2025年高考數(shù)學(xué)大題突破+限時(shí)集訓(xùn)(新高考專用)培優(yōu)專題06導(dǎo)數(shù)(10大題型)(學(xué)生版+解析)

培優(yōu)專題06導(dǎo)數(shù)題型1含參函數(shù)的單調(diào)性一、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。二、一般性技巧（1）導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.（3）若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過(guò)判別式來(lái)判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.一、解答題1．（24-25高三下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求在上的最大值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．4．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，()．(1)若函數(shù)的圖象在處的切線平行于x軸，求a的值；(2)討論的單調(diào)性．5．（24-25高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)的切線l，求切線l的方程；(2)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.6．（24-25高三上·廣東潮州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的極值點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性．7．（24-25高三下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)試討論的單調(diào)性．題型2極值問(wèn)題一、求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).一、解答題1．（2024·西藏拉薩·一模）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2025·山東菏澤·一模）已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不是的極值點(diǎn)，求；3．（24-25高三下·河北邯鄲·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)證明：無(wú)極值點(diǎn)．4．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2025·廣東江門·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值．6．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型3最值問(wèn)題一、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.一、解答題1．（24-25高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．2．（24-25高三下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最小值.3．（2025·河北石家莊·一模）已知函數(shù).(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在實(shí)數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.4．（24-25高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）(1)判斷的單調(diào)性；(2)若m，n為方程的兩個(gè)根，求的最小值．題型4恒成立和有解問(wèn)題對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．一、解答題1．（23-24高三下·福建漳州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點(diǎn).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，使得，求的取值范圍.3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.5．（24-25高三下·海南海口·階段練習(xí)）已知函數(shù)和．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，，使得，證明：．6．（2025·江西·一模）已知函數(shù)，(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍．題型5零點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。一、解答題1．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù).(1)若，判斷是否存在極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2．（2025·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù).(1)若均有極值且極值互為相反數(shù)，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，.5．（2025·安徽滁州·一模）已知函數(shù)(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若，求證：有且只有1個(gè)零點(diǎn).6．（24-25高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線為的切線，求a的值.(3)已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.題型6極值點(diǎn)偏移問(wèn)題一、常規(guī)方法1、和型（或）問(wèn)題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；2、積型問(wèn)題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.二、其他方法1、比值代換比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2、對(duì)數(shù)均值不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．3、指數(shù)不等式在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：一、解答題1．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．2．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．3．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.4．（2024·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值：(2)若，，，證明：．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．6．（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．題型7隱零點(diǎn)問(wèn)題一、隱零點(diǎn)的處理思路第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.二、隱零點(diǎn)的同構(gòu)實(shí)際上,很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用的原理分析所以在解決形如,這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.一、解答題1．（24-25高三下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)(1)探究在定義域內(nèi)是否存在極值點(diǎn)；(2)求在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2．（24-25高三上·湖北·期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3．（24-25高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；(3)用表示、的最大值，記．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.（參考數(shù)據(jù)：）5．（24-25高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線l為曲線在點(diǎn)處的切線.(1)當(dāng)時(shí)，求出直線的方程；(2)若，求的最值；(3)若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（24-25高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．題型8導(dǎo)數(shù)與不等式證明一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).一、解答題1．（2025·山東青島·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為M，m，證明：.2．（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.3．（2025·江西·二模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：；(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．4．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，.(1)證明：.(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)當(dāng)，時(shí)，證明：，.5．（2025·山東淄博·一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：時(shí)，；(3)若不等式對(duì)任意的都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．題型9導(dǎo)數(shù)與數(shù)列導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問(wèn)題一般至少有兩問(wèn)，已知的不等式常由第一問(wèn)根據(jù)特征式的特征而得到.一、解答題1．（24-25高三上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)，其圖象與x軸相切．(1)求的表達(dá)式；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列，（），的前n項(xiàng)和為，證明：．2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：.求證：的前項(xiàng)和滿足.3．（2025·新疆烏魯木齊·一模）已知.(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè).（?。┣笞C：數(shù)列為遞減數(shù)列；（ⅱ）求證：.4．（2025·江西·一模）已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點(diǎn)與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.(1)若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；(2)若，.①判斷在上的單調(diào)性；②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證：.5．（2025·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)若，數(shù)列滿足，證明：.題型10導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾榭忌鷮?duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸．一、解答題1．（2025·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）有一種速度叫“中國(guó)速度”，“中國(guó)速度”正在刷新世界對(duì)中國(guó)高鐵的認(rèn)知．由于地形等原因，在修建高鐵、公路、橋隧等基建時(shí)，我們常用曲線的曲率（Curvature）來(lái)刻畫(huà)路線彎曲度．曲線的曲率定義如下：記為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率為．(1)已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的曲率；(2)已知函數(shù)，求曲線的曲率的范圍．2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)（計(jì)算時(shí)相當(dāng)于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個(gè)變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說(shuō)明其為常數(shù).(2)求值：對(duì)的偏導(dǎo)數(shù).(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價(jià)值.在幾何學(xué)中，某個(gè)平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡(luò)線為.不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任何一個(gè)給定的的值，包絡(luò)線與原曲線的切點(diǎn)的總是對(duì)應(yīng)值在參數(shù)取遍后得到的極值.已知函數(shù)的包絡(luò)線為.（i）求證：.（ⅱ）設(shè)的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線，求證：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).3．（24-25高三上·福建漳州·階段練習(xí)）定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個(gè)常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù).已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷是否為極值可差比函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍.4．（24-25高三上·山西陽(yáng)泉·期末）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為.若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.(1)求曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)求證：.5．（24-25高三下·湖北·階段練習(xí)）意大利畫(huà)家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”其原理往往運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，他們之間具有類似于三角函數(shù)的性質(zhì)．（已知）(1)證明：①倍元關(guān)系：；②平方關(guān)系：(2)對(duì)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：．6．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為，且滿足（注：為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，以此類推）.已知函數(shù).(1)記為在處的階帕德逼近，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)，求的取值范圍；(3)求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.培優(yōu)專題06導(dǎo)數(shù)題型1含參函數(shù)的單調(diào)性一、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。二、一般性技巧（1）導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.（3）若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過(guò)判別式來(lái)判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.一、解答題1．（24-25高三下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求在上的最大值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)上的最大值；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，.（2），①當(dāng)時(shí)，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)再得出再應(yīng)用點(diǎn)斜式得出切線方程；（2）分和兩種情況分別討論的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，即切線的斜率為，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得．（2）求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)或(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由可得；（2）由題意，對(duì)實(shí)數(shù)分類，，，進(jìn)而可得.【詳解】（1）由于，故，解得或．（2）首先有．若，則在上遞減；若，則對(duì)有，對(duì)有．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則對(duì)有，對(duì)有．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．4．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，()．(1)若函數(shù)的圖象在處的切線平行于x軸，求a的值；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得解；（2）求導(dǎo)后因式分解，再結(jié)合的取值討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由題意可得，解得；（2），，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故在、上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；綜上所述：若，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；若，則在、上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；若，則在上單調(diào)遞增；若，則在、上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.5．（24-25高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)的切線l，求切線l的方程；(2)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論即可求得函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以，即，解得；所以，因此；即切線方程為；（2）易知，令，則，①當(dāng)時(shí)，，則在R上遞減；②當(dāng)時(shí)，令，可得；同理的解是，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)令，即；同理的解是，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．6．（24-25高三上·廣東潮州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的極值點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)極小值點(diǎn)為1，無(wú)極大值點(diǎn).(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)即可得解.（2）由，討論的解的情況，進(jìn)而討論求出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為1，無(wú)極大值點(diǎn).（2）由，求導(dǎo)得，令，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，方程的解為，若，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.7．（24-25高三下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)試討論的單調(diào)性．【答案】(1).(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出.【詳解】（1）當(dāng)，，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.題型2極值問(wèn)題一、求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).一、解答題1．（2024·西藏拉薩·一模）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)頻數(shù)函數(shù)單調(diào)性；（2）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)既有極大值又有極小值可轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)不等的正根，結(jié)合二次方程解的情況列不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由已知，則，，，，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上所述的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，則，由函數(shù)既有極大值，又有極小值，即有兩個(gè)不等的正根，即有兩個(gè)不等的正根，分別設(shè)為，，則解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2025·山東菏澤·一模）已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不是的極值點(diǎn)，求；【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.（2）利用取極值點(diǎn)的條件：函數(shù)的單調(diào)性在極值點(diǎn)左右兩側(cè)改變求解即可.分為、和分別討論即可.【詳解】（1）由已知得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，且，所以所求切線方程為.（2）令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(i)若，則，所以存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是的極值點(diǎn)，(ii)若，則，所以存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故是的極值點(diǎn).（iii）若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故不是的極值點(diǎn).綜上，.3．（24-25高三下·河北邯鄲·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)證明：無(wú)極值點(diǎn)．【答案】(1)或;(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)利用求導(dǎo)來(lái)求切線斜率，利用兩直線垂直其斜率之積為來(lái)得到方程，從而可求解；(2)利用二階導(dǎo)求導(dǎo)分析單調(diào)性和最小值，再利用求導(dǎo)分析最小值函數(shù)，再求其最小值，從而來(lái)判斷原導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定是單調(diào)函數(shù)，所以無(wú)極小值點(diǎn).【詳解】（1）求導(dǎo)得：，由題可知，由直線的斜率為，根據(jù)垂直直線的斜率之積為，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l的方程為，化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l的方程為，化簡(jiǎn)得.（2）因?yàn)?，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即的最小值為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即的最小值為，所以，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn).4．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證明不等式，只需證明當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，即可證明；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.要證，只需證：當(dāng)時(shí)，.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即時(shí)，，得證.（2），令，①當(dāng)時(shí)，在上無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，且.取，其中.顯然，，則.由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.此時(shí)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足題意.綜上，.5．（2025·廣東江門·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由函數(shù)解析式明確定義域，并判斷其奇偶性，根據(jù)化簡(jiǎn)后的解析式以及求導(dǎo)可得其單調(diào)性；（2）由函數(shù)解析式明確定義域，并判斷其奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系以及分類討論，可得答案.【詳解】（1）由，則函數(shù)，易知其定義域?yàn)?，由，則函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減.（2）由時(shí)，則函數(shù)，可得，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）易知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，由函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的極大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.6．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)時(shí),求得函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),在定義域上研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）由是函數(shù)的唯一極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為是唯一變號(hào)零點(diǎn),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,求得a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,其定義域?yàn)?則.設(shè),則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴.∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）,∵是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),∴當(dāng)時(shí),恒成立或恒成立,即或恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立，則恒成立，即,令，則，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于時(shí)，函數(shù)，當(dāng)趨近正無(wú)窮大時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng)，所以,所以函數(shù)不存在最大值，故時(shí)，不恒成立;當(dāng)時(shí)，恒成立，即，由上分析知：在處取得最小值，∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題型3最值問(wèn)題一、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.一、解答題1．（24-25高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)按分類討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并求出最小值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，令，依題意，恒成立，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，符合題意，所以存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，.2．（24-25高三下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最小值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究導(dǎo)數(shù)的區(qū)間符號(hào)，即可得對(duì)應(yīng)單調(diào)性；（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論與區(qū)間的位置關(guān)系求函數(shù)最小值.【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)?，，①若，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.②若，由，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最小值；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有最小值；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值；綜上：.3．（2025·河北石家莊·一模）已知函數(shù).(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在實(shí)數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)(2)1【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就、分類討論后可得函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）設(shè)切點(diǎn)為，則可得的方程組，消元后可得關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求的最大值.【詳解】（1）由題意得若，則在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)若，令，得，由于是增函數(shù).所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故是的唯一極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）知，因?yàn)檩S為的切線，則解得，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故是的唯一極大值點(diǎn).，所以的最大值為1.4．（24-25高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）(1)判斷的單調(diào)性；(2)若m，n為方程的兩個(gè)根，求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）利用得到是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，從而得到，，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解，即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減.（2）由，，可得，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，其中，得，故，，即.故，設(shè)，，設(shè)，則，所以為上的增函數(shù)，則.，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以為上的增函數(shù)，的最小值為，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求最小值時(shí)，要利用得到，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，從而得到，，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解.題型4恒成立和有解問(wèn)題對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．一、解答題1．（23-24高三下·福建漳州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分和，兩種情況分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即得函數(shù)單調(diào)性；（2）先化為恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)椋愠闪?，所以，則，令且，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點(diǎn).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，使得，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出并驗(yàn)證即可得解.（2）由（1）求出在上的最小值，再按分類，并借助導(dǎo)數(shù)討論值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此為函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此為函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意，所以.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，①當(dāng)時(shí)，對(duì)，，使得，因此，符合題意，則；②當(dāng)時(shí)，，取，對(duì)，有，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，若對(duì)，，使得，只需，即，解得，所以的取值范圍為.3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況及函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意可得，分別求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.【詳解】（1）由，，得.令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)閷?duì)任意，均存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0.由（1）得，當(dāng)時(shí)，在]上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以成立，所以無(wú)解.綜上所述，的取值范圍為.4．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，無(wú)極小值(2)【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；（2）分類討論，得到單調(diào)性，求出函數(shù)最值，根據(jù)最值滿足的條件來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，無(wú)極小值.（2）由題得2a），當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以由得，解得；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，得，解得.綜上，的取值范圍為.5．（24-25高三下·海南?？凇るA段練習(xí)）已知函數(shù)和．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，，使得，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)可求得，進(jìn)而可求得切線方程；（2）記，利用反證法可證明，進(jìn)而可得；（3）由已知可得，令，，求導(dǎo)可求得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故在點(diǎn)處的切線方程為；（2）記，則，因?yàn)?，故．反證法：若，則存在，使得在單調(diào)遞增，此時(shí)，與恒成立矛盾．同理可得，也不成立．故．，，．下面證明：時(shí)，．令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，故；?dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，故．所以，?dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立．（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，如圖．，，．，，即，，，令，，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，即．6．（2025·江西·一模）已知函數(shù)，(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，.（2）因?yàn)椋渲?，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（i）若，則時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，設(shè)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，合乎題意；（ii）若，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得，因?yàn)?，則.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個(gè)方面：（1）求導(dǎo)后看最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，須需分類討論；（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開(kāi)口方向確定時(shí)，再根據(jù)判別式討論無(wú)根或兩根相等的情況；（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時(shí)，注意兩根大小比較，或與定義域比較.

．題型5零點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。一、解答題1．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù).(1)若，判斷是否存在極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)無(wú)極小值點(diǎn)；理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，確定單調(diào)性即可判斷；（2）參編分類得到，問(wèn)題轉(zhuǎn)換成與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)確定單調(diào)性，極值，即可求解；【詳解】（1）依題意可得，，故，設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極小值點(diǎn)；（2）令，可得，所以與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍是2．（2025·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，則，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.3．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）把代入，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性及最值，再分類討論求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）依題意，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，，在上無(wú)零點(diǎn)，，在上有一個(gè)零點(diǎn)，則在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，因此在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).4．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù).(1)若均有極值且極值互為相反數(shù)，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性來(lái)確定極值情況，再根據(jù)極值之和為求解的值；（2）先根據(jù)（1）結(jié)論確定的范圍，然后通過(guò)一系列變形和換元，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，由知，從而在分別遞增、遞減，無(wú)極值，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，故有極小值當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，故有極小值，故.（2）由（1）知，時(shí)在遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故，所以，故只需證.由已知，設(shè)，則，兩式相減得，要證只需證，不妨設(shè)，即證設(shè)，即證，令則，故在遞增，，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：①寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)；③寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點(diǎn).5．（2025·安徽滁州·一模）已知函數(shù)(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若，求證：有且只有1個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得即可；（2）求導(dǎo)得，分，，三種情況討論中可證得結(jié)論.【詳解】（1）由可得，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以等價(jià)于，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2），當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，當(dāng)時(shí)，，取，則，且，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由于，所以，所以，所以，所以又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.6．（24-25高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線為的切線，求a的值.(3)已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)1(3)【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，并對(duì)分和討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，令，轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷求解；（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構(gòu)造函數(shù)，由切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，并求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得正數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)切點(diǎn)為，依題意，，所以，又，代入可得，，設(shè)，則，所在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?（3），，所以曲線在處的切線方程為，即，設(shè)，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；綜上，a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是將切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求解.題型6極值點(diǎn)偏移問(wèn)題一、常規(guī)方法1、和型（或）問(wèn)題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；2、積型問(wèn)題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.二、其他方法1、比值代換比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2、對(duì)數(shù)均值不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．3、指數(shù)不等式在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：一、解答題1．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可證明.【詳解】（1）由題意可知：，若，則恒成立，即單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等零點(diǎn)，故，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以若要符合題意，需，此時(shí)有，且，令，而，即在上遞減，故，所以，又，故在區(qū)間和上函數(shù)存在各一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上；（2）結(jié)合（1），不妨令，構(gòu)造函數(shù)，則，即單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，由?）知在上單調(diào)遞增，所以由，故.2．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，分別解不等式，即可；（2）設(shè)，結(jié)合（1）可知，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得，結(jié)合在上單調(diào)遞減即可得證.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，解得，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，解得，所以的取值范圍為．（2）不妨設(shè)，則由（）知，，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即．3．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）設(shè)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得；（3）結(jié)合（2）中所得可得，可將所需證明內(nèi)容轉(zhuǎn)化為證明，等價(jià)于證明，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性只需證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證.【詳解】（1），，，所以在處的切線方程為，即；（2）由可知，，，即在上恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，由題意知，即，故的取值范圍為；（3）方程有兩實(shí)數(shù)解，，即有兩實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，由（2）知方程要有兩實(shí)數(shù)解，則，即，同時(shí)，，，，則，在單調(diào)遞減，欲證，即證，，等價(jià)于，即，等價(jià)于，整理得①，令，①式為，又在單調(diào)遞增，故①式等價(jià)于，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，，即，所以，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于將原不等式轉(zhuǎn)化為證明，再轉(zhuǎn)化為證明，最后轉(zhuǎn)化為證明，從而可構(gòu)造函數(shù)幫助證明.4．（2024·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值：(2)若，，，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可知函數(shù)單調(diào)遞增，通過(guò)反例可說(shuō)明不合題意；當(dāng)時(shí)，可得單調(diào)性，知；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得，知；（2）將已知不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，易知時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，采用分析法可知只需證得即可，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可說(shuō)明，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，若，則，時(shí)，，不合題意；若，則，不合題意；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；若恒成立，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，；則當(dāng)時(shí)，符合題意；綜上所述：.（2）由得：，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由得：；，，當(dāng)時(shí)，由得：，；當(dāng)時(shí)，要證，只需證，，，則只需證，又，只需證；令，，則，在上單調(diào)遞減，，，即，即得證，；綜上所述：成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立、證明不等式的問(wèn)題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠采用同構(gòu)法將所給不等式化為的形式，結(jié)合極值點(diǎn)偏移的分析思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)進(jìn)行證明.5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，結(jié)合單調(diào)遞增只需證，再根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），則，令，得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故的取值范圍為．（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以．由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，顯然．由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證，而，所以即證．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)思路：1，轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)求解；2，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解.6．（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.題型7隱零點(diǎn)問(wèn)題一、隱零點(diǎn)的處理思路第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.二、隱零點(diǎn)的同構(gòu)實(shí)際上,很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用的原理分析所以在解決形如,這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.一、解答題1．（24-25高三下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)(1)探究在定義域內(nèi)是否存在極值點(diǎn)；(2)求在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)存在極大值點(diǎn)(2)0【分析】（1）求導(dǎo)，分析可知在區(qū)間上單調(diào)遞減且存在零點(diǎn)，進(jìn)而可得的符號(hào)以及的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析極值；（2）根據(jù)（1）結(jié)合零點(diǎn)代換可得，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，因?yàn)楹瘮?shù)和在上單調(diào)遞減，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減.且，，可知存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在定義域內(nèi)存在極大值點(diǎn).（2）由（1）可得：，即，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，可知，即，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．（24-25高三上·湖北·期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零.，證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得判斷出，故結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷在上的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1），且.當(dāng)時(shí)，，，從而，即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，從而，即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2），又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，記，從而，且此時(shí)，，∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，，∴存在，使得且時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減；時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴由，得，即函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)；而由，，即函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).∴函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，需利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).3．（24-25高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；(3)用表示、的最大值，記．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的取值范圍是【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（3）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對(duì)求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，此時(shí)曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋屎瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，，且.下面考慮，當(dāng)時(shí)，恒成立，①若，當(dāng)時(shí)，，故，在遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.且當(dāng)時(shí)，，合乎題意，綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.4．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）記，轉(zhuǎn)化為，利用即可證明.【詳解】（1），由，可得或，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由知，時(shí)，，，記，①當(dāng)時(shí)，由得，即，記，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，又，當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)于任意的成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)誤百出.5．（24-25高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線l為曲線在點(diǎn)處的切線.(1)當(dāng)時(shí)，求出直線的方程；(2)若，求的最值；(3)若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)最小值為，無(wú)最大值(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判定的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值即可；（3）求出直線，將“直線與曲線相交”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在有解，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，整理得，所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為.（2）因?yàn)?，，則，由解得，由解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值.（3）由（1）得切線的方程為，因?yàn)橹本€與曲線相交于點(diǎn)，且，所以關(guān)于的方程在有解，令，則，令，則，①當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ粚?shí)數(shù)，使，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，則在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上無(wú)零點(diǎn)，所以不符合題意，綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，符號(hào)，從而可確定原函數(shù)的單調(diào)性.6．（24-25高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，可求函數(shù)的增區(qū)間.（2）（ⅰ）求導(dǎo)，結(jié)合換元法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)有兩個(gè)不等正根可求參數(shù)的取值范圍.（ⅱ）利用（?。┲械挠嘘P(guān)結(jié)論，把化成，設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明.利用導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，所以.故單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）（?。?，令，即令，，則是方程的兩個(gè)正根，則，即，有，，即.所以的取值范圍為：.（ⅱ）令則．令，則，則在上單調(diào)遞減，又故存在，使，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則，又，故即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用換元的思想，利用換元轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為隱零點(diǎn)問(wèn)題求解.題型8導(dǎo)數(shù)與不等式證明一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).一、解答題1．（2025·山東青島·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為M，m，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由，，得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為且，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即，，又，即，則，又，則，，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.2．（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，結(jié)合即可求得的值；（2）分、兩種情況討論，在時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)驗(yàn)證即可；在時(shí)，設(shè)，滿足，則原不等式等價(jià)于，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由于，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或（舍），故.（2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)不等式成立.下面證明時(shí)的情況，設(shè)，滿足，則原不等式等價(jià)于.考慮到三次函數(shù)圖象極值點(diǎn)附近的非對(duì)稱性：令，則，故在上單調(diào)遞減，.，故只需證，令，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.所以，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).3．（2025·江西·二模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：；(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得恒成立，參變分類，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（2）求導(dǎo)，確定其單調(diào)性得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性得到，即可求證；（3）化簡(jiǎn)，將轉(zhuǎn)化成，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)討論其單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋谏虾愠闪?，所以在上恒成立，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是,（2）若，，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令，，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又等號(hào)不同時(shí)成立，所以.（3）由題意可知，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)不同的根，則所以，所以要證，即證，即證，即證，即證.令，則證明，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解