江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實驗中學2024-2025學年高二下學期3月月考 數(shù)學試題（含解析）

2023級高二年級3月學情調(diào)研測試高二數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.當某種針劑藥注入人體后，血液中該藥的濃度C與時間t的關系式近似滿足其中，則血液中該藥的濃度，在時的瞬時變化率約是時的瞬時變化率的多少倍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導，將與代入即可求得答案.【詳解】函數(shù)求導得，將代入得，將代入得，則，故選：B2.已知函數(shù)，若，則（）A. B.1 C. D.e【答案】B【解析】【分析】先求導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)值結合對數(shù)運算計算求解.【詳解】，由，得，則，解得．故選：B.3.2024年11月份，文化和旅游部、交通運輸部等六部門共同遴選出第二批68個交通運輸與旅游融合發(fā)展示范案例，并正式公布．四川3個案例——“川九”旅游公路、夜游錦江（活水公園一東湖公園段）、“熊貓”旅游列車入選．甲、乙等四人準備各自從上述3個案例的路線中選一條，寒假各自按自己選擇的路線去旅游，且甲、乙結伴而行（甲、乙選擇的路線相同），則不同的選擇方案有（）A6種 B.9種 C.12種 D.27種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意甲、乙結伴而行，可將甲，乙看作一個整體，與剩下2人進行選擇線路，利用分步乘法計數(shù)原理可解.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙結伴而行，可將甲，乙看作一個整體，與剩下2人從3個案例的路線中選一條，共有種．故選：D4.設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)與函數(shù)極值點的關系判斷可得出合適的選項.【詳解】因為函數(shù)在處取得極小值，在左側附近，，此時，，在右側附近，即存在，使得當，使得，此時，，C選項合乎題意.故選：C.5.已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再檢驗是否符合題意即可.【詳解】由題得，因為函數(shù)在處取得極小值，所以或，當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，所以函數(shù)在處取得極大值為；當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上，的極大值為4.故選：A6.已知函數(shù)，若有三個不等零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將問題轉化為有三個不等的實數(shù)根，分兩種情況討論：當時，，令，結合單調(diào)性討論根的情況；當時，，當時，方程無實根；當時，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結合得到結果.【詳解】若有三個不等零點，等價于有三個不等的實數(shù)根，當時，，由得，即，令，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得，當時，單調(diào)遞增，故，故當時，方程無實根；當時，方程在上有一個實根；當時，，由得，當時，顯然方程無實根；當時，，令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；即當時，取得極大值，，，當時，；當時，，作出圖像如下：要使有三個不等的實數(shù)根，需滿足：在上有一個實數(shù)根，在上有兩個實數(shù)根，由圖可知與有兩個交點時，，綜上，，即實數(shù)的取值范圍是，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：對于零點問題常轉化成方程根的個數(shù)問題，分離常數(shù)后構造函數(shù)，討論單調(diào)性，數(shù)形結合利用兩函數(shù)圖像的交點得到參數(shù)的范圍.7.若，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷和的大小關系，即可得到，再利用糖水不等式得，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】先證明，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，即成立；由糖水不等式可得：，故；設，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，故C正確，故選：C.8.已知函數(shù)（其中，且）為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)進行變形，構造新函數(shù)，轉化為新函數(shù)的單調(diào).再分類討論單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，借助導數(shù)研究其單調(diào)性.對于單調(diào)遞增，再構造函數(shù)，得到單調(diào)性，求出范圍即可.【詳解】由題意可知的定義域為，且，記，在定義域上單調(diào)，可得必為單調(diào)函數(shù).若在定義域上單調(diào)遞增，則恒成立，即，令，可得，又因為函數(shù)在時值趨近于0，不符合題意；若單調(diào)遞減，則恒成立，即，令，即，可知，設，，則，當時，不成立；當時，，當時，；當時，；可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，可得，即，解得.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是將原函數(shù)變形為，記，將在定義域上單調(diào)，轉化為為單調(diào)函數(shù).最后借助分類討論和導數(shù)研究得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.定義在上的函數(shù)滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由構造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，結合選項和函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】構造函數(shù)，則，因為，所以，故是增函數(shù).由得，，即，故A正確；由得，，即，故B正確；由得，，即，故C錯誤；由得，，即，即，故D正確.故選：ABD．10.設函數(shù)則下列說法正確的有（）A.函數(shù)僅有1個零點B.是的極小值點C.函數(shù)的對稱中心為D.過可以作三條直線與的圖象相切【答案】ACD【解析】【分析】先求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)正負得出函數(shù)的單調(diào)性得出極值進而得出零點判斷A，B；應用對稱性定義計算判斷C，先設切點再得出切線方程代入計算求參即可得出三個根判斷D.【詳解】對AB，，，當或時，，當時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，又，所以函數(shù)僅有1個零點，且該零點在區(qū)間上，故A正確，B錯誤；對C，由，得，所以函數(shù)的圖象關于對稱，故C正確；對D，設切點為，則，故切線方程為，又過點，所以，整理得，即，解得或或，所以過可以作三條直線與的圖象相切，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則（）A.曲線在處的切線方程為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上有極小值D.在區(qū)間上有兩個零點【答案】BC【解析】【分析】求出函數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求解判斷A；結合單調(diào)性、極小值意義判斷BC；求出零點個數(shù)判斷D.【詳解】依題意，，對于A，，，所求切線方程為，A錯誤；對于B，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則存在唯一，使得，當時，；當時，，因此在處取得極小值，C正確；對于D，由選項C知，在上有唯一零點，又，當時，，即，，因此在區(qū)間上有1零點，D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.現(xiàn)有5名學生站成一排，若學生甲乙都不站兩端，則不同站法共有_________【答案】36【解析】【分析】根據(jù)題意，先從中間的三個位置中，選出2個位置，安排甲乙，再把剩余的3個位置，進行全排列，即可求解.【詳解】先從中間的三個位置中，選出2個位置，安排甲乙，再把剩余的3個位置，進行全排列，所以甲乙都不站兩端的不同站法共有種.故答案為：.13.已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合求出方程有3個解時的范圍，再將目標式用表示并求出范圍.【詳解】方程有三個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有3個交點，則當時，直線與射線有一個交點，當時，直線與函數(shù)有2個交點，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，令直線與圖象相切的切點為，由求導得：，則，解得，即直線與圖象相切時，，因此當且僅當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，由，解得，由，得，即，因此，函數(shù)上遞減，當時，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)求出直線與圖象相切的值，結合圖形求出方程有3個解的范圍是求解的關鍵.14.若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先求導，將有兩個極值點轉化為和的圖象有兩個交點，畫出圖象，通過切線解決即可.【詳解】因為，所以，因為有兩個極值點，故有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，即和的圖像有兩個交點，畫出圖象，又恒過定點，若，顯然只有1個交點，不合題意；若，則無交點，不合題意；若，設直線和相切于點，由，則，所以，所以，解得，故切點是，所以，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程;（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最小值為，最大值為．【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）求得函數(shù)在上的單調(diào)性，再由極值定義計算可得結果.【小問1詳解】函數(shù)的導數(shù)為，可得曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為．【小問2詳解】令，得，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．因此為的極小值點，也是最小值點，又，，，所以在上的最小值為，最大值為．16.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得切線的斜率為，利用導數(shù)的幾何意義列方程求；（2）條件可轉化在上恒成立，再分離變量，結合基本不等式求結論.【小問1詳解】設曲線在點處的切線的斜率，直線的斜率為，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，即，又的導函數(shù)，所以，所以，所以，【小問2詳解】由若在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又當時，，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以的取值范圍為.17已知函數(shù)（1）若求的單調(diào)區(qū)間;（2）若在上不單調(diào)，求的取值范圍.【答案】（1）上單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求導，令即可求解；（2）求導可得，設，則，解之即可求解.【小問1詳解】的定義域為，，令或，或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】，設，注意到，要使在上不單調(diào)，只需滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）【答案】（1）①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先由題意，得到函數(shù)定義域，對函數(shù)求導，分別討論和兩種情況，解對應的不等式，即可得出其單調(diào)性；（2）根據(jù)斜率公式，由題意，得到，再由，將證明的問題轉化為證明，令，即證時，成立，設，對其求導，用導數(shù)的方法求其范圍，即可得出結果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且①當時，，此時在單調(diào)遞增；②當時，令可得或（舍），，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意得，所以又，要證成立，即證：成立，即證：成立.令，即證時，成立.設則所以函數(shù)在上增函數(shù)，所以，都有，即，，所以【點睛】本題主要考查用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，以及用導數(shù)的方法證明不等式恒成立，通常需要對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及最值等，屬于?？碱}型.19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）①當時，恒成立，求正整數(shù)k的最大值；②證明：．【答案】（1）極小值，無極大值（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，可得答案；（2）①由（1）所得函數(shù)的單調(diào)性，分情況求得最值，②利用不等式性質(zhì)以及裂項相消，可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，