∴．1故答案為：．3是位似三角形，點O是位似中心，且AC=9，=3，=6，則12.如圖，ABC和DEF=__________．【答案】2【解析】【分析】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．根據位似圖形的性質得出位似比，進而即可求解．【詳解】解：∵AC9，==3，∴:3:1，∵ABC和DEF是位似三角形，點O是位似中心，∴OA:OD=3:1=，∵6，=∴2．故答案為：2．=13.如圖，在ABC中，點、分別在邊、AC上，且∠AED=∠ABC，如果DEAD=，BD=AE=6，那么AC的長______．第8頁23頁20323##6【答案】【解析】【分析】根據相似三角形的判定和性質求解即可．【詳解】解：∵AED∠=∠ABC，∠A=∠A，∴△△∽，ADAE46==∴∴，即，，ACABAC4+6=．3203故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．是以點_______．ABC與ABC14.C11【答案】2【解析】ABC，利用勾股定理解得AB的長即可解題．【分析】由已知可得1111【詳解】解：∵ABC與ABC是以點C為位似中心的位似圖形，11ABC，∴11相似比為1BAB：=12+：2222+42=：525=2，1故答案為：2．【點睛】本題考查相似三角形的性質、勾股定理的應用，掌握相關知識是解題關鍵．第9頁23頁3⊥于點C，=，且BC=AC，當CD=4，15.如圖，在四邊形ABCD中，ACBC4=2時，線段BD的長度為______．【答案】【解析】2【分析】在AB上截取AM=AD=3，過M作MN交AC于N，把△AMN繞A逆時針旋轉得△ADE，證明△ABDACE和△AMNABC，求出相關邊長，然后根據勾股定理求解即可．==M//交ACN?AMN【詳解】解：如圖，在上截取AMAD2，過作于點，把繞A逆時針旋轉得ADE，連接?CE，則AC，⊥=，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ANM=90°∴，3又∵AC⊥BC于點C，∠=，BC=AC，4BCAC34tan∠BAC==∴，∴BC:AC:AB3:4:5，=又∵//，∴，??AMN∽?ADE又∵，?∽?ADE∴∴，ABAC=，ADAE第10頁共頁=∴，又∵∠+CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∽ACE，?54==∴，CE又??ABC，MNAM=∴∴，BC=ABBC36×AM=×2=，AB55∵∠=，∴DAE∠=ADC，∴AE//CD，+AED=180°，∴CDE∠∴CDE180∠=°?AED90，=°∴在RtCDE中，由勾股定理得，?625CE=CD2+2=42+()2=109，55521092∴BD=CE=×109=．4452故答案為：．【點睛】考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質、三角形邊角關系等，熟練掌握相似三角形的判定與性質和勾股定理是解題的關鍵．16.如圖，已知正方形ABCDE是上的一個動點，EFAE交FAE，為邊作矩形AEFG，若AB=，則點G到AD距離的最大值是________.【答案】1【解析】AEF＝90°得∠AEB＋∠FEC90°Rt△中∠BAE＋∠CEF＝90°得∠BAE＝∠FEC△ABE∽△ECFG到AD距離的最大值是1．【詳解】解：設BE＝，F(xiàn)C＝，∵EFAE，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，又∵四邊形是正方形，∴∠B＝∠＝90°∴∠BAEAEB90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABEECFAA，CFEC?==∴即，xy44?x=，(?)x4x1==?(?)+(≤≤)x20x4,2y44∵點G到AD距離就是的長度，∴點G到AD距離的最大值是，故答案為．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定與性質和二次函數最值等相關知識；重點掌握三角形相似的判定與性質，難點是將相似三角形的相似比相等轉化為二次函數解析式求最值．三、解答題（86分）(0??2+3?2．17.計算：26?3【答案】【解析】9【分析】先算乘方，再去絕對值，然后進行加減運算即可．1=1?+2?3【詳解】解：原式9第12頁共頁9=?3．【點睛】本題考查了實數的混合運算、零指數冪、負整數指數冪、去絕對值等知識．把握運算順序和正確的計算是解決本題的關鍵．18.如圖，已知A，C在同一直線上，∥CD，∠ABE=CDF，=CE．求證：ABCD．【答案】見詳解【解析】【分析】根據全等三角形證明△ABE△CDF，再根據全等三角形的性質解答即可．【詳解】證明：∵∥，∴∠ACD=CAB，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AEFC，在△ABE△中，∠ACD＝∠CAB∠＝∠CDF＝CF∴△ABE≌△CDF（AAS．∴ABCD．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定及性質，一般證明線段相等先大致判斷兩個線段所在三角形是否全等，然后再看證明全等的條件有哪些．m2?4m+41÷19.先化簡，再求值：?1，其中m=2?2．m?1m?12?m【答案】【解析】；4?2【分析】根據分式混合運算法則進行計算，然后代入數據進行計算即可．(?)m2m?121m?1m?1m?1=÷?【詳解】解：原式第13頁共頁(?)22m2m?11?m+1m?1==÷(?)m2m?1?m?12?m=2?m=2?(2?2=2?2+2=4?2)把m=2?2代入得：原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡計算，熟練掌握分式混合運算法則，是解題的關鍵．20.如圖△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝5，＝，求及的長．5【答案】AB＝2.5，BC＝2【解析】【分析】首先利用相似三角形的對應邊的比相等求得的長，然后利用勾股定理求得的長即可【詳解】∵△ABC∽△ABAC=∴ACAD∵AC＝5，＝2AB5=∴52解得：AB＝∵∠D90°∴∠ACBD＝90°5∴BC=2.52?(5)2=2【點睛】考查了相似三角形的性質，了解相似三角形對應邊的比等于相似比是解答本題的關鍵，難度不大21.如圖，點CD在線段上，△PCD是等邊三角形，且CD2=AC?．第14頁共頁（1）求證：PDB；（2∠APB的度數．∠APB=120°（2）【答案】（）見解析【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握這兩方面知識是解題的關鍵．（1）由等邊三角形性質得PCPDCD，==PCD=∠PCA=∠BDP，從而有；由BDPD=AC?得=CD2，從而結論得證；PCAC（2）由相似三角形的性質及三角形角的性質即可求解．【小問1詳解】證明：∵△PCD是等邊三角形，∠PCD=PDC=60°，∴PCPDCD，==∠PCA=∠BDP∴；∵CD2=AC?∴PDPCAC，?=?BDPD=即，PCAC∠PCA=∠BDP∵，∴PDB；【小問2詳解】解：∵PDB，∴APC∠=∠B；∵PDC∠=∠+∠BBPD60°=∠CPD，=∴APB∠=∠CPD+∠APC+∠BPD=60°+B+BPD=60°+60°=120°．22.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，EAD上一點，連接，它們相交于點第15頁共頁∠ACB=∠ABE．（1）求證：AE2=EF?BE；（2AE2，【答案】（）見解析【解析】=EF=1，CF=4，求AB，BC的長．8AB=，BC=6（2）3關鍵．（1）證明△△AEF∽BEA即可；△BC△AEF△BEA，（4得=BF=3△AEF∽CBF可求得1即可求得．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∥，∴∠=ACB；∵∠ACB=∠ABE，∴∠=；=，∵∠∴△△AEF∽BEA，=∴，即AE2=EF?BE；【小問2詳解】解：由（）有AE=EF?BE，2即22=1×BE，∴4，=則BFBEEF3；=?=∵∥，∴△AEFCBF，第16頁共頁AEAFEF13===∴，BCCFBF143==AF=CF=∴BC3AE6，；3∵△△AEF∽BEA，AEAF=∴即，BEABBE448=×=AE32AB=AF×．3中，，，將ABC繞點23.ABCB=°C=°A逆時針旋轉30°后至△AB1．（1的度數；∠1（2AB=3+1，線段BC與1，BC分別交于M、N，求的長．1【答案】（）45°（2）6?2【解析】30°股定理，熟練掌握特殊角度的直角三角形的三邊關系是解題的關鍵．（1）利用旋轉的性質和三角形內角和直接求解即可；⊥AB于點G⊥BC于點H，利用等腰直角三角形的性質，含30°（2）過點M作，作角的直1BG==AB1=AB=3+1，求出=，結合角三角形的性質得出，，1=1，得BM=3?1，再利用和分別是等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，利用特殊三邊關系即可求解．【小問1詳解】解：∵B=，°C=°，∠BAC180°?45°?60°=75，=°∴由旋轉知：∠1=30°，第17頁共頁BAC=∠BAC?∠CAC=75°?30°=45°∴；11【小問2詳解】⊥AB于點G⊥BC于點H，解：如圖，過點M作，作1∠BAC=∠BAC=75°∠1=∠B=45°=1=3+1，由旋轉知，，ABAB11∠BAM=∠BAC?∠BAC=30°∠B=B=45°，∴∴∴，111111BG==，，AG=AM2?2=，3+)1(AB=AB=3+1=AG+BG=+=，11得：1，=∴AM==2，BM=BG2+=2，211∴BMABAM=?=3?1，∵∠1=∠B=45°，∠1=NMB，∠MNB=MAB1=30°，=B=45，°∴∴BM==2=31，?3?16?2∴=，22∴2==6?2．中，、分別是AB中點，點24.，在銳角ABCDEF為AC上一點，且=A，MDEF交ACM．第18頁共頁（1）求證：DA；=（2G在上，且∠=C，如圖2，求證：?EF=?EC．【答案】（）見解析（2）見解析【解析】1MDEF得=AFE=A得=A∠證；（2DE為中點及證明四邊形BDEFBECE，=，=由相似三角形的性質得BDBE，從而證得結論成立．?=?【小問1詳解】證明：∵MDEF，∴∠=AFE；=A，∵∠∴∠=A，∴；=【小問2詳解】證明：∵DE分別是AB中點，∴BD=AD，BE=CE，DE∥AC；∴∠C=BED；∵MDEF，∴四邊形為平行四邊形，∴；=由（）知，DA，=∴；=∵∠=C，∠C=BED=BED；，∴∠∵B∠=∠EBD，∴，EC=∴，EF即BDBE；?=?∴?EF=?EC．第19頁共頁【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定，三角形中位線性質定理及平行線的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．25.已知拋物線y=mx24m)x+c過點(1，a，(-，a)，，-1)．（1）求拋物線的解析式；（2）已知過原點的直線與該拋物線交于AB兩點（點AB，連接AC，BC，點DC之間的拋物線上運動（不與點AC①當點A的橫坐標是4時，若△的面積與△ABD的面積相等，求點D的坐標；②若直線OD與拋物線的另一交點為，點F在射線上，且點F的縱坐標為-，求證：=．14y=2x?1【答案】（）5（2，②見解析4【解析】）把?1)代入解析式中得c的值，再由(1，a，(-1a)關于拋物線的對稱軸對稱且關于y軸對稱，可知拋物線的對稱軸為y軸，即1?4m=0，從而可求得m，最后得到解析式；（2）①過點D作y軸的平行線交于點H；由點A在拋物線上及點A的橫坐標可求得點A的坐標，從而求得直線的解析式，聯(lián)立直線解析式與二次函數解析式，可求得點B的坐標，從而可求得△1積；設點D的坐標為n,n2?1，則可得點的坐標，從而求得DHH的長，由4SABD=SBHD+SAHD=SABC，即可求得n的值，從而求得點D的坐標；D(x,y)E(x,y)②由題意知，點D在第四象限，設OD的解析式為=kx，，，聯(lián)立OD的解析式與二2112x+xxx的值，從而可得12次函數解析式，可得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系可得及12111+yyy1+=1；過點E作y軸的平行線交x軸于點G，過點D