【《隨機(jī)擾動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)中相干性的兩種不同機(jī)制分析》7900字】

述所觀(guān)察到的有顯著差異。這種現(xiàn)象發(fā)生的一種機(jī)制是相干共振(corenence有人提出了另一種機(jī)制，稱(chēng)為自誘導(dǎo)隨機(jī)共振。在SIS導(dǎo)致相干極限環(huán)行為的出現(xiàn)，但其方式和性質(zhì)與CR完全不同。實(shí)的可激發(fā)系統(tǒng)模型的一個(gè)最小的漫畫(huà)，例如，見(jiàn)[7]。我們研究受噪聲干擾的y=x+a+δ?W?,其中a,ε,δ1,δ2是正常數(shù)，W?,W?是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)白噪聲。當(dāng)δ?設(shè)為0時(shí)方程(1a)和(1b)正是Pikovsky和Kurths在他們關(guān)于CR[10]的開(kāi)創(chuàng)性TTTT10-2,δ?=0,δ?=0.2(CR);(b)ε=10-2,δ?=0.2,δ?=0(SISR(c)ε=10-?,δ?=0,δz=0.2(CR);(d)ε=10-4,δ?圖1顯示了從隨機(jī)微分方程(1a)和(1b)的數(shù)值解中獲得的x中連續(xù)振蕩之間的時(shí)間間隔T的直方圖，其中a=1.05,上兩個(gè)面板中ε=10-2,圖 (1a)和(1b)。下部?jī)蓚€(gè)面板中ε=10-?,圖(1c)和(1d)。在左邊的兩面板中，圖(1b)和(1d),取8?=0.2,δ?=0,得出SISR。與一般CR機(jī)制一致(見(jiàn)Ⅲ),(1a)和(1c)表明，當(dāng)噪聲只加到(1b)而不加到(1a)時(shí)，度分離比和一個(gè)人看到一個(gè)顯著的差異圖(1b)和(1d)。在后者中，相干度顯著增加，而且振蕩的平均周期T減少了1.5倍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了用標(biāo)準(zhǔn)偏差2(a)表示CR的實(shí)例，圖2(b)表示SISR的實(shí)例，兩者之間的差異是顯著的。在CR的情況下，極限環(huán)本質(zhì)上是一個(gè)確定性極限環(huán)的前身，它是在極限→0時(shí)通過(guò)Hopf分支得到的。相比之下，對(duì)于任何參數(shù)，SISR中的標(biāo)分離的條件ε<1對(duì)于CR和SISR[10,21]都是必需的，我們將在下面的所本章的結(jié)構(gòu)如下。在1.2中，我們總結(jié)了(1a)和(1b)中具有強(qiáng)時(shí)標(biāo)分離的無(wú)噪聲系統(tǒng)的性質(zhì)。在1.3中，我們考慮CR機(jī)制變得完全一致的情況。在1.4中，在所考慮的模型中，我們給出了SISR的一個(gè)漸近理論。在1.5中，我們考慮了SISR在Hopf分岔閾值附近的行為 (1a)和(1b)兩個(gè)方程中加入噪聲項(xiàng)后對(duì)于ε《1(見(jiàn)例[23,24])由于(2a)和(2b)在變換(x,y,a)→中的系統(tǒng)在(x,y)=(x,y對(duì)于函數(shù)x=x.+c?e-vt,y=y+c?e-rt,在不動(dòng)點(diǎn)附近線(xiàn)性化(2a)因此，不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)la|>1,是全局吸引的。系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，因此對(duì)于所有的la|<1存在一個(gè)全局穩(wěn)定的極限環(huán)[25]。注意，具有強(qiáng)時(shí)標(biāo)分離的系統(tǒng)的一個(gè)特殊特征是，分支點(diǎn)附近的正規(guī)形展開(kāi)僅在分支[17,18]的一個(gè)很小的鄰域內(nèi)有效。由于這個(gè)原因，不動(dòng)點(diǎn)變成了一個(gè)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，而不是一個(gè)a>aN的焦點(diǎn)，其中見(jiàn)公式(4)。同樣的原因，當(dāng)a從上面接近1時(shí)，如果：→0足夠快[26,27],極限環(huán)也有很大的振幅。ttt10-?,δ?=0,δ?=0.2(CR);(b)和(d):ε=10-?,δ?=0.2,δ?將SL定義為xnullcline的吸引分支，其[在左邊，定義域?yàn)閤∈(-○,-1),將SR定義為x∈(1,○)的右邊吸引分支。在0(1)時(shí)間刻度上的當(dāng)軌跡到達(dá)位于(-1,-2/3)和(1,2/3)的SL和SR各自膝蓋時(shí)，在0(ε)時(shí)間刻度上從SL到SR和向后突然跳躍：由于軌道的大部分時(shí)間花費(fèi)在慢運(yùn)動(dòng)中，因此極限環(huán)的周期是一個(gè)周期中如上所述，當(dāng)a接近(x,y.)的Hopf分叉點(diǎn)時(shí)，在極限ε→0處，我相反，當(dāng)la|>1時(shí)，(2a)和(2b)速運(yùn)動(dòng)首先到達(dá)SL,則它隨后沿著SL向固定點(diǎn)(x,y)滑動(dòng)，在那里它永遠(yuǎn)固定。然而，如果初始條件是軌跡首先到達(dá)SR,那么它就沿在(x,y)=(1,2/3)處，它在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，然后跳到SL,并像以前一X圖3。當(dāng)la|<1在極限值ε→0時(shí)(2)的相平面圖。極限環(huán)用帶箭頭的粗實(shí)線(xiàn)表示。虛線(xiàn)表示xnullcline。X圖4。當(dāng)a=1.05和ε=0.01時(shí)確定性系統(tǒng)(2a)和(2b)的相平面1.3相干共振考慮(1a)和(1b)其中δ?=0,a>1:δ?→0。否則，極限行為不可能是確定的。一旦δ?→0,我們就會(huì)意識(shí)到我們也事實(shí)上，如果(11b)中的噪聲非常小，δ?→0,但a=1+0(1)和ε<1固定，則大偏移(被定義為，例如，那些到達(dá)遠(yuǎn)離固定點(diǎn)的軌跡的x=0的偏移)只在指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間尺度0(eCδz2)上發(fā)生，并且是隨機(jī)的泊松統(tǒng)計(jì)(這是大偏差理論另一方面，噪聲會(huì)使點(diǎn)(x*,y)失穩(wěn)，如果該點(diǎn)接近失穩(wěn)開(kāi)始點(diǎn)，即 (x,y)→(-1,-2/3),這需要a→1+和δ?→0共同作用?，F(xiàn)在，為了使噪聲在軌跡到達(dá)(x,y)時(shí)立即起作用，也就是說(shuō)，為了避免軌跡在這一點(diǎn)對(duì)于一些常數(shù)C?>0,當(dāng)δ?→0和b→0+。為了了解這一點(diǎn)，我們通過(guò)使用(13)和讓0<b<1,我們將(11)重寫(xiě)為一個(gè)二次函數(shù)，最小值在(1,-1),零點(diǎn)在ξ=0,2;參見(jiàn)圖5。通過(guò)對(duì)(14a)和 和(14b)控制的確定性動(dòng)力學(xué)在終止于固定點(diǎn)的軌跡和在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)行到不滿(mǎn)足]時(shí)，則到達(dá)分界線(xiàn)的時(shí)間t將按指數(shù)增長(zhǎng)盡管b→0。當(dāng)然，在這種情況下，軌跡的連貫性將喪失。所以(12)中這將發(fā)生在有限s的概率為1的情況下，但是t=bs,所以在有限s時(shí)間內(nèi)發(fā)生的任何事情都發(fā)生在t時(shí)間尺度的零時(shí)間內(nèi)。Ft圖6。CR中的漸近極限環(huán)。實(shí)線(xiàn)表示x(t),虛線(xiàn)表示y(t),這是通過(guò)匹配快運(yùn)動(dòng)和慢運(yùn)動(dòng)得一旦離開(kāi)固定點(diǎn)和左膝，軌跡將不會(huì)受到明顯的噪聲影響，因?yàn)棣?→0.正如在確定極限環(huán)的情況下，在第Ⅱ,軌跡將遵循(7)描述的快速運(yùn)動(dòng)，并在0(ε)時(shí)間內(nèi)降落在SR上的點(diǎn)(2,-2/3)附近。然后它向上移動(dòng)SR,在漸進(jìn)時(shí)間內(nèi)到達(dá)右膝(1,2/3)通過(guò)將(6)與a=1積分得到。之后，軌跡在(-2,2/3)處落在SL上，并沿SL中，按此順序到達(dá)(x*,y)的任意固一旦軌道進(jìn)入固定點(diǎn)的一個(gè)小鄰域，它將需要0(b)<1時(shí)間來(lái)逃離它以完成循環(huán)，在極限下產(chǎn)生一個(gè)周期為如下的確定極限循環(huán)基本上與Ⅱ中構(gòu)造的相同。在沒(méi)有噪音的情況下，限值a→1-;見(jiàn)圖3和6。因此，我們得到的a>1和δ?<1的相干極限環(huán)行為是a<1出現(xiàn)確定預(yù)測(cè)的極限環(huán)與圖2所示的數(shù)值吻合得很好；比較，例如，圖3,圖6和圖2(a),(2c)。1.4自感隨機(jī)共振由(20a)和(20b)型方程描述的噪聲驅(qū)動(dòng)可激系統(tǒng)也可導(dǎo)致極限為δ?→0和ε→0的確定極限環(huán)。然而，實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的SISR機(jī)制比CR機(jī)制更為微妙，并且SISR中極限環(huán)的性質(zhì)與CR中極限環(huán)的性質(zhì)有很大的不同。在CR中，我們要求δ?→0,因?yàn)檫@是獲得確定性解的唯一方法。我們也如果某個(gè)常數(shù)C?∈I(a)為8?→0和ε→0,則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)確定性極限環(huán)。這個(gè)極限環(huán)可以理解為使系統(tǒng)處于一種永久的過(guò)向下滑動(dòng)SL到達(dá)固定點(diǎn)(x,y),但每次到達(dá)(x,y)之前都會(huì)被噪聲踢向SR。然后系統(tǒng)向上滑動(dòng)SR,在到達(dá)膝蓋之前被踢向SL,然后再次開(kāi)為了理解跳躍機(jī)制，我們首先改變變量t=εT,得到dy=ε(x+a)dt.方程(22a)的形式如下位于x值處，其中SL和SR與水平線(xiàn)y=const相交，最大值位于與x零斜的義請(qǐng)參見(jiàn)圖7?！鱒+(y)的值可以很容易地根據(jù)x?=x+(y)進(jìn)行參數(shù)計(jì)算。經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)地，△V_(y)=△V+(y)。所得曲線(xiàn)繪制在圖8中。y?(β)yy?(β)回到(22a)和(22b),固定y>0并在SR附近選擇x。這使x恰好位于其中C是一些前置因子。以此我們的意思是，對(duì)于大的T,看到越過(guò)勢(shì)Prob(jumpaty)如果兩個(gè)時(shí)間刻度恰好在y=y?某個(gè)點(diǎn)匹配，那么我們將期望在y?某個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)跳躍。實(shí)際上，在軌跡到達(dá)y?之前，SR上的運(yùn)動(dòng)比跳躍的時(shí)標(biāo)無(wú)限快，因此未觀(guān)察到該跳躍。但是，一旦軌跡經(jīng)過(guò)y?,情況就會(huì)逆轉(zhuǎn)：跳躍的時(shí)標(biāo)變得比SR上的運(yùn)動(dòng)無(wú)限快，因此跳躍在y?瞬間發(fā)生。從(25)開(kāi)始，時(shí)間尺度的匹配要求因此我們必須讓?duì)?→0,ε→0使得并說(shuō)y?使得△V+(y?)=β然后，我們聲稱(chēng)系統(tǒng)漸近于1的概率，系統(tǒng)遵循SR,直到達(dá)到y(tǒng)=y?,然后才跳至SL。我們認(rèn)為如下：以代表y<y?,并根據(jù)(22a)和(22b)讓這一點(diǎn)發(fā)展。固定dy>0小[但ε在O(1)中],則可能會(huì)發(fā)生以下兩種情況之一：噪聲在軌跡到達(dá)y+dy之前將其踢向SL,或者系統(tǒng)確定性地演化為y+dy并保持在SR附近。我們等待從y演化到y(tǒng)+dy的時(shí)間為Cε-1dy,而強(qiáng)度為A(y)=Cexp(-2△V+(y)8?2)→Cε△V+因此，在達(dá)到y(tǒng)+dy之前跳躍的概率是Prob(y和y+dy之間跳躍)=1-exp(-λ(y)Cε-1dy)對(duì)于△V+(y)>β,以上第二項(xiàng)呈指數(shù)形式接近于1,因此跳躍的概率呈于1。由于△V+(y)是y的單調(diào)遞減函數(shù)(請(qǐng)參見(jiàn)圖8),因此系統(tǒng)將以指數(shù)形式接近1的方式遍歷SR,直到達(dá)到y(tǒng)=y?,然后才跳至SL。對(duì)于SL上的軌跡，將使用相同的參數(shù)，但修改為勢(shì)壘為△V_(y),因此軌跡在y=y?處向右跳，其中△V(y?)=β。當(dāng)然，通過(guò)對(duì)稱(chēng)性y?(β)=-y?(β)。交tX圖9.對(duì)于a=1.05和=0.1842,在SISR以及在y?和y?處連接這兩個(gè)分支的水平線(xiàn)組成。參見(jiàn)圖9。周期的周期是漸近確定性動(dòng)力學(xué)從SL上的y?到y(tǒng)?以及在SR上從y?到y(tǒng)?所花費(fèi)的時(shí)間的總和，從6β?lián)?參數(shù)地計(jì)算TsR(β,a);參見(jiàn)圖10,了解T在β上對(duì)幾個(gè)a值的依賴(lài)性。讓我們強(qiáng)調(diào)一下，所獲得的極限循環(huán)的周期與參聲進(jìn)行控制，而不會(huì)顯著影響極限循環(huán)的相干性(另請(qǐng)參見(jiàn)[21])。圖9所示的a=1.05和β=0.1842的極限循環(huán)對(duì)應(yīng)于圖(2b)和(2d)中的模擬參數(shù)。請(qǐng)注意，前面的參數(shù)僅在y<y?時(shí)有效，也就是說(shuō)，當(dāng)SL上的慢動(dòng)力學(xué)受干軌道那樣獲得任何東西。因此，當(dāng)β∈(βc?,βcz)時(shí)存在確定性極限循環(huán)?？偠灾?dāng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)由SISR引起的極限循環(huán)。將此與圖2中的數(shù)值進(jìn)行比較?？梢灶A(yù)料，系統(tǒng)會(huì)以y?=-y?=0.4015且，觀(guān)察到的周期平均周期比理論預(yù)測(cè)值多約25%。我們將其歸因于仿真中的δ?=0.2,這在實(shí)踐中并不是很小。1.5HOPF分叉附近的自誘導(dǎo)隨機(jī)共振注意，當(dāng)b→0+時(shí)，更容易實(shí)現(xiàn)SISR,因?yàn)樵谶@種情況下接近Hopf分叉。然后，SISR極限周期變得越來(lái)越接近CR極限周期，因?yàn)楫?dāng)因此，對(duì)于b→0,TsR→3固定，并且β固定，極限周期與CR的極限周期相同。另一方面，即使在a→1+和β→0的極限下，仍然有可方式共同選擇b→0和β→0。參見(jiàn)(29)和(31)。然后，該軌跡將“停留”在固定點(diǎn)附近，但是會(huì)持續(xù)固定的確定性O(shè)(1)時(shí)間，然后跳轉(zhuǎn)到SR。1.6綜合情況