第三單元：長(zhǎng)方體和正方體的表面積增減變化問(wèn)題“一般型”專項(xiàng)練習(xí)-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第三單元：長(zhǎng)方體和正方體的表面積增減變化問(wèn)題“一般型”一、填空題。1．把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米、2厘米的相同長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是()平方厘米?！敬鸢浮?04【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體表面積的意義，把兩個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，要使表面積最小也就是把兩個(gè)小長(zhǎng)方體的最大面重合在一起，拼成一個(gè)長(zhǎng)10厘米，寬8厘米，高（2×2）厘米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】2×2＝4（厘米）（10×8＋10×4＋8×4）×2＝（80＋40＋32）×2＝152×2＝304（平方厘米）則這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是304平方厘米。2．將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，那么這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?5【分析】如圖：，將一個(gè)正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了兩個(gè)正方體的面的面積，再拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后，減少的是一個(gè)面的面積，大長(zhǎng)方體的表面積等于原來(lái)正方體的表面積加上正方體一個(gè)面的面積；據(jù)此作答?！驹斀狻?0÷6＋30＝5＋30＝35（平方厘米）將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，那么這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是35平方厘米。3．一個(gè)長(zhǎng)方體，左右兩個(gè)面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個(gè)一樣大小的正方體，每個(gè)正方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體切成2個(gè)一樣大小的正方體，則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是寬2倍，也是高的2倍，設(shè)長(zhǎng)方體的左面正方形的面積是x平方厘米；左右相等，右邊正方形面積也是x平方厘米；則其余四個(gè)面中一個(gè)面的面積是2x平方厘米，四個(gè)面積是（4×2x）平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是100平方厘米，列方程：2x＋4×2x＝100，解方程，求出左面的面積，再乘6，即可求出正方體的表面積，據(jù)此解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)長(zhǎng)方體左面的面積是x平方厘米。2x＋4×2x＝1002x＋8x＝10010x＝100x＝100÷10x＝1010×6＝60（平方厘米）一個(gè)長(zhǎng)方體，左右兩個(gè)面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個(gè)一樣大小的正方體，每個(gè)正方體的表面積是60平方厘米。4．兩個(gè)完全一樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體后，其表面積與原來(lái)兩個(gè)正方體表面積之和相比()?！敬鸢浮繙p少了【分析】一個(gè)正方體有六個(gè)面，兩個(gè)有12個(gè)面，拼成長(zhǎng)方體后少了兩個(gè)面，還剩10個(gè)面，據(jù)此解答?！驹斀狻恳?yàn)槠闯砷L(zhǎng)方體后少了2個(gè)面，所以拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)正方體的表面積之和減少了。5．一個(gè)正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積增加了8平方厘米，原正方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?4【分析】把一個(gè)正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)增加了2個(gè)正方形的面積，即8平方厘米，據(jù)此求出正方體一個(gè)面的面積，再根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，據(jù)此計(jì)算即可?！驹斀狻?÷2＝4（平方厘米）4×6＝24（平方厘米）則原正方體的表面積是24平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體的表面積，求出正方體一個(gè)面的面積是解題的關(guān)鍵。6．小強(qiáng)用軟土做了一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是14厘米、12厘米、10厘米的長(zhǎng)方體，他想切一刀把這個(gè)長(zhǎng)方體分割成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，有()種不同的分法。要使切成的兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最小，那么這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和比原長(zhǎng)方體表面積增加了()平方厘米。

【答案】3240【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體可以沿著長(zhǎng)和寬的面切割，也可以沿著長(zhǎng)和高的面切割，也可以沿著寬和高的面切割，一共有3種切法；要使切成的兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最小，就看哪種方法切割增加的面積最少；如果沿著長(zhǎng)和寬的面切割，則表面積增加2個(gè)（14×12）平方厘米，如果沿著寬和高的面切割，則表面積減少2個(gè)（12×10）平方厘米，如果沿著長(zhǎng)和高的面切割，則表面積減少2個(gè)（14×10）平方厘米，再比較每種方法增加的面積，找出增加最少的面積即可。【詳解】14×12×2＝336（平方厘米）12×10×2＝240（平方厘米）14×10×2＝280（平方厘米）336＞280＞240把這個(gè)長(zhǎng)方體分割成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，有3種不同的分法。要使切成的兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最小，那么這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和比原長(zhǎng)方體表面積增加了240平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的切割，明確增加了哪些面是解答本題的關(guān)鍵。7．把一個(gè)長(zhǎng)是20厘米，寬和高都是5厘米的長(zhǎng)方體切成幾個(gè)相同的最大的正方體，表面積之和比原來(lái)增加了()平方厘米。【答案】150【分析】求出長(zhǎng)寬高的最大公因數(shù)，是切成的最大正方體的棱長(zhǎng)，每切一次，增加2個(gè)面，據(jù)此分析增加的面的數(shù)量，求出增加的一個(gè)面的面積，乘增加的面的數(shù)量即可?！驹斀狻堪岩粋€(gè)長(zhǎng)是20厘米，寬和高都是5厘米的長(zhǎng)方體切成幾個(gè)相同的最大的正方體，正方體棱長(zhǎng)5厘米，如下圖：5×5×6＝150（平方厘米）表面積之和比原來(lái)增加了150平方厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解最大公因數(shù)的意義，將立體圖形切開(kāi)，因?yàn)槊鏀?shù)目增加，所以表面積增加。8．一根2米長(zhǎng)的方鋼，把它橫截成2段，此時(shí)表面積增加60平方厘米，原來(lái)的方鋼體積是()?！敬鸢浮?000立方厘米/600cm3【分析】截成2段增加2個(gè)截面的面積，則一個(gè)截面的面積＝60÷2＝30平方厘米，長(zhǎng)方體的體積＝截面積×長(zhǎng)，據(jù)此計(jì)算?！驹斀狻?米＝200厘米60÷2＝30（平方厘米）200×30＝6000（立方厘米）原來(lái)方鋼的體積是6000立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體體積的求法以及立體圖形的切拼，要注意切成兩段會(huì)增加兩個(gè)切面的面積。9．一個(gè)棱長(zhǎng)是4分米的正方體，把它鋸成3個(gè)相等的長(zhǎng)方體，表面積增加了()平方分米。【答案】64【分析】把一個(gè)正方體鋸成3個(gè)相等的長(zhǎng)方體需要鋸2次，鋸1次增加2個(gè)正方形的面積，鋸2次增加4個(gè)正方形的面積，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?－1）×2＝2×2＝4（個(gè)）4×4×4＝16×4＝64（平方分米）所以，表面積增加了64平方分米。【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的切拼，明確增加切面的數(shù)量是解答題目的關(guān)鍵。10．用棱長(zhǎng)4cm的三個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是()cm2，比原來(lái)三個(gè)正方體的表面積之和減少了()cm2?！敬鸢浮?2464【分析】拼成的長(zhǎng)方體長(zhǎng)是12cm，寬和高均是4cm。長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，正方體表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，據(jù)此列式求出這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積，以及一個(gè)正方體的表面積。將正方體的表面積乘3，再減去長(zhǎng)方體表面積，求出表面積減少了多少。【詳解】4×3＝12（cm）（12×4＋12×4＋4×4）×2＝（48＋48＋16）×2＝112×2＝224（cm2）4×4×6＝96（cm2）96×3－224＝288－224＝64（cm2）所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是224cm2，比原來(lái)三個(gè)正方體的表面積之和減少了64cm2。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體和正方體的表面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。二、解答題11．把兩個(gè)棱長(zhǎng)為1.5分米的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積、表面積分別是多少？如果是用3個(gè)正方體木塊拼呢？【答案】體積是6.75立方分米，表面積是22.5平方分米；體積是10.125立方分米，表面積是31.5平方分米?！痉治觥?jī)蓚€(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積和原來(lái)的總面積相比，減少2個(gè)正方形的面；體積等于原來(lái)的體積之和；三個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積和原來(lái)的總面積相比，減少4個(gè)正方形的面；體積等于原來(lái)的體積之和；根據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求解即可?！驹斀狻勘砻娣e：1.5×1.5×6×2＝2.25×6×2＝13.5×2＝27（平方分米）1.5×1.5×2＝2.25×2＝4.5（平方分米）27－4.5＝22.5（平方分米）體積：1.5×1.5×1.5×2＝2.25×1.5×2＝3.375×2＝6.75（立方分米）表面積：1.5×1.5×6×3＝2.25×6×3＝13.5×3＝40.5（平方分米）1.5×1.5×4＝2.25×4＝9（平方分米）40.5－9＝31.5（平方分米）體積：1.5×1.5×1.5×3＝2.25×1.5×3＝3.375×3＝10.125（立方分米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是6.75立方分米，表面積是22.5平方分米；如果是用3個(gè)正方體，則體積是10.125立方分米，表面積是31.5平方分米。12．如何把下面這個(gè)長(zhǎng)方體木塊分成兩個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體？這兩個(gè)正方體的表面積之和與原長(zhǎng)方體的表面積相等嗎？【答案】見(jiàn)詳解【分析】由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是8厘米，是寬和高的2倍，所以把這個(gè)長(zhǎng)方體豎著切開(kāi)就分成了兩個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，那么會(huì)增加中間切開(kāi)位置的兩個(gè)面；也就是各增加了正方體的1個(gè)面；據(jù)此解答。【詳解】由分析可得：把這個(gè)長(zhǎng)方體豎著切開(kāi)就分成了兩個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體；兩個(gè)正方體的表面積之和與這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積不相等，因?yàn)閮蓚€(gè)正方體的表面積之和比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了兩個(gè)截面的面積。13．一個(gè)長(zhǎng)方體如果高減少一部分，就變成了一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體，長(zhǎng)方體減少的體積為100立方厘米，原來(lái)的長(zhǎng)方體表面積為多少平方厘米？【答案】230平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，原來(lái)的長(zhǎng)方體長(zhǎng)和寬都是5厘米，即長(zhǎng)方體的底面積是（5×5）＝25平方厘米，再根據(jù)體積減少100立方厘米，可以求出高減少了幾厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，即（100÷25）＝4厘米，這樣就可以求出原來(lái)的高（5＋4）厘米，再根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?00÷（5×5）＋5＝100÷25＋5＝4＋5＝9（厘米）（5×5＋5×9＋5×9）×2＝（25＋45＋45）×2＝（70＋45）×2＝115×2＝230（平方厘米）答：原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積是230平方厘米。14．把兩個(gè)長(zhǎng)方體搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，計(jì)算搭成大長(zhǎng)方體的最大表面積。（單位：厘米）【答案】352平方厘米【分析】根據(jù)題意，把兩個(gè)一樣的長(zhǎng)方體搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體時(shí)，會(huì)減少兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形的面積；因?yàn)?×4＜10×4，所以把兩個(gè)長(zhǎng)方體的4×4的兩個(gè)面重合，這樣減少的表面積最少，搭成的大長(zhǎng)方體的表面積就最大。搭成一個(gè)長(zhǎng)（10＋10）厘米、寬4厘米、高4厘米的大長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解?！驹斀狻咳鐖D：長(zhǎng)：10＋10＝20（厘米）（20×4＋20×4＋4×4）×2＝（80＋80＋16）×2＝176×2＝352（平方厘米）答：搭成大長(zhǎng)方體的最大表面積是352平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體表面積公式的運(yùn)用，明確用兩個(gè)長(zhǎng)方體搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，讓兩個(gè)長(zhǎng)方體中面積最小的兩個(gè)面重合，搭成的大長(zhǎng)方體表面積最大。15．用6塊如圖所示（長(zhǎng)3cm，寬2cm，高1cm）的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？

【答案】66平方厘米【分析】根據(jù)題意，要使拼成的長(zhǎng)方體表面積最小，則6個(gè)小長(zhǎng)方體接觸的面積最多，且重疊面的面積盡可能大。據(jù)此解答即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析，表面積最小時(shí)，長(zhǎng)方體的拼法如下圖：

此時(shí)，拼成的大長(zhǎng)方體長(zhǎng)3厘米，寬（2＋2）厘米，高（1＋1＋1）厘米。2＋2＝4（厘米）1＋1＋1＝3（厘米）表面積為：（3×4＋3×3＋4×4）×2＝（12＋9＋12）×2＝33×2＝66（平方厘米）答：表面積最小的是66平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的表面積，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造新長(zhǎng)方體的擺放方式。16．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為12厘米、7厘米、9厘米的長(zhǎng)方體木塊沿著一個(gè)方向鋸開(kāi)，能夠得到兩個(gè)小一些的長(zhǎng)方體木塊。怎樣鋸才能使得到的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和最小？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一畫(huà)，并求出鋸開(kāi)后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和?！敬鸢浮繄D見(jiàn)詳解；636平方厘米【分析】以大長(zhǎng)方體的寬和高為鋸開(kāi)面的長(zhǎng)和寬，增加的表面積最小。據(jù)此，先求出大長(zhǎng)方體的表面積，再加上兩個(gè)鋸開(kāi)面的面積，即可求出鋸開(kāi)后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和。【詳解】如圖：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：鋸開(kāi)后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和是636平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的表面積，長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2。17．一個(gè)正方體，它的高增加2厘米后就成了長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積。【答案】864平方厘米【分析】一個(gè)正方體如果它的高增加2厘米，就變成了長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)增加96平方厘米，它的底面積沒(méi)變，增加的是4個(gè)側(cè)面的面積，增加部分每個(gè)面的面積是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)；再根據(jù)：正方體的表面積＝6a2，將數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可。【詳解】96÷4÷2＝24÷2＝12（厘